Matematikk, arbeidsglede og læring for alle elever Geir Botten geir.h.botten@ntnu.no februar 2018
En liten digresjon Rett ved Thon Oslo Hotell finner vi kunstverket Milleniumsstjerna, også kalt Fredsstjerna av Vebjørn Sand https://foursquare.com/v/keplerstjernenfredsstjernenvebjørn-sand-1999/507f5a25e4b0105cdb3a4f74 Matematisk er dette et stort stjernedodekaeder (også kalt Keplerstjerna) Det finnes også små stjernedodekaeder Dodekaeder platonisk legeme som består av 12 regulære femkanter (pentagoner) I pentagoner skjærer diagonalene hverandre i det gylne snitt I stjerna finner vi mange gylne trekanter Det er nær forbindelse mellom Fibonaccitallene og det gylne snitt
Mynter i lomma Jeg har fem mynter i lomma. Til sammen er det 32 kroner. Hvilke mynter har jeg i lomma? (Jeg hadde 1x20kr, 2x5kr og 2x1kr i lomma) Jeg har åtte mynter i lomma. Til sammen har jeg 50 kroner. Hvilke mynter har jeg i lomma mi?
Mynter i lomma Har vi funnet alle løsningene eller ikke? Hvordan forklarer/begrunner du/dere det? Hvordan forklarer elever det? Hvis vi nå vet at det finnes flere løsninger, så kan dere få stille meg ett spørsmål for å finne ut hvilke mynter jeg har i lomma. Spørsmålet skal ikke inneholde noe tall. Hva vi dere spørre meg om?
Hva hvis? Hva hvis vi har 20 kroner og fem mynter? Hvilke mynter kan det være? Hva hvis vi reiser til Danmark da?
Å lage nye myntoppgaver Lag et rikt problem inspirert av myntproblemet og løs det. - Ikke mer enn 10 mynter - Ikke mer enn 100 kroner til sammen - Minst to løsninger
Telling Ulike telleaktiviteter Oppover Nedover I steg Mønster når vi teller i steg Hva skjer når vi passerer 0? Hvilke tall kan vi treffe på, og hvilke kan vi ikke treffe på? Number sense
Start på 7, tell oppover i steg på 4 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47
Start på 44, tell nedover i steg på 6 44 38 32 26 20 14 8 2-4 -10-16 -22-28 -34-40 -46
I kiosken På stranda er det en kiosk med et meget begrenset vareutvalg. Du kan kjøpe følgende: Sjokolade: 8 kr Is: 11 kr Brus: 13 kr I kiosken kan du bare betale med 100 lapper og det er ikke mulig å veksle. Du skal spandere godsaker på venneflokken din, og du må kjøpe minst en sjokolade, en is og en brus. Hva kan du kjøpe for å få utnyttet 100-lappen din maksimalt?
Rike matematikkoppgaver En rik oppgave er et problem som byr på muligheter til diskusjoner med andre når det gjelder ideer til løsninger og forståelse av matematiske begreper. I tillegg skal en rik oppgave tilfredsstille følgende 7 kriterier: 1. Den skal introdusere viktige matematiske ideer eller løsningsstrategier 2. Den skal være lett å forstå og alle skal kunne komme i gang og ha muligheter til å jobbe med det (lav inngangsterskel)
Rike oppgaver, forts. 3. Den skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelse og tillates å ta tid 4. Den skal kunne løses på flere ulike måter, med ulike strategier og representasjoner 5. Den skal kunne initiere en matematisk diskusjon som viser ulike strategier, representasjoner og matematiske ideer 6. Den skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske områder 7. Rike oppgaver skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problemer (Hva hvis? Hvorfor er det sånn?)
Eksempler på åpne og rike opplegg i matematikk Hva koster ei ukes ferie på Hitra? Svaret er 8 hva er spørsmålet?
Ferie på Hitra En familie med to voksne og to barn (tenåringer) planlegger ei ukes ferie på Hitra. Hvor mye mindre penger har familien etter denne uka, og hva er pengene brukt til?
Svaret er 8 - Hva er spørsmålet? I en åttendeklasse arbeider hele trinnet over en fjorten dagers periode med aktiviteter, oppgaver og problemstillinger knyttet til et opplegg de har kalt Svaret er 8, hva er spørsmålet? Hver dag bruker elevene mellom 5 og 15 minutter på opplegget
Starten Forsiktig start Hvor mye er 4 + 4? Hvor mye er 5 + 3, 6 + 2, 7 + 1 og 8 + 0? Økende vanskegrad Hvor mye er 12 4? Hvor mye er 12008 12000? Store tall Hvor mye er 137567005 137566997? Hvor mye er 26553481 + 45621332 72174805?
