Bjørn Davidsen MATEMATIKK FOR INGENIØRER. Integrasjon med anvendelser

Transkript

1 Bjørn Davidsen MATEMATIKK FOR INGENIØRER Integrasjon med anvendelser

2 Integrasjon med anvendelser Side Innhold: FORORD INTEGRASJON DE GRUNNLEGGENDE DEFINISJONENE GRUNNLEGGENDE INTEGRASJONSREGLER 6 Generelle regler for bestemte integral 6 Generelle regler for ubestemte integral 7 Integrasjon av enkle funksjoner 7 SUBSTITUSJON INTEGRASJON MED DELBRØKOPPSPALTING 5 DELVIS INTEGRASJON 8 6 MER AVANSERTE INTEGRASJONSTEKNIKKER 6 Integrasjon av rasjonale funksjoner 6 Integralet kan løses av en likning 6 Trigonometriske integral 6 Trigonometrisk substitusjon 6 7 UEGENTLIGE INTEGRAL 7 7 Integral der en integrasjonsgrense går mot uendelig 8 7 Integral der integranden går mot uendelig 9 8 NUMERISK INTEGRASJON 8 Innledning 8 Rektangel-metoden 8 Trapes-metoden 8 Simpsons formel BRUK AV INTEGRASJON AREALBEREGNING VOLUMBEREGNING 8 Skivemetoden 8 SYLINDERSKALL-METODEN BEREGNING AV BUELENGDE 6 AREAL AV ROTASJONSFLATER 8 Rotasjon om -aksen 9 Rotasjon om -aksen 5 5 BEREGNING AV MASSESENTER 5 5 Definisjoner 5 5 Masesenter for rotasjons-smmetriske legemer 5 5 Massesenter for plane legemer 5 5 MASSESENTER FOR KRUMME LINJER OPPDELING I DEL-LEGEMER 58 6 BEREGNING AV TREGHETSMOMENT 6 6 Definisjoner 6 6 Treghetsmomentet for en linje i et plan 6 6 Treghetsmoment for plant legeme 6 6 Treghetsmoment for rotasjonssmmetrisk legeme 6 65 Sammensatte legemer Steiners setning (parallellakse-setningen) 69

3 Integrasjon med anvendelser Side BLANDEDE OPPGAVER 7 OPPGAVER 7 LØSNINGER 77 TILLEGG 95 Utledning av Simpsons formel 95 Bevis for Steiners setning 96 5 SMÅOPPGAVER I TEKSTEN 97 5 OPPGAVER 97 5 LØSNING PÅ SMÅOPPGAVER 6

4 Integrasjon med anvendelser Side Forord Kjære student! Ved siden av derivasjon er integrasjon den matematiske disiplinen som du får mest ntte av i ditt ingeniørstudium Du bentter integrasjon til å beregne areal, volumer, massesenter, treghetsmoment og mange andre størrelser som du trenger i fag som fsikk, mekanikk osv Dessuten må du beherske integrasjon når du løser differensiallikninger Nå sies det at mens derivasjon er handverk, er integrasjon en kunst Som alle andre kunstarter baserer integrasjon seg på et sett grunnleggende regler Men deretter kreves det både fantasi og kreativitet for å lkkes når du skal brne deg på vanskelige integral I mange tilfeller fins det flere metoder som fører til målet Da bør du ha litt erfaring for å velge den metoden som er raskest og sikrest Første del av dette heftet er viet integrasjonsteknikker Selv om det i dag fins dataverktø som kan løse integral, vil jeg sterkt anbefale at du driller integrasjonsteknikk for hand slik at du ser hvordan et integral skal løses når du senere treffer på et Andre del er viet noen av de mange anvendelsene Her har jeg lagt hovedvekten på å vise hvordan vi går fram for å sette opp de integralene som må løses Du må nemlig være svært forsiktig med å bruke formler fra formelsamlinger ukritisk Den eneste sikre veien mot suksess er å forstå hvordan integralene settes opp Til slutt har jeg tatt med en samling større oppgaver Mange av disse oppgavene inneholder flere problemer enn bare integrasjon De kan derfor oppfattes som en oppsummering av hele funksjonslæra Jeg vil derfor sterkt anbefale at du løser flest mulig av disse oppgavene Med hilsen Bjørn Davidsen

5 Integrasjon Integrasjon med anvendelser Side De grunnleggende definisjonene La oss starte med følgende problem: Gitt en kontinuerlig funksjon = f ( ) der f ( ) for [ a, b] Beregn arealet A som er avgrenset av grafen til f, -aksen, og de to vertikale linjene = a og = b Vi kan finne en tilnærmet verdi for arealet A ved følgende prosedre (se figuren til høre): Del opp -aksen i n korte stkker med lengder,,, k,, n * La k være en vilkårlig -verdi i k Konstruer n rektangler der rektangel k har grunnlinje f * k og høde ( k ) Arealet av dette rektangelet er ( *) f ( ) a * * k * b f k k k Summen av arealene av alle de n rektanglene er da tilnærmet lik arealet A: * ( k ) n k k = A f Det er innlsende at jo smalere rektanglene er, jo bedre er tilnærmelsen Det er nå rimelig å anta at dersom vi lar n samtidig som alle strekningene k går mot null, vil summen ovenfor konvergere mot A Mer inngående undersøkelser (som er alt for omfattende til at vi skal gjennomføre dem) viser at vår antakelse er korrekt Denne grensen for summen kalles integralet av f fra a til b, og skrives b f a Vi har altså at Integralet av f fra a til b er b n f ( ) = lim f ( k *) k a n k = k Foreløpig har vi bare definert hva vi mener med et integral Men hvordan beregner vi et integral? variabel, og vil skal la Nok en gang skal vi vende tilbake til arealet som vi definerte i innledningen Men nå skal vi la t være fri A være arealet som avgrenses av t-aksen, grafen til f, og de to rette linjene t = a og t = der > a Se figuren til høre A() A a b t Vi lar nå øke med en liten størrelse Da vil arealet øke med en liten størrelse

6 Integrasjon med anvendelser Side 5 A A f ( ) f ( ) Hvis vi nå lar, skjer to ting Først bentter vi definisjonen av derivert til å sette at A da( ) lim = Dernest er det rimelig å anta at når, kan erstattes av = Også her viser en nærmere undersøkelse at denne antakelsen er korrekt Følgelig har vi at A da( ) lim = = f ( ) Vi har altså vist den fundamentale sammenhengen: Når A( ) = f t dt, er a da ( ) = f Med andre ord: for å finne arealet, trenger vi bare å finne en eller annen funksjon A( ) som er slik at da( ) = f ( ) Men det er en liten komplikasjon: Du kan legge til en vilkårlig konstant til A( ), og få den samme funksjonen f fordi konstanten faller bort ved derivasjonen Dette problemet løses ved å innføre en vilkårlig funksjon F( ) som er slik at df ( ) = f ( ) Da er A( ) = F( ) + C Men av figuren er det opplagt at når = a blir arealet lik null, slik at A( a) = F( a) + C = C = F( a) Dermed har vi at A( ) = F( ) F( a) Nå lar vi øvre grense være b istedenfor, og gjeninnfører som fri variabel Da har vi at: Gitt en funksjon f der f ( ) når [ ab, ] Det arealet som avgrenses av grafen til f, -aksen, og de vertikale linjene b f ( ) = F ( b ) F ( a ) a der F er en vilkårlig funksjon som er slik at df ( ) = f ( ) = a og = b, er

7 Integrasjon med anvendelser Side 6 Nå viser det seg at vi har bruk for slike beregninger til me annet enn den arealberegningen som vi innledet med Vi definerer derfor: Gitt en funksjon = f ( ) Det ubestemte integralet av f er f ( ) = F ( ) der df ( ) = f ( ) F er en vilkårlig funksjon som er slik at Det bestemte integralet av f er b b f ( ) = F ( ) = F ( b ) F ( a ) a a Eksempel : Bestem arealet som avgrenses av -aksen, grafen til = f ( ) =, og linjene = og = Løsning: Vi må først finne en funksjon F( ) som er slik at df ( ) = f ( ) = Vi ser at enhver funksjon av tpen F( ) = + C der C er en konstant tilfredsstiller dette kravet Da er arealet bestemt ved A = = F ( ) F ( ) = ( + C) ( + C ) = 8 = 6 = f = Grunnleggende integrasjonsregler På grunnlag av definisjonene ovenfor kan vi sette opp mange integrasjonsregler La oss ta dem i sstematisk rekkefølge Generelle regler for bestemte integral Av definisjonen på bestemt integral som grense for en sum virker reglene nedenfor ganske innlsende: b a a = f f b = + b c b f f f når a< c< b a a c

8 Integrasjon med anvendelser Side 7 Generelle regler for ubestemte integral Den teknikken vi bentter for å beregne et ubestemt integral, kan brukes til å vise at reglene nedenfor gjelder: La c være en konstant, mens f og g er to funksjoner Da gjelder: c f = c f ( + ) = + f g f g Integrasjon av enkle funksjoner df der opp disse integrasjonsreglene: Siden f ( ) = F ( ) ( ) = f, kan vi bruke kjente derivasjonsregler til å sette n + = ln + C e e = + C n n+ = + C når sin = cos + C cos = sin + C arctan = + + C = arcsin + C n Den første av disse reglene gjelder for alle verdier av n unntatt for n = Eksempel b) og c) nedenfor viser to viktige anvendelser av denne regelen Eksempel : Beregn integralene nedenfor: a) ( + ) b) c) d) ( + )

9 Integrasjon med anvendelser Side 8 Løsning: a) ( + ) = [ ] + = + = ( ) ( ) + ( ) = = 6 = = = = = = + + b) c) + ( ) ( ) ( 8 ) = = = = = = + d) = = + + = + + [ ] [ ln ] ( ) ( ) ( ln ln) = + + = + + = + + ln = + ln 7 Oppgave Vi avslutter denne innledningen der vi startet: Vi beregner areal Eksempel : Beregn arealet som avgrenses av grafen til f og -aksen når: a) f ( ) = f b) når < = når Løsning: a) Vi starter med å tegne grafen til f: f() Vi må finne skjæringspunktene med - aksen: f = = = = = noe som også stemmer med grafen Da blir arealet: ( ) A = = [ ] = = = =

