DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET MASTEROPPGAVE. Forfatter: Michael Sørensen

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET MASTEROPPGAVE. Forfatter: Michael Sørensen"

Transkript

1 DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET MASTEROPPGAVE Studieprogram/spesialisering: Industriell teknologi og driftsledelse Forfatter: Michael Sørensen Fagansvarlig: Vårsemesteret, 2010 Åpen (signatur forfatter) Veileder: Tore Markeset Tittel på masteroppgaven: En kvantitativ og risikobasert tilnærming til identifisering av forebyggende vedlikeholdsintervaller uten bruk av spesialistkompetanse Engelsk tittel: A quantitative and risk based approach for identification of preventive maintenance intervals without the use of specialists Studiepoeng: 30 Emneord: Optimering, vedlikeholdsintervaller, kvantitative metoder, Sidetall: 80 + vedlegg/annet: 20 Finnsnes, 10/06/2010 dato/år

2 En kvantitativ og risikobasert tilnærming til identifisering av forebyggende vedlikeholdsintervaller uten bruk av spesialistkompetanse Av Michael Sørensen 10. juni 2010 Industriell teknologi og driftsledelse Universitetet i Stavanger Skrevet i samarbeid med Finnfjord AS

3 Innhold 1 INNLEDNING PROBLEMSTILLING Avgrensninger METODE FINNFJORD AS PRODUKSJON VEDLIKEHOLDSORGANISASJON TEORI FOR VEDLIKEHOLDSMODELLER OPTIMALISERINGSPROSESSEN Risikobasert beslutningsgrunnlag DATAGRUNNLAG Datainnsamling for bruk i FMECA DATAANALYSE Sviktrate Prosessraten Weibullfordelingen Eksponentialfordelingen Innledende test av data Identifisering av levetidsfordeling med Nelson-Aalen plott Analytisk estimering av parametrene i sannsynlighetsfordelingen MANGELFULL DATA Ekspertvurderinger av pålitelighetsdata Ekspertvurderinger med punktestimering Ekspertvurderinger med intervaller Bayesianske metoder KONSTRUKSJON AV OPTIMERINGSMODELLER OPTIMERINGSMODELLER BLOKK METODEN FV I FORM AV UTSKIFTING ETTER ALDER Utskifting etter alder med hensyn til tiden MINIMAL REPARASJON UTSKIFTING AV UTSTYR MED STORE KAPITALKOSTNADER TILSTANDSBASERT VEDLIKEHOLD RELATIVE RISK OG PROPORTIONAL HAZARDS MODELL (PHM) PROPORTIONAL INTENSITY MODEL (PIM) CASE FRA FINNFJORD AS VALG AV SYSTEM FOR ANALYSE FMECA SCHENKELEVATOR SCHENKBÅND - MINIMAL REPARASJON UTSTYR MED STORE KAPITALKOSTNADER KRAN Situasjon Konstruksjon av modell... 65

4 6.6.3 Validering Resultat DISKUSJON AV RESULTATER LØNNSOMHETEN AV CASENE DATAANALYSE Bruk av Bayesiansk statistikk Ingeniørestimater PRAKTISK BRUK AV OPTIMERINGSMODELLENE ILLUSTRASJON AV DEN BENYTTEDE OPTIMERINGSPROSESSEN KONKLUSJON REFERANSER... 78

5 Oversikt over Figurer Figur 1 Beslutningsprosess for tildeling av type FV Figur 2 Typisk optimering innenfor vedlikehold Figur 3 Overordnet struktur for optimaliseringsprosessen Figur 4 Flytdiagram kritikalitetsanalyse fra NORSOK Figur 5 NORSOK flytdiagram opprettelse vedlikeholdsprogram Figur 6 Faktorer som påvirker resultatet av optimeringen Figur 7 Data i optimeringsprosessen Figur 8 Illustrasjon av sannsynlighetsfordelingen, påliteligheten og upåliteligheten Figur 9 Kritiske områder for testobservatoren, u Figur 10 Antall svikt som funksjon av tid Figur 11 Identifikasjon av weibullfordeling med plott av kumulativ sviktrate Figur 12 Ln plott av levetid og kumulativ sviktrate Figur 13 Fordeler med formel ekspertvurdering og ingeniørvurdering Figur 14 Rom med mest sannsynlige parametre fra ekspertvurderinger (Zuashkiani, 2008) 35 Figur 15 Bruk av Bayes metode Figur 16 Levetidsfordeling f(t) med stokastiske parametre Figur 17 Komponentenes sviktrate avgjør ROCOF til systemet Figur 18 Fornyelsesprosesser Figur 19 Sykluser ved blokkmetoden Figur 20 Sykluser ved forbyggende utskiftinger og syklus ved svikt Figur 21 Syklusillustrasjon Figur 22 Homogen poissonprosess Figur 23 Inhomogen poissonprosess Figur 24 Syklus for minimal reparasjon Figur 25 Sykluser ved store kapitalkostnader og lange intervaller (Jardine og Tsang, 2006). 50 Figur 26 Parameter over tid hvor tilstanden er tilfredsstilende Figur 27 Paretodiagram med kostnader for arbeidstimer Figur 28 Paretodiagram kostnader tapt produksjon Figur 29 Paretodiagram for delekostnader og innleie Figur 30 Paretodiagram for totale kostnader... 56

6 Figur 31 FMECA-gruppen Figur 32 Bilde av gir til Schenkelevator Figur 33 Kostnad per måned med ulike intervaller Figur 34 Bånd til Schenkelevator Figur 35 Antall svikt per år Figur 36 Årlige kostnader ved utskiftning i år n Figur 37 EAC for ulike intervaller for utskiftning av Schenkelevator Figur 38 Illustrasjon av Kran Figur 39 Tappehalskran Figur 40 Plott i Weibull++ programvare Figur 41 Illustrasjon av optimeringsprosess... 74