To dager senere Addisjon og subtraksjon av brøker med forskjellige nevner slik at svaret blir lik 8 Jørgens foreslår oppgaven: 2 1 1 4 2 1 5 3 10
Oppgaver fra hjemmelekse Eva: Hvor mange bein hadde Sleipner? Kemal: Hvor mange sideflater er det i et oktaeder? Lise: I går ertet katten vår to spurver, men den klarte ikke å fange dem. Hvor mange bein hadde disse tre dyra til sammen? Sasha: Mora mi har 1 bror og dobbelt så mange søstre. Faren min har like mange søstre som mora mi, og tre ganger så mange brødre som henne. Hvor mange tanter og onkler har jeg til sammen?
Oppgavetyper Oppgaver med benevning som kroner, meter eller liter. Oppgaver om prosent og med desimaltall Ligninger Geometrioppgaver
Utfordrende oppgaver Silje forteller en dag at hun hadde snakket med søstera si i 10. klasse, og fra henne har hun fått oppgaven: Hva er stigningstallet for funksjonen y 8x 1 De aller fleste elevene forstår lite eller ingenting av denne oppgaven, men den blir med i klassens samling av oppgaver, mest som en kuriositet eller en smakebit på en matematikk de sikkert kommer til å møte senere
Matematikk i lokalsamfunnet Matematiske diskusjoner på skolen og i fritida med søsken og foreldre under middagen og på ettermiddagene Oppgavene blir samlet og mange av dem slått opp på ei oppslagstavle i klasserommet På foreldremøte gjenkjenner flere av foreldrene oppgaver som var blitt til etter diskusjoner hjemme hos dem
Undersøkelseslandskap (Ole Skovsmose)
Undersøkelseslandskap hva er det? Undersøkelseslandskap er ikke noe absolutt og statisk Elevene inviteres inn, de kan takke ja eller avslå Elevene må la seg fascinere og engasjere Ingen temaer eller aktiviteter kan i seg selv karakteriseres som et undersøkelseslandskap En aktivitet kan fungere som undersøkelseslandskap for en gruppe elever, men ikke for en annen Måten aktiviteten presenteres på, kan ha avgjørende betydning for om elevene blir med inn i undersøkelseslandskapet
Hva gir mening for elevene? Åpne for å bygge undervisningen på elevene egne tanker og innspill Kreative matematikkytringer Undring og fascinasjon Multimodalitet Matematikk som kulturaktivitet Tolking, søking etter sammenheng og betydning
Regnefortelling av Aron Det var en gang 94 maurtuer. I hver maurtue var det 26 636 maur. Hver maur hadde 6 bein. Etter et år hadde 25% dødd, men det var blitt født 34 nye maur i hver maurtue. Så kom den store maurkrigen. Da døde 23%, 42% forsvant og 13% av de som var igjen hadde mistet et bein. Hvor mange bein var det da i de 94 maurtuene? (Om det blir desimaler, så dør den mauren av maurpest.) Rockström 1992, s. 52, min oversettelse
Fra en elevlogg Det kan være vanskelig å lage matematikkoppgaver selv, men jeg synes det er morsomt. Og jeg tror jeg lærer mye av det. Jeg må på en måte snu hjernen min.
Mestring og utfordring Mestring er helt sentralt når en skal motivere Å bare gjøre det en mestrer, fører ikke til motivasjon Det blir ingen ekte mestringsfølelse uten utfordring Utfordringen må være en faglig utfordring, ikke bare en utfordring om å gjøre mange oppgaver
Tallet pi Praktisk tilnærming Mål rundt og tvers over ulike sirkelrunde gjenstander Regn ut forholdet mellom omkrets og diameter Let etter informasjon om pi på nettet
Pi Noen linker: http://no.wikipedia.org/wiki/pi http://3.1415926535897932384626433832795028841971693 99375105820974944592.no/ http://ing.dk/artikel/97054-verdens-mest-irriterende-sang-pisangen http://blogg.frankeivind.net/2010/03/14/pi-fyller-ar/
Kilder Andersson, Annica (2013). Meningsfullt även för den som hatar matte Nämnaren nr 1, 2013. Botten, Geir (2016). Matematikk med mening mening for alle. Caspar forlag Hagland, K., Taflin, E. og Hedrén, R. (2005). Rika matematiska problem: Inspiration till variation Svorkmo, Anne Gunn (2011). Gode oppgaver mange muligheter I Tangenten 4/2011 http://caspar.no/tangenten/2011/t-2011-4.pdf Svorkmo, Anne Gunn (2007). Rike matematiske problemer og spørsmålsformuleringer i matematikkundervisningen. Masteroppgave i matematikkdidaktikk NTNU (HiST). https://brage.bibsys.no/xmlui/bitstream/handle/11250/148783/masteroppgave_s vorkmo_2007.pdf?sequence=1