ISBN

Transkript

1 ISBN F R N Y E L S E S T E R I ved. e Ave

2 Forelesiger i F R N Y E L S E S T E R I ved Terje Ave

3 Forord Dee oa om foryelseseori er uarbeide i ilkyig il forelesigee over eme "Opimale vedlikeholds sraegier" som igikk som e del av hovedfagskurse S38: Palieligheseori, vare 982. Hovedgrue il a oae er uarbeide er a ige l~rebok er fue ilfredssillede. Soffe som gjeomgas dekker bare e lie del av foryelseseorie, for eksempel er Blackwell's eorem og "Key Reewal Theorem" ikke a med. Hovedresulae som gis er R9 med paf lgede uvidelser. Jeg vil akke Be Navig for verdifull assisase ved uarbeidelse av oae. Terje Ave

4 f } La X =l vcere e sekves av ikke egaive, edelige og uavhegige ilfeldige variable med e felles fordeligsfuksjo F, Aa La F(O) = P {x =O} <. µ = EX Vi ser a Se s = l x. > og N ( ) = sup { : S ;;; }. Vi sier a e foryelse skjer ved hvis N( ) hopper ved. Vi observerer a ( ) N()> <=> s <. La M() = EN(). Vi skal a gi oe resulaer kye il N() og M(). Rl M ( ) = l i=l F.(), l der F. er i-e kovolusjo av F. Bevis. La IB beege idika?rfuksjoe for hedelse B. Ved a bruke rooo greseseig og () far vi "' M() = EN() = E.L I{i~N()} i=l =.l EI{i.;;N()} i=l = l P{N();;.i} = i=l l P{S.<} = i=l l l F.().. l l = R2 M() < oo for alle < < oo. Bemerkig. Fakisk har vi E(N())k <, k =,2,..., se for eksempel Prabhu (965), side 55.

5 - 3 - Bevis. La a>o va=re slik a p = P{X >a} eksiserer da Defier e y co < P{X >} :;:;: P( U {X ~l}) m=l m foryelsesprosess ved > (e slik : :;::: lim P{X ;;..!}). m m~oo og la x :;::;: { hvis x ( a a hvis x ;;. a N( ) = sup{: x + +X <}. Da ser vi a for dee ye foryelsesprosesse sa ka foryelser bare skje pa idspukee =,a,2a, La Yi (Y -) vcere aall foryelser pa idspuk ia (), i =,2,... Da. ka vi helall ridre e eller lik / a. 2,... ) er gi ved Fordelige il Y. ( i=o,, k=,2, ' dvs. Y. er georerisk fordel med parameer p. Ved a a bruke a EY. = /p ]_ far vi - EN ( ) = p( [ / a J + ) - < Side X ' X, har vi N() ;;. N() og de f lger a M() = EN() < Ei() < oo. R3 M( ) er h yrekoiuerlig. Bevis. Da N( ) er ikke-avagede og h yrekoiuerlig og M() < V, sa f lger de ved de domiere greseseig a lim EN(+h) = E lir N(+h) = EN(), dvs. M() er h yrekoiuh+o h+o erlig. R4 La g og h vcere Borel-malbare fuksjoer fra [O,oo) il (-, ) som er begrese pa edelige iervaller. Aa g ( ) = h ( ) + J g ( -U ) df ( U ) e ( < g = h + 9*F ( f = f ), dvs. o [o,]

6 Da er g() = h() + J h(-u)dm(u) g = h + hh. < <, dvs" Bevis. Da er opplag g begrese pa edelige iervaller, og ved Fubiis eorer er g Borel-malbar. E videre er g "" h + g *F Bevise for dee pasade f lger. Ved a bruke resulae gi i appedikse fier vi a h + g *F = h + (h+h*m)*f = h + h*f + (hkm}-kf = h + h*f + h*(m*f) = h + h*(f+m*f). Da F + M*F = F + ( l F )*F = F + =l de a g = h + g *F l F *F = F + =l l F = M, f ger =2 Vi skal a vise a Vi har g = h + 9*F 9- = h + 9*F; og dee gir (de sise likhee f lger av resulae gi i appedikse). Ved iduksjo far vi a g-g = (g-g )*F for alle. Side g og g er begresede pa edelige iervaller vil de eksisere e K < slik a I (g-g ) (u) I~ K, u.;;. Vi har da I < g -g, > < > I = I J < g-g >< - u > af < u ) I ~ f I < g-g H -u > I df" < u ) < KF () for alle. Na vil F () + ar + oo da M() = l F () <, og vi ma derfor ha g() = g (). R4 er dermed bevis.

