Go o www.meni.com and use he code 65 37 7 Ha ar ikig i sise forelesning? FYS-MEK 111.1.18 1
FYS-MEK 111.1.18
Beegelse i én dimensjon ().1.18 Ukesoppgaer og oblig 1 er lag u: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek111/18/maeriale/maeriale18.hml Innleeringsfris: Mandag, 5. Februar, kl.18. Innleering ia hps://deilry.ifi.uio.no Gruppeøelser begynner denne uken. FYS-MEK 111.1.18 3
Beegelsesligninger Vi sarer fra definisjonen a akselerasjonen: a( ) d d a( ) d d d d ( ) () ( ) a( ) d Vi inegrerer hasigheen for å finne posisjonen: ( ) d dx d x( ) d x( ) x() ( ) dx d x d x a d ( ) ( ) d x( ) x a( ) d d Vi kan finner hasighe og posisjon som funksjon a iden dersom i kjenner akselerasjonen a() og iniialbeingelsene og x. Inegrasjon uføres analyisk eller numerisk. FYS-MEK 111.1.18 4
hp://pingo.upb.de/ access number: 63473 Du kaser en ball oppoer med iniial hasighe. Ballen bruker en id for å nå si høyese punk. His du buker en dobbel so sor hasighe, hor mye id ar de? (Vi ser bor fra lufmosand.) 1 y FYS-MEK 111.1.18 5
Generell løsningsmeode Idenifiser: Modeller: Løs: Analyser: Hilke objek beeger seg? Hordan måler i? Definer e koordinasysem. Finn iniialbeingelsene. Finn krefene som påirker objeke. Beskri krefene med en modell. Bruk Newons andre lo for å finne akselerasjonen. Løs beegelsesligningen. d x dx a x,, d d med iniialbeingelser (analyisk eller numerisk). Finn hasighe og posisjon. Er resulaene for x() og () fornufig?. Bruk resulaene for a sare på spørsmåle. Inerpreer resulaene. FYS-MEK 111.1.18 6
Eksempel: beegelse med konsan akselerasjon Du sår på en klippe og kaser en ball oppoer fra en punk 4 m oer bakken med en hasighe på 1 m/s. Tyngdeakselerasjon er g = 9.8 m/s. Vi ser bor fra lufmosand. a) Ha er den maksimale høyden il ballen? b) Hor lang ar de for å reffe bakken? Idenifiser: Hilke objek beeger seg? Hordan måler i? Definer e koordinasysem. Finn iniialbeingelsene. Førs lage i en egning og definere koordinasyseme. Iniialbeingelser: y( ( ) 4 m ) 1 m/s Vi kaser ballen ed iden = s. FYS-MEK 111.1.18 7
Modeller: Finn krefene som påirker objeke. Beskri krefene med en modell. Bruk Newons andre lo for å finne akselerasjonen. Ballen er påirke a yngdeakselerasjon, som irker nedoer mo bakken og er konsan med g = 9.8 m/s. Vi ser bor fra andre krefer som påirker ballen, f. eks. lufmosand. Vi elger e forenkel modell; resulaene er ilnærminger. a( ) a g 9.8 m/s FYS-MEK 111.1.18 8
Løs: Løs beegelsesligningen. d x dx a x,, d d med iniialbeingelser (analyisk eller numerisk). Vi må løse differensialligningen: d y d Vi kan bruke resulaene for beegelser med konsan akselerasjon: a g Finn hasighe og posisjon. ( ) a g y 1 ( ) y a y g 1 Du renger ikke å huske de, du kan le finne resulae ed inegrasjon. FYS-MEK 111.1.18 9
Analyser: Er resulaene for x() og () fornufig?. Bruk resulaene for a sare på spørsmåle. Inerpreer resulaene. Ballen kommer il høyese punk ed id 1 Ved id 1 er høyden: ( ) g ( ) y( ) y Ha er maksimale høyden il ballen? I de høyese punke må hasigheen ære null. 1 y( ) y g Maemaisk: Funksjonen y() har e eksremerdi: ( ) ( 1) g1 m/s 1 g 1 y 1 y 1 g y( 1) g g 1 g dy d y 1 g y 1 (1 m/s) ) 4 m 9.8 m/s ( 1 9.1 m Den maksimale høyden il ballen er 9.1 m. FYS-MEK 111.1.18 1
Hor lang ar de for å reffe bakken? Ballen reffer på bakken (y=) ed id : 1 y( ) y g m y g g Vi må løse en andregradsligning: g g y g 1m/s 9.8 m/s 1m/s 9.8 m/s 4m 9.8m/s Vi får o løsninger:.38 s eller.34 s. Vi har sare klokken ed ballkas; bare den posiie løsningen er meningsfyl. Ballen reffer på bakken.38 s eer kasingen. FYS-MEK 111.1.18 11
hp://pingo.upb.de/ access number: 63473 Du kaser en ball oppoer med iniial hasighe. Ballen bruker en id for å nå si høyese punk. His du buker en dobbel so sor hasighe, hor mye id ar de? (Vi ser bor fra lufmosand.) 1 y I de høyese punke er hasigheen null: ( ) a d g FYS-MEK 111.1.18 1
