EKSAMEN 3MX våren 2001

Transkript

1 EKSAMEN 3MX våen Løsning og vudeing av see Oppgave a) Deive funksjonene f og g gi ved ) 3 x x f ( x) = e ) g ( x) = ln( x + ) 3 ) ) f '( x) = e (3 x) ' = e 3 = 3e 3 x 3 x 3 x x + x 3 6x + g x = x + = x + = = x + x + x '( ) ( ) ' ( ) x 3 x 3 x 3x + x Alenaiv løsning: x ) gx ( ) = ln( x + ) = ln xx ( + ) = ln x+ ln( x+ ) g'( x) = + ( x + ) ' = + x 3 x 3x + x + 3 b) Besem inegale e x 4 ( + ) dx. x x 4 x ( e + ) dx = e + 4ln x x + C x c) De skavee omåde på figuen e avgense av gafen il y = sin x og y =, y-aksen og linja x = π. Finn aeale av de skavee omåde.

2 Meode Vi oppfae omåde som e omåde mellom o gafe. Eesom gafen il y = e øves i hele inevalle, e π A = ( sin x) dx = x + cos x = ( π+ cos π) ( + cos ) =π =π π [ ] Meode Vi egne føs u aeale mellom x-aksen og gafen il y = sin x. π π [ x] sin xdx = cos = cos π ( cos ) = + = Aeale av ekangele som omslue omåde, e π = π. Aeale av de skavee omåde e demed A = π d) Likningen il en ellipse e gi ved 6x + 5y 96x + y = 56 Finn senum og halvaksene il ellipsen. Vi omfome likningen: 6x + 5y 96x + y = 56 6x 96x + 5y + y = 56 x x + y + y = 6( x 6x + 3 ) + 5( y + 4 y + ) = ( x 3) + 5( y + ) = 4 6 ( x 3) 5 ( y + ) 4 + = ( 6 ) 5( 4 ) ( x 3) ( y + ) + = 5 4 Ellipsen ha senum i (3, ) og ha halvaksene 5 og 4. Halvaksen 5 e i x-ening. e) I en by e de o bussue, A og B. Rue A afikkees av 6 busse pe ime, og ue B afikkees av 4 busse pe ime. Begge bussuene ha soppesed på Toge. Sannsynligheen fo a en buss komme fo sen il Toge, e,5 fo ue A og, fo ue B.

3 ) Finn sannsynligheen fo a en ilfeldig buss komme fo sen il Toge. Vi innføe hendingene A: Bussen kjøe ue A B: Bussen kjøe ue B S: Bussen komme fo sen Vi fousee a vi ekke ilfeldig blan de bussene slik a vi kan buke en unifom sannsynlighesmodell. Da e 6 4 PA ( ) = =,6 PB ( ) = =,4 PS ( A ) =,5 PS ( B ) =, Den oale sannsynligheen e PS ( ) = PS ( A) PA ( ) + PS ( B) PB ( ) =, 5,6 +,, 4 =,9 ) Finn sannsynligheen fo a en buss som komme fo sen, afikkee ue B. Føs finne vi sannsynligheen fo a en ilfeldig valg buss både afikkee ue B og komme fo sen. PB ( S) = PS ( B) PB ( ) =,,4 =,4 Nå finne vi sannsynligheen fo a en buss som komme fo sen, afikkee ue B. PB ( S),4 4 PB ( S) = = =, PS ( ),9 9 Vi kan også buke Bayes-seningen: PS ( B) PB ( ),,4,4 4 PB ( S) = = = =, PS ( ),9,9 9 Vudeing: Eleve vil, med god gunn, bli usike på den unifome modellen. Hvodan skal uykke en ilfeldig buss oppfaes? (De hee vel egenlig en ilfeldig valg buss!?) Bey de a vi legge bussene i en ha og ekke ilfeldig blan de bussene? Elle bey de a vi gå ned på Toge på e ilfeldig valg idspunk og velge den bussen som komme føs? Hvis de e den sise olkningen som e den ikige, må de komme en buss nøyakig hve 6. minu hvis vi skal kunne benye en unifom modell. Hvis ue A komme hve. minu og ue B hve 5. minu, kan P(A) bli,7 og P(B) bli,3 avhengig av idspunkene. De kan vi se på denne måen:

4 Vi enke oss a ue A ha ueid hh., hh., hh. osv. og a ue B ha ueid hh., hh.7, hh.3 og hh.47. Vi ha valg ueidene slik a ingen buss skal komme samidig. Vi gå ned på Toge på e ilfeldig valg idspunk. Hvis buss B skal væe den føse bussen som komme, må vi komme il Toge i e av idsommene hh. hh., hh. hh.7, hh.3 hh.3 og hh.4 hh.47. Til sammen e dee = 8 minue. I de eseende 4 minuene i løpe av en ime effe vi på buss A. Sannsynligheen fo å 4 8 effe på buss A e =,7. Sannsynligheen fo å effe på buss B e =,3. De semme ikke 6 6 med de vi egne med i oppgaven. Oppgave I en svømmehall måles empeauen i vanne én gang om dagen. Resulaene ha hiil væ ilnæme nomalfodel med e gjennomsni på 3, C og e sandadavvik på, C. a) Finn sannsynligheen fo a empeauen i vanne på en ilfeldig dag e lavee enn C. La T væe empeauen i vanne en ilfeldig valg dag. Ifølge oppgaven e da T ilnæme nomalfodel med µ = 3, C og σ =, C. Tabellmeoden, 3, PT ( <,) = Φ ( ) = Φ(,67) =,48, Lommeegnemeoden Vi vise o meode på den samme skjemen: PT< ( ) =, 48

5 Ee en juseing av anlegge få vakmeseen misanke om a vannempeauen e høyee enn fø. Han måle empeauen i vanne én gang om dagen i 3 dage og finne e gjennomsni på 3,6 C. b) Foea en hypoesees fo å undesøke om de e gunnlag fo å hevde a gjennomsnisempeauen nå e høyee enn 3, C. Buk e signifikansnivå på 5 %. U fa opplysningene i oppgaven sille vi opp disse hypoesene: Nullhypoese: H : µ = 3, C Mohypoese: H: µ > 3, C Som esobsevao velge vi gjennomsnisempeauen T i en måleseie med en måling pe dag i n = 3 dage. T e da ilnæme nomalfodel med fovenningsvedi µ = µ = 3, C T og sandadavvik σ T σ, C = = =,9 n 3 Eesom signifikansnivåe e 5 %, e den kiiske empeauen T besem ved a PT ( > T) =,5. De e de samme som a PT ( T ) =,5 =,95. Tabellmeoden Vi slå opp i abellen og finne a z =,645 svae il sannsynligheen,95. Den kiiske empeauen e T = µ + z σ = 3, C +,645,9 C = 3,36 C Lommeegnemeoden T T T = 3,36 C Vi fokase demed nullhypoesen hvis T 3,4. Daaene gi ikke gunnlag il å fokase nullhypoesen hvis T 3,3 C. Eesom gjennomsnisempeauen e 3,6 C i løpe av 3 dage, ha vi gunn fo å o a fovene empeau e fo høy.

6 Vudeing: I oppgave b) bø vi ikke spøe om gjennomsnisempeauen nå e høyee enn 3, C. Vi bude spøe om fovene empeau e høyee enn 3, C. Gjennomsnisempeauen i peioden e i ugangspunke ove 3, C. Den e mål il 3,6 C. De e vel også vilsom om T e en sokasisk vaiabel. Vil ikke en høy empeau en dag påvike empeauen dagen ee? Vamekapasieen il vann e som kjen ganske høy. Vi skulle o a T e ganske deeminisisk. De må væe mulig å fousi den u fa vameilføsel, omempeau, anall besøkende, ilføsel av fisk vann osv. Eesom syseme e lie sokasisk, ville en vakmese sille ned effeken på vameanlegge hvis gjennomsnisempeauen gjennom en måned va,6 C fo høy. Vi ville ikke ha få ufø noen hypoesees føs. (De alle flese vakmesee ville nok ha væ svæ så fonøyd med anlegge hvis avvike va så lie som,6 C.) E oppgaven vikelighesnæ? Oppgave 3 En smeesillende medisin byes ned i koppen med en halveingsid på ime. Vi la y = y() væe medisinmengden (mål i milligam) i koppen ee ime. Da e y en løsning av diffeensiallikningen y = ky de k e en konsan. a) Løs diffeensiallikningen og vis a ln k =. y' = ky y' ky = e k k y' e ky e = k ( y e )' = k y e = C e y = Ce k k k Ved = e k y = Ce = Ce = C = C Ifølge opplysningene i oppgaven e da C y = ved =. De gi likningen

