FYS2150/V19/Modul 3 LYSBØLGER: diffraksjon, interferens og spektroskopi, med noen kvantemekaniske anvendelser

Transkript

1 FYS150/V19/Modul 3 LYSBØLGER: diffraksjon, interferens og spektroskopi, med noen kvantemekaniske anvendelser C.A. Lütken, A. Read Department of Physics, University of Oslo (Dated: April 8, 019) Vi studerer diffraksjon og intereferens av lys ved hjelp at tre ulike eksperimentelle metoder. Først skal vi se på brytningen av monokromatisk lys som oppstår når det passerer skarpe kanter, som en spalte eller et hull. Ved å utnytte dette fenomenet i et gitterspektrometer kan vi splitte opp polykromatisk (flere farger) lys i sine enkelte (monkromatiske = en farge) bestanddeler, dvs. en regnbue, og vi oppdager at hvert atom har sin egen, unike barkode. Vi skal også bruke det geniale Fabry-Perot-interferometeret, som har en vesentlig høyere oppløsning enn gitterspektrometeret, til å studere hvordan degenererte energinivåer i et atom splittes når atomet plasseres i et magnetfelt (Zeeman-effekten). Øvelsen er i stor grad en overbevisende validering av kvantemekanikkens uforståelige beskrivelse av verden. En modell skal være så enkel som mulig, men ikke enklere. (Albert E.) Vi skal her studere i hvilken grad noen enkle matematiske funksjoner modellerer en del ganske kompliserte bølgefenomener fra både klassisk fysikk (illuminansfunksjoner) og kvantemekanikk (Bohrs formel), og vi skal se hvordan disse utnyttes i spektroskopien. Det er vanskelig å finne et annet eksempel som er like viktig for naturvitenskapen som interferens, da dette fenomenet er grunnleggende for den metrologi som har satt oss i stand til å utforske store deler av Naturen [minst 37 dekader, fra atomer (diameter ca m) til den observable delen av Universet (diameter ca m)]. Våre teorier er matematiske modeller som aldri må forveksles med virkeligheten, og modellen er ikke ferdig bygget før dens anvendelsområde er avgenset. I den grad modellen kan avledes av andre ting, ikke minst fra eksperimentelle data, så er dette kun mulig hvis man ser bort fra uendelig mange subsidiære fenomener som antas å ha liten betydning for det fenomenet man ønsker å modellere. Analytiske og/eller numeriske løsninger (illuminansfunksjonene, Bohr-formelen, etc.) gir kun informasjon om modellens egenskaper, som uten eksperimentell validering ikke nødvendigvis sier noe om Naturen, kun modellen. Denne øvelsen handler ikke om matematiske snurrepiperier (disse er ikke irrelevante, men så langt som mulig isolert i appendikser for ikke å skygge for fysikken), men om denne uerstattelige valideringsprosessen som er kjernen i all naturvitenskap: det er det eneste som knytter matematikken til det fysiske fenomenet! Figure 1: Geometrien som benyttes ved beregning av det elektrisk feltet fra en spalteformet lyskilde, i et punkt (x, y, R) i observasjonsplanet. I. TEORETISK BØLGEOPTIKK A. Spaltediffraksjon og interferens Når en plan monokromatisk lysbølge med bølgelengde λ går gjennom en spalte (N = 1), eller flere spalter (N > 1)(Fig. 1 viser enkeltspaltegeometrien), så kan hvert punkt i åpningen(e) betraktes som kilden til en ny kulebølge. Den konstruktive og destruktive interferensen mellom bølger med ulik gangvei gir diffraksjon (en spalte) og interferens (flere spalter). Interferensmønsteret som fanges opp på en skjerm kan beskrives matematisk av illuminansfunksjonen E N (x) = E 1 (x) F N (x), N = 1,, 3,..., (1) som kan oppfattes som produktet av diffraksjonskurven [ ] sin(bx) E 1 (x) sinc (bx) =, b = ac, () bx og interferenskurven [ ] sin(nbx) F N (x) =, sin(bx) B = Ac, (3)