7 Oversikt over Tabeller Tabell 1 Weibullfordelte levetider Tabell 2 Weibullfordelte levetider med suspensjoner Tabell 3 Data uten suspensjoner for estimering av kumulativ sviktrate Tabell 4 Utdrag av FMECA for utstyr med største kostnader identifisert i paretoanalysen Tabell 5 Optimum Tabell 6 Sensitivitet for korrektive kostnader Tabell 7 Sensitivitet for planlagte kostnader Tabell 8 Historikk mot modellens forutsigelser Tabell 9 Sensitivitetsanalyse med tapt produksjonstid Forkortelser Her følger en alfabetisk oversikt over de forkortelser som er tatt i bruk. CRF = Capital Recovery Factor CMMS = Computerized Maintenance Management System EAC = Equivalent Annual Cost FMEA = Failure Mode and Effect Analysis FMECA = Failure Mode Effect and Criticality Analysis FV = Forebyggende Vedlikehold MPMT =Mean Preventive Maintenance Time MTBF = Mean Time Between Failures MTTR = Mean Time To Repair NDT = Non Destructive Testing NFPV = Norsk Forening for Produksjon og Vedlikehold NHPP = Non Homogeneous Poisson Process NIST = National Institute of Standards and Technology OEM = Original Equipment Manufacurer PHM = Proportional Hazards Modell PIM = Proportional Intensity Model PLS = Programmerbar Logisk Styringsenhet RCM = Reliability Centered Maintenance ROCOF = Rate of occurance of failures SME= Sannsynlighetsmaksimeringsestimator TPM = Total Productive Maintenance

8 Sammendrag Med utgangspunktet Å finne fram til en framgangsmåte og optimeringsmodeller som kan danne et kvantitativt beslutningsgrunnlag for tildeling av ressurser til forebyggende vedlikeholdsintervaller velegnet for små og mellomstore bedrifter, er det foreslått en risikobasert framgangsmåte for tildeling av forebyggende vedlikeholdsintervaller basert på bevis og data. Med kvantitative metoder belyses verdien av ulike strategier tydelig, og det bør da bli enklere å oppnå aksept for de valgte strategiene. Fokuset er på enkle og lite ressurskrevende metoder og begrenser seg til grunnleggende modeller som blokk, alder og minimal reparasjon. I tillegg behandles et tilfelle med både deterministiske kostnader og kapitalkostnader. Modellene illustreres med virkelige eksempler fra en mellomstor norsk bedrift, Finnfjord AS. Her utvelges kritiske systemer som skal vurderes for optimalisering. Identifiseringen av dette utstyret baseres på en risikobasert metode, og basert på analyse av datagrunnlaget blir de mest relevante modellene for optimering av vedlikeholdsintervaller presentert. Gjennom casene blir det demonstrert at disse metodene også fungerer i praksis. Det ble funnet at bedrifter med begrensede ressurser og kompetanse vil kunne ta i bruk grunnleggende modeller, men at det foreligger et potensial for et større bruk av optimeringsmodeller hvis programvaren som allerede er på markedet i dag videreutvikles. Bruk av modellene og den nødvendige dataanalysen er demonstrert med ferdige oppsett i standardverktøyet Excel for weibullfordelte levetider. Oppsettene vil også kunne fungere som maler for lignende tilfeller.

9 1 INNLEDNING Påfallende mye litteratur innenfor vedlikeholdsfaget innledes med noen ord omkring de betydelige ressurser som ofte inngår i vedlikeholdsbudsjettet, og de mange områder hvor vedlikehold ellers har påvirkningskraft overfor bedriftens konkurranseevne (Sherwin, 2000; Marais, 2008; Alsyouf, 2006; Al-Najar, 2006; Campbell & Jardine, 2001). Det kan dermed virke som om bedrifter ikke alltid er tilstrekkelig oppmerksomme på koblingen mellom vedlikehold og de overordnede økonomiske resultatene. Når store ressurser går til vedlikehold vil en kostnadseffektiv vedlikeholdsstrategi derfor representere en betydelig verdi for bedriftene. I tillegg kommer alle andre kostnader relatert til produksjonstap, kvalitet osv. som muligens er enda større enn de direkte kostnadene. Det antas at ulike vedlikeholdsstrategier har ulik betydning for bedriftenes resultater, noe som mange vil mene er en selvfølge i dag. Problemstillingen er også aktuell i Norge, og i følge Norsk Forening for Produksjon og Vedlikehold (NFPV) er det likevel fremdeles stort potensial for optimaliseringer innenfor vedlikehold i norske bedrifter. Dette gjelder spesielt innenfor forebyggende vedlikehold (FV) (NFPV, 2002). Dette var også en del av konklusjonen i to undersøkelser av svenske bedrifter (Jonsson, 1997 og Alsyouf, 2009), og det antas her at norske og svenske forhold er sammenlignbare. Det finnes antakelig flere gode forklaringer på hvorfor bedrifter ikke klarer å realisere dette potensialet, selv om de ofte er i hard konkurranse på det globale markedet og dermed har lite rom for å drive suboptimalt. En årsak kunne ganske enkelt være manglende oppmerksomhet på at det i det hele tatt eksisterer et potensial, og en oppfattelse av at vedlikehold nå engang bare koster det det koster eller fungerer som et stort, umettelig svart hull i budsjettet. Det er selvfølgelig også mulig å anerkjenne vedlikeholdsstrategien som en positiv bidragsyter til bedriftens konkurranseevne uten likevel å få realisert dette potensialet. I dette siste tilfellet kan det være veldig begrenset hva små og mellomstore bedrifter har tilgjengelig av ressurser og kompetanse innenfor dette multidisiplinære området hvor det kreves mer enn innsikt i de spesifikke tekniske systemene for å oppnå suksess. En god del kompetanse innenfor især statistikk er også nødvendig. Dessuten må tilstrekkelig data være tilgjengelig og kjennskap til bruk av programvare i beregningene er avgjørende. I tillegg har forskning innenfor vedlikeholdsoptimering ofte vært publisert i matematiske tidsskrifter som pålitelighets- og vedlikeholdsingeniører vanligvis ikke leser. Denne typen forskning presenteres som oftest også i et vanskelig tilgjengelig matematisk språk og, ikke minst, med begrenset relevans for praktiske problemstillinger. (Sherwin, 2000; Scarf, 1997; Dekker, 1996) Det finnes mange andre utfordringer i forhold til for eksempel organisatoriske og strategiske problemstillinger - og ikke minst implementering, men denne oppgaven vil i motsetning til kvalitative metoder som klassisk Reliability Centered Maintenance (RCM) og Total Productive Maintenance (TPM), hovedsakelig være fokusert på kvantitative metoder med datagrunnlag, dataanalyse, og beslutningsanalyse relatert til FV. 8

