Fsikk for ingeniører 5 Bevegelsesenge og assesenter Sie 5 - Beregning av assesenter Definisjoner i ri C Figuren til venstre viser et lite utsnitt av en sk av så partikler, er i er assen til en partikkel so har posisjonsvektor r i i forhol til et fastlagt origo Selv o figuren er toiensjonal, vil partikkelsken generelt være treiensjonal, slik at posisjonsvektoren kan skrives r = ˆi+ ˆj+ zk ˆ i i i i er î, ĵ og ˆk er enhetsvektorer langs henholsvis - - og z- aksen I grunnteksten har vi efinert nå posisjonsvektoren til partikkelskens assesenter () slik: Massesenterets posisjon i forhol til origo er = i r i er en salee assen til alle partiklene er = i Vi suerer over alle partiklene I praksis får vi est å gjøre e saenhengene, utstrakte legeer Vi tenker oss at slike legeer er lit saen av bitte så biter, so hver har asse Isteenfor å suere, å vi nå integrere: = r er legeets salee asse er = og integrasjonene tas over hele legeet Men integrasjon over hele legeet efører at vi å integrere i roet Jeg forventer ikke at ere kan ette Vi skal erfor begrense oss til å se på spesielle tper legeer, so vi kan hantere e vanlig integrasjonsteknikk, vs e skiveetoen og slinerskalletoen Vi skal begrense oss til rolegeer so har konstant tetthet ρ Derso hele legeet har asse og volu V, og en liten bit av legeet har asse og volu V, så er tettheten ρ = = = V V V V Dette gir = = r r V V = V V r Vi ekoponerer nå båe r og ve hjelp av enhetsvektorene î, ĵ og ˆk, og får r = ˆi+ ˆj+ zk ˆ
Fsikk for ingeniører 5 Bevegelsesenge og assesenter Sie 5 - og Da blir so gir koponentlikningene Vi suerer opp:,, Derso et legee har konstant tetthet ρ, er assesenterets posisjonsvektor gitt ve,,, er V er legeets volu, og alle integrasjonene tas over hele legeet Massesenter for rotasjons-setriske legeer Vi kan få et rotasjons-setrisk legee ve å la grafen til funksjonen,, rotere o -aksen Det er uielbart klart at erso tettheten til legeet er konstant å assesenteret ligge på -aksen slik at Vi trenger bare å finne, og bruker skiveetoen Alle e så volueleentene so utgjør ei tnn skive e tkkelse vinkelrett på -aksen har sae -koorinat Skiva har a volu Sien legeets volu er blir
Fsikk for ingeniører 5 Bevegelsesenge og assesenter Sie 5 - Vi kan også få et rotasjons-setrisk legee ve å rotere grafen til f = o -aksen Da å assesenteret ligge på -aksen slik at = Z = På sae åte so ovenfor blir = = Y V π = = = = π = = = = = = = = V V π = = Eksepel : Finn assesenteret til en rett kjegle e høe og grunnflateraius Løsning: = Vi plasserer kjeglen e topp-punkt i origo og - aksen so setriakse Vi kan a tenke oss at kjeglen frakoer ve at en rette linja = roterer o -aksen Da vil assesenteret ligge på -aksen, og posisjonen er gitt ve ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = Eksepel : Finn assesenteret til et rotasjonslegeet so frakoer når grafen til = f = og en rette linja = roterer o -aksen Løsning: Massesenteret å ligge på -aksen Sien Y lett: Y ( ) ( ) = = = = = = = = = =, blir innsettingen i forelen for Oppgave Massesenter for plane legeer De grunnleggene forlene Vi skal nå se på plane legeer Det er est praktisk å legge plane legeer i -planet, slik at et ikke blir noen z-koponent Massesenteret er a gitt ve