2 der a er spaltebredden, A er spalteavstanden, c = π/λr, og R er avstanden fra spalten(e) til skjermen hvor interferensmønsteret fanges opp (et eksempel med N = er vist i Fig. ). 1. Funksjonarium av interferens-eksemplarer E A a.5 R 8 m [Et herbarium er en systematisk samling av (botaniske) eksemplarer for vitenskaplig klassifisering og taksonomi.] x mm Illuminansfunksjonen E N (x) er den genetiske koden for alle teoretiske spalteinterferensmønstere, men det er ikke opplagt hvilke fenotyper vi kan ha, dvs. hvordan individene (grafene) ser ut for spesifikke valg (realiseringer) av parameterverdiene N, a og A. For ikke å kaste bort kvalitetstid på knusktørr funksjonsdrøfting, som vi heller vil tilbringe sammen med apparatene, finner dere vedlagt et atlas av illuminans-funksjoner for diverse parametervalg (Fig. 9-18). I Fig. har vi plottet noen eksempler for å illustrere hva vi kan forvente å se i dette eksperimentet. Antagelig vil alle dine observasjoner kunne sammenlignes med minst en av disse. Det er din oppgave å undersøke i hvilken grad denne matematiske modellen stemmer med den eksperimentelle virkeligheten du møter på mørkerommet. E3 E A a x mm A a.5 R 8 m R 8 m 0.. Gitterspektrometri Et spektrometer består i hovedsak av en kollimator, et gitter eller prisme og en kikkert med trådkors i okularet. Kollimatoren er et rør med en justerbar spalte i den ene enden og en konveks linse i den andre. Spalten befinner seg i linsens brennplan. Når spalten belyses av f. eks. en spektrallampe, kommer det parallelt lys ut fra kollimatoren. Et gitter plassert vinkelrett på kollimatoraksen vil avbøye spektralkomponentene i lyset fra lampen i forskjellige retninger. Ved hjelp av kikkerten, som bør være innstilt på uendelig, kan vinklene svarende til disse retningene leses av på spektrometerets gradskala. 1 Avlesningen foretas når kikkertens trådkors faller sammen med spektrallinjen. Det er fordelaktig å observere hver spektrallinje to ganger: ved vinklen α h til høyre for kollimatoraksen, og vinkelen α v til venstre for kollimatoraksen. Avbøyningsvinkelen θ settes inn i gitterlikningen: E4 E x mm A a x mm A a.5 R 8 m R 8 m d sin θ = mλ, θ = α h α v, (4) der m = 1,, 3,... er spektrallinjens orden, dvs. forskjellen i gangavstand i antall hele bølgelengder. Gitterkonstanten d, som er avstanden mellom strekene i gitteret, regnes ut fra det oppgitte antall streker per tomme (LPI = Lines Per Inch = antall linjer per 5.4 mm) x mm Figure : Noen illuminans-eksemplarer.

3 3 Dette gir oss bølgelengden λ, med relative usikkerhet λ λ = ( d der (alle vinkler er i radianer) θ = 1 d ) ( ) θ +, (5) tan θ ( α h ) + ( α v ). (6) B. Hulldiffraksjon Hvis lyset i Fig. 1 må gjennomm et rundt hull med diameter a, i stedet for spalteåpningen, så blir diffraksjonsmønsteret rotasjonssymmetrisk, og den matematiske modellen må reflektere dette. Illuminansen H i et plan i stor avstand R fra hullet er nå [ ] J1 (w) H(w), w = πar w λr, (7) der J 1 er Besselfunksjonen av første orden, og r er avstanden fra diffraksjonsmønsterets sentrum i observasjonsplanet. Nullpunktene w 0 = 3.83, 7.016, , 13.34,... til Besselfunksjonen svarer til de sorte ringene vist i Fig. 3. II. EKSPERIMENTELL BØLGEOPTIKK Vi skal i denne øvelsen verifisere (1) og (7) eksperimentelt, slik at vi kan bruke gittere og lignende instrumenter til å utforske noen av atomenes optiske egenskaper, og derved bekrefte deler av kvantemekanikken. A. Spalter 1. Enkeltspalter med forskjellige bredder Benytt spalter med kjente bredder. Det er hensiktsmessig å returnere lyset ved hjelp av et speil slik at observasjonsskjermen kan plasseres nær spalten. Mål avstanden mellom to mørke områder i diffraksjonsmønsteret. Disse områdene bør ligge så langt fra hverandre som mulig. Benytt den målte avstand til å bestemme spaltens bredde ved hjelp av enkeltspaltens illuminansuttrykk. Sammenlign dine eksperimentelt bestemte verdier for spaltenes bredder med de oppgitte verdiene. Figure 3: Besselfunksjonen J 1 modellerer diffraksjonsmønsteret H(w) [J 1(w)/w] ] fra ett hull.. To parallelle spalter Vi øker tverrsnittet på laserstrålen ved hjelp av to konvekse linser (f.eks. med brennvidder 0 mm og 00 mm). Avstanden mellom linsene velges lik summen av bren-