10 I rapporten fra NFPV(2002) nevnes det at en del vedlikeholdsledere hadde et ønske om å øke andelen av FV. I konkurransen om ressurser internt i bedriften er det nærliggende å forestille seg at kvantitative argumenter står sterkest, og derfor antas det her at en kvantitativ metode som optimering av vedlikeholdsintervaller definitivt er velegnet til å rettferdiggjøre anbefalinger innenfor FV. 1.1 Problemstilling Ved bruk av kvantitativ metoder, som statistikk og beslutningsanalyse, kan usikkerhet behandles i beslutningsprosessen på en systematisk og gjennomskuelig måte. Avgjørelser basert på synsing eller prinsippet om den sterkestes rett for investeringer og prioriteringer vil dermed stå svakere. Kvantitative metoder tydeliggjør også resultatene, noe som er en fordel når man skal argumentere for å bruke ressurser på især FV. Når det i litteraturen nevnt over stadfestes at denne typen beslutninger har stor økonomisk betydning, og at FV har et stort potensial, er det nærliggende å undersøke om en slik kvantitativ og risikobasert metode kan være relevant for norske, og da spesielt små og mellomstore bedrifter. Optimering av forebyggende vedlikeholdsintervaller er lite utbredt, selv om dette er anerkjent som et viktig satsningsområde innenfor FV (Jardine, 2006). Gitt disse utfordringene innenfor vedlikeholdsområdet blir hovedmålet som følger: Hovedmål Å finne fram til en framgangsmåte og optimeringsmodeller som kan danne et kvantitativt beslutningsgrunnlag for tildeling av ressurser til forebyggende vedlikeholdsintervaller velegnet for små og mellomstore bedrifter. Mål Første del av hovedmålet, selve framgangsmåten, består hovedsakelig av de innledende prosesser som er nødvendige før optimering av forebyggende vedlikeholdsintervaller kan beregnes og vil kunne nås gjennom følgende delmål: Utvelgelse av kritiske systemer som skal vurderes for optimering Tildeling av vedlikehold som baserer seg på en risikobasert metode Demonstrere at metodene fungerer i praksis under de gitte forutsetninger Andre del av hovedmålet, å finne velegnede optimeringsmodeller som kan danne grunnlag for å tildele ressurser til arbeidet med forebyggende vedlikeholdsintervaller, består av følgende delmål: Finne en velegnet metode for analyse av data til bruk i optimeringsmodellene Finne fram til de mest relevante modeller for optimering av vedlikeholdsintervaller Demonstrere at metodene fungerer i praksis under de gitte forutsetninger 9

11 Aktiviteter: Målene nevnt over består av følgende aktiviteter: Utføre paretoanalyse for identifisering av kritiske systemer Gjøre bruk av FMECA analyse Utforme regneark i standardprogramvaren Excel uten bruk av spesialisert programvare for dataanalyse Litteraturstudie for identifisering av grunnleggende optimeringsmodeller Implementering av optimeringsmodellene i Excel Teste metodene gjennom case fra Finnfjord AS Avgrensninger Optimeringsprosessen må være anvendelig for ikke-spesialister, og derfor enkel å anvende i praksis. Dette betyr at metoder som vil kreve spesialistkompetanse utelukkes som alternativer i denne sammenhengen. Metoden som velges skal være anvendelig for små- og mellomstore bedrifter, og må derfor være gjennomførbar med begrensede ressurser. Optimering av intervaller for FV vil begrense seg til grunnleggende og relativt enkle modeller som vil være realistiske å implementere i praksis. Modellene vil gjelde for utskiftning av utstyr med blokk- og aldersmetoden, minimal reparasjon og tilfeller med store kapitalkostnader og deterministisk kostnadsutvikling. (Se kapittel 4) 10

12 2 METODE For å sikre at modellen blir anvendelig i praksis vil utgangspunktet for casene her være fra virkelige problemstillinger i en mellomstor norsk industribedrift. Bedriften Finnfjord AS, som er en produsent av ferrosilisium, bli benyttet og regnes i denne sammenheng for å være representativ for små og mellomstore bedrifter. Prinsippene for tildeling av vedlikehold og bestemmelse av intervaller regnes ikke for bransjespesifikke. Ved at utstyret i modellene representerer store verdier for bedriften, og konsekvensene ved svikt er betydelige, vil det være mulig å trekke paralleller til andre små og mellomstore bedrifters vedlikeholdsstrategi. Interessante modeller ble identifisert ved hjelp av litteraturstudie innenfor kvantitativ optimering og dens utfordringer. Ved å ta høyde for de angitte begrensninger i utvalgsprosessen er relevante optimeringsmodeller presentert. Det tilstrebes å beskrive en komplett metode fra start til slutt. For å komme frem til den risikobaserte prosessen som leder fram til bruk av modellene ble det også gjennomført litteraturstudie. Tilgjengelig spesialisert programvare på området er også undersøkt for å se på deres anvendelighet i prosessen. I casene er først en kartlegging av kostnader utført slik at det mest kritiske utstyr kunne identifiseres ved hjelp av paretoanalyse. På bakgrunn av disse resultatene er intervju utført for estimering av levetidsparametre med ingeniørvurderinger for å kompensere for manglende data. Mulige begrensninger ved bruk av ingeniørestimater til datainnsamling er diskutert i avsnitt Løsningen på problemet som mangelen på data utgjør ble foreslått av Zuashkiani, under et seminar i april Denne viten, sammen med de tilknyttede kostnader, benyttes til modellvalg og oppbygging av modeller. Grunnlaget for modellene er dataanalysen, og enkle framgangsmåter er vist med bruk av Excel. På bakgrunn av teorien og modellene litteraturstudiene, er det konstruert modeller i Excel som antas å være velegnede med de gitte begrensningene. Alle modellene som er lagt til grunn for anbefalingene er vedlagt både i papirformat, samt i Excelfiler. 11