Numerisk inegrasjon: Akselerasjon er definer som: a i = lim i + i i + i = a i his er små i+1 = i + i + a( i ) Gi a i kjenner a() og hasighe ( ), så kan i gå framoer i iden og finner hasighe ed alle ider: 1 = + a( ) = 1 + a( 1 )... Tilsarende finner i posisjonen fra hasigheen: i = lim x i + x i x i + x i = i x i+1 = x i + x i + ( i ) FYS-MEK 111.1.18 13
Vi har funne en meode for å finne x() og () his i kjenner: akselerasjonen: a() iniialbeingelser: x( ), ( ) Leonhard Euler (177 1783) Euler meode: i+1 i + a( i, x i, ( i )) x i+1 x i + ( i ) Vi må bruke små og mange skri for å nå en god presisjon. Vi kan redusere feilen med en lien forbedring: Isedenfor hasigheen i begynnelsen a idsineralle bruke i hasigheen på sluen for å finne posisjonen. Euler-Cromer meode: i+1 i + a( i, x i, ( i )) x i+1 x i + ( i+1 ) FYS-MEK 111.1.18 14
Eksempel for numerisk inegrasjon: Du uikler The Rocke, en ny araksjon ed en fornøyelsespark. Du har fese e akseleromeer il en es-ogn for å finne hasigheen og posisjonen. Dee er målingen din: Vi kjenner akselerasjonen a( i ) for i =.s,.1s,.s,... Du kjenner iniialbeingelser: The Rocke sarer i ro: x( ) = x = m, ( ) = = m/s [s] a [m/s ]..7.1 1.44..67.3 4.4.4 5.65.5 6.95.6 8.4.7 9.74.8 11..9 1.64 1. 14.11 Vi bruker Euler-Cromer meoden med idsskri =.1s: i+1 i + a( i ) x i+1 x i + ( i+1 ) FYS-MEK 111.1.18 15
ascii fil herocke.da..7.1 1.44..67.3 4.4.4 5.65.5 6.95...... arrays : herocke: (n ) marise, a,, x: (n 1) mariser allid husk label og enhe FYS-MEK 111.1.18 16
FYS-MEK 111.1.18 17
Eksempel: sandkorn i anne E sandkorn synker i ann med akselerasjon a() = a c(), hor a = 6. m/s og c = 1.8 s -1. Hor lang id ar de for å synke fra oerflaen il bunnen på m dybde? iniialbeingelser: x( ( ) x ) s m m/s Vi kjenner akselerasjonen: a( ) a c( ) Vi må løse differensialligningen: d x d a c dx d d d a c FYS-MEK 111.1.18 18
Numerisk løsning med Euler-Cromer meode: i+1 i + a( i ) x i+1 x i + ( i+1 ) FYS-MEK 111.1.18 19
Resulaer og inerpreasjon: Sandkorne reffer bunnen eer 1.53 s. Hasigheen nedoer øker rask og går mo en konsan erdi eerpå. a( ) a c( ) Akselerasjon nedoer blir mindre fordi friksjonen øker med hasighe. Akselerasjonen går mo null. FYS-MEK 111.1.18
The Rocke : Vi kjenner a() for diskree idspunker fra malinger som i leser fra en daafil. Tidsskri er besem fra målingen. Sandkorn i anne: Vi kjenner funksjonen a() fra e modell. Vi må beregner a( i ) for her idsskri. Vi kan elge idsskri. Siden i kjenner funksjonen a(), kan i løse probleme analyisk? FYS-MEK 111.1.18 1
d analyisk: a( ) a c( ) d d u a d c a c du cd du u u( ) cd u() du u cd u( ) ln u( ) ln u() ln u() c u( ) u() e c u( ) c a c( ) ( a c) e a e c a c a c c ( ) e () a ( ) T erminalhasighe c FYS-MEK 111.1.14
FYS-MEK 111.1.14 3 c T T c e e c a c a ) ( d e d x x c T T ) ( () ) ( d e c T T 1 c T T e c 1 ) ( c T T e c x x 1 1 ) ( x c x x T Vi har funne en funksjon som beskrier posisjonen, men i kan ikke løse ligningen x() = analyisk. (Vi kunne gjøre de numerisk.)
Generell løsningsmeode Idenifiser: Modeller: Løs: Analyser: Hilke objek beeger seg? Hordan måler i? Definer e koordinasysem. Finn iniialbeingelsene. Finn krefene som påirker objeke. Beskri krefene med en modell. Bruk Newons andre lo for å finne akselerasjonen. Løs beegelsesligningen. d x dx a x,, d d med iniialbeingelser (analyisk eller numerisk). Finn hasighe og posisjon. Er resulaene for x() og () fornufig?. Bruk resulaene for a sare på spørsmåle. Inerpreer resulaene. nese skri: idenifiser krefene krafmodeller Sandkorn i anne: Numerisk løsning er re frem og ikke mer anskelig enn for en beegelse med konsan akselerasjon. Analyisk løsning kreer li maemaikk. FYS-MEK 111.1.18 4