4 4 nviddene (dette er en afokal sammensatt linse). Spaltebredden a og avstanden A mellom spaltene er oppgitt. Hvor mange illuminansmaksima (lyse striper) forventer du å finne innenfor enkeltspaltens sentrale diffraksjonstopp, ifølge den matematiske modellen? Undersøk om det observerte antall striper stemmer overens med forventet antall. Elektronet kan eksiteres (gå til en bane med høyere energi) ved å ta opp energi fra det elektromagnetiske feltet, og det kan deeksiteres (gå til en bane med lavere energi) ved å spontant avgi et foton med energi E γ = hν = hc/λ. For at energiregnskapet E γ = E n E m > 0 skal gå opp må et elektron som hopper fra et energinivå m til et lavere nivå n avgi et foton med bølgelengde 3. Flere parallelle spalter Undersøk hvordan interferensmønsteret forandrer seg når antall spalter vokser, og forklar hvorfor vi bruker et gitter med mange (men ikke for mange) spalter i et spektroskop. B. Hull Bruk illuminansfunksjonen H til å beregne hvilke diametere de innerste mørke ringene i diffraksjonsmøsteret på observasjonsskjermen forventes å ha ifølge denne modellen. Hvordan forventer vi at intensiteten på de lysende ringene vil avhenge av radien, ifølge denne matematiske modellen? Fjern linsene som ble benyttet til å utvide laserstrålen i forrige oppgave, og undersøk diffraksjonsmønsterene fra noen hull med kjente diametere. Hvordan stemmer dine eksperimentelle diametere overens med forventede verdier? λ(m n) = 1 [ ( R 1 ( n) 1 ) ], (8) m der Rydbergkonstanten R = m 1. Det menneskelige øyet kan kun se overganger til n =, som kalles Balmerspekteret (se Fig. 4). De tillatte energiene til de to elektronene i et Heliumatom er vesentlig mer komplisert, fordi elektronene ikke bare vekselvirker med atomkjernen, men gså med hverandre. Vi har derfor ingen enkel teoretisk formel, men spekteret består av mange sterke linjer. Deres spektrometriske observasjoner kan sammenlignes med de kvantemekaniske beregningene til Egil Hyllerås, og det gir ytterligere støtte til kantemekanikken. Siden forskjellige atomer har forskjellig antall elektroner, så har hvert atom sitt eget unike emisjonsspektrum. Denne barkoden gjør at vi kan identifisere kjemien til stjerner og planeter over hele universet. Ikke minst kan vi verifisere at de har samme fysikk som vi har: naturlovene er universelle. III. TEORETISK ATOMFYSIKK I kvantemekanikken er tillatte atomære tilstander ψ n,l,m (x) = x n, l, m entydig bestemt av hovedkvantetallet n, spinnkvantetallet l, og det magnetiske kvantetallet m. Vi skal i denne øvelsen verifisere dette eksperimentelt. A. Atomets barkode: hovedkvantetallet n og gitterspektroskopi For å unngå strålingskatastrofen i klassisk fysikk forandret Bohr spillerenglene dramatisk, ved å postulere at et elektron bundet til en atomkjerne kan akselereres uten å avgi elektromagnetisk stråling (lys). Dette er umulig ifølge klassisk fysikk, og prisen er at elektronet ikke kan parkere i en hvilken som helst omløpsbane. Elektronet i Hydrogen kan kun ha en av energiene E n < 0 gitt ved Bohr-formelen E n 1/n, hvor n = 1,, 3, 4, 5,... kalles hovedkvantetallet (nullpunktet på energiskalaen er slik at E = 0). B. Zeeman-effekten: det magnetiske kvantetallet m og FP-spektroskopi Zeeman-effekten er et magneto-optisk fenomen som vi kan forklare ved hjelp av kvantemekanisk teori. Effekten handler kort oppsummert om at energien assosiert med et hopp fra et elektronskall til et annet kan påvirkes av et ytre magnetfelt. Fra Planck-Einstein-sammenhengen (E = hν) ser vi at vi kan observere dette som en liten endring i frekvens ν, med andre ord en liten fargeforandring i lyset som sendes ut. Endringen ν som vi ser etter er svært liten (langt svakere enn vårt øye klarer å skille, og også mindre enn oppløsningen til gitterspektrometeret dere brukte i forrige oppgave). Derfor trenger vi et meget følsomt instrument for å oppdage den. I dette forsøket skal dere bruke et Fabry-Perot interferometer (også kalt FP etalon). FPinterferometeret har så stor oppløsning at vi kan bruke Zeeman effekten til å måle verdien av Bohr-magnetonet µ B, som er (nesten) lik det fundamentale magnetiske momentet fra egenspinnet til et enkelt elektron.