13 3 FINNFJORD AS Finnfjord er et smelteverk i Lenvik kommune i Troms, og er en av Europas ledende produsenter av ferrosilisium (FeSi). Ferrosilisium benyttes i produksjonen av stål og forskjellige stålprodukter. Finnfjord leverer også silika, som inngår i moderne betongteknologi. I 1983 ble smelteverket som det fremstår i dag grunnlagt, og har siden da blitt utvidet og modernisert frem til i dag å dekke rundt 15 % av EUs behov for ferrosilisium. Det er i overkant av 100 ansatte på Finnfjord, og omsetningen var i 2008 ca 850 millioner kroner. ( 3.1 Produksjon Produksjonen er energikrevende. For å produsere ferrosilisium benyttes det i alt 3 elektriske reduksjonsovner som opereres med effekter på 20, 42 og 45 MW. Årlig forbruk er da på rundt 950 GWh elektrisk kraft ved full kapasitetsutnyttelse. Elektrisk energi er en stor del av produksjonskostnadene, ca 45 %. Det er derfor fokus i dag på å utnytte energien best mulig, og dette er også et besluttet å være bedriftens viktigste strategiske satsningsområde. (www.finnfjord.no) Finnfjord har i dag flere prosjekter som skal gjenvinne energi, og satser også sterkt på å utvikle prosesser som kan imøtekomme stadig sterkere miljø- og produktkrav. Generelt er 100 % tilgjengelighet med full kapasitetsutnyttelse ønskelig og nedetid i produksjonen medfører derfor betydelige kostnader i form av tapt produksjon. Hele prosessen med lossing av råvarer fra skip til utstøping av ferdig ferrosilisium er sårbar overfor svikt. Det stilles derfor store krav til utstyret som i tillegg representerer store kostnader i form av tilknyttet vedlikehold. Kritisk og kostbart utstyr i produksjonsprosessen er ikke et særtilfelle for metallindustrien og samme forhold gjør seg ofte gjeldende for små- og mellomstore bedrifter i andre bransjer. 3.2 Vedlikeholdsorganisasjon Vedlikeholdet er organisert med en vedlikeholdssjef, en elektrosjef med ansvar for elektrikere, en planlegger, 3 vedlikeholdsingeniører og 1 verkstedsjef som har ansvaret for mekanikere. Det er ca. 5 elektrikere og 15 mekanikere. På nåværende tidspunkt er det satt fokus på utvikling av vedlikeholdet med bl.a. en igangværende TPM-prosess, og et stadig behov for utvikling av vedlikeholdet er påkrevd i forbindelse med nye prosjekter. Vedlikeholdsbudsjettet utgjør et tosifret millionbeløp, noe som er betydelig i seg selv, men påvirkningskraften vedlikeholdet indirekte har på produksjonen er utvilsomt også stor. Det er derfor viktig at beslutninger tas på et faglig velfundert grunnlag basert på bevis og data, og her vil kvantitative og risikobaserte metoder være velegnet. 12

14 4 TEORI FOR VEDLIKEHOLDSMODELLER En oversikt over et særdeles stort antall eksisterende modelltyper er presentert av Wang (2002) og modellene som behandles videre her vil representerer et veldig begrenset utsnitt. For å belyse hvilken type modeller og hvorfor de er valgt er FV inndelt i 3 hovedgrupper: Tilstandsbasert vedlikehold, Tidsbasert vedlikehold Forebyggende utskiftning De 3 hovedgrupper framgår i høyre side av Figur 1, som er gjengitt fra Jardine og Tsang (2006). Figuren illustrerer beslutningslogikken for tildeling av vedlikehold når først det er avgjort at vedlikeholdet på det spesifikke utstyret må være forebyggende. Beslutningslogikken er den del av prosessen for tildeling av vedlikehold som vil bli beskrevet nærmere i avsnitt Det vil naturligvis igjen være undergrupper som termografi, vibrasjonsmåling osv. som må bestemmes i hvert enkelttilfelle. Hovedgruppen forebyggende utskiftning vil her være hovedfokuset, fordi den inneholder modeller som er grundig gjennomtestet og så tilpass enkle at det burde være god mulighet for å ta dem i bruk i praksis. Forebyggende utskiftninger representerer ikke alltid de største potensielle gevinster innenfor optimering, men i tillegg til at de valgte modellene er relativt simple, så danner de også ofte grunnlaget for andre og mer avanserte modeller (Aven og Dekker, 1997; Wang, 2002). For tilstandsbasert vedlikehold er man også ofte avhengig av tilstedeværelsen av teknologi og kompetanse på måleteknikker for tilstandskontroll. Modellene for forebyggende utskiftning krever til gjengjeld bare forholdsvis enkle data som ofte allerede registreres i utgangspunktet i bedriftens CMMS system. (Computerized maintenance management system). Med dette øker sannsynligheten for at de valgte modellene er innenfor rekkevidde for små og mellomstore bedrifter som ikke gjør bruk av grundige pålitelighetsanalyser eller har tatt i bruk programmer med omfattende bruk av tilstandsbasert teknologi. Selv om det ikke her utarbeides eksempler med tilstandsbaserte modeller, er to typer likevel funnet veldig interessante på grunn av deres potensial og derfor omtalt i avsnitt

