Bygningskonstruktion og Arkitektur, 6 (Deformationsberegninger og søjler)

Transkript

1 Bygningskonstruktion og Arkitektur, 6 (Deformationsberegninger og søjler) Deformationsberegning af bjælker - Urevnet tværsnit - Revnet tværsnit - Deformationsberegninger i praksis - Brudberegning, metode B, DS Jernbetonsøjler - Overslagsregler fra Teknisk Ståbi - Centralt belastet søjle - Excentrisk belastet/tværbelastet søjle Deformationsberegning af bjælker Anvendelsestilstand -> Karakteristiske materialeværdier

2 Arbejdskurver Anvendelsestilstand -> små laster -> elastisk tilstand Armering: E sk 10 5 MPa Elasticitetsmoduler Forhold mellem armeringens og betonens elasticitetsmodul: Esk α E ck Vejledende værdier (E ck afhænger af lastens varighed):

3 Revnet/urevnet tværsnit Tværsnittet er revnet hvor f ct,flk er overskredet! Deformationsberegninger generelt ε κ c,min x Arbejdsligningen giver lodret bjælkeflytning, w y : w y M1 urdx + M1κ ur, rdx + L ur κ M1 L L ur, r r κ dx r

4 Urevnet tværsnit Både beton og armering er i den elastiske tilstand Spændingen i betonen er overalt under bøjningstrækstyrken, hvorfor tværsnittet er urevnet Transformeret tværsnit Ved at transformere tværsnittet om til beton kan elasticitetsteorien og derved Navier s formel anvendes direkte!

5 Revnet tværsnit Betonen regnes ikke at kunne optage trækspændinger, men er i den elastiske tilstand i tryksiden Transformeret tværsnit

6 Spændinger vha. Naviers formel Spænding i beton: c N A r, tr + M I r, tr y Spænding i i te armeringslag i træk: E N M sk si ysi ci E + α ck Ar tr I, zr, tr Spænding i j te armeringslag i tryk: E N M sk scj yscj cj E + α ck Ar tr I, zr, tr Tværsnitskonstanter for transformeret tværsnit Areal: A Inertimoment: I da + ( α 1) Ascj + α r, tr Asi Act y da + 1 α Ascj y1scj + α Ved ren bøjning er tyngdepunktsaksen, η, sammenfaldende med nullinjen, x: S zr, tr ( ) Asi y1si Act z1 A ( x) y ct Act ( x) + ( α 1) A x r, tr 1ct, G ( x) + ( α 1) A scj + α A y scj 1scj + α A si x A y si 1si

7 Eksempel 1 Spændingerne ønskes bestemt i det revnede tværsnit ved ren bøjning med M 155 knm Transformeret areal: A r tr, 10 x + (8 1) x mm Statisk moment om z 1 (overkant): 3 S 1 10 (8 1) ( ) mm z x x + 1 Tyngdepunkt, x η G, ved ren bøjning: η G 105 x x 10 x x x 158 mm mm x

8 Inertimoment: I zr, tr (158 + (8 1) 314 [3 ( ) ,6 10 mm Spændinger i beton og armering: c ( 158) 4,0 MPa , ) + ( ) ] (158 40) s1 8 ( ) 306 MPa , s 8 ( ) 58 MPa , sc 8 (40 158) 143 MPa ,6 10 Ved bøjning med normalkraft, skønnes en værdi af Nullinjens placering, x 0 Dernæst beregnes areal, inertimoment og spændinger Nullinjens placering findes da iterativt vha.: c,min x ( y x k + 1 si k ) Bøjning med normalkraft 1 α si