5 5 0 ev ev ev Lyman: n=1 m λ [nm] Balmer: n= m λ [nm] Paschen: n=3 m λ [nm] BrackeI: n=4 m λ [nm] R = (55) x 10 7 m -1 = (30) ev/hc ev 1 R R 390 visible R 4 R Hydrogen spectrum 1 λ = R n λ [nm] _ R m Figure 4: Bohrs tolkning av energiformelen E n 1/n forklarer strukturen til Hydrogenspekteret. 1. Spinn og degenerasjon Det magnetiske momentet til en klassisk partikkel med masse m e, ladning q og spinn S er µ = gqs/m e. Vi har valgt å ta med den dimensjonsløse faktoren g, som har vist seg å være en av de viktigste størrelsene i moderne fysikk. I klassisk mekanikk er g = 1. I kvantemekanikken er også g = 1 for vanlig banespinn, men for egenspinnet til elektronet sier kvantemekanikken at g e =. Kvante-spinnkomponenten til elektronet langs en akse er S z = /. Altså følger det at elektronets magnetiske moment er: µ e e m e µ B, (9) hvor µ B kalles Bohr-magnetonet. Legg merke til omtrent lik -symbolet etter µ e i ligningen over. Det viser seg at denne sammenhengen ikke er eksakt, noe som blir utdypet i Appendiks III. Avviket er imidlertid såpass lite at det ikke spiller noen praktisk rolle for forsøket dere skal gjøre. I denne øvelsen skal dere studere oppsplittingen av den røde spektrallinjen 3 med bølgelengden λ 0 = nm fra en kadmiumlampe som er plassert i et magnetfelt med flukstetthet B av størrelsesorden 1 Tesla (se Fig. 5). 4 Magnetfeltet splitter opp den opprinnelige linjen, fordi denne består av fotoner fra flere ulike kvantetilstander med samme energi (degenererte kvantetilstander, se Fig. 6). For et gitt banespinn L er det L + 1 degenererte tilstander. I et magnetfelt er den spinnløse tilstanden (den med L z kvantetallet m = 0) upåvirket, mens de andre får mer energi (hvis m > 0) eller mindre energi (hvis m < 0). I vårt tilfelle er det 9 tillatte overganger, hver med 3 forskjellige energidifferanser (se Fig. 6). Der hvor det med B = 0 var kun en farge λ 0 i spekteret, har vi med B 0 tre farger (λ 0 λ, λ 0, λ 0 + λ). Endringen λ er imidlertid svært liten, dvs i størrelsesorden noen pico-meter (10 1 m). Dette er vesentlig mindre enn vi kan observere med det blotte øye, og også utenfor oppløsningen til et vanlig gitterspektrometer.. Interferometeret FP-interferometeret er basert på interferens av lys som blir delvis reflektert mellom to semitransparente tynne parallelle plater. I vårt FP-interferometer er avstanden mellom platene t 3.00 mm. Noe lys går direkte gjennom platene, mens resten blir reflektert en eller flere ganger fra hver overflate før det fortsetter i retning forover (Fig. 19). En linse bak de halvgjennomsiktige platene samler parallelle stråler slik at de blir fokusert på en kamerabrikke plassert bak linsen (Fig. 5). Konstruktiv interferens oppstår når gangforskjellen som følge av indre refleksjon er et helt antall bølgelengder (se Fig. 19): nλ = t cos θ t (n N). (10) Radien r = f tan θ til ringen på kamerabrikken er bestemt av brennvidden f til linsen. Mange ringer er synlige på skjermen, hver enkelt assosiert med en bestemt bølgelengde og orden, se Fig. 7. Vi studerer tilfellet hvor magnetfeltet står normalt på lysretningen. Lyset er da planpolarisert, og det elektriske