7 ~ 5 -- RS. _,,. - ar " -"I'" co med sasylighe µ Bevise Ved defiisjoe av N() har vi Derav far vi s,;;; >:; s N() N()+l ( 2 ) s N() s N()+ N().;; ITT) < N() Vi har a P {lim N()<co} = P ( IJ { X :=oo} ) ( /, P { X =:oo} =, dvs. +oo =l =l N() + "" ar + oo med sasylighe ; derred f lger de av sore alls serke lov a ( 3) Da 8 N() med sasylighe N() + µ ar + 8 N ( ) + 8 N( ) + N()+l vi " a N() = ser ogsa N()+l N() ' ( 4) SN ( ) + + ]l ar N() f med sasylighe RS f lger a f ra ( 2) ' ( 3) og ( 4) F r vi gar videre i foryelseseorie skal vi vise f lgede geerelle seig. R6 (Wald's ligig). La v~re uavhegige, ideisk fordele ilfeldige variable. La videre N v~re e ilfeldig variabel som aar verdier i {,,2,.. } U { } slik a begivehe e {N<} er uavhegig av X = 2 + I hvis ee N E /, X. = ENEX i=l l Da er ( i) (ii) x. ;;;. l Ejx. < oo l eller og EN <

8 Bevis. ( i) Si de {Ni;; } er uavhegig av x +l er EI { N > i } Xi = E ( l - I { N ( i- l } ) Xi = E ( ~I { N.;; i-l } ) EX i = EI { N > i } EX i. De f lg ;ff a N co E l X. = E l X.I{. } = I EI {. }x. = i=l i= N> i=l N>i i l EI { _. } EX. i== N#.. EX EN (ii) Bevise er som over - a vi har lov il a bye om E og l f lger av domiere greseseig side I. l X.I{N. }I. ) = m <I x.{.} " for alle m og l jx.{ '} i=l. N>i., N;;. EI jx.{.= I i='i i N>i i.} = EIX.IEN < oo. Vi veder a ilbake il foryelseseorie. m R7. Korollar. N()+ E I X, ]. i=l = ES N()+ = µ(m()+l). Bevis. Da N()+l.;; <=> N() < <=> S >, f ger de a begivehee {N()+l(} er uavhegig av X+l. De er a le a se a R7 er e kosekves av R6. R8. De eleme~re foryelseseorem M() ~ µ ar Bevis. Aa f rs a µ < Vi har allid 8 N ( ) + >. Dee gir ved R7, dvs. µ(m()+l) ;;.,

9 - 7 - De f lger a ( 5) lim kl( ) ;. + µ La a M vcere e ko:sa. Vi defierer e y foryelses~ prosess La s -- {x } ved a la I X. i==l X = mi ( X, M), og N() = sup{;s..;}. begrese av M er de klar a SN()+l ( + M. Side X.~ee. er Ved R7 vil derfor (6) (M()+l)µM ~ + M, hvor µm = EX og M() = EN(). Av ulikhee (6) f lger a M() lim -- < +oo µm Side N() ;. N() (vi har jo S < S ), vil derfor M() ) M(). Vi har ( 7) lim M() -+ro Lar vi a sa f lger de a (mooo greseseig), alsa ma = E mi(x,m) + EX = µ ( 8) lira M( ),,; +oo µ Fra (5) og (8) f lger a resulae R8. La sa µ :::: Berak igje { x }. M +, ka vi slue R8 fra (7). Si de µ -+ µ ar M

10 - 8 - Forvelses kosads prosessee_ Berak e foryelsesprosess {x } =l Aa a e kosad (-oo<y < ) er assosier med idspuke for de -e foryel se. aar a paree (X, Y ), =, 2, ideiske fordele. La N() Y() = l y ==l Da beeger Y() oal kosad i [o,]. Vi skal vise f lgede resula. er uavhegige og R9. Hvis EjY I <, da gjelder (i) Y()/ + EY /EX ar + oo med sasylighe Bevis. (i) Vi har Y( ) = N() l =l N() y N() og (i) f lger side ll Y/N() + EY ar + oo med sasylighe (sore alls serke lov - husk a N() + oo ar + oo med sasylighe, se bevise for R5) og N()/ + /EX ar + oo med sasylighe ( R5). (ii) Vi har a begivehee Y De f lger + dvs. N() E l Y = E =l dermed ved R6 a N()+l l y =l {N()+l.;;} = {s >} er uavhegig av EY N()+l = (M()+l)EY - EY ( ) N + EY() M()+l = EYl - EY N()+l