10 b) Vi starter med å tegne grafen til f: Integrasjon med anvendelser Side 9 6 Grafen skjærer -aksen når = Den skjærer også -aksen når = = 6 noe som stemmer med grafen Videre har vi et knekkpunkt når = Da blir arealet: A = f = + = + = = + = 6 Oppgave Du kommer ikke langt med bare de reglene vi har sett på hittil I tillegg må du kunne noen viktige integrasjonsteknikker: Substitusjon er et knippe med beslektede teknikker, der hovedpoenget er at integrasjonsvariabelen bttes ut med en annen variabel eller funksjon som gir et integral som er lettere å hanskes med Delbrøkoppspalting er en standard teknikk når vi skal integrere en brøkfunksjon Delvis integrasjon kan benttes når integranden er et produkt av to faktorer Hvis vi er heldige og dktige, kan vi da skaffe oss et annet integral som er enklere enn det opprinnelige Det fins en mengde varianter av diss teknikkene Noen ganger kan flere teknikker føre til målet Det er imidlertid mer vanlig at du må løse problemene i flere trinn, der du bentter flere teknikker etter tur for å omforme kompliserte integral til stadig enklere integral som du til slutt klarer å løse I dag har vi dataverktø til disposisjon som kan beregne integral Behovet for å kunne beregne kompliserte integral er derfor mindre enn før Men det er likevel nttig å beherske teknikken Du bør derfor se på et lite avsnitt om mer avanserte integrasjonsteknikker Noen ganger kommer du bort i problemer der en eller begge grensene går mot uendelig, eller problemer der integranden selv går mot uendelig Slike problemer kalles gjerne uegentlige integral, og du bør vite hvordan du skal gå fram for å løse dem I de fleste tilfellene fins det ingen standard metoder som med sikkerhet fører til målet Du må forene erfaring og kreativitet for å løse integral som ikke lar seg løse direkte Noen har sagt at mens derivasjon er ren teknikk, så er integrasjon kunst Når du behersker mest mulig av denne kunsten, kan du se på et lite utvalg anvendelser av integrasjon Selv om du blir aldri så flink til å integrere, må du nok innse at det fins noen integral som ikke lar seg løse eksakt Da kan du få tilnærmede løsninger av bestemte integral ved å bentte numerisk integrasjon Slike metoder må også benttes dersom du ikke kjenner integranden som en funksjon, men bare kjenner punkter på funksjonsgrafen

11 Substitusjon Integrasjon med anvendelser Side I utgangspunktet er dette kjerneregelen anvendt på integraler Hovedpoenget er at vi ser etter en kjerne u( ) som er slik at integranden blir en funksjon av u etter at er erstattet med du Denne erstatningen gjøres vanligvis ved å sette du u '( ) = = du u '( ) Hvis vi nå får et uttrkk som kan integreres, er vi (nesten) i mål Eksempel : Beregn integralene nedenfor: a) sin ( ) b) e c) d) + e) sin cos f) + Løsning: a) Vi ser at når vi deriverer får vi Vi prøver derfor kjernen du u( ) = u '( ) = = = du Integralet kan nå skrives sin( ) = sinu du = cos u + C = cos( ) + C b) Vi ser at når vi deriverer får vi du u = u ' = du = = Integralet kan nå skrives e = e c) Vi ser at når vi deriverer kjernen, og -en har vi bruk for Vi prøver derfor kjernen u u u ( du ) = e du e C e C = + = + får vi, og -en har vi bruk for Vi prøver derfor du u = u ' = du = = Integralet kan nå skrives = du = du ln u C ln C u = + = + u

12 d) Vi ser at når vi deriverer kjernen Integrasjon med anvendelser Side + får vi, og -en har vi bruk for Vi prøver derfor du u = + u ' = du = = Integralet kan nå skrives + = u = = = u + C = u + C = + + C + + du udu u du ( ) e) Her merker vi oss at når vi deriverer sin får vi cos som inngår i integranden Vi prøver derfor kjernen du u( ) = sin u '( ) = cos du = = cos Integralet blir nå sin cos = u cos cos du = u + C = sin + C f) Dette minner litt om integrasjonsformelen som gir arctan : arctan = + + C Men for å kunne bruke denne formelen, må vi skaffe oss et -tall som konstantledd i nevneren Det gjør vi slik: = = Nå prøver vi du u( ) = u '( ) = = = du Integralet blir nå = = u du = arctan u + C = arctan ( ) + C Du kommer ofte bort i integraler av samme tpe som i Eksempel a) ovenfor Det kan derfor være nttig å løse dem en gang for alle Da får vi reglene nedenfor, som du sikkert klarer å bevise selv ved å bentte samme framgangsmåte som i Eksempel a): Når a er en konstant, blir sin cos cos a = a + C sin a a a = a + C a a e = e + C a

13 Oppgave Integrasjon med anvendelser Side Da vi løste integralene i Eksempel, erstattet vi kjernen u med den opprinnelige variabelen i sluttsvaret Men når vi skal beregne bestemte integral, er dette ikke nødvendig Det er ofte enklere å endre grensene for integrasjonen samtidig som vi innfører den ne integrasjonsvariabelen u Eksemplene nedenfor viser hvordan vi går fram Eksempel : Beregn disse bestemte integralene: a) + (se Eksempel d) b) sin cos (se Eksempel e) Løsning: a) Vi løste integralet ved å innføre kjernen u( ) = +, og fant at + = u du = u + C Istedenfor å gjeninnføre i dette svaret før vi setter inn grensene, kan vi bentte at når = er u = + =, og når = er u = + = 5 Da blir 5 5 udu u + = ( 5 ) ( 5 5 ) = = = Dette et lettere enn å bentte at ( + = + ) = ( ( + ) ( + ) ) = ( 5 ) = ( 5 5 ) b) Vi løste integralet ved å innføre kjernen u( ) = sin, og fant at sin cos = u du = u + C Istedenfor å gjeninnføre i dette svaret før vi setter inn grensene, kan vi bentte at når = er u = sin =, og når = er u = sin ( ) = Da blir sin cos = u du = u = ( ) = Dette et lettere enn å bentte at ( ) sin cos sin = sin sin = = = Oppgave I integrasjonsformelen for (og i eksempel c ovenfor) har vi satt inn et absoluttverditegn i løsningen: = ln + C

14 Integrasjon med anvendelser Side I neste avsnitt om integrasjon med delbrøkoppspalting får vi bruk for en mer generell formel: = ln a + C a Vi skal nå utlede denne formelen og forklare hvor absoluttverditegnet kommer fra Anta først at a > Da substituerer vi u = a = du slik at integralet blir = du = lnu + C = ln ( a) + C a u Så antar vi at a < Vi substituerer u = a (merk at u blir positiv) Da blir = du slik at = = du = lnu + C = ln ( a ) + C a a u Men ( a) blir positiv når a < Samler vi resultatene får vi at = ln a + C a Integrasjon med delbrøkoppspalting Vi skal nå bentte den setningen vi utledet nettopp: = ln a + C a Du behersker sikkert så pass me brøkregning at du ser at ( + ) ( ) + + = = = + ( )( + ) + Dermed har du alt du trenger til å løse integralet i eksemplet nedenfor: Eksempel : Beregn integralet Løsning: Du vet allerede at = + Da blir

15 Integrasjon med anvendelser Side = = + + = ln ln + + C = ln + C + I eksemplet ovenfor var vi heldige fordi den opprinnelige integranden allerede var spaltet opp i delbrøker Vanligvis er vi ikke så heldige Vi må da t til delbrøkoppspalting, som er gjennomgått i heftet om "forkunnskaper" Eksempel : Beregn integralet Løsning: Vi merker oss først at substitusjon ikke fører fram fordi den naturlige kjernen u( ) = gir du = som ikke passer inn i integralet Vi bentter derfor at = ( + )( ), og spalter integranden i delbrøker slik: A B A( ) + B( + ) = = + = ( A+ B) + ( A+ B) A A + B + B = = ( + )( ) + Men dette er egentlig en identitet som skal være oppflt for alle verdier av Det er kun mulig dersom teller-polnomene er identiske Dette gir likningene A+ B = A+ B = Dette likningssstemet løses enkelt ved å legge sammen likningene Da får vi B = B = Fra den øverste likningen får vi nå A+ B = A= B = slik at = = + ( + )( ) + Nå er vi klare til å integrere: = + = ln + + ln + C = ln + C + + I avsnittet om delbrøkoppspalting i heftet om "forkunnskaper" er det demonstrert en snarvei som kan benttes når nevneren kan faktoriseres i forskjellige reelle førstegradsfaktorer, og som kunne spart oss for litt arbeid i eksemplet ovenfor Denne snarveien kan dessverre ikke hjelpe oss i eksemplene nedenfor

16 Integrasjon med anvendelser Side 5 Oppgave Hvis nevneren inneholder en gjentatt førstegradsfaktor, kan delbrøkoppspaltingen foretas på flere måter Jeg vil imidlertid anbefale den metoden som er vist i neste eksempel: Eksempel : Beregn integralet + Løsning: Her gjentas faktoren ( ) to ganger Det gunstigste er da å bentte delbrøkoppspaltingen nedenfor: + A B C A + B + C + + ( ) ( ) A A + A + B + C C A+ C + A+ B C + A ( ) Siden dette er en identitet, må vi ha A + C = A+ B C = A = Her nøster vi raskt opp løsningen, og finner A =, C = A=, B = C + A= Dermed blir + = + = ln ln + C = ln + C Integralet i midten løses med substitusjonen u = = du : + = du = u du = u + C = u + C = + C u + Når nevneren inneholder andregradsfaktorer som ikke kan faktoriseres videre til reelle førstegradsfaktorer, lar vi telleren i delbrøken være et førstegradspolnom: Eksempel : Beregn integralet + Løsning: Faktoren + kan ikke faktoriseres videre til reelle førstegradsfaktorer Vi bentter derfor en delbrøk der telleren er et førstegradspolnom i :

17 Integrasjon med anvendelser Side 6 ( ) A + + B + C A + B + C + A A B + C Siden dette er en identitet, må vi ha A+ B = C = A = A og C er allerede kjent Deretter blir B = A= Delbrøkoppspaltingen blir da + = som gir = + + ( + ) + + ln ln ( ) arctan = C Integralet i midten løses med substitusjonen du du u = + = = : = + du du = = ln u + C = ln ( + ) + C u u der absoluttverditegnene kan sløfes fordi + alltid er positiv Vi tar et større eksempel til slutt: Eksempel 5: Beregn integralet Løsning: Vi faktoriserer først nevneren i reelle faktorer: = = + = + + Vi prøver derfor delbrøkoppspaltingen nedenfor: A + B C D = Så setter vi høre side av likhetstegnet på fellesnevner Vi får:

18 Integrasjon med anvendelser Side 7 ( A+ B)( ) + C( + )( ) + D( + )( + ) A + B C D = + + = = = A A B B C C C C D D D D ( + )( + )( ) ( A+ C + D) + ( B C + D) + ( A+ C + D) + ( B C + D) ( + )( + )( ) For at dette skal være en identitet, må vi kreve at A + C + D = B C + D = A + C + D = B C + D = Slike likningssett løses vanligvis lettest med matrisemetoder, som er omtalt i et annet hefte Men her ser vi at dersom vi legger samme alle likningene, får vi D = D = Legger vi sammen og likning, får vi C + D = C = D = Da gir likning A= C D = = mens likning gir B = C D = = Hele delbrøkoppspaltingen blir da A + B C D = + + = Nå er vi klare til å integrere: = = ln + + ln + + ln + C = ln ( + ) + ln + C = ln + C + Det første integralet beregnet vi med substitusjonen du u( ) = + u '( ) = du = = Da blir = + ln ln u = u + C = + + C Oppgave