6 6 4//019 magnet-fprings.jpg ( ) Figure 5: Skisse av oppsettet dere skal bruke for å studere Zeeman-effekten. feltet til de to nye linjene står normalt på det elektriske feltet til lyset med bølgelengde λ 0. Ved hjelp av et polarisasjonsfilter filtrerer vi bort linjen med bølgelengde λ 0 og betrakter i det følgende bare de resterende linjene med frekvens ν a (n) og ν b (n) (se Fig. 7). Vi kan finne frekvensforskjellen ν = ν a ν b = µ B B/h = c t d d 1 d 3 d 1 (11) ved å måle diameterene d 1, d og d 3 til de tre innerste ringene (se Appendiks II). IV. EKSPERIMENTELL ATOMFYSIKK Figure 7: Interferensringer fra et FP-interferometer [n er ikke interferensmaksimum nr. 1,, 3,... i gitterligningen (4)]. 1/1 C. Hydrogen En hydrogenlampe settes foran kollimatorspalten. Bestem bølgelengdene til de spektrallinjene du klarer å λ 0#.#δλ# λ 0 # Figure 8: FP ringer har endelig tykkelse. Diameteren til en ring er middelverdien av ytre og indre kant. λ 0# +#δλ# λ 0# =#643.8#nm# se tydelig. Anslå usikkerhetene i vinklene α h og α v, og beregn de tilhørende usikkerhetene i bølgelengdene. Gitterkonstanten d kan regnes ut fra antall streker pr. tomme, som er oppgitt. Sammenlikn de bølgelengdene du finner med de teoretiske verdiene som er gitt ved (8). Figure 6: Noen tillatte kvantesprang i kadmium, før og etter at magnetfeltet B splitter tilstander med ulike magnetiske kvantetall M L. Spinnbevaring medfører at σ- og π-fotoner er ortogonalt polalisert. D. Helium En heliumlampe settes foran kollimatorspalten. Bestem bølgelengdene til minst en rød, en gul, en grønn,

7 7 en blå og en blåfiolett spektrallinje. Anslå usikkerhetene i de avleste vinklene og beregn de tilhørende usikkerhetene i bølgelengdene. E. Kadmium i magnetfelt 1. Polarisering Undersøk eksperimentelt om lyset er planpolarisert slik teorien tilsier. Lagre bilder av ring-strukturen for å dokumentere funnene.. Ringdata Lagre et bilde av ringstrukturen slik at du kan beregne ν og µ B. Til dette trenger du et bilde av de tre innerste ringene som ikke er der når B = 0. Husk å notere strømstyrken du bruker på elektromagneten, og finn hvilken B-feltstyrke dette tilsvarer ved å bruke kalibreringstabellen i Appendiks II. Ringene har endelig tykkelse, så vi bruker middelverdien av ytre og indre kant som ringdiameteren (se Fig. 8). 3. Fra millimeter til nanometer Regn ut ν og µ B, og diskuter usikkerheten. Sammenlign din eksperimentelle verdi av Bohr-magnetonet med tabellverdien [CODATA] µ B = (57) 10 4 J/T. APPENDIX I: ILLUMINANSEN E N = E 1F N Diffraksjonsfunksjonen E 1(x) (N = 1) En plan monokromatisk lysbølge med bølgelengde λ faller inn mot en skjerm med en smal spalte. Bølgenormalen står vinkelrett på skjermen. Vi benytter et kartesisk koordinatsystem med z-aksen langs bølgenormalen. Et punkt på skjermen har koordinatene (ξ, η, 0). Et diffraksjonsmønster observeres i et plan i stor avstand R fra skjermen. Et vilkårlig punkt i observasjonsplanet har koordinater (x, y, R). Geometrien er vist i Fig. 1. Spalten har bredde a og lengde h. Det elektriske feltet i lysbølgen beskrives ved hjelp av en kompleks skalarfunksjon φ. Vi vil finne ut hvordan φ varierer over observasjonsplanet ved å benytte Huygens prinsipp. Hvert punkt (ξ, η, 0) på bølgefronten i spalteåpningen er utgangspunkt for en kulebølge φ(s, t) 1 s ei(ks ωt). Her er k = π/λ vinkelbølgetallet, ω er vinkelfrekvensen, t er tiden, og s er avstanden mellom (ξ, η, 0) og observasjonspunktet (x, y, R): s = (x ξ) + (y η) + R. Verdien av funksjonen φ i punktet (x, y, R) i observasjonsplanet finnes ved å superponere kulefunksjonene fra alle punktene i spalteåpningen. I det generelle uttrykk for denne superposisjon er hver kulefunksjon multiplisert med en vinkelavhengig faktor χ. Det vil føre for langt å diskutere det generelle uttrykket her. Vi innfører restriksjonene a, h, y, x << R, slik at vi kan approksimere χ 1 i superposisjonen, dvs. i integralet av φ(s, t) over spalteåpningen. Ovenstående restriksjoner gjør det mulig å erstatte s i integralet med uttrykket R + (x ξ) + (y η) R I nevneren i uttrykket for