Fsikk for ingeniører 5 Bevegelsesenge og assesenter Sie 5 - r = ˆ ˆ r = i+ j ˆ = + ˆ = + Y i j i j er er =, Y = Integralene i uttrkkene for og Y har fått egne navn: kalles statisk oent o -aksen kalles statisk oent o -aksen Vi får enklere uttrkk erso vi antar at tettheten er konstant over hele flata Tettheten å nå uttrkkes i kg/ Derso flata har asse og areal A, ens et lite flate-eleent har asse og areal A, blir tettheten ρ = = = A A A A Dere blir = = A A = A A, Y = = A A = A A, er arealet av flata er A = A Dette er e grunnleggene forlene so vi skal bentte i praksis Også her har integralene fått egne navn: M M = A kalles flateoentet o -aksen, = A kalles flateoentet o -aksen Me isse efinisjonene kan koorinatene til assesenteret skrives: M =, Y A M = A Vi suerer opp: Massesenteret for ei flate so ligger i -planet er = = + Y r i j er
Fsikk for ingeniører 5 Bevegelsesenge og assesenter Sie 5-5 =, Y = Derso tettheten er konstant over hele flata, blir M = A A = er M = A A er flateoentet o -aksen, M Y = A A = er M A = A er flateoentet o -aksen A = A Alle integralene tas over hele flata Når vi skal integrere over ei flate, får vi vanligvis obbeltintegral so vi ikke skal ta opp her Vi skal erfor begrense oss til to situasjoner so vi kan hantere: Flata eles opp i striper parallelt e -aksen Flata eles opp i striper parallelt e -aksen Vi skal se på e to situasjonene etter tur Striper parallelt e -aksen Vi antar at flata er avgrenset av grafene til funksjonene = f () = f og = f, sat av e to rette linjene = a og = b - Se figuren til venstre = f () Vi legger striper e bree parallelt e -aksen vis > når a b, får hver stripe et areal A = ( ) a b slik at = b A = ( ) Alle flate-eleentene innenfor ei stripe har nå sae -veri Da blir assesenterets -veri = b A = b = ( ) A = = a A = a Det er ikke fullt så enkelt å finne Y, fori eleentene innenfor ei stripe har ulike -verier Vi kan erfor ikke bruke forelen for Y irekte Dette probleet løser vi ve å erstatte i forelen for Y C e avstanen til itpunktet på stripa, so har -koorinat + M = Da blir = b = b + = b YC = M A ( ) ( ) A = = a A = = a A = a = a
Striper parallelt e -aksen Fsikk for ingeniører 5 Bevegelsesenge og assesenter Sie 5-6 = g () = g () Vi skal nå anta at flata er avgrenset av grafene til g = g sat e to rette linjene = og = og = Da legger vi stripene parallelt e -aksen Se figuren til venstre - = = = Y A, = = ( ) A = Vi finner assesenteret e sae resonneent so når stripene ligger lorett Derso > når, blir og = = A = Eksepel : Beste assesenteret til flata so avgrenses av grafen til -aksen på to åter: a) ve å legge stripene parallelt e -aksen b) ve å legge stripene parallelt e -aksen =, linja = og Løsning: Situasjonene er illustrert neenfor til venstre a) En lorett stripe i avstan fra -aksen har areal A = = slik at arealet blir A = = = = Da blir assesenterets -koorinat = = A = = ( ) = = = Massesenterets -koorinat blir Y = = = = = = 5 5 6 ( ) ( ) 6 5 6 5 5 A = b) Når vi skal bruke striper parallelle e -aksen, å vi først finne uttrkt ve : = = Vi kan selvsagt bruke et arealet so vi fant ovenfor Men vi kan også beregne arealet også e utgangspunkt i vannrette striper Av figuren ser vi at arealet av en slik vannrett stripe i avstan fra -aksen blir