7 Ce e k k e C = k ln ln k lne = ln ln k = ln k = ln k = = = ln En pasien få koninuelig ilføsel av denne medisinen. Dosen e 3 mg i løpe av en ime. b) Vi la nå y = y() væe medisinmengden i koppen ee ime. Fokla hvofo y = ky + 3 () ln de k =. Løs diffeensiallikningen (). Medisinen skilles u fa koppen med en veksfa på ky de k e de negaive alle fa oppgave a. De bli ilfø medisin med en veksfa på 3 mg pe ime. Samle veksfa i milligam bli demed ky + 3. Demed e y = ky + 3 Vi løse likningen: Med y' = ky + 3 k y' ky = 3 e y' e ky e = 3 e k k ( y e )' = 3 e k k k k k y e = 3 e d k k y e = 3 e + C k 3 y e = C e e k k 3 y = Ce k k k k ln k = bli

8 ln ln k y = Ce = Ce = Ce + k ln ln Nå behandlingen begynne ved =, ha pasienen en ukjen mengde y av medisinen i koppen fa en idligee behandling. c) Vis a 6 6 y = y +. ln ln Hva skje med medisinmengden i koppen nå iden gå? Ved =, e y = y. Vi see inn i uykke fa oppgave b og finne C. ln 6 Ce + = y ln 6 C + = y ln 6 C = y ln Vi omfome uykke ln e. ln ln ln = = ( ) = = ln e e e Innseing gi e ln y = Ce + = y + ln ln ln Nå, vil. Da vil medisinmengden y = y + y + = 8,7 ln ln ln ln ln Medisinmengden vil næme seg 8,7 mg nå iden gå. Vudeing: ln Oppgave a e fo eknisk vanskelig il å væe oppgave a. De vanskelige uykke k = kombine med en diffeensiallikning vil a moe fa mange av de svake elevene. De vil ha denne oppgaven blank. Kan vi fovene a alle elevene kjenne begepe halveingsid? Vil ikke dee begepe favoisee fysikkeleve som kjenne begepe fa abeid med adioakivie?

9 Oppgave 4 En flygelede følge flye F på adaen. Konollåne e i oigo O. Posisjonen il flye ved e uuu besem idspunk, =, e gi ved OP = [5, 3, 6]. Alle avsande e mål i kilomee. Faen il flye F e v = [, 5, ]. Faen e konsan og e mål i kilomee pe ime. a) Vis a ee 6 minue e posisjonen il flye gi ved vekoen [ 6, 5, 6]. Eesom 6 minue e de samme som 6 = ime, e posisjonen ee 6 minue gi ved 6 uuu OP + v = [5, 3, 6] + [, 5, ] = [5, 3, 6] + [, 5, ] = [ 6, 5, 6] uuu 7 5 b) Fokla a posisjonen A ee minue e gi ved OA = [5, 3, 6]. 6 Eesom minue e de samme som 6 ime, e posisjonen ee minue gi ved uuu uuu OA = OP + v = [5, 3, 6] + [, 5, ] = [5, 3, 6] + [,, ] = [5, 3, 6] Flygeledeen obsevee på samme idspunk, =, e anne fly M på adaskjemen. Posisjonen uuu e da gi ved OQ = [ 3, 5, 5]. Faen il flye e konsan og gi ved vekoen u = [5, 5, 6]. Avsandene e mål i kilomee og faen i kilomee pe ime. c) Besem posisjonen B il flye M nå de ha gå minue siden flygeledeen obsevee de o flyene på adaen. Eesom minue e de samme som 6 ime, e posisjonen ee minue gi ved uuu uuu OB = OQ + u = [ 3, 5, 5] + [5, 5, 6] = [ 3, 5, 5] + [,, ] = [ 3 +, 5 +, 5 + ]