kulefunksjonen beholder vi bare det første leddet her, dvs. at vi erstatter s med konstanten R. Dette medfører at dobbelintegralet over ξ og η forenkles til et produkt av to enkle integraler. For øvrig velges observasjonspunktene slik at vi kan neglisjere kvadratleddene ξ og η i eksponentialfunksjonen. Vi begrenser oss nå til å finne ut hvordan E avhenger av x. For en konstant verdi av y får vi endelig [ ] E 1 (x) e πiξx sin(bx) λr dξ, (1) bx der b = ac og c = π/(λr). Interferensfunksjonen F N (x) (N 1) Hvis skjermen har to smale, parallelle spalter med bredde a og plassert slik at avstanden mellom spaltene er A, blir [ ] sin(bx) E (x) cos (Bx), B = Ac. (13) bx Her har vi blant annet brukt sammenhengen sin(θ) = sin θ cos θ for å forenkle uttrykket. For N parallelle spalter (et gitter ) er integrasjonsområdet unionen av intervallene A + a, A a og A a., A + a, og vi får etter noe regning illuminansen [ ] sin(nbx) E N (x) = E 1 (x)f N (x), F N (x) =. (14) sin(bx)

8 8 Figure 9: Illuminansen E 1(b = 1). Figure 10: Illuminansen E (A/a = 5). Siden F 1 (x) = 1 ser vi at notasjonen er konsistent. Noen eksempler på hvordan E N (a, A) ser ut vist i Fig., og i Fig Illuminansens ekstremalpunkter Interferensmønsteret i observasjonsplanet blir nå ganske komplisert. Illuminansen har hovedmaksima [E N (x m ) = max] når x m = mπ, m = 0, ±1, ±,... (15) ca Figure 11: Illuminansen E (A/a = 5). Det er ikke helt opplagt at illuminansen alltid har et maksimum rett foran spalten, men vi kan tolke E 1 (x) som eksperimentell evidens for L Hopitals regel: Siden sin(x) x når x 0, så vil sinc(x) = sin(x)/x 1 (ikke null). Illuminansen har nullpunkter [E N (x 0 ) = 0] når x 0 π ca { 1 N, N,..., N 1 N, N + 1 N,... }. Det er (N 1) nullpunkter mellom to nabohovedmaksima. Det er (N ) sekundære maksima mellom to nabohovedmaksima. De sekundære maksima har mye mindre illuminans enn et hovedmaksimum. Halvparten av bredden til et hovedmaksimum er π/(can). Figure 1: Illuminansen E 3(A/a = 5). Gitterets oppløsningsevne Når lysets bølgelengde forandres fra λ til λ + λ, forskyves posisjonen til et hovedmasksimum fra x = mλr/a til x + x = m(λ + λ)r/a, slik at x = mr λ/a. Vi kan klare å skille de nærliggende hovedmaksima svarende til bølgelengdene λ og λ+ λ hvis x er lik eller større enn halvparten av bredden til et hovedmaksimum. Herav følger at gitterets oppløsningsevne er λ/ λ = mn. Figure 13: Illuminansen E 3(A/a = 5).

9 9 4//019 Figure 14: Illuminansen E4 (A/a = 5). magnet-fpgeometri.jpg ( ) Figure 18: Illuminansen E6 (A/a = 10). Figure 15: Illuminansen E4 (A/a = 3). Figure 19: Geometrien til stra legangen i et FP-interferometer [utledning av (10)]. Fordi det er luft mellom platene har vi antatt at lyset ikke brytes pa vei inn og ut av interferometeret. Den siste likningen er betingelsen for a fa konstruktiv interferens: gangforskjellen d ma være et helt antall bølgelengder for at stra lene skal være i fase (her er d λ 6 mm t). 1/1 APPENDIX II: ZEEMAN-EFFEKTEN Frekvens-splittingen Figure 16: Illuminansen E5 (A/a = 5). Vi utleder (11) ved a studere geometrien til stra legangen i et FP-interferometer som er vist i Fig. 19. For en gitt bølgelengde λa har vi at nλa = t cos θn,a og (n 1)λa = t cos θn 1,a, som gir λa = t(cos θn,a cos θn 1,a ). (16) Radien r = f tan θ til ringen pa kamerabrikken er bestemt av brennvidden f til linsen. For sma vinkler er r/f = tan θ θ, og cos θ 1 θ /, som innsatt i forrige likning gir λa = c/νa = Figure 17: Illuminansen E6 (A/a = 5). t (r rn,a ). f n 1,a (17) Vi merker oss at differansen mellom kvadratene av radiene for to hosliggende ringer er konstant.