9 Deformationsberegninger i praksis Bjælken regnes på den sikre side fuldt revnet Elasticitetsteorien anvendes til bestemmelse af nedbøjninger, idet det revnede transformerede tværsnit anvendes Det revnede tværsnit skal bestemmes både for positive og negative momenter Der tages højde for eventuelle tværsnitsændringer ved ændringer i længdearmeringsføringen Eksempel 1, fortsat Nedbøjningen af følgende statisk ubestemte bjælke ønskes bestemt for en belastning på 30 kn/m Det revnede tværsnits areal og inertimoment bestemmes for hhv. positivt og negativt moment: x A r,tr I zr,tr pos. moment 0,158 m 0,0486 m 1, m 4 neg. moment 0,08 m 0,0314 m 3, m 4

10 Bjælken modelleres numerisk vha. tværsnit, R1 svarende til positivt moment, og R svarende til negativt: Udbøjning vha. numerisk beregning: 1.96 mm 1.96 mm Moment vha. numerisk beregning: 67,6 knm 63 knm 63 knm Det ses, at grænsen mellem R1 og R intervallerne er korrekt antaget.

11 Spændinger, maksimalt positivt moment c M I zr, tr y ( α 1) c s α c for for y < 0 y 0 y m -0,158-0,118 0,1 0,5 c MPa -9,8-7,3 13,1 15,6 s MPa 51,0 104,8 14,5 Spændinger, maksimalt negativt moment c M I zr, tr y ( α 1) c s α c for for y < 0 y 0 y m -0,08-0,04 0,00 0,38 c MPa -14,0-7, 0,3 56,0 s MPa -50,,4 447,9

12 Brudberegning, metode B, DS Metode A, plastisk beregning (anden gang) : Metode B, elastisk beregning : Jernbetonsøjler Indtil nu, har vi ikke taget stabilitetsproblemet med, når vi har set på normalkraftpåvirkede tværsnit!

13 Overslagsregler fra Teknisk Ståbi: Betonareal: Mindste side: Armeringsareal: A c 0,03 m ~ 175 mm 175 mm a > 1/5 af l s, dog a 00 mm A s ¾ - 3 % af A c Afstand mellem: 350 mm armeringsstænger Bøjler: Bøjleafstand: d t 5 mm for d 1 mm, d t 7 mm for d > 1 mm mindst af 15d og 350 mm Centralt belastet søjle Kritisk søjlekraft, Eulers Formel P cr π EI l s l s er den frie søjlelængde, der afhænger af geometri og understøtningsforhold:

14 Betonsøjletværsnit

15 Armering i betonsøjler Kritisk betontrykspænding: Pcr cr A EI π Al π E λ s λ er søjlens slankhedsforhold, givet ved: λ l s I/ A

16 Arbejdskurve for beton d E E0(1 / fc) dε Arbejdskurven er krum, hvorfor E må regnes som en funktion af spændingen Ved indsættelse af den kritiske betontrykspænding og regningsmæssige værdier fås: crd crd E π λ π E crd 0crd 1 crd / f λ fcd 1+ fcd λ /( π E0 crd cd ) Begyndelseselasticitetsmodulet sættes til: E 0crd 1000 f 0,75E hvor: E0d γ m cd 0d ck for for f f fck f + 13 cd cd 5 MPa > 5 MPa

17 Uarmerede søjler: N A crd crd Armerede søjler: N crd c crd ( Ac + α As ) (Beton og armering regnes elastisk) crd Ac + f yd As (Armeringen flyder) crd Ac (Ingen overlapningsstød) 1,5 crd Ac (Overlapningsstød) Transformeret tværsnit:: Esd α 500 f cd A c αa s Eksempel Der betragtes en simpelt understøttet søjle med en længde, l 3 m

18 Regningsmæssige værdier: f cd f yd E 30 /1,65 18, MPa 500 /1, MPa 30 0, /1, /1,30 1,54 10 MPa 0 crd E sd α 5 1, , , Tværsnitskonstanter for beton: A c mm 3 8 I 1 mm c , λ ,33 10 / MPa Kritisk betontrykspænding: 18, crd 1+ 18, 5 / ( π ) 13,9 MPa Den normalkraft der kan optages (uden stød) fås da til: 4 13,9 ( ,9 804) 745 kn 4 N crd 13, ) 866 kn 4 13, kn