19 Integrasjon med anvendelser Side 8 5 Delvis integrasjon Dette er en integrasjonsteknikk som kan benttes når integranden er et produkt av to faktorer, der den ene faktoren kan oppfattes som den deriverte av en kjent funksjon Da gjelder: = ' u' v u v u v Utledning: Vi tar utgangspunkt i den kjente derivasjonsformelen for et produkt: ( u v) ' = u' v+ u v' u' v = ( u v) ' u v' der det er underforstått at u og v er funksjoner av Denne derivasjonsregelen integreres, samtidig som vi bentter at ( u v)' = u v Da får vi regelen i ramma ovenfor Når vi ønsker å bruke denne regelen, ser vi om integranden inneholder en faktor som er den deriverte av en kjent funksjon u( ), samtidig som produktet u( ) v' ( ) lar seg integrere Eksemplene nedenfor viser framgangsmåten Eksempel 5: Beregn disse integralene: a) e b) sin c) ln Løsning: a) Her lønner det seg å velge u( ) og v( ) slik: u '( ) = e u( ) = e = e v( ) = v' ( ) = Da får vi: v u' v u v' u e = e e = e e + C b) Her lønner det seg å velge = ' = u' = sin u = sin = cos v v Da får vi: v u' v u v' sin = cos cos = cos + cos = cos + sin + C u

20 Integrasjon med anvendelser Side 9 c) Her er integranden tilsnelatende ikke noe produkt Men hvis vi oppfatter integralet slik: ln = ln får vi et produkt Da velger vi: ' = = u = u = = v ln v' Da får vi: u' v u v u v ' ln = ln = ln = ln + C Noen ganger må vi bruke teknikken flere ganger etter hverandre slik eksemplet nedenfor viser Eksemplet viser også at når vi har et bestemt integral, løser vi først det ubestemte integralet fullt ut før vi setter inn grensene Eksempel 5: Beregn integralet cos Løsning: Her lønner det seg å velge u '( ) = cos u( ) = cos = sin v( ) = v' ( ) = Da får vi: v u' v u v' u cos = sin sin = sin sin Det siste integralet løses også med delvis integrasjon Dette er allerede gjort i del b) i forrige eksempel Vi setter inn resultatet derfra, og får cos = sin cos + sin + C = + sin cos sin C Så setter vi inn grensene Da kan vi se bort fra konstanten (mer presist: Når vi setter inn grensene, vil vi legge til og trekke fra konstanten) Resultatet blir: cos = sin + cos sin = sin + cos sin sin( ) cos( ) sin( ) = + = Oppgave 5 Nå som du har vært gjennom de grunnleggende teknikkene, bør du løse noen blandede oppgaver i Oppgave 5

21 Integrasjon med anvendelser Side 6 Mer avanserte integrasjonsteknikker Dersom du virkelig vil beherske integrasjon, må du nok kjenne til flere integrasjonsmetoder enn de vi har gått gjennom hittil Vi skal nå se på noen mer avanserte metoder Du vil imidlertid oppdage at det ikke er de store prinsipielle nhetene i dette avsnittet Det er stort sett ne anvendelser av allerede kjente teknikker 6 Integrasjon av rasjonale funksjoner Vi skal nå se nærmere på hvordan du går fram for å integrere funksjoner av tpen P( ) f ( ) = Q( ) Q er polnomer i der P( ) og Dersom P( ) har høere grad enn Q, foretar du først en polnomdivisjon (se heftet om "forkunnskaper") slik at du får et polnom pluss en brøk der telleren har lavere grad enn nevneren Deretter spaltes denne brøken opp i delbrøker Disse er vanligvis greie å integrere unntatt dersom du får andregradspolnom i nevneren som ikke lar seg faktorisere i reelle førstegradsfaktorer Vi skal derfor se på problem-integral av tpen + B A a + b + c La oss først anta at A =, slik at vi har integral av tpen B a + b + c Slike integral løses ved å bentte at arctan du = u u + + C Framgangsmåten er illustrert i eksemplet nedenfor Eksempel 6 Beregn integralet + Løsning: Vi merker oss at nevneren ikke kan faktoriseres i reelle førstegradsfaktorer Vi omformer da nevneren slik: + = ( + ) + 9 = ( ) + 9 Vårt første mål er nå å få et -tall som konstantledd i nevneren Integralet omformes derfor til = = = Nå substituerer vi du u = = = du Da blir ( 9 ) ( )

22 + Integrasjon med anvendelser Side = = du = arctan u + C u + = arctan + C Nå er det på tide å ta med førstegradsleddet i telleren, slik at integralet er av formen + B A a + b + c Hvis vi er riktig heldige, er telleren lik den deriverte av nevneren, eventuelt multiplisert med en konstant Dersom det er tilfelle, kan vi substituere u( ) = a + b + c, og hele integralet reduseres til du = ln u + C u Så heldig er vi vanligvis ikke Men kanskje vi kan trikse litt med telleren slik at vi blir så heldige? Eksemplet nedenfor viser hvordan vi kan gå fram Eksempel 6: Beregn integralet + + Løsning: Vi setter du u( ) = + = du = ( ) Dessverre står det ikke i telleren i integralet vårt Men det fikser vi fort: + = 8+ 9= ( ) + 9 Da blir + ( ) + 9 = = du = + 9 arctan + C u = ln ( + ) + arctan + C Under veis har vi benttet resultatet fra Eksempel 6 Oppgave 6 Vi avslutter med et skikkelig beist av et eksempel, der vi får bruk for alle våre teknikker: Eksempel 6: Beregn integralet

23 Integrasjon med anvendelser Side Løsning: Vi ser at telleren har høere grad enn nevneren Vi må derfor starte med en polnomdivisjon: 6 ( ) : ( + + ) = ( ) ( 8 ) 6 Så må den siste brøken delbrøkoppspaltes: ( + + ) + ( + ) 6 A B + C A B C = + = ( A+ B) + ( A+ C) + A = + + Dette gir likningene A + B = A + C = 6 A = Disse likningene nøstes opp nedenfra: A= A= A+ C = 6 C = 6 = A+ B = B = A= Dermed har vi at ( ) = Her er det bare det siste integralet som gir oss problemer Den naturlige substitusjonen er du u( ) = + + = + du = ( + ) Nå må vi trikse litt med telleren: = = + 8 = + slik at ( + ) = Det første av disse integralene løses nå direkte: ( + ) du = = ln u + C = ln ( + + ) + C + + u Det siste av disse integralene er mer plundrete Vi omformer først nevneren slik:

24 slik at Integrasjon med anvendelser Side ( + ) + ( 6 ) ( ) + + = = = 6 + = 6 + = = = ( + + ) ( ) arctan arctan ( + = u+ C = ) + C Her har vi substituert + du u( ) = = = du du u + Nå gjenstår det bare å samle trådene: = ( ) = ln + ln + + arctan + C = + ln arctan ( ) + C Oppgave 6 6 Integralet kan løses av en likning Noen ganger hender det at når vi prøver å løse et integral, ender vi opp med at det integralet vi skal løse, inngår i en likning Da finner vi integralet ved å løse likningen Nedenfor ser du et eksempel på en slik situasjon Eksempel 6: Beregn integralet e sin Løsning: Integranden er et produkt Da er det naturlig å prøve delvis integrasjon u = e u = e ' v = sin v' = cos u' v u v u v' e sin = e sin e cos Det gikk ikke i første omgang La oss prøve delvis integrasjon en gang til for å løse det gjenværende integralet: u = e u = e ' v = cos v' = sin u' v u v u v' e cos e cos e = sin = e cos + e sin

25 Integrasjon med anvendelser Side Fremdeles er vi ikke i mål Det ser faktisk ut som om vi går i ring og kommer tilbake til utgangspunktet Men se hva som skjer når vi setter sammen det vi har funnet hittil: e sin = e sin e cos ( ) = e sin e cos + e sin = e sin e cos e sin Men dette er jo en likning som vi kan løse e sin ut av! Vi samler begge integralleddene på venstre side og får e = e e e = e sin sin cos sin sin cos En integrasjonskonstant bør føes til etterpå Oppgave 6 6 Trigonometriske integral Integrasjon av trigonometriske funksjoner kan være nokså krevende Jeg skal nå røpe noen av de vanligste teknikkene Omforming av vanskelige integrander ved hjelp av trigonometriske identiteter er noe av det første vi prøver Da husker vi spesielt at sin + cos = og at cos = cos cos = + cos( ) eller cos = sin sin = cos( ) Identitetene for et produkt av sinus og cosinus kan også komme til ntte: sinu cosv = ( sin( u v) + sin( u+ v) ) cosu cosv = ( cos( u v) + cos( u+ v) ) sinu sin v = ( cos( u v) cos( u+ v) ) Du må imidlertid være forberedt på at slike integral må løses i flere trinn, og at du kan få bruk for substitusjoner av tpen u = sin du = cos og u = cos du = sin Eksempel 65: Løs disse integralene: a) b) cos sin

26 Integrasjon med anvendelser Side 5 c) sint dt Løsning: a) cos = + cos = + cos = + sin + C = + sin( ) + C b) sin = sin sin = sin cos = sin sin cos Det siste integralet løses med substitusjonen u = cos du = sin Da blir sin cos u du u C cos C = = + = + Dermed blir sin = sin sin cos = cos + cos + C Vi kunne også løst integralet slik: sin = sin sin = sin ( cos( ) ) = sin sin cos( ) = cos sin( ) + sin( + ) = cos ( sin( ) + sin( ) ) = cos ( cos cos( ) ) + C = cos + cos( ) + C Vi får tilsnelatende ikke samme svar med de to metodene Men ved å bentte at cos( ) = cos cos får vi cos + cos = cos + cos cos = cos + cos som er samme svar som før Dette illustrerer at et svar kan gis på flere tilsnelatende ulike måter sint sint dt dt dt sint sin t cos t Hensikten med å komplisere integralet på denne måten, er å kunne bruke substitusjonen u = cost du = sint dt Da blir sint du dt = dt du du sint = = = cos t u u ( u+ )( u ) Nå kan integranden delbrøkoppspaltes Jeg hopper over detaljer, men resultatet er cost du = ( ln ln ) ln du = u u + + C = + C u u u+ cost + c) = =

27 Integrasjon med anvendelser Side 6 Nå må vi huske at cost slik at cost + = cost + mens cost = cost Da blir cost cost dt = ln + C = ln + C sint cost + + cost cost cost cost = ln + C = ln + C = ln + C ( + cost)( cost) cos t sin t ( cost) cost = ln C ln C + = + sin t sint Oppgave 6 6 Trigonometrisk substitusjon Når vi har benttet substitusjon, har vi alltid plukket ut en kjerne u som er en funksjon av Men vi kan også gjøre det motsatt: La være en funksjon av en n variabel t! Ofte lar vi være en trigonometrisk funksjon, selv om vi nettopp har sett at trigonometriske integral kan være ekle å ha med å gjøre Metoden kalles derfor ofte trigonometrisk substitusjon Neste eksempel viser hvordan metoden kan virke Eksempel 66: Beregn integralene a) b) + Løsning: a) Vi prøver substitusjonen = ( t) = sint = cost dt = cost dt Da blir = sin t = cos t = cost Innsetting gir = cos t cos t dt = cos t dt Men dette integralet har vi nettopp løst i Eksempel 65a Vi henter resultatet derfra, og får = cos t dt = t + sin t + C Nå gjenstår det å gjeninnføre Vi bentter først at = sint t = arcsin Videre bentter vi at sin( t) = sint cost = sint sin t = Vi samler trådene, og får