10 10 Helt tilsvarende finner vi for to linjer av samme orden n, men forskjellige bølgelengder λ a og λ b og frekvenser ν a og ν b at ν = ν a ν b = ν aν b t cf n (r n,a r n,b). (18) Vi må kvitte oss med det ukjente tallet n ( 10 4 ). Vi starter med å sette inn ν b fra (17) i (18): ν = ν a n rn,a rn,b rn 1,b. (19) r n,b I dette uttrykket kan vi tillate oss å sette ν a /n c/t, slik at vi sitter igjen med et utrykk hvor kun diametrene d 1 = r n,b < d = r n,a < d 3 = r n 1,b til de tre innerste ringene skal måles: ν = c t d d 1 d 3. (0) d 1 Kalibrering Magnetfeltet mellom polene til elektromagneten er ikke konstant (se Fig. 5 og Fig. 0). Energisplittingen vil derfor avhenge av hvor i lyspæren atomet befinner seg. Denne oppgaven burde starte med å lage en kalibreringskurve for min/max verdiene av magnetfeltet mellom polene i elektromagneten, som funksjon av strømmen I. For å spare tid har vi gjort dette på forhånd, se Fig. 0. Vi bruker den ferdig oppstilte optiske benken vist i Fig. 5. Den er betydig forenklet i forhold til fabrikantens forslag, og er bedre tilpasset vårt eksperiment. Etter å ha fjernet B = 0 ringene med polarisatoren bruker du MINESEE applikasjonen for CCD-kameraet til å ta minst to bilder når strømmen er I 3 = 3 A og I 4 = 4 A. Hvis du har tid kan du ta bilder også for I 1 = 1 A og I = A. [Eksponeringstid, gain, saturation, kontrast osv. velges under options, som anvist av veileder.] Bestemmelse av frekvensforskjellen ν Det er valgfritt å bruke en av de to metodene i (a) og (b), eller begge, for å finne de ytre og indre diametrene d ± i (i = 1,, 3) av de tre minste ringene. Disse gir verdien av den dimensjonsløse geometriske nøkkelparameteren δ og Bohr-magnetonet µ B : δ = d d 1 d 3 1, d 1 µ B = hc 4t δ B. Her er t = 3.00 ± δt mm tykkelsen på glassplaten i enden av FP-interferometeret (δt er ikke oppgitt av fabrikanten PHYWE, så vi må anta at den ikke bidrar vesentlig til usikkerheten). Naturkonstanten hc = Jm [CODATA] er energien E 1 = hc R til grunntilstanden av et hydrogenatom målt i Rydberg (se forrige eksperiment i denne øvelsen om gitterspektroskopi). B red, B blue mt B B B black mt I A B mt B mt B mt B mt I A Figure 0: Magnetfeltet er ikke konstant mellom de uthulede polene som er skjøvet inn i elektromagneten (innsatt diagram, se også Fig. 5). Feltstyrkene B ±(I) ble målt med den transversale (T) måleproben Teslameter 000. The Smart Magnetic Sensor (TEL-Atomic Inc.), for hver halve Ampere mellom I = 0 A og I = 5 A. Datapunktene er vist i hoveddiagrammet, sammen med tilpassede kalibreringskurver. Tabellen viser målte verdier B ±, middelverdien B av disse, og verdien B avlest fra den midlere kalibreringskurven (sort). (a) Online. Bruk måleverktøyet i GIMP til å bestemme indre og ytre diameter d ± i (i = 1,, 3) til de tre minste ringene ved direkte avlesning på skjermbildet (se Fig. 8), og estimer usikkerheten i disse målingene. Bruk kalibreringsdata fra Fig. 0 til å beregne: µ ± B (I) = µ± B [B ±(I), d ± i (I)], µ B (I) = 1 [µ B (I) + µ+ B (I)], µ B = 1 N N µ B (I n ). n (b) Offline. Bruk MATLAB til å analysere bildene, for eksempel ved en gråtoneanalyse av et horisontalt utsnitt, som vist i Fig. 8, og bestem d ± i (i = 1,, 3) for en konstant verdi av intensiteten, for eksempel valgt lik 50% av toppen til den minste ringen. Estimer usikkerheten. Bruk kalibreringsdata fra Fig. 0 til å beregne: B(I) = 1 [B (I) + B + (I)], d i (I) = 1 [d i (I) + d+ i (I)], µ B (I) = µ B [B(I), d i (I)], µ B = 1 N µ N B (I n ). n