15 Vedlikeholdet på gitt utstyr må være forebyggende Teknisk mulig og økonomisk hensiktsmessig å oppdage gradvis feilutvikling ved hjelp av tilstandsbasert vedlikehold? Ja Tilstandsbasert vedlikehold Nei Teknisk mulig og økonomisk fordelaktig å reparere komponenten slik at sannsynligheten for svikt minskes? Ja Tidsbasert reparasjon Nei Teknisk mulig og økonomisk hensiktsmessig å skifte ut komponenten slik at sannsynligheten for svikt minskes? Ja Forebyggende utskiftning Nei Redesign eller annen løsning Figur 1 Beslutningsprosess for tildeling av type FV Den optimale beslutningen balanserer ofte mellom ulike kostnader og fordeler, og optimeringsmodeller blir da et velegnet verktøy da de er matematiske modeller som nettopp etterstreber en optimal balanse ved å kvantifisere kostnader og fordeler (Dekker, 1995). I praksis betyr det å ta hensyn til kostnader forbundet med både FV, korrektiv vedlikehold, kostnader forbundet med tapt produksjon osv. En måte å se på optimering innenfor vedlikehold er presentert i Figur 2. Her illustreres at øking av tiden mellom FV på x-aksen fører til lavere forebyggende kostnader, men også til større kostnader forbundet med det korrektive vedlikeholdet. Økingen i korrektive kostnader kunne også avspeile øking i tapt produksjon og ofte vil optimum skulle finnes mellom FV og tapt produksjon. 14

16 12 10 kostnader/tid Totale kostnader Korrektive kostnader 2 Optimum Forebyggende kostnader Forebyggende vedlikeholdsintervall Figur 2 Typisk optimering innenfor vedlikehold Målet med optimeringsmodellene vil i det følgende bli å minimere kostnadene ved å identifisere de optimale tidsintervallene for vedlikehold i forbindelse med forebyggende utskiftninger. Innenfor operational research er det utviklet mange ulike modeller, hvor noen utvalgte modeller blir behandlet her. Det antas at disse modellene er grunnleggende og er anvendelige for ikke-spesialister innenfor pålitelighet og optimering og som ellers har relativ bred anvendelighet. 4.1 Optimaliseringsprosessen Den overordnede strukturen for optimaliseringsprosessen vil hovedsakelig være som illustrert i Figur 2. Prosessen innfrir kravene til hva som kan kalles en RCM prosess ved å inkludere følgende 7 kriterier: 1. Identifikasjon av systemer/utstyr som skal analyseres 2. Bestemme funksjonene til systemene/utstyret 3. Bestemme hva som definerer svikt hos disse funksjonene 4. Identifisere årsaken til sviktene 5. Identifisere effekten av sviktene 6. Bruk av RCM-logikk for å tildele velegnet vedlikehold 7. Dokumentasjon av vedlikeholdsprogrammet og kontinuerlig forbedring i takt med innhentet erfaring. 15 (Campbell & Jardine, 2001) For å sikre en kostnadseffektiv prosess, bør ikke alle systemer bli utsatt for grundige analyser, og de systemer eller utstyr med størst potensial identifiseres derfor først. Når systemene som man ønsker å analysere grundig er kartlagt, utføres en Failure Mode Effect and Criticality Analysis (FMECA) med det formål å kartlegge feilmodi og deres effekt og konsekvenser. Med den viten FMECA bringer med seg om de ulike feilmodi kan det besluttes hvilken type vedlikehold som er velegnet ved hjelp av en beslutningslogikk som beskrives nærmere i

17 avsnitt 6.2. Til slutt blir da spørsmålet ved hvilke intervaller FV bør utføres. Denne identifiseringen av forebyggende vedlikeholdsintervaller bestemmes på bakgrunn av optimeringsmodellene. Hovedelementene i denne strukturen kan også kjennes igjen i NORSOK standarden Z-008, og i avsnitt vil standarden bli beskrevet nærmere i forhold til en praktisk og enkel metode som blir fulgt i et case igjennom oppgaven. Valg av system FMECA for valgt system Identifisering av velegnet vedlikehold på utstyr Optimering av forebyggende vedlikeholdsintervaller Figur 3 Overordnet struktur for optimaliseringsprosessen Risikobasert beslutningsgrunnlag Risikovurderinger er nyttige som beslutningsgrunnlag når begrensede ressurser betinger at man må prioritere blant mange muligheter. Mengden av utstyr kan ofte være såpass stor at det vil være behov for prioriteringer når tildelingen av ulike typer av vedlikehold på utstyret skal besluttes. Det finnes ulike oppfatninger av begrepet risiko, men her er definisjonen fra Aven (2007) valgt: risiko er en kombinasjon av mulige konsekvenser (utfall) og tilhørende usikkerhet. Ved bruk av denne definisjonen tas det hensyn til både konsekvenser og de tilhørende usikkerheter i beslutningsprosessen. Risiko behøver dermed heller ikke å beskrives som en kvantitativ størrelse, i motsetning til den litt mer enkle definisjonen av risiko som lik sannsynlighet x konsekvens. Dette medfører at risiko meningsfylt kan uttrykkes med for eksempel høy/lav og ofte/sjelden uten at det trengs å foreligge konkrete tall. Her vil derimot sannsynlighet x konsekvens alene beskrive forventningsverdien ved å betrakte kostnaden og sannsynligheten for at denne kostnad vil forekomme. Forventningsverdiene for de ulike alternativer sammenlignes, og største forventningsverdi bør velges hvis ikke den tilhørende risikoen vurderes som uakseptabel. Å velge løsninger med størst forventningsverdi maksimerer bedriftens overskudd i det lange løp, hvilket anses som grunnleggende økonomisk teori. I hovedtrekk vil risikovurderinger her primært bli brukt i utvelgelsen av kritisk utstyr (prioritering), og forventningsverdier vil bli brukt som et beslutningskriterium. Før en beslutning kan tas på bakgrunn av ovenstående, gjenstår det å bestemme etter hvilke kriterier en beslutning er lønnsom. Internrente og netto nåverdi er eksempler på vanlige metoder for å avgjøre om det bør investeres eller ikke. Netto nåverdi metoden er oftest sterkest da den for eksempel tar hensyn til nåverdi og ikke vil gi flere optimum som kan være tilfellet ved bruk av internrentemetoden (Brealey et al., 2006). Formålet med risikovurderinger og netto nåverdi som beslutningskriterier blir da å bidra med kostnadseffektive beslutninger. Det vil være tilfeller hvor det i praksis ikke er nødvendig å ta hensyn til tidsverdien av penger, og i noen av modellene som blir presentert i senere avsnitt er tidshorisonten såpass liten at det ikke er nødvendig å ta hensyn til nåverdien. 16