19 Excentrisk og tværbelastede søjler M 0 u 0 : Moment fra tværlast : Udbøjning fra tværlast u : Total udbøjning N u : Moment fra excentrisk last Excentrisk belastet søjle

20 Bjælkedifferentialligningen giver udbøjningen: d u M M 0 + N u κ dx E I E I Differentialligningen kan kun løses analytisk for nogle enkelte tilfælde Vianello s metode kan i stedet anvendes: - Der skønnes en udbøjningsfigur - Differentialligningen løses for udbøjningsfiguren - Løsningen anvendes som nyt skøn for udbøjningsfiguren - Der fortsættes indtil den rigtige brudfigur er fundet Forenklet empirisk metode, DS 411 Den regningsmæssige last, N Sd, må ikke overskride den kritiske normalkraft, N crd. Samtidig skal bøjningsmodstandsevnen, M Rd, mindst være lig med den regningsmæssige lastvirkning, M Sd, der bestemmes vha.: M Sd M S 0d + N Sd e1 + NSd e M Sd0 e 1 e : Største moment indenfor midterste femtedel fra excentrisk last og tværlast : Excentricitet pga. unøjagtigheder : Søjlens udbøjning i det betragtede snit

21 Maksimal krumning fås ved trykbrud i beton, samtidig med at armering flyder: d x ε y ε cu x ε cu d x ε + ε κ Excentricitet, e, fra udbøjningen sættes til: e max u cu ε x cu y max 5 κ 48 max ε cu + ε y d ε cu + ε y ~ 1/10 l d l Eksempel, fortsat Belastning: p d 6 kn/m N Ad 40 kn (centralt) N Bd 80 kn (excentrisk med e B 0,3 m) Der regnes med en tolerance på 0,01 m hvorved excentriciteten for begge laster øges med dette

22 Laster: 6 kn/m 80 kn 40 kn Momentkurve ( M N ): S 0d + Sd e 1 Midterste 1/5 del 16,6 knm 1,6 knm 5, knm N - M diagram, 4. gang: 4. gang regnede vi på samme tværsnit, hvor vi fandt ud af, at brudmomentet er 31,7 knm for en tryknormalkraft på 10 kn :

23 Søjletop (ingen excentricitet fra udbøjning): M Sd 5,7 knm < M 31,7 knm Rd Midterste 1/5 del (excentricitet fra udbøjning): e M ε ~ 1/10 cu + ε y l d 0, ,005 1/10 3,0 0,165 0,033 m Søjlen holder! Sd M + N e + N e S 0d 1, ,033 5,6 knm < 31,7 knm Normalkraft: N Sd 10 kn < N 745 kn Sd Rd 1 Sd De vigtigste pointer! Nedbøjningsbestemmelse for bjælker Anvendelsestilstand, karakteristiske værdier Elastisk beregning Revnet/urevnet tværsnit Revnet tværsnit anvendes på den sikre side Jernbetonsøjler, stabilitetsproblemer Centralt belastede/ excentrisk / tværbelastede søjler

24 Opgave m 5 m 5 m Vi vil igen betragte kontorbygningen fra sidst Der skal dimensioneres en søjle i bunden af bygningen. Søjlen er opbygget af følgende tværsnit Der regnes igen med f cd 18, MPa, f yd 385 MPa, E sd 1, MPa Der regnes med en normalkraft i søjlen på 300 kn og en tværlast fra vind på 4 kn/m. Normalkraften regnes med en excentricitet, e 1 0,1 m

25 Da søjlens understøtningsform er usikker, ønskes søjlen beregnet både som simpelt understøttet, og fast indspændt N-M diagrammet vi opstillede 4. gang kan anvendes ved Eftervisning af søjlens bæreevne