11 11 APPENDIX III: PRESISJONSMÅLINGER Ikke all partikkelfysikk handler om å oppdage nye partikler. Det er like viktig å måle deres egenskaper med stor presisjon og nøyaktighet. En grunn til dette er at kavntemekaniske partikler kan snakke med andre partikler som ennå ikke er oppdaget fordi de er for tunge, dvs. at dagens maskiner ikke har tilstrekkelig energi til å kunne produseres dem direkte: en partikkel med masse m som er i ro har energien E = mc, der c er lyshastigheten ([mc ] = kg m /s = J). For elektronet har man fra partikkelfysikken funnet den eksperimentelle verdien g e = (53), som stemmer meget godt med den teoretiske verdien. Ifølge kvante-elektrodynamikken er korreksjonen til laveste orden ( en løkke ) g e = + α/π Finstrukturkonstanten α er gitt av forholdet mellom to fundamentale ladninger: α 1 = (e P /e) = (44) 137.0, der e = (35) C er elektronets ladning, og Planck-ladningen e P = ε 0 ch = C er kun gitt av fundamentale fysiske størrelser: Plancks konstant h = Js, permittiviteten ε 0 = F/m til det tomme rom, og lysets hastighet c i denne tilstanden. 5 Avviket fra den kvantemekaniske verdien g = skyldes bl.a. vakuum-fluktuasjoner, og viser at kvantefeltteori er nødvendig for å gi en fullverdig og konsistent beskrivelse. Den eksperimentelle verdien av g e stemmer så godt med Standardmodellen at dette er den beste modellen vi har i fysikken. For tiden er det tilsynelatende et lite statistisk avvik (3.5 σ) mellom teori og eksperiment. I beste fall kan dette vise seg å skyldes ny fysikk utenfor Standardmodellen, men i partikkelfysikken krever en oppdagelse et avvik på minst 5 σ, dvs. at sannynligheten for at avviket skyldes en statistisk fluktuasjon er mindre enn Se for en demonstrasjon i bruken av spektrometerets gradskala. FP-interferometre var sentrale da forskere endelig klarte å observere gravitasjonsbølger høsten 015, noe som sier litt om følsomhetspotensialet til dette instrumentet. Instrumentene som ble brukt til dette var dog av en litt annen størrelsesorden enn vi har tilgjengelig i vår lab. For mer informasjon, søk opp Laser Interferometer Gravitational- Wave Observatory. 3 Geometrien til FP-interferometeret er slik at linjene er ringer, men språkbruken arves fra gitterspektrometrien, hvor spaltene gir spektrallinjer (atomets bar-kode ). 4 Veileder: Lampen = PHYWE skal ha strøm fra PHYWE Power Supply for Spectral Lamps ( ). Elektromagneten = PHYWE (FI3579)(FL000) ( 640 ma at 4A) skal ha strøm fra PHYWE Stelltrafo/Power Supply ( ). NB: Spolene skal seriekobles! (inn-rød-blå-rød-blå-ut). Amp.meter = BK Precision 3 1/ digit multimeter (Model 83) ( 4A), eller en FLUKE.. L 1 er montert på FP (vendes?), L = +300 ca. 0 cm fra FP, L 3 = +100 ca 30 cm fra L. B-feltet sjekket med Hall-sonde (I = 0,... A). Kameraet (Pro- MicroScan 5866 med device driver DCM130E) skal leses ut med minisee-programmet fra ScopeTek. 5 Det har hittil ikke vært mulig å påvise at den elektriske konduktiviteten i kvante-hall-effekten avviker fra et helt antall naturlige enheter G K = 1/R K = ε 0cα. Derfor kan α nå måles på kjøkkenbenken med omtrent samme presisjon som i høyenergifysikken.