18 Man kunne for så vidt velge å gå gjennom alt utstyr fra en ende til en annen, men ut fra antakelsen om at noen systemer har større potensial enn andre for optimalisering, kan man velge å identifisere de mest kritiske systemene først og dermed begrense analysens omfang. En mye brukt metode til dette er paretoanalyse, hvor man foruten kostnader også kan prioritere sikkerhet, tilgjengelighet eller andre områder som vektlegges ut fra relevante kriterier til disse. I caset som presenteres under er fokuset på kostnader, som her alene avgjør hvilke systemer som tas med for videre analyse. Kostnader kan ofte inndeles i material- og delekostnader, lønnskostnader og kostnader relatert til produksjonstap. Når alle kostnadene er summert, vil utstyr tilknyttet de høyeste kostnader trå tydelig fram. Beslutningsgrunnlag for valg av system Basis for beslutninger vil her være risikovurderinger og lønnsomhetsbetraktninger, noe som er i tråd med NORSOK standarden Z-008, som har følgende formål: establish a basis for preparation and optimization of maintenance programs for new and in-service oil and gas plants. This NORSOK standard describes an efficient and rational working process resulting in an optimized maintenance program based on risk analysis and cost-benefit principles (NORSOK Z-008, 2001, s. 7) Selv om denne standarden er utviklet for bruk innenfor petroleumsindustrien, bør den også kunne brukes innenfor andre industrier da den bygger på kost/nytte betraktninger og risikovurderinger - et grunnlag som antas å være ettertraktet i alle typer industri. En annen fordel med standarden er at den er lett tilgjengelig og kan nedlastes gratis fra internett. Standarden vil her videre bli brukt som en ledetråd, men med visse vesentlige unntakelser for å tilpasse den til små- og mellomstore bedrifter. Unntakelsene vil bli beskrevet i neste avsnitt. Første del av av NORSOK Z-008 inneholder definering av systemgrenser og kritikalitetsanalyse. Flytdiagrammet i Figur 4 vil her være utgangspunktet for det videre arbeid med utvilklingen av intervaller. 17

19 Figur 4 Flytdiagram kritikalitetsanalyse fra NORSOK Formålet med bruk av standarden er først og fremst å konstruere et risikobasert vedlikeholdsprogram. I Figur 4 tilsvarer dette punkt 4.1. Teknisk dokumentasjon i punkt er nødvendig senere i analysen, men for å spare tid kan det med fordel ventes til relevant utstyr er definert. Punkt går på systemgrenser, og er et vesentlig punkt som det her anbefales å avvike fra standarden. Dette utdypes nærmere i neste avsnitt. Beslutningskriterier bestemmes i 5.2.3, og i flytdiagrammets punkt 5.3 vurderes det hvilke systemer som skal analyseres etter kritikalitet for å sikre en kostnadseffektiv framgangsmåte. Dette vil bli behandlet i caset i avsnitt 6.1. Avvik fra NORSOK En stor del av flytdiagrammet for kritikalitetsanalysen er tilknyttet definering av systemgrenser og funksjoner på system- og undersystemnivå. Dette er en vanlig framgangsmåte også i RCM (Moubray, 1997) Man kan mene at systemgrenser og systemfunksjoner bidrar til å skape en oversikt og innsikt i anlegget, men spørsmålet er om det koster mer enn det smaker, siden denne delen av analysen kan bli omfattende. Det vil i det følgende bli argumentert for hvorfor denne delen av analysen kan unnlates. Bloom (2005) argumenterer med at hvis alle komponenter i kritisk utstyr gjennomgås på en systematisk måte som ved FMECA, vil alle konsekvensene også bli identifisert som følger av svikt relatert til de enkelte komponenter. Altså vil ikke systemgrenser og systemfunksjoner være nødvendige for å belyse relasjonen mellom komponenter og konsekvenser som er hovedgrunnlaget for avgjørelser omkring tildeling av vedlikehold. Hvis man derimot tar utgangspunkt i systemfunksjoner og deres svikt, så må man igjennom en prosess hvor det enkelte utstyret som bidrar til systemsvikten må identifiseres. Dermed introduseres en mulighet til å overse utstyr som kan bidra til svikt, hvor metoden som i stedet tar 18