( ) ( ) A = = slik at arealet blir Fsikk for ingeniører 5 Bevegelsesenge og assesenter Sie 5-7 ( ) ( ) ( ) A = = = = = Da blir = = = ( ) ( ) = 6 A= 6 6 = = = Y ( ) ( ) = = A = = = 5 5 5 6 6 = = 5 ( 5 ) = ( 6 5 ) = = 5 5 Oppgave Massesenter for krue linjer En kru linje er gitt ve = f eller ve f = Anta at tettheten ρ (so er gitt i kg/) er konstant slik at ρ = = = s L s L er er assen til linja, L er lengen til linja, ens og s er henholsvis asse og lenge til et lite eleent på linja Koorinatene til assesenteret er a gitt ve = = s s = L L og Y = = s s = L L er vi integrerer langs hele linja Vi kan finne lengen L av et krut linjestkke på flere åter, feks slik: Derso f Derso f =, er s = + =, er s = + Ett av isse uttrkkene setter vi inn i integralene for assesenteret Eksepel : Beregn koorinatene til assesenteret til grafen til =,
Løsning: Fsikk for ingeniører 5 Bevegelsesenge og assesenter Sie 5 - = = slik at Da blir ( ) s = + = + = + = ln 7 7 66 = L = s = + = + + = L = L L = s = + = 7 7 9 = Y = L s = + = L ( 6 6 ) = 7 ln 7 + L På grafen er assesenteret tegnet inn e en liten ring Merk at assesenteret ikke ligger på selve linja Du kan visualisere assesenteret slik: Tenk eg at linja spenner ut en asseløs ebran Denne ebranen kan nå balansere på en spiss so plasseres i assesenteret Oppgave 5 Oppeling i el-legeer I grunnteksten har jeg vist hvoran vi kan ele opp et saensatt legee i kjente ellegeer, og eretter finne assesenteret til et saensatte legeet ve å oppfatte hver el so o et var en partikkel Vi kan føre et tilsvarene resonneent erso vi fjerner en bit fra et legee Anta at er assen og er assesenteret til et legee so frakoer når vi fjerner et stkke e asse og assesenter r fra et legee e asse og assesenter r Da får vi at = ( r r ) I neste eksepel skal vi illustrere bruken av enne forelen Eksepel 5: Ei skive består av et rektangel e siekanter og, er et kvaratisk hjørne e siekant er fjernet Se figuren til venstre Finn assesenteret til skiva Løsning: Jeg skal løse oppgaven på to åter Først eler jeg skiva inn i to eler slik en stiplee linja på figuren viser ele skiva har areal A = = Derso hele skiva har asse, blir tettheten (so oppgis i kg/ )
Fsikk for ingeniører 5 Bevegelsesenge og assesenter Sie 5-9 ρ = = A Nere el får assen = ρ ( ) = 6 = 7 og øvre el får assen = ρ ( 6 ) = = 7 ver av elene har assesenter it i Av figuren ser vi at r = i+ j og r = i+ j Da blir assesenteret gitt ve = ( r + r ) = ( i+ j) + ( i+ j) 7 7 5 = ( 6 i+ j+ 9 i+ 9 j) = i+ j 7 7 7 Så skal jeg løse probleet ve å ta utgangspunkt i rektangelet, og fjerne biraget fra et lille kvaratet vis vi kaller rektangelets asse og assesenter for og r, og kvaratets asse og assesenter for K og r K, kan vi sette opp (se figuren, og kontroller assesentrene til rektangelet og til kvaratet): = r KrK = ( ) ( i+ j) ( ) ( 7 i+ j) 5 = ( i+ j) ( 7 i+ j) = i+ j 7 7 7 7 Og ette er sae resultat so før Oppgave 6 Oppgaver e løsninger 6 Oppgaver Oppgave a) Vi har gitt funksjonen = f =, Beregn assesenteret til et oreiningslegeet so frakoer når: ) Flata so avgrenses av grafen til f og en rette linja = roterer en gang o -aksen ) Flata so avgrenses av grafen til f og en rette linja = roterer en gang o -aksen b) Ei flate avgrenses av -aksen og grafen til funksjonen