10 uuu d) Vis a AB =[ 45+6, 45+5, + ]. uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu AB = AO + OB = OA + OB = OB OA = [ 3 +, 5 +, 5 + ] [5, 3, 6] = [ 3 + (5 ), 5 + (3 ), 5 + 6] = [ , , + ] 6 6 = [ 45+ 6, 45+ 5, + ] e) Hvo lang id a de fø avsanden mellom flyene e koes? Avsanden d mellom flyene ee minue e uuu d = AB = ( ) + ( ) + ( + ) = = + Eesom x ha sin minse vedi nå x ha sin minse vedi, ha d sin minse vedi nå f ( ) = ha sin minse vedi. Gafen il f e en paabel med en minimalvedi i de punke de f () =. Vi deivee og see den deivee lik null. f '( ) = 4 99 f '( ) = 4 99 = 99 = 4 = 8 Avsanden e mins ee 8 min. Denne oppgaven kan vi også løse på lommeegneen ved å legge inn uykke fo d og finne minimum. Vudeing: Denne oppgaven e mye leee enn oppgave 3. Sammen med oppgave bø den væe planken fo mange eleve.

11 Oppgave 5 En funksjon e gi ved y = f(x) de a x b og f(x). Se figuen il høye. Gafen f deies om x-aksen. Vi kan vise a oveflaen O il de omdeiningslegeme som famkomme, e gi ved b O = π y + ( y') dx a (Endeflaene e ikke egne med.) a) Buk fomelen ovenfo il å finne O nå f(x) = x og x. Hva slags omdeiningslegeme e dee? Konolle svae ved å besemme sideflaen il dee omdeiningslegeme på en annen måe. He y = x og y =. Da e oveflaen O = π y + ( y') dx = π x + dx = π xdx = π x = π = π Omdeiningslegeme e ei kjegle med adius = og høyde h =. Lengden av sidekanen i kjegla e s = + = Oveflaen e O =π s =π =π

12 b) Buk fomelen ovenfo il å vise a oveflaen il en kule med adius e 4π. Ta ugangspunk i en halvsikel plasse i e koodinasysem slik figuen il høye vise. Fomelen fo en sikel med adius og senum i oigo e x + y = Vi finne e uykk fo y. y = x y =± x Halvsikelen ovenfo beså av de punkene på sikelen de y >. De gi y = x Vi deivee uykke x y' = ( x )' = ( x) = x x x ( y ') + = + x x x x x = + = + x x x x + x = = x x + y = = = ( ') Oveflaen bli x x y ( ') [ ] O = π y + y dx = π y dx y = π dx = π x = π( ( )) = π = 4π

13 c) En masipankule dekke med sjokolade skjæes opp i skive med samme ykkelse. Vis a alle skivene få like so sjokoladeflae. Vi vise a oveflaen av ei kuleskive med bedde b e den samme hvo den skjæes. Vi la den gå fa x = a il x = a + b. Oveflaen bli da a+ b a+ b ( ') O = π y + y dx = π y dx y a a+ b [ ] a+ b a = π dx = π x = π ( a + b a) = πb a a Vi se a aeale e πb. De e ikke avhengig av hvo vi begynne å skjæe. Aeale e bae avhengig av adien og bedden b. Vudeing: Oppgaveeksen e mangelfull. De bude så Gafen f deies 36 om x-aksen. og ikke bae Gafen f deies om x-aksen.. De svake elevene få nok ikke il noe he. I oppgave a bli de fo mange symbole og e inegal som se veldig vanskelig u. Vi o oppgave a hadde væ bede ilpasse de svake hvis de hadde så y = x i sede fo f(x) = x i spøsmål a! Oppgave b e så eknisk vanskelig a de bae e de alle flinkese som komme i mål. Og hvis en elev ikke klae oppgave b, kan eleven helle ikke klae oppgave c. Vudeing av see: De kan vike som om see ha e ilsekkelig anall lee spøsmål fo de svake. Disse elevene bø klae såpass mye av oppgave og oppgave 4 a de kan få il eksamen. Men de kan vike som om de e ganske få spøsmål av middels vanskegad. Eleve med kaakeen 4 vil demed le havne på 3. Eleve med en svak 5 havne på 4. De e nok bae de alle, alle flinkese som klae hele see. De e gunn il å o a elevene samles på miden med dee see. See legge opp il mange ganske komplisee algebaiske omfominge. Dee kan olkes som e signal om a vi bø syke abeide med slike omfominge. Elevene ha bae i lien gad buk fo lommeegneen sin i dee see. De e ikke en enese oppgave de de e avhengig av gafisk lommeegne. E de også e signal?