20 utgangspunkt i alle komponenter sikrer at ingen komponenter eller utstyr blir oversett. Utgangspunktet med å begynne analysen på komponentnivå og derfra identifisere hvilke svikt komponentene kan forårsake må også kunne sies å være et enklere konsept enn om man først skal definere systemgrenser og funksjoner for deretter å identifisere tilhørende svikt. Bloom (2005) argumenterer for at vektleggingen av systemgrenser i klassisk RCM kommer av at systemgrensene allerede var definerte av flyindustrien før Nowland og Heap begynte sitt arbeid med utvikling av RCM-metoden fra flyindustrien. Offshore systemer, som NORSOK er utviklet til, er ofte veldig omfattende med et stort antall komponenter som muligens kan rettferdiggjøre omfattende ressursbruk på oppdeling av produksjonsutstyret i systemavgrensninger, hovedfunksjoner, hovedsystemer og undersystemer. For mindre bedrifter med mer oversiktlige systemer og mindre rotasjon av personell, vil denne innledende disiplin med fordel kunne begrenses betraktelig. Definisjon av systemer og systemgrenser behøver ikke nødvendigvis å lede til målet om effektivt vedlikehold, og prosessen kan antas å miste fart hvis ledere føler de allokerer ressurser til en prosess som de mistenker er lite verdiskapende. Især hvis vedlikeholdet har en uavklart rolle vil prosessene rundt FV kunne ende i skyggen av de mer direkte aktiviteter forbundet med det fysiske vedlikeholdet. FMECA for valgt system Framgangsmåten som beskrives i denne NORSOK-standarden har mye til felles med Reliability Centered Maintenance (RCM) metoden. I neste fase konstrueres vedlikeholdsprogrammet og beslutningsdiagrammet for dette er vist i Figur 5. En stor del av prosessen vil bestå av en FMECA analyse, og hvordan dette kan gjøres vil bli illustrert med et case i avsnitt

Av Thomas Welte, SINTEF Energi, Bjarne Børresen, Energi Norge

Av Thomas Welte, SINTEF Energi, Bjarne Børresen, Energi Norge Av Thomas Welte, SINTEF Energi, Bjarne Børresen, Energi Norge Sammendrag Rapporten oppsummerer resultatene fra forskningsprosjektet "System for tilstands- og levetidsrelaterte data for kraftsystemkomponenter

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Eksamensdag: Torsdag 2. juni 24 Tid for eksamen: 4.3 8.3 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: STK429

Detaljer

TESS Hose Management konseptet

TESS Hose Management konseptet TESS Hose Management konseptet TESS Hose Management (THM) er et svært fleksibelt og avansert risikobasert vedlikeholdssystem for slanger. THM er et komplett konsept for vedlikehold av fleksible slanger

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Mandag 27. mai 2013 Tid: 09:00 13:00

EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Mandag 27. mai 2013 Tid: 09:00 13:00 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Mandag 27. mai 2013

Detaljer

Normal- og eksponentialfordeling.

Normal- og eksponentialfordeling. Ukeoppgaver i Statistikk, uke 8 : Normal- og eksponentialfordeling. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 8 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt

Detaljer

Forelesning 23 og 24 Wilcoxon test, Bivariate Normal fordeling

Forelesning 23 og 24 Wilcoxon test, Bivariate Normal fordeling Forelesning 23 og 24 Wilcoxon test, Bivariate Normal fordeling Wilcoxon Signed-Rank Test I uke, bruker vi Z test eller t-test for hypotesen H:, og begge tester er basert på forutsetningen om normalfordeling

Detaljer

3.4 RISIKOSTYRING. Hva er risiko? Risikostyring Metoder for risikoanalyse

3.4 RISIKOSTYRING. Hva er risiko? Risikostyring Metoder for risikoanalyse 3.4 RISIKOSTYRING Hva er risiko? Risikostyring Metoder for risikoanalyse I design av kvalitet og prosesser må vi forebygge farlige forhold og uønskede hendelser. Som en generell regel gjelder 80/20-regelen

Detaljer

FMEA / FMECA Hensikt Metodebeskrivelse

FMEA / FMECA Hensikt Metodebeskrivelse FMEA / FMECA Feilmodi- og feileffektanalyse (Failure Modes and Effects Analysis - FMEA) er den mest brukte systematiske metodene for å analysere feil i tekniske systemer. Dersom en beskriver eller rangerer

Detaljer

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians.

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. H. Goldstein Revidert januar 2008 Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. Dette notatet er ment å illustrere noen begreper fra Løvås, kapittel

Detaljer

Optimalt vedlikehold. Eivind Solvang. SINTEF Energiforskning AS. NTNU Institutt for elkraftteknikk

Optimalt vedlikehold. Eivind Solvang. SINTEF Energiforskning AS. NTNU Institutt for elkraftteknikk EVU-kurs: Optimalt vedlikehold av vannkraftverk II NTNU, 20-23 okt./17-21 nov. 2003 Optimalt vedlikehold Eivind Solvang NTNU Institutt for elkraftteknikk Optimalt vedlikehold Begreper Målsetting for vedlikehold

Detaljer

Vedlegg 2 Metodebeskrivelse for usikkerhetsanalysen. Kvalitetssikring (KS 1) av KVU for hovedvegsystemet i Moss og Rygge

Vedlegg 2 Metodebeskrivelse for usikkerhetsanalysen. Kvalitetssikring (KS 1) av KVU for hovedvegsystemet i Moss og Rygge Vedlegg 2 Metodebeskrivelse for usikkerhetsanalysen Kvalitetssikring (KS 1) av KVU for hovedvegsystemet i Moss og Rygge Innledning Terramar har en velprøvd tilnærming til og metodikk for gjennomføring

Detaljer

Veiledning for utarbeidelsen av økonomiske analyser som fremlegges for Konkurransetilsynet

Veiledning for utarbeidelsen av økonomiske analyser som fremlegges for Konkurransetilsynet Rev.dato: 16.12.2009 Utarbeidet av: Konkurransetilsynet Side: 1 av 5 Innhold 1 BAKGRUNN OG FORMÅL... 2 2 GENERELLE PRINSIPPER... 2 2.1 KLARHET OG TRANSPARENS... 2 2.2 KOMPLETTHET... 2 2.3 ETTERPRØVING

Detaljer

Er det god samfunnsøkonomi i å forebygge arbeidsulykker? Rådgiver Nils Henning Anderssen Direktoratet for arbeidstilsynet 24.10.

Er det god samfunnsøkonomi i å forebygge arbeidsulykker? Rådgiver Nils Henning Anderssen Direktoratet for arbeidstilsynet 24.10. Er det god samfunnsøkonomi i å forebygge arbeidsulykker? Rådgiver Nils Henning Anderssen Direktoratet for arbeidstilsynet 24.10.2006 Utgangspunkt hvorfor samfunnsøkonomiske vurderinger av forebygging?