28 Integrasjon med anvendelser Side 7 = t + sin t + C = arcsin + + C ( arcsin ) = + + C b) Her må vi bruke den trigonometriske substitusjonen = tan t Da blir t t t+ t + = tan t + = + = = = sin cos sin cos cos t cos t cos t cos t cos t Videre blir = = dt dt cos t cos t Vi setter alt dette inn i integralet, og får = dt = dt sin t cos t + sint cos t cos t Dette integralet har vi allerede løst i Eksempel 65c Vi henter resultatet derfra, og får cost = dt ln C = + + sint sint Neste problem er å gjeninnføre Da bentter vi at sin t cos t = tan t = = cos t = cos t cos t cos t Videre blir cos t + cos t = + cos t = cost = + sin t = cos t = = = sint = Dermed blir cost + + = dt ln C ln C ln C = + = + = + sint sint Oppgave 65 7 Uegentlige integral Hittil har vi kun tatt for oss integral der integrasjonsgrensene er endelige, samtidig som integranden også er endelig innenfor hele integrasjonsområdet Nå skal vi se på integral der integrasjonsgrensene går mot uendelig, og integral der integranden går mot uendelig Slike integral har på norsk fått det misvisende navnet uegentlige integral Det kan virke nærliggende å tro at integral må gå mot uendelig når integrasjonsgrensene går mot uendelig, eller når integranden selv går mot uendelig Men i noen situasjoner går faktisk slike integral mot en endelig verdi Vi sier at integralene konvergerer mot en endelig verdi Dersom slike integral ikke går mot en endelig verdi, sier vi at de divergerer

29 Integrasjon med anvendelser Side 8 Vi skal ta for oss disse situasjonene etter tur, og skal først se på integral der en eller begge integrasjonsgrensene går mot uendelig 7 Integral der en integrasjonsgrense går mot uendelig Integral av tpen a f skal oppfattes som b a lim f a b b Dette betr at vi først beregner det bestemte integralet på vanlig måte Deretter lar vi b På samme måte setter vi b b f ( ) = lim f ( ) a a a b Noen eksempler vil illustrere framgangsmåten Eksempel 7: Beregn disse integralene: a) e b) c) Løsning: a) e a a = lim e = lim e lim ( e e ) lim e a a a = = = = a a a Dette integraler konvergerer mot b) b b b + b = lim = lim = lim lim b b b = b + b = lim lim b = + = + = b b Dette integralet konvergerer mot = lim = lim ln = lim ln ln = lim ln b b c) ( ) ( b) ( b) b b b b Men når b vil ln b Det vil si at dette integralet divergerer

30 Integrasjon med anvendelser Side 9 Oppgave 7 7 Integral der integranden går mot uendelig Vi skal nå se på noen integral der integranden går mot uendelig når vi nærmer oss en av integrasjonsgrensene Dersom b b = lim a f når a +, setter vi f f + t a t a t b Dette innebærer at vi først beregner et bestemt integral på helt vanlig måte, og deretter lar vi f integrasjonsgrensen gå mot den verdien der På samme måte setter vi b a t = lim dersom f f t b f når b a a t b Eksempel 7: Beregn disse integralene: a) b) c) ln d) tan Løsning: a) Vi ser at + når Da blir + = lim = lim = lim lim + a a + a a + a = + a a + a ( a) ( a) = lim = lim = = + + a a Integralet konvergerer mot b) Vi ser at når + Da blir lim lim = lim lim lim + = a a a a + + a a a + + = = + = + a a Men vi ser at når a Det vil si at integralet divergerer a

31 c) Vi vet at ln når Integrasjon med anvendelser Side + Da blir [ ] ( a ) ( a ( a) a) ( a ( a) ) + + a a ( a ( a) ) ln = lim ln = lim ln = lim ln a ln a + a + a + + a a a = + lim ln + = lim ln + = lim ln + a Det ubestemte integralet er løst i avsnittet om delvis integrasjon Problemet er grenseverdien lim a ln a a ( ) som er et -uttrkk Denne grenseverdien har vi beregnet i kapitlet om L Hôpitals regel i derivasjons-heftet, og fant da at grenseverdien var lik null Alt i alt finner vi at ln = lim( a ln ( a) ) = = a Integralet konvergerer mot d) Vi vet at tan når b tan = lim tan Da blir Vi beregner først det ubestemte integralet: sin cos u tan = = du = ln u + C = ln cos + C der vi har benttet substitusjonen u = du = Da blir cos sin b b tan = lim tan = lim ln cos ( b) ( b) = lim ln cos + ln cos = lim ln cos + ln b b b ( b) = lim ln cos + Nå vet vi at når b vil cos b Da vil b ln cosb, og integralet divergerer Oppgave 7 8 Numerisk integrasjon 8 Innledning Integrasjonsteorien tok utgangspunkt i at vi kan dele et areal opp i tnne striper, og summere arealene av disse stripene De numeriske metodene vi skal se på, bgger på samme prinsipp Utgangspunktet kan være at vi ønsker å beregne arealet som avgrenses av grafen til en = f, -aksen, og linjene = a og = b, men at vi ikke klarer å beregne det funksjon ubestemte integralet f ( ) Vi deler da intervallet [, ] a b opp i n like store deler slik at vi

32 får = a,,,, i,, n =,, = f ( ),, f ( b) f i i Integrasjon med anvendelser Side = b Videre beregner vi funksjonsverdiene = f ( a), b = Utgangspunktet kan også være at vi ikke kjenner noe funksjonsuttrkk = f ( ), men at vi kjenner funksjonsverdiene a,,, i,, b for eksempel på grunnlag av målinger Planen vår er nå å finne et mest mulig nøaktig uttrkk for arealet av hver stripe, og deretter summere alle disse bidragene Vi skal se på metoder som gir stadig bedre nøaktighet uten særlig øking i regnearbeid: Rektangel-metoden, trapes-metoden, og Simpsons formel For alle tre metodene skal vi forutsette at -verdiene er gitt i en tabell som vist i eksemplet nedenfor Der bruker vi funksjonsverdiene til = for =, =,, = 8, = 9, i alt n = 8 intervaller som hvert har bredde = På denne måten kan vi sammenlikne resultatet med eksakt verdi, som er [ ] ( ) 5 = = = 9 = 7 = 7 Tabellverdier: a 8 Rektangel-metoden a 5 a 5 b b Prinsippet er at arealet deles opp i n like brede rektangler med bredde b a = n Summen av arealene av disse rektanglene er ( ) S = a n = a n b a = ( a n ) n Med tallene i vårt eksempel får vi 9 S = ( ) = 65 8 I formelen ovenfor har vi brukt i som høde til rektangel nr i Vi kunne like godt brukt i som høde til rektangel nr i Da ville formelen blitt S = n = ( n) b a = ( n ) n

33 Med tallene i vårt eksempel får vi da 9 S = ( ) = 85 8 Integrasjon med anvendelser Side Du ser at disse to formlene ikke gir samme resultat Vi kan forbedre resultatet ved å bruke gjennomsnittet av verdiene som de to formlene gir (se den eksakte verdien vi har funnet foran), eller ved å bruke en funksjonsverdi midt i rektangelet som høde til rektangelet I praksis bruker vi heller en av de bedre metodene som vi skal komme til nå 8 Trapes-metoden a 5 a 5 b b Vi bruker nå trapes istedenfor rektangler når vi skal finne tilnærmet verdi av arealene av hver stripe Arealet av trapes nr n er A= ( n+ + n), slik at det samlede arealet blir ( a ) ( ) ( ) ( n n ) ( n b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S = ( a n n n b ) = b a = n ( ) a n b Med tallene i vårt eksempel får vi nå 9 S = ( ) = 76 8 Og dette er en me bedre tilnærming enn vi fikk med rektangelmetoden Legg merke til hvordan summen i parentesen framkommer: Alle -verdiene multipliseres med, unntatt de to -verdiene i endepunktene som multipliseres med Dette er et eksempel på en vektet sum, der vekttallene er for ende-verdiene og ellers Trapesmetoden egner seg godt til regneark 8 Simpsons formel

34 Integrasjon med anvendelser Side Trapes-metoden gikk altså ut på at vi trakk rette linjer mellom nabo-punkter i grafen og beregnet arealet av stripene under disse rette linjene Se figuren over til venstre Simpsons formel framkommer ved at vi ser to nabo-striper under ett Vi får da tre punkter som vi bruker til å tilpasse en andregradsfunksjon Arealet under denne andregrads-grafen blir da som regel en meget god tilnærming til det virkelige arealet av stripeparet Så legger vi sammen arealene av alle disse stripeparene, og får etter en litt omstendelig utledning: Simpsons formel: Når intervallet fra = a til = b deles inn i n intervaller med lengde b a =, n er b b a f ( ) ( a n + n + b) a 6n Legg merke til at: Arealet deles i n striper (eller i n stripepar) Vekttallene er vekselvis og, unntatt i endepunktene der vekttallene er Med tallene i vårt eksempel får vi 9 S = ( ) = 7 6 Og dette er en svært god tilnærming til den eksakte verdien som er 7 Også Simpsons formel egner seg godt for regneark Eksempel 8: Figuren nedenfor viser et flfoto av et vann Du vil bestemme arealet av vannet, og måler strekninger fra bredd til bredd med meters mellomrom Bruk Simpsons formel til å beregne arealet av vannet 7, Løsning: Vi har 6 stripepar, slik at n = Med meters bredde av hver stripe, gir Simpsons formel 6 A = ( ) 6 = 567 8, 9, 5, 5,96, Oppgave 8, Oppgave 8

35 Bruk av integrasjon Integrasjon med anvendelser Side Ved siden av derivasjon er integrasjon et av de nttigste matematikk-redskapene vi har Vi skal nå se på noen av de mange tingene vi kan bruke integrasjon til Vi skal legge hovedvekten på hvordan vi setter opp integralene Noen brsomme integral skal vi løse med dataverktø Arealberegning Da vi utledet de grunnleggende reglene for integrasjon, tok vi utgangspunkt i arealberegning Vi sa at dersom en funksjon = f ( ) var positiv i intervallet a b, fant vi arealet A som avgrenses av grafen til f, linjene = a og = b, og -aksen ved å summere bidragene fra * * mange små striper som hver har areal Ai = f ( i ) i der i er en vilkårlig -verdi i intervallet i Det samlede arealet av alle stripene blir da = b = b * Ai = f ( i ) i = a = a Så lot vi bredden av stripene gå mot null, samtidig som antall striper går mot uendelig Da blir arealet A gitt ved i = a = b b * ( i ) i A = lim f = f Se figuren nedenfor * f ( i ) a * i a b i Vi skal nå videreføre disse ideene, og skal starte med å finne arealet som avgrenses av grafene g til to funksjoner f ( ) og * f ( i ) * g( i ) f * * ( i ) ( i ) f g a b g i * i Figuren over viser grafene til de to funksjonene f og g Merk at grafene skjærer hverandre i = a og i b f g i hele intervallet a b Arealet mellom grafene =, og at