Fsikk for ingeniører 5 Bevegelsesenge og assesenter Sie 5 - når < = f = når Beregn assesenteret til et oreiningslegeet so frakoer når enne flata roterer en gang o -aksen Oppgave a) Grafen til funksjonen = f =+, blir en halvsirkel e raius Finn assesenteret til en flata so avgrenses av halvsirkelen og -aksen ) Ei flate avgrenses av -aksen, en rette linja = og grafen til funksjonen = f = e Finn assesenteret til enne flata Oppgave Grafen til funksjonen = f =+, blir en halvsirkel e raius Finn assesenteret til enne grafen Oppgave Ei jantkk, hoogen skive har raius Vi klipper ut et sirkelforet hull e raius r = slik at sentru i hullet ligger en avstan fra skivas sentru Se figuren til venstre vor er assesenteret til skiva etter at hullet ble klipt ut? 6 Løsninger Oppgave a) 6 Grafen til = f = er tegnet til venstre Ve rotasjon o - aksen blir åpenbart Y =, ens ( ) ( ) = π = = = = = π = 5 5 5 5 5 5 5 6 = = = = 5
Fsikk for ingeniører 5 Bevegelsesenge og assesenter Sie 5 - Ve rotasjon o -aksen å vi integrere i -retningen Litt forarbei å til: = = Viere ser vi at, og at = = = = = Det er åpenbart at =, ens Y 7 ( ) = 7 π = = = = = = 7 π = 7 7 = = 7 7 7 = = = = = 7 7 5 b) 5 6 7 Grafen til funksjonen når < = f = når er illustrert til venstre Det er åpenbart at ve rotasjon o -aksen blir Y = Viere blir ( ) = = π = + = = = π ( ) = + = ( 6 ) = = + 6 + + + 6 + + 6 + + = = = ( ) + ( + ) ( + 6 6 ) ( ) + ( 6 + ) ( 6 + ) = = 5 Oppgave a) 5 - -5 5 Til venstre ser u halvsirkelen tegnet e = Massesenteret er også tegnet inn so en liten sirkel Det er åpenbart at = For å finne Y, legger jeg stripene vertikalt på vanlig åte, og bentter at arealet av en halvsirkel er A= π Da blir
Fsikk for ingeniører 5 Bevegelsesenge og assesenter Sie 5 - Y = ( ) = =+ A = π = ( ) π = π = (( ) ( ( ) ( ) )) = = π π π b) Grafen til funksjonen = f = e er illustrert til venstre saen e linja = Grafene skjærer hveranre når e = = ln Beregner først arealet: ln ln ln A = e = ln e = e + e = ln + = ln er er et enklest å beregne ve å legge stripene vertikalt på vanlig åte Da blir ln ln = ( e ) ( ) e A = ln ln = (( ( ln ) ( ln ) e ) ( ( ) e )) ln ( ) ln ln + = ln ln + = 5 ln ln Uner veis har jeg benttet at u v' u' e = e e = e e + C = ( ) e + C For å finne Y, er et kanskje lettest å legge stripene horisontalt Da får vi at = e = ln, slik at Y = = ( ) ln ln A = = = ln ln = ( ) ln ln ln 5 ln = ( ln + ) = ln ln Uner veis har jeg benttet at u' v u v u v ' v ln = ln = ln = ln + C På figuren er assesenteret tegnet inn so en liten ring
Oppgave 5 - -5 5 slik at Fsikk for ingeniører 5 Bevegelsesenge og assesenter Sie 5 - Til venstre ser u halvsirkelen tegnet e = Massesenteret er også tegnet inn so en liten sirkel Det er åpenbart at = For å finne Y, bentter jeg at når = = u = u er u =, blir ' = u ( ) = =, u s = + ( ') = + = + + = = Viere bentter jeg at lengen av halvsirkel-grafen blir L = π = π Da blir =+ Y = s = = = ( ( ) ) = L = π π π π Oppgave Plasserer skiva i et koorinatsste slik figuren viser Det er åpenbart at assesenteret å ligge på -aksen slik at Y = Lar skiva ha tetthet ρ Da har en store skiva asse M = ρ π og assesenter i (, ) Den bortklipte skiva har asse = = = og assesenter i ( r, ) (,) ρ πr ρ π ρπ = Da blir M ρπ ρπ = ( ) = = = 6 M ρπ ρπ ρπ