Detaljer

168291/S20: Transport av farlig gods på veg, sjø og bane. Jørn Vatn Prosjektleder SINTEF

168291/S20: Transport av farlig gods på veg, sjø og bane. Jørn Vatn Prosjektleder SINTEF 168291/S20: Transport av farlig gods på veg, sjø og bane Jørn Vatn Prosjektleder SINTEF 1 Tema for presentasjon Kan risikoanalysen benyttes som bevisføring for at en løsning er bedre enn en alternativ

Detaljer

Utpekning og analyse av ulykkesbelastede steder og sikkerhetsanalyser av vegsystemer

Utpekning og analyse av ulykkesbelastede steder og sikkerhetsanalyser av vegsystemer TØI-rapport 919/2007 Forfattere: Michael Sørensen og Rune Elvik Oslo 2007, 96 sider Sammendrag: Utpekning og analyse av ulykkesbelastede steder og sikkerhetsanalyser av vegsystemer Beste metoder og implementering

Detaljer

Stein Haugen Sjefsingeniør, Safetec Nordic Professor II, NTNU

Stein Haugen Sjefsingeniør, Safetec Nordic Professor II, NTNU 25 år 1984-2009 25 år 1984-2009 Stein Haugen Sjefsingeniør, Safetec Nordic Professor II, NTNU Stein.Haugen@safetec.no / Stein.Haugen@ntnu.no Basis for presentasjon Først og fremst offshore og erfaringer

Detaljer

Data drevet vedlikeholdsplanlegging med eksempler fra Jernbaneverket. Jørn Vatn, NTNU/JBV

Data drevet vedlikeholdsplanlegging med eksempler fra Jernbaneverket. Jørn Vatn, NTNU/JBV Data drevet vedlikeholdsplanlegging med eksempler fra Jernbaneverket Jørn Vatn, NTNU/JBV 1 Bakgrunn Jernbaneverket har utviklet verktøy for optimalisering av forebyggende vedlikehold og prioritering av

Detaljer

Rapportskriving. En rettledning.

Rapportskriving. En rettledning. Rapportskriving En rettledning http://www.mal.hist.no/hovedprosjekt Rapportens innhold Forord Sammendrag Innholdsfortegnelse Innledning Hoveddeler Teori Metode Resultater Avslutning Referanser/Litteratur

Detaljer

Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Ved sensuren teller alle delspørsmål likt.

Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Ved sensuren teller alle delspørsmål likt. Eksamen i: MET040 Statistikk for økonomer Eksamensdag: 4. juni 2008 Tid for eksamen: 09.00-13.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Tillatte hjelpemidler: Alle trykte eller egenskrevne hjelpemidler og kalkulator.

Detaljer

Tilstandsovervåkning av pumper

Tilstandsovervåkning av pumper Stig Petersen, Bård Myhre og Svein P. Berge, SINTEF IKT Tilstandsovervåkning av pumper VA-dagene i Midt-Norge Trondheim, 28-29 oktober, 2015 Presentert av Stig Petersen, SINTEF IKT stig.petersen@sintef.no

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1 La være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

3.A IKKE-STASJONARITET

3.A IKKE-STASJONARITET Norwegian Business School 3.A IKKE-STASJONARITET BST 1612 ANVENDT MAKROØKONOMI MODUL 5 Foreleser: Drago Bergholt E-post: Drago.Bergholt@bi.no 11. november 2011 OVERSIKT - Ikke-stasjonære tidsserier - Trendstasjonaritet

Detaljer

Nye ISO 14001:2015. Utvalgte temaer SPESIELLE FAGLIGE ENDRINGER

Nye ISO 14001:2015. Utvalgte temaer SPESIELLE FAGLIGE ENDRINGER Nye ISO 14001:2015 Utvalgte temaer SPESIELLE FAGLIGE ENDRINGER Virksomhetsledelsens rolle 1 Ledelse og lederskap Skille mellom organisatorisk enhet og prosess Top management Øverste ledelse Leadership

Detaljer

Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Ved sensuren teller alle delspørsmål likt.

Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Ved sensuren teller alle delspørsmål likt. Eksamen i: MET040 Statistikk for økonomer Eksamensdag: 4 november 2008 Tid for eksamen: 09.00-13.00 Oppgavesettet er på 4 sider. Tillatte hjelpemidler: Alle trykte eller egenskrevne hjelpemidler og kalkulator.

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Lørdag 4. juni 2005 Tid: 09:00 13:00

EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Lørdag 4. juni 2005 Tid: 09:00 13:00 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Lørdag 4. juni 2005

Detaljer

Kostoptimalt vedlikehold av roterende elektrisk maskineri. Linn Cecilie Moholt Karsten Moholt AS

Kostoptimalt vedlikehold av roterende elektrisk maskineri. Linn Cecilie Moholt Karsten Moholt AS Kostoptimalt vedlikehold av roterende elektrisk maskineri Linn Cecilie Moholt Karsten Moholt AS Linn Cecilie Moholt KARSTEN MOHOLT AS STUDIER & ENGINEERING TILSTANDSKONTROLL FELTSERVICE VERKSTEDER KJERNEOMRÅDER

Detaljer

Hypotesetesting av λ og p. p verdi.

Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Forelesning 7, kapittel 6 Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Det som gjøres i denne forelesningen er nær opptil det vi gjorde da vi konstruerte z test for µ, og styrkefunksjon for denne. I tillegg til

Detaljer

Forskningsmetoder i menneske-maskin interaksjon

Forskningsmetoder i menneske-maskin interaksjon Forskningsmetoder i menneske-maskin interaksjon Kapittel 2- Eksperimentell forskning Oversikt Typer atferdsforskning Forskningshypoteser Grunnleggende om eksperimentell forskning Signifikanstesting Begrensninger

Detaljer

En metodologisk studie av ulykkesgransking med Driving Reliability and Error Analysis Method (DREAM)

En metodologisk studie av ulykkesgransking