36 tenkes nå delt opp i loddrette striper med bredde arealet av hver stripe gitt ved * * * Integrasjon med anvendelser Side 5 A = h = f g i i i i i i i og høde h( * ) ( * ) ( * i f i g i ) = Da er slik at det samlede arealet mellom grafene er b A = ( f ( ) g ( ) ) a Merk at resonnementet og formelen ovenfor gjelder selv om hele eller deler av arealet ligger under -aksen Når du skal løse oppgaver av denne tpen, må du alltid starte med å tegne en figur Tegn inn grafene til de to funksjonene, og bestem skjæringspunktene Den funksjon som har størst funksjonsverdi (øverste graf) svarer til f i arealformelen ovenfor, og den funksjonen som har minst funksjonsverdi svarer til g Resten er integrasjonsteknikk Eksempel : Beregn arealet som avgrenses av grafene til f ( ) = + og g = Løsning: Vi starter med å tegne opp grafene til de to funksjonene: f ( ) g Så finner vi skjæringspunktene mellom grafene: f = g + = 5 + = 5± 5 5± = = = Skjæringspunktene er altså = og = Av figuren ser vi at g ligger over f i hele intervallet Da blir arealet ( ) ( 5 ) ( ) ( ) ( ) A = g f = + = + = + = + + = Viktigheten av å tegne graf først, kan ikke understrekes kraftig nok Du må heller ikke stole blindt på formler for arealberegning, men må bruke sunn fornuft kombinert med figuren Dette illustreres av neste eksempel: Eksempel : Beregn arealet i første kvadrant som avgrenses av grafen til f ( ) =, -aksen, og den rette linja = Løsning: Figuren nedenfor til venstre viser at arealet vi er på jakt etter, er avgrenset av grafen til en funksjon g( ) =, -aksen, og grafen til f ( ) =

37 Integrasjon med anvendelser Side 6 Vi må starte med å finne skjæringspunktet mellom f ( ) og g( ) : = = ± Vi skal bruke verdien = Arealet blir 5 g( ) = ( ) ( ) ( ) A = g f = = = = 6 - f = Dersom vi ikke tegner graf først, er det fort gjort å tro at vi skal løse integralet Men hvis vi gjør det, får vi arealet under grafen til f, ikke arealet mellom denne grafen og linja = g( ) = Oppgave Standardmetoden går altså ut på å legge loddrette striper med bredde Men noen ganger kan det lønne seg å legge vannrette striper med bredde Dersom lengden av hver stripe er, og vi kjenner som funksjon av, får vi arealet ved å løse integralet b A = d a der a og b er henholdsvis nedre og øvre grense for integralet Vi skal som eksempel løse problemet i eksempel med denne teknikken Eksempel : Beregn arealet i første kvadrant som avgrenses av grafen til f ( ) =, - aksen, og den rette linja = ved å legge inn vannrette striper med bredde 5 - g( ) = f = Løsning: Vi skal nå finne arealet ved hjelp av b A = d, a se figuren til venstre Vi må da først finne som funksjon av Vi får = =+ der vi bentter at er positiv Da blir arealet + + A = d = d = = ( ) ( ) ( ) = = = = 6 Til slutt tar vi med et eksempel til, som også viser hvor viktig det er å tegne graf først Eksemplet viser også at du må bruke hodet når du løser slike oppgaver, ikke bare stole på standardformler

38 Integrasjon med anvendelser Side 7 Eksempel : Bestem arealet som avgrenses av -aksen og grafene til og f ( ) = g = + Løsning: Figuren blir slik: f ( ) g 6 8 Jeg skal løse oppgaven på to måter, først ved å legge inn de vanlige loddrette stripene med bredde, og deretter ved å legge inn vannrette striper med bredde Uansett metode må vi først beregne skjæringspunktet mellom de to grafene: + = + = + 6 = 5 ± ± = = = = Vi ser av figuren at = er den eneste brukbare løsningen Da er = =, som også stemmer med grafen Vi må også finne skjæringspunktene med -aksen Vi ser lett at grafen til f ( ) = skjærer -aksen når = g + = = Grafen til = + skjærer -aksen når 8 Når vi legger inn loddrette striper, må arealet deles inn i to deler Vi integrerer først f = = fra = til = Deretter integrerer vi g = + fra = til = 8 : ( ) + A = + + = + + = + + = = = 8 f() Arealet blir da = g f s g() 6 8 Når vi legger inn vannrette striper, må vi først finne uttrkt ved for begge funksjonene: f = = = f og g( ) = = 8 g + g = + Lengden av ei stripe i avstand fra -aksen blir s = = + 8 = A = s d = + d = + = + = g f f

39 Integrasjon med anvendelser Side 8 Oppgave Volumberegning Når vi skal bruke integrasjon til å beregne volumet V av et legeme, tenker vi oss at legemet deles opp i små biter på en slik måte at vi kan beregne volumet av hver bit Deretter finner vi volumet av hele legemet ved å summere bidragene fra hver bit: Videre tenker vi oss at hver bit gjøres mindre og mindre samtidig som antall biter stadig øker Da blir der vi integrerer over hele legemet Generelt vil slik integrasjon over et romlegeme kreve at vi løser et dobbelt- eller trippelintegral Dette skal vi ikke ta opp her Vi skal begrense oss til legemer som har spesiell form slik at vi kan klare oss med vanlige enkelt-integraler Vi skal spesielt ta for oss legemer som er rotasjons-smmetriske Skivemetoden Denne metoden går ut på at vi deler opp romlegemet i en stabel med svært tnne skiver, der hver skive har areal A og konstant tkkelse dh Volumet av hver skive blir da Samlet volum av hele romlegemet blir da Hvordan dette gjøres i praksis, avhenger av hvordan legemet er plassert i rommet og hvordan vi kutter legemet opp i skiver A) Rotasjonssmmetri om -aksen Figuren til venstre viser et legeme som framkommer ved at grafen til, linjene og roterer om -aksen Vi ønsker å finne volumet av dette legemet Det gjør vi ved å kutte det opp i skiver vinkelrett på -aksen slik figuren til venstre viser Arealet av en snittflate i avstand fra origo blir Skivene har tkkelse, som er svært liten Volumet av hver skive blir da tilnærmet Så finner vi volumet av hele legemet ved å summere bidragene fra alle de tnne skivene: Jo tnnere skivene er, jo bedre blir denne tilnærmelsen Når, blir

40 Integrasjon med anvendelser Side 9 Dette er den grunnleggende formelen for beregning av volum for et legeme som roterer om - aksen Eksempel : Beregn volumet av det legemet som framkommer når grafen til, roterer en gang om -aksen r = = sin ( ) ( ) Løsning: Volumet blir ( sin ) = sin, = = V = r = = Integrasjonen er foretatt med dataverktø Dersom integrasjonen skal utføres for hand, anbefales omformingen cos = sin sin = cos Eksempel : Beregn volumet av det legemet som framkommer når flata som avgrenses av = og g( ) = roterer en gang om -aksen f ( ) Løsning: = = - Ovenfor til venstre ser du grafene til f ( ) = og g( ) = Ovenfor til høre ser du en skisse av det rotasjonslegemet som framkommer, sammen med en av snittskivene Vi merker oss først at grafene skjærer hverandre når = = Det er kanskje mest naturlig å beregne volumet av den kalotten som dannes når grafen til f ( ) = roteres om -aksen, avgrenset av linja =, og deretter trekke fra det volumet g som fjernes inni kalotten når grafen til = roteres om -aksen Vi får da: 5 5 V = = = = = Men det Vi kan også resonnere slik: Snittskiva i avstand fra origo har tre radius R er et hull i skiva med radius r = Arealet av skiva (fratrukket arealet av hullet) blir da A R r R r = = = = Da blir volumet av legemet

41 Integrasjon med anvendelser Side Noen ganger blir vi bedt om å finne en formel for volumet av et gitt omdreiningslegeme Da må vi først plassere legemet på en fornuftig måte i koordinatsstemet slik neste eksempel viser Eksempel : Utled formelen for volumet av en rett kjegle med høde H og sirkulær grunnflate med radius R Løsning: Kjeglens volum blir da Vi tenker oss at kjeglen framkommer ved at den rette linja roterer en gang om -aksen slik figuren til venstre viser Ei snittflate vinkelrett på -aksen i avstand fra origo har da areal, slik at volumet av ei tnn skive med tkkelse blir Oppgave B) Rotasjonssmmetri om -aksen Vi bentter samme resonnement som ved rotasjonssmmetri om -aksen, men nå stabler vi skivene oppå hverandre Hver skive får tkkelse, mens radien i skiva blir Volumet av hver skive blir, slik at volumet av hele legemet blir Videre må vi sørge for at uttrkkes som en funksjon av : La oss illustrere metoden med et eksempel: Eksempel : Bestem volumet av det omdreiningslegemet som framkommer når grafen til, og linja roterer en gang rundt -aksen

42 Integrasjon med anvendelser Side Løsning: Situasjonen er illustrert nedenfor til venstre: Her er Ei skive med tkkelse i avstand fra -aksen har da volum slik at volumet av hele legemet blir der integrasjonen er utført med dataverktø Grensene for integralet blir og Oppgave C) Rotasjon om en akse parallell med en koordinat-akse Hvis du har forstått hvordan vi kutter opp rotasjonslegemer i skiver, og har vent deg til å lage gode figurer, vil du ganske sikkert også klare å beregne volumet av legemer som roterer om akser parallelle med koordinataksene Istedenfor å sette opp generelle formler, skal vi heller se på et par eksempler Eksempel 5: Ei flate avgrenses av grafen til, -aksen, og linja Finn volumet av det legemet som framkommer når denne flata roterer om linja Løsning: Figuren nedenfor illustrerer situasjonen: Vi kutter opp legemet i skiver med tkkelse vinkelrett på rotasjonsaksen Ei skive i avstand fra -aksen får da radius Volumet av ei slik skive blir Vi får øvre grense for integralet når Da blir Så tar vi et eksempel med rotasjon rundt en akse parallell med -aksen

43 Integrasjon med anvendelser Side Eksempel 6: Ei flate avgrenses av grafen til, -aksen, og linja Finn volumet av det legemet som framkommer når denne flata roterer om linja Løsning: Figuren nedenfor illustrerer situasjonen: Vi kutter opp legemet i skiver med tkkelse avstand fra -aksen får da radius vinkelrett på rotasjonsaksen Ei skive i fordi Volumet av ei slik skive blir Nedre grense for integralet er åpenbart lik null Vi finner øvre grense for integralet når grafen til skjærer linja, dvs når Volumet av hele legemet blir da Oppgave D) Mer generelle problemstillinger Hittil har alle legemene vært rotasjons-smmetriske, og snittene har vært lagt vinkelrett på rotasjonsaksen Men skivemetoden kan brukes i mer generelle situasjoner Da er det ikke alltid like innlsende hvordan snittene skal lagges Det illustreres av neste eksempel Eksempel 7: En kile skjæres ut av en rett slinder ved hjelp av to plan som danner en vinkel α med hverandre Slinderaksen står vinkelrett på det ene planet og vinkelrett på planenes skjæringslinje Finn volumet av kilen uttrkt ved vinkelen α og slinderens radius R Løsning: Situasjonen er illustrert på figuren til venstre Der ser du slinderen med de to snittplanene, som danner vinkelen α med hverandre Legg -aksen langs snittlinjen mellom planene, og - aksen vinkelrett på -aksen som vist på figuren Så legger vi snittplan vinkelrett på -aksen Trekanten ABC er et slikt snittplan Legg merke til at