11 ~ 9 - Resulae f lger a ved R8 hvis vi ka vise a EYN()+l / + ar + (dee er ikke riviel - vi ka emlig ikke slue a EYN ( ) + = EY ) ~ La g() = EY N()+ Vi observerer a ig()i = IEY N()+l N()+l < EIY ) I< El IY I= (M()+l)EIY I< Fuksjoe g() N, + =l er dessue h yrekoi.uerlig (og dermed Borel-malbar); for ved domiere greseseig har vi lim g() = lim EY ~ -' ' N()+l E ~~~ YN()+l = EYN(')+l = g('). I Beiger med hesy pa x og far g ( ) = f E [ Y N ( ) + I X =x ] df ( x ) Me ved a a bruke a prosesse sarer pa y pa idspuk x fier vi a jx =x] E[Y N()+l = { g(-x) _ E[Y /x =x] x ( x > De f lger a der g() = f g(-x)df(x) + h(), h() = f E[Y jx =x]df(x) Viser a jh()j < EjY i < Fra R4 far vi a (f = f ). (,ro} for alle. g() = h() + f h(-x)dm(x). La a E > v~re vilk~rlig. Side h() + ~r +, ka vi velge e T slik a lh()i < for > T. Dermed vil -T lg()j/ < jh()j/ + f jh(-x)j dm(x)+ f -T ' E I + EM ( -T ) I + E I y I ( M ( ) - M ( -T)) / Ar ~ co I h(-x) I dm(x} ved R8. De f~lger a g()/ + og dermed er bevise komple.

12 - - Bemer~~ig 2. Resulaee ( i) og (ii) holder ogsa dersom E max ( Y, ) = oo E max(-y,) E max(-y,) = oo) og EX < oo. oo (eller E max(y,) < Bevise for (i) er som f r. Bevise for (ii) f lger av R9 (ii) ved a bruke e rukerigsargume. for (ii) i de ilfelle a y ;;. o. La M vcere e kos a. Da har vi N() Nf ) E l y E mi(y,m) =l = ;;. ~---~---- Vi skal gjeomf re bevise Ved a a avede R9 (ii), sa far vi lim +oo N() E l y E mi(y,m) =l ;i. EX Ved la M a _,,. ' ser vi a N() E l y EY =l + = ar EX + Bemerkig 3. Aa a a kosadee "lides" gradvis gjeom e syklus (e syklus er ide mellom o paf lgede foryelser). La Y() vcere oal kosad i [o,] og aa f rs a alle kosader er ikke-egaive. Da er ( 9) NZ ) y Nf )+ly =l Y() =l ~ --,,; hvor y = kosad i -e syklus. Vi ser av (9) a R9 fremdeles holder (se bevise for R9); vi foruseer a EY < co Aa sa geerelle + kosader. La Y = y -Y + - og Y( ) = Y ()-Y () hvor + Y = de oale posiive kosad i -e syklus, II " egaive " " + y () = " " posiive " i [o,] y = Y-() = " " egaive " "

13 + - Vi aar a (X 'y 'y ) ' = l ' 2 I fordele Vi fier + og a EY < a a og EY < er uavhegige og ideiske ( i) + ~ EY EY EX - EX = EY EX'! (ii) EY() _ EY+() - Al sa holder R9 ( i) og (ii) fremde les,, Til slu ever vi a resulaee (i) og (ii) ogsa holder dersom EX < ( j fr. Bemerkig 2). < (eller EY + - <, EY ;oo) og Appedix. La G og G 2 v~re voksede, h yrekoiuerlige fuksjoer fra [,oo) il (-, ). Videre la h v~re e Borelmalbar fuksjo fra [O,oo) il (-,) som er begrese pa edelige iervaller. Da har vi der J h(-z)d(g *G 2 )(z) = -y J J h(-x-y)dg (x)dg (y), l 2 = f G ( -x) dg ( x). 2 Bevis. La a(z) = h(-z) hvis z ~ og ellers. Vi skal vise a (A) J a(z)d(g *G )(z) = 2 co J J a ( x+y) dg ( x) dg 2 ( y) La Jd beege Borelmegdee pa [ O, ) og la for hver B E f/a, B-y = {x-y; x~y, xeb} og CD µ(b) = f Gl {B-y}dG 2 (y), hvor G {B} er Lebesgue-Sieljes male pa jj geerer ved G { (a, b ] } = G ( b) - G (a) Vi har a µ er e mal pa j?j og er lik Lebesgue-Sieljes male besem av (G *G 2 )().

14 ~ 2 - Hvis a a er e idikaor fuksjo, I B, da er a ( x+y) = I ( x) B-y for hver y. De er le A se a (A) holder i dee ilfelle - bade h yre og vesre side reduserer seg il µ(b) Geerel holder a (A) ved sadard uvidelses prosedyre fra idikaor fuksjoer il ekle fuksjoer og moooe greser av ekle fuks joer osv. Referaser Ash, R. B. ( ) Real Aalysis ad Probabiliy. Academie Press. New York. Chow, Y.S. og Teicher, H. (978) Probabiliy Theory. Spriger-Verlag, Berli. Feller, w. (97) A Iroducio o Probabiliy Theory ad is Applicaios, Vol II, sec. ed. Wiley, New York. Karli, S. og Taylor, H.M. (975) A Firs Course i Sochasic Processes. Sec. ed. Academic Press, New York. Prabhu, N. U. ( 965) New York. Sochasic Processes. The MacMilla Comp. Ross, s. (97) Applied Probabiliy Models wih Opimizaio Applicaios. Holde-Day.