44 Integrasjon med anvendelser Side Til venstre ser du grunnflaten i kilen, med snittlinja AB (der C ligger like over B) Et lite volumelement som har snittplanet ABC som grunnplan og tkkelse d er skravert Av figuren ser du at Arealet av trekanten blir da Denne trekanten er nå grunnflate i ei skive med tkkelse Volumet av hele kilen blir da Slinderskall-metoden Mens skivemetoden i prinsippet kan brukes på ethvert legeme, kan slinderskall-metoden kun brukes for rotasjons-smmetriske legemer Jeg skal illustrere ideen bak metoden i en relativt generell situasjon der vi har et legeme som er rotasjonssmmetrisk med -aksen som smmetriakse Vi starter med ei flate som avgrenses av grafene til to funksjoner og, og av de rette linjene og Se figuren til venstre Så merker vi av ei rett linje PQ i flata parallell med -aksen, og lar flata rotere om -aksen Da får vi den situasjonen som er skissert nedenfor Den rette linja PQ vil under rotasjonen danne en slinderflate med radius og høde der det er forutsatt at Arealet av denne slinderflata blir Så kommer poenget: Utenpå denne slinderflata legger vi et tnt sjikt (et slinderskall) med tkkelse Dette slinderskallet vil da få volum

45 Integrasjon med anvendelser Side Volumet av hele legemet blir da summen av volumene til alle slinderskallene I praksis vil vi erstatte med, og integrere fra det innerste skallet som har radius a til det tterste skallet som har radius b, og får at: Volumet blir b V = ( f ( ) g ( ) ) a La oss se hvordan dette fungerer i praksis Eksempel 8: Ei flate avgrenses av grafen til f ( ) =, -aksen og -aksen Finn volumet av det legemet som framkommer når denne flata roterer om -aksen Løsning: Situasjonen er illustrert nedenfor - - Vi ser at høden av slinderskallet blir h = f ( ) = Nedre grense for integrasjonen er åpenbart =, og øvre grense for integrasjon blir når f ( ) = = = Da blir volumet ( ) 8 V = h = = = = = Eksempel 9: Bruk slinderskall-metoden til å utlede formelen for volumet av ei kule med radius R Løsning: R Figuren viser at et slinderskall med radius har en høde h = = R Volumet av slinderskallet blir V = h = R = R Volumet av hele kula blir = R R = V = dv = R = R Integralet løses med substitusjonen u = R Oppgave

46 Så skal vi se et eksempel på rotasjon om -aksen Integrasjon med anvendelser Side 5 Eksempel : Ei flate avgrenses av -aksen og av grafene til funksjonene f ( ) = og g( ) = 6 Finn volumet av det legemet som framkommer når denne flata roterer om - aksen Løsning: 6 = = 6 6 Figuren til venstre viser grafene til de to funksjonene De to grafene skjærer hverandre når = 6 + 6= ± + ± 5 = = = Vi ser av figuren at vi må bruke = Da er = = = Så lar vi flata avgrenset av grafene og -aksen rotere om -aksen Da oppstår situasjonen nedenfor: Vi får nå liggende slindre med radius og lengder s = g f 6 der g ligger på grafen til = g( ) = og f ligger - - f = g = 6 s = g 6 Volumet av et slinderskall blir da f på grafen til = f ( ) = 6 Vi får at og V = s = 6 = = g = 6 = 6 f Da blir s = = 6 Volumet til hele legemet blir = V = V = 6 d = 6 d 5 5 = = = = g f g f Oppgave 5 Det er vanlig at volumberegninger kan utføres med både skive- og slinderskall-metoden når vi har rotasjonssmmetriske legemer For å illustrere dette, skal vi løse problemet i Eksempel 6 på ntt, men nå med slinderskall-metoden

47 Eksempel : Ei flate avgrenses av grafen til f ( ) Integrasjon med anvendelser Side 6 =, -aksen, og linja = Finn volumet av det legemet som framkommer når denne flata roterer om linja = Løsning: Figuren nedenfor illustrerer situasjonen: = = 8 Radien i slinderflata blir r =, mens høden blir = Da blir volumet av legemet = 5 = V = r h = = = = = = = = Jeg håper at disse eksemplene har overbevist deg om at slike problemer løses ikke ved å plukke fram en eller annen formel fra en formelsamling Du må forstå prinsippene bak metodene, og du må tegne en brukbar figur slik at du ser hvordan legemene ser ut Da først kan du sette opp de integralene som må til for å løse problemene Beregning av buelengde Vi stiller oss nå dette problemet: Hvor lang er grafen til en funksjon = f ( ) fra = a til = b? Situasjonen er vist nedenfor A a s = f ( ) ( ) B b Vi ønsker å finne lengden av grafen fra A til B Vi tenker oss at vi avsette mange punkter tett i tett på grafen Mellom punktene trekker vi korte, rette linjer Lengden av hver slik kort, rett linje kaller vi s Av figuren ser vi at ( ) ( ) s = + = + s = +

48 Så lar vi Da erstatter vi s med ds og Dette fører til at d Integrasjon med anvendelser Side 7 med, samtidig som lim = d ds = + Når vi summerer alle linjestkkene s, får vi tilnærmet lengden av grafen mellom A og B Jo tettere vi avsetter punktene, jo bedre blir tilnærmingen Derfor kan vi sette at buelengden fra A til B blir d B = b b s = a a A s = lim s = ds = + AB Dersom f er monotont voksende eller monotont avtakende mellom A og B, har f en invers funksjon Da kan vi finne som funksjon av, slik at vi kan sette ( ) ( ) s = + = + s = + Så lar vi Da erstatter vi s med ds og Dette fører til at d ds = + d, og buelengden mellom A og B blir d B = d d s = c c A s = lim s = ds = + d AB Her er c og d -verdiene til henholdsvis A og B med d, samtidig som lim = Vi får bruk for disse uttrkkene i andre sammenhenger også, og summerer derfor opp: d Dersom f ( ) Dersom f ( ) d =, er ds = b d = + og s = + = a =, er ds = + d og d = d d = c d s = + I praksis viser det seg at formelen for buelengde ofte gir integraler som er vanskelige eller umulige å løse eksakt Vi må da t til numeriske metoder for å finne en tilnærmet verdi av integralet Eksempel : Finn lengden av grafen til = fra = til = Løsning: Da blir d = = ( d ) ds = + = + = + slik at lengden av grafen blir = 7 ln 7 = s = ds = + = + +

49 Integrasjon med anvendelser Side 8 Her er integrasjonen utført med dataverktø Det kreves flere trinn med fantasifulle substitusjoner for å løse integralet for hand Eksempel : Finn lengden av grafen til = e fra = til = Løsning: Da blir d e e = = ( ) d ds = + = + e = + e Lengden av grafen blir s = = ds = + e = Dette integralet lar seg ikke løse eksakt Vi finner en tilnærmet verdi med dataverktø: s = + e 5 Eksempel : Løs problemet fra Eksempel ved å bruke den inverse funksjonen til = e Løsning: Ser at funksjonen er voksende = e = ln = Da er ( d ) ds = + = + Grensene for integrasjonen blir = e = og = e = e Lengden av grafen blir da = e e 5 = s = ds = + d d Heller ikke her er det mulig å finne en eksakt verdi for integralet, slik at en tilnærmet verdi er funnet med dataverktø Oppgave Areal av rotasjonsflater I forrige avsnitt så vi at lengden av et lite bue-element s er gitt ved ( s) = ( ) + ( ) Når vi lar s, kan vi erstatte s med ds, slik at uttrkket for lengden av bue-elementet kan omformes til ds = + d

50 Integrasjon med anvendelser Side 9 når vi forutsetter at den inverse funksjonen Dersom f er strengt voksende eller strengt avtakende, og vi har, kan uttrkket for lengden av bue-elementet omformes til Vi skal nå vise hvordan vi kan bentte disse uttrkkene til å beregne arealet av den flaten som dannes når en buen roterer om en koordinat-akse Rotasjon om -aksen Figuren til venstre viser hva som skjer når grafen til funksjonen roterer en gang om -aksen Vi tar for oss et tilfeldig lite bue-element på grafen Dette lille bue-elementet vil da rotere i en sirkel med radius, og vil definere et smalt belte med lengde Siden beltet har bredde, vil beltets areal bli Arealet av den rotasjonsflaten som framkommer når hele grafen fra A til B roterer om - aksen, blir da Dersom f er strengt voksende eller strengt avtakende slik at det eksisterer en invers funksjon, kan det noen ganger være mer hensiktsmessig å beregne arealet av rotasjonsflaten med Eksempel : Beregn arealet av den rotasjonsflata som framkommer når grafen til,, roterer om -aksen Løsning: Ved rotasjon om -aksen er radien i rotasjonen lik Videre ser vi at Da blir arealet Integrasjonen er her utført med dataverktø Men du kommer greit fram med substitusjonen

51 Integrasjon med anvendelser Side 5 Rotasjon om -aksen Figuren til venstre viser hva som skjer når grafen til roterer en gang om -aksen Som før følger vi et lite bue-element Radien i den sirkelen som bue-elementet beskriver, blir, slik at arealet av beltet blir Arealet av den rotasjonsflaten som framkommer når hele grafen fra A til B roterer om -aksen, blir da Men dersom f er strengt voksende eller strangt avtakende slik at det eksisterer en invers funksjon, kan det være hensiktsmessig å beregne arealet slik: Eksempel : Beregn arealet av den rotasjonsflata som framkommer når grafen til,, roterer om -aksen Løsning: Ved rotasjon om -aksen blir radien i rotasjonen lik Videre er Da blir arealet Integrasjonen er her utført med dataverktø Men du kommer greit fram med substitusjonen Vi avslutter med å la grafen rotere om både - og -aksen etter tur: Eksempel : Beregn arealet av den rotasjonsflata som framkommer når grafen til,, roterer om a) -aksen b) -aksen Løsning:

52 Integrasjon med anvendelser Side 5 a) Ved rotasjon om -aksen er radien lik Da blir arealet av rotasjonsflata d ( ) A = + = cos + sin = + ln + Integrasjonen er utført med dataverktø b) Ved rotasjon om -aksen er radien lik Da blir arealet av rotasjonsflata d ( ) A = + = + sin 7 Det eksisterer ikke noen eksakt løsning av dette integralet Oppgave Hittil har vi kun sett på rotasjon om en koordinatakse Du kan sette opp formler for rotasjon om en annen akse parallell med en koordinatakse ved å finne et uttrkk for rotasjonsradien, og ellers bruke et av de uttrkkene for ds som vi har brukt ovenfor 5 Beregning av massesenter 5 Definisjoner m i ri R C CM Figuren til venstre viser et lite utsnitt av en sk av små partikler, der m i er massen til en partikkel som har posisjonsvektor r i i forhold til et fastlagt origo Selv om figuren er todimensjonal, vil partikkelsken generelt være tredimensjonal, slik at posisjonsvektoren kan skrives r = ˆi+ ˆj+ zk ˆ i i i i der î, ĵ og ˆk er enhetsvektorer langs henholdsvis - - og z- aksen (se heftet om "forkunnskaper") Vi definerer nå posisjonsvektoren R C til partikkelskens massesenter (CM) slik: Massesenterets posisjon R C i forhold til origo er RC = m i r i m der den samlede massen til alle partiklene er m = m i Vi summerer over alle partiklene I praksis får vi mest å gjøre med sammenhengende, utstrakte legemer Vi tenker oss at slike legemer er limt sammen av bitte små biter, som hver har masse dm Istedenfor å summere, må vi nå integrere: RC = dm m r der legemets samlede masse er

53 Integrasjon med anvendelser Side 5 m = dm og integrasjonene tas over hele legemet Men integrasjon over hele legemet medfører at vi må integrere i rommet Dette ligger utenfor rammen av dette heftet Vi skal derfor begrense oss til å se på spesielle tper legemer, som vi kan handtere med våre kunnskaper Vi skal nå begrense oss til romlegemer som har konstant tetthet ρ Dersom hele legemet har masse m og volum V, og en liten bit av legemet har masse dm og volum dv, så er tettheten m dm m ρ = = dm = dv V dv V Dette gir m RC = dm = m r r dv dv m = V V r Vi dekomponerer nå både r og R C ved hjelp av enhetsvektorene î, ĵ og ˆk, og får r = ˆi+ ˆj+ zk ˆ og RC = X ˆ ˆ ˆ Ci+ YCj+ ZCk Da blir RC = dv V r ˆ ˆ X ˆ C YC ZC ( ˆ ˆ z ˆ ) dv dv ˆ dv ˆ i+ j+ k = + + = + + z dv ˆ V i j k V i V j V k som gir komponentlikningene X C = dv V, YC = dv V, ZC = zdv V Vi summerer opp: Dersom et legeme har konstant tetthet ρ, er massesenterets posisjonsvektor RC = X ˆ ˆ ˆ Ci+ YCj+ ZCk gitt ved X C = dv V, YC = dv V, ZC = zdv V, der V er legemets volum, og alle integrasjonene tas over hele legemet 5 Masesenter for rotasjons-smmetriske legemer Vi kan få et rotasjons-smmetrisk legeme ved å la grafen til funksjonen = f, a b, rotere om -aksen Det er umiddelbart klart at dersom tettheten til legemet er konstant må massesenteret ligge på -aksen slik at YC = ZC = Vi trenger bare å finne X C, og bruker skivemetoden

54 Integrasjon med anvendelser Side 5 Alle de små volumelementene som utgjør ei tnn skive med tkkelse vinkelrett på -aksen har samme -koordinat Skiva har da volum Siden legemets volum er blir Vi kan også få et rotasjons-smmetrisk legeme ved å rotere grafen til om -aksen Da må massesenteret ligge på -aksen slik at På samme måte som ovenfor blir Eksempel 5: Finn massesenteret til en rett kjegle med høde H og grunnflateradius R Løsning: Vi plasserer kjeglen med topp-punkt i origo og - aksen som smmetriakse Vi kan da tenke oss at kjeglen framkommer ved at den rette linja roterer om -aksen Da vil massesenteret ligge på -aksen, og posisjonen er gitt ved Eksempel 5: Finn massesenteret til det rotasjonslegemet som framkommer når grafen til og den rette linja roterer om -aksen Løsning: Massesenteret må ligge på -aksen Siden lett:, blir innsettingen i formelen for

55 Oppgave 5 Integrasjon med anvendelser Side 5 5 Massesenter for plane legemer A) De grunnleggende formlene Vi skal nå se på plane legemer Det er mest praktisk å legge plane legemer i -planet, slik at det ikke blir noen z-komponent Massesenteret er da gitt ved RC = dm ( ˆ ˆ) dm m r = m i+ j ˆ = dm + dm ˆ= X C + YC dm m i m j i j r Her er X C = dm m, YC = dm m Integralene i uttrkkene for X C og Y C har fått egne navn: dm kalles statisk moment om -aksen dm kalles statisk moment om -aksen Vi får enklere uttrkk dersom vi antar at tettheten er konstant over hele flata Tettheten må nå uttrkkes i kg/m Dersom flata har masse m og areal A, mens et lite flate-element har masse dm og areal da, blir tettheten m dm m ρ = = dm = da A da A Dermed blir m X C = dm= m da da m = A A, m YC = dm = m da da m = A A, der arealet av flata er A = da Dette er de grunnleggende formlene som vi skal bentte i praksis Også her har integralene fått egne navn: M M = da kalles flatemomentet om -aksen, = da kalles flatemomentet om -aksen Med disse definisjonene kan koordinatene til massesenteret skrives: X C M =, YC A M = A Vi summerer opp:

56 Integrasjon med anvendelser Side 55 Massesenteret for ei flate som ligger i -planet er RC = dm = X C + YC m r i j der X C = dm m, YC = dm m Dersom tettheten er konstant over hele flata, blir M X C = da A = der M = da A er flatemomentet om -aksen, M YC = da A = der M = da A er flatemomentet om -aksen A = da Alle integralene tas over hele flata Når vi skal integrere over ei flate, får vi vanligvis dobbeltintegral som vi ikke skal ta opp her Vi skal derfor begrense oss til to situasjoner som vi kan handtere: Flata deles opp i striper parallelt med -aksen Flata deles opp i striper parallelt med -aksen Vi skal se på de to situasjonene etter tur B) Striper parallelt med -aksen a = f () - = f () b Vi antar at flata er avgrenset av grafene til funksjonene f = f, = og samt av de to rette linjene = a og = b Se figuren til venstre Vi legger striper med bredde parallelt med -aksen Hvis > når a b, får hver stripe et areal da = slik at = b = a A = Alle flate-elementene innenfor ei stripe har nå samme -verdi Da blir massesenterets -verdi X = b da = b C = ( ) A = = a A = a Det er ikke fullt så enkelt å finne Y C, fordi elementene innenfor ei stripe har ulike -verdier Vi kan derfor ikke bruke formelen for Y C direkte Dette problemet løser vi ved å erstatte i formelen for Y C med avstanden til midtpunktet på stripa, som har -koordinat

57 Integrasjon med anvendelser Side 56 + M = Da blir + YC = da = = A = a A = a A = a = b = b = b M ( ) ( ) C) Striper parallelt med -aksen d = g () d = g () Vi skal nå anta at flata er avgrenset av grafene til g = g samt de to rette linjene = og = c og = d Da legger vi stripene parallelt med -aksen Se figuren til venstre - c d Vi finner massesenteret med samme resonnement som når stripene ligger loddrett Dersom > når c d, blir = d = c A = d = = d ( ), C = ( ) Y C = A d = c og X A = c d Eksempel 5: Bestem massesenteret til flata som avgrenses av grafen til = og -aksen på to måter: a) ved å legge stripene parallelt med -aksen b) ved å legge stripene parallelt med -aksen =, linja Løsning: Situasjonene er illustrert nedenfor til venstre a) En loddrett stripe i avstand fra -aksen har areal da = = slik at arealet blir 8 A = = = = Da blir massesenterets -koordinat = X C = 8 A = = 8 ( ) = = = Massesenterets -koordinat blir = 5 5 YC = ( ) = ( ) = = ( ) = 8 A = b) Når vi skal bruke striper parallelle med -aksen, må vi først finne uttrkt ved : = =

58 Integrasjon med anvendelser Side 57 Vi kan selvsagt bruke det arealet som vi fant ovenfor Men vi kan også beregne arealet også med utgangspunkt i vannrette striper Av figuren ser vi at arealet av en slik vannrett stripe i avstand fra -aksen blir ( ) ( ) da = d = d slik at arealet blir ( ) ( ) ( ) 8 A = d = d = = = Da blir X C = ( ) d ( ( ) ) d ( ) d A = = = = = = = = YC = d = d = d A ( ) ( ) ( ) 8 8 = ( ) ( 6 ) = = = = = Oppgave 5 5 Massesenter for krumme linjer En krum linje er gitt ved = f ( ) eller ved f ( ) = Anta at tettheten ρ (som er gitt i kg/m) er konstant slik at m dm m ρ = = dm = ds L ds L der m er massen til linja, L er lengden til linja, mens dm og ds er henholdsvis masse og lengde til et lite element på linja Koordinatene til massesenteret er da gitt ved m X C = dm = m ds ds m = L L og m YC = dm = m ds ds m = L L der vi integrerer langs hele linja I avsnittet om buelengde har vi vist hvordan vi kan finne lengden L av et krumt linjestkke Der fant vi bla at: Dersom f ( ) Dersom f ( ) d =, er ds = + =, er ds = + d Vi får bruk for disse uttrkkene nå også d Eksempel 5: Beregn koordinatene til massesenteret til grafen til =,

59 Integrasjon med anvendelser Side 58 Løsning: d = = slik at Da blir ( d ) ds = + = + = + = ln = L = ds = + = + + = C L = L L X = ds = + = = YC = L ds = + = L ( 6 6 ) = 7 ln L På grafen er massesenteret tegnet inn med en liten ring Merk at massesenteret ikke ligger på selve linja Du kan visualisere massesenteret slik: Tenk deg at linja spenner ut en masseløs membran Denne membranen kan nå balansere på en spiss som plasseres i massesenteret Oppgave 5 55 Oppdeling i del-legemer Definisjonen på massesenter miri R C = m gjelder egentlig når m i er massen til en partikkel i legemet vårt Men formelen gjelder også dersom legemet vårt består av del-legemer med kjent masse m i, og der r i oppfattes som posisjonsvektoren til del-legemets massesenter Jeg skal nøe meg med å vise at dette stemmer for et legeme som deles opp i to del-legemer med masse m og m, og volum V og V For hvert av disse del-legemene er massesentrene gitt ved r = mi i mi i m m r r = r der vi summerer over V V V og r = mi i mi i m m r r = r der vi summerer over V V V Da blir miri RC= = miri+ miri = ( mr + mr ) m m V V m Vi kan enkelt bentte samme resonnement dersom legemet deles opp i n deler Dette kan vi bentte oss av til å beregne massesenteret til legemer som kan deles opp i enkle del-legemer Jeg skal illustrere teknikken i et par eksempler

60 Eksempel 55: Integrasjon med anvendelser Side 59 O B To svært tnne metallstenger med lengde OA = l og OB = l sveises sammen til en vinkel slik figuren til A venstre viser Finn vinkelens massesenter Løsning: La hele legemets masse være m Siden stanga OA er dobbelt så lang som OB, må den også ha dobbelt så stor masse Dette gir at massene til OA og OB blir henholdsvis moa = m, og m OB = m Begge stengene har sitt massesenter midt på, slik at ˆ roa = l i, og r OB = lˆj= lˆj Legemets massesenter er da gitt ved R = ( moaroa mob OB ) ( m lˆ m lˆ ) lˆ lˆ m + r = m i + j = i + j Vi kan føre et tilsvarende resonnement dersom vi fjerner en bit fra et legeme Anta at m er massen og R C er massesenteret til et legeme som framkommer når vi fjerner et stkke med masse m og massesenter r fra et legeme med masse m og massesenter r Da får vi at RC = ( mr mr ) m I neste eksempel skal vi illustrere bruken av denne formelen Eksempel 56: Ei skive består av et rektangel med sidekanter 8 og, der et kvadratisk hjørne med sidekant er fjernet Se figuren til venstre Finn massesenteret til skiva Løsning: Jeg skal løse oppgaven på to måter Først deler jeg skiva inn i to deler slik den stiplede linja på figuren viser Hele skiva har areal A = 8 = 8 Dersom hele skiva har masse m, blir tettheten (som oppgis i kg/m ) m m ρ = = A 8 Nedre del får massen m m = ρ ( 8 ) = 6 = m 8 7 og øvre del får massen m m = ρ ( 6 ) = = m 8 7 Hver av delene har massesenter midt i Av figuren ser vi at

61 r = i+ j og r = i+ j Da blir massesenteret gitt ved RC= ( m r + mr) = m( i+ j) + m( i+ j) m m = ( 6 i+ j+ 9 i+ 9 j) = i+ j Integrasjon med anvendelser Side 6 Så skal jeg løse problemet ved å ta utgangspunkt i rektangelet, og fjerne bidraget fra det lille kvadratet Hvis vi kaller rektangelets masse og massesenter for m R og r R, og kvadratets masse og massesenter for m K og r K, kan vi sette opp (se figuren, og kontroller massesentrene til rektangelet og til kvadratet): m m RC= mrrr mkrk = ( 8 ) ( i+ j) ( ) ( 7 i+ j) m m = ( i+ j) ( 7 i+ j) = i+ j Og dette er samme resultat som før Oppgave 5 6 Beregning av treghetsmoment 6 Definisjoner Først de grunnleggende definisjonene: Momentakse r m La en liten punktformet partikkel med masse m ha en avstand r fra en akse Da er denne partikkelens treghetsmoment om aksen definert ved I = m r Aksen kalles gjerne for momentakse Vi kan tenke oss at et legeme består av mange slike partikler Da får vi: Dersom et legeme består av n partikler der partikkel nr i har masse m i og avstand r i fra en momentakse A, er legemets treghetsmoment om denne momentaksen I A n = mr i= i i

62 Integrasjon med anvendelser Side 6 Legg merke til at treghetsmomentet er ikke en egenskap ved et legeme slik for eksempel masse er Treghetsmomentet avhenger av legemets posisjon i forhold til momentaksen I praksis er det vanligvis ikke mulig å foreta en summering slik definisjonen ovenfor angir Vi bentter heller integrasjon Da antar vi at legemet er bgd opp av småbiter, der en bit med masse dm har avstand r fra aksen Da får vi: Treghetsmomentet til et legeme om en akse A er I A = r dm der r er avstanden fra et masse-element dm til aksen A, og integrasjonen tas over hele legemet Denne definisjonen fører til at vi generelt må integrere i rommet, noe som krever kjennskap til trippelintegral Vi skal imidlertid begrense oss til spesielle situasjoner der vi klarer oss med vanlige enkelt-integral Vi skal også se på et par hjelpesetninger som vil forenkle beregningen av treghetsmoment 6 Treghetsmomentet for en linje i et plan Vi skal nå beregne treghetsmomentet for et legeme som kan betraktes som en tnn linje i et plan Vi skal la momentaksen stå vinkelrett på legemets plan Vi skal forutsette at det tnne legemet er homogent, noe som bla innebærer at tettheten er konstant For et slikt legeme er det naturlig å uttrkke tettheten i kg/m Dersom legemet har lengde L og masse m, og vi plukker ut et tilfeldig lite element med lengde ds og masse dm, er tettheten m dm m ρ = = dm = ds L ds L Da blir treghetsmomentet om en akse vinkelrett på legemets plan m m I = r dm = r ds = r ds L L der r er avstanden fra aksen til et bue-element ds, og vi integrerer over hele legemet Eksempel 6: Finn treghetsmomentet for en tnn stav med lengde L og masse m om disse aksene: a) Aksen står vinkelrett på staven gjennom stavens ene ende A b) Aksen står vinkelrett på staven gjennom stavens midtpunkt C (stavens massesenter) Løsning: a) Situasjonen er illustrert nedenfor: A L Her er et lite masse-element på staven, mens er avstanden fra masse-elementet til aksen Da blir treghetsmomentet om aksen gjennom A: m L m L m I A = L ml L = = = L L

63 b) Situasjonen er illustrert nedenfor: L Integrasjon med anvendelser Side 6 Nå blir treghetsmomentet om aksen gjennom C: L L m m m L L IC = L (( ) ( ) L ) ml L = L = = L C L Vi skal senere vise at når vi kjenner treghetsmomentet til et legeme om legemets massesenter, kan vi bruke Steiners setning (parallellakse-setningen) til å finne legemets treghetsmoment om enhver annen akse parallell med aksen gjennom massesenteret Neste eksempel er adskillig mer komplisert, og inneholder en integrasjonsteknisk finesse Eksempel 6: Finn treghetsmomentet for en tnn ring med radius R og masse m om en akse langs en diameter Løsning: Vi vet at lengden av ringen er L = R Så plasserer vi ringen med sentrum i origo som vist på figuren til venstre nedenfor, og bruker -aksen som momentakse Vi plukker ut et lite bue-element ds Nå blir integrasjonene enklest dersom vi bentter vinkelen θ som integrasjonsvariabel Av figuren ser vi at = Rcosθ Videre vet vi at når vinkler måles i radianer, blir ds ds dθ = ds = R dθ R R Da får vi: dθ m θ= m I = ds ( Rcos ) R d θ L = θ θ θ = R mr = cos θdθ Integralet løses enklest når vi husker at cos( θ) = cos θ cos θ = + cos ( θ) Da blir mr mr mr I = cos θdθ ( cos ( θ) ) dθ θ sin ( θ) = + = + mr mr = ( + sin ( ) sin ) = = mr Oppgave 6

64 6 Treghetsmoment for plant legeme Integrasjon med anvendelser Side 6 For et plant legeme (ei flate) er det naturlig å uttrkke tettheten i kg/m Dersom legemet er homogent, blir tettheten m dm m ρ = = dm = da A da A der m og A er flatas masse og areal, mens dm og da er masse og areal til et lite flate-element Da blir treghetsmomentet om en akse A gitt ved: m m I A = r dm = r da = r da A A der r er avstanden fra flate-elementet til aksen, og vi integrerer over hele flata Vi skal i første omgang begrense oss til et spesialtilfelle: Flata avgrenses av grafene til to funksjoner = f( ) og = f( ), og av de to rette linjene = a og = b Dessuten skal vi la -aksen være momentakse Se figuren nedenfor til venstre a r = = f () - = f () b Her merker vi oss at det skraverte flate-elementet med bredde og høde h= har avstand fra - aksen og areal da = h = Hvis > når a b, blir flatas treghetsmoment om -aksen m b m b I = r da ( ) A = a A a Eksempel 6: Finn treghetsmomentet til en rettvinklet trekant om en av trekantens kateter Løsning: Setter at trekantens kateter har lengder a og b Plasserer trekanten i et koordinatsstem som vist til venstre Da avgrenses trekanten av koordinataksene og grafen til den rette linja b = + b a Arealet av trekanten er A = ab Treghetsmomentet om -aksen blir m a m a b m b a a I = b b A = A + = a A a + m b m b b = + = + = A a ab a a a b a a ma 6 Hittil har vi kun sett på treghetsmoment om -aksen Men vi kan finne treghetsmoment om - aksen på samme måte

65 Integrasjon med anvendelser Side 6 Oppgave 6 (Du får bruk for resultatene i neste oppgave) Dersom vi kjenner treghetsmomentene for ei plan flate som ligger i -planet om både - og -aksen, kan vi finne treghetsmomentet for flata om en akse som står vinkelrett på planet gjennom origo ved hjelp av setningen nedenfor: Setningen om det polare treghetsmomentet: Et plant legeme plasseres i -planet Treghetsmomentene om -aksen og om -aksen kalles henholdsvis I og I Da blir treghetsmomentet om en akse vinkelrett på det plane legemet gjennom origo I = I + I z Bevis: z r m Figuren viser et plant legeme som ligger i -planet Avstanden fra origo til et massepunkt m i er r i Av figuren ser vi at ri = i + i Da blir treghetsmomentet til det plane legemet om z- aksen I = mr = m + z i i i i i = m + m = I + I Nedenfor ser du et eksempel på bruken av denne setningen i i i i Eksempel 6: Finn treghetsmomentet til en rettvinklet trekant om en akse vinkelrett på trekanten gjennom katetenes skjæringspunkt b l a Løsning: Fra Eksempel vet vi at treghetsmomentet for trekanten om - aksen er I = ma En ombtting av - og - aksene gir direkte 6 at treghetsmomentet om -aksen må blir I = mb Da blir 6 treghetsmomentet om z-aksen (en akse vinkelrett på planet gjennom origo) z I = I + I = mb + ma = m a + b = ml der den siste omformingen følger direkte av Ptagoras Oppgave 6 6 Treghetsmoment for rotasjonssmmetrisk legeme Vi skal igjen forutsette at legemet er homogent, slik at tettheten ρ er gitt ved m dm m ρ = = dm = dv V dv V der m er massen og V er volumet til legemet Da blir treghetsmomentet til et romlegeme om en akse A gitt ved

66 Integrasjon med anvendelser Side 65 der vi må integrere over hele legemet Generelt vil det kreve et trippel-integral Men noen ganger kan vi klare oss med vanlige integral Dette gjelder spesielt hvis legemet er rotasjonssmmetrisk og smmetriaksen er momentakse Da kan vi beregne treghetsmomentet ved hjelp av slinderskallmetoden som du forhåpentlig kjenner fra før For sikkerhets skld skal vi repetere hovedtrekkene La ei flate i -planet være avgrenset av grafene til de to funksjonene og, linjene og slik figuren til venstre ovenfor viser Jeg skaffer meg et rotasjonslegeme med -aksen som smmetriakse ved å rotere denne flata om -aksen Linja PQ som har avstand fra aksen skaper da ei slinderflate med areal Utenpå denne slinderflata legger vi et tnt sjikt med tkkelse Da får vi et slinderskall med volum slik at treghetsmomentet til hele legemet om -aksen blir Noen ganger må vi også finne volumet til legemet Det gjør vi også med slinderskallmetoden: Innsetting og forkorting av gir nå at treghetsmomentet om -aksen blir Prøv selv å sette opp formel for treghetsmomentet om -aksen når -aksen er smmetriakse! Eksempel 65: En rett slinder har høde h og sirkelformet radius R Finn treghetsmomentet til denne slinderen om smmetriaksen

67 Integrasjon med anvendelser Side 66 Løsning: Vet at volumet av en slinder er I formelen for treghetsmoment settes og, og vi får at treghetsmomentet om -aksen blir Eksempel 66: En rett kjegle har høde h og sirkelformet radius R Finn treghetsmomentet til denne kjeglen om kjeglens smmetriakse Løsning: Vet at kjeglen har volum Vi får enklest regninger når vi plasserer kjeglen med spissen i origo Da framkommer kjeglen når flata avgrenset av grafen til den rette linja og linja roterer om -aksen (se figuren til venstre) I formelen for treghetsmoment settes da og, og vi får at treghetsmomentet om -aksen blir Eksempel 67: Finn treghetsmomentet for ei kule med masse m og radius R om en akse gjennom kulas sentrum Løsning: Figuren til venstre viser den sirkelbuen som roterer om - aksen, og som danner øvre halvkule Nedre halvkule blir helt lik Da blir treghetsmomentet om -aksen: Her har jeg satt inn at volumet av ei kule er, og har husket at når nedre halvkule tas med blir høden Videre har jeg forberedt substitusjonen Jeg setter inn, forkorter, og bentter at når er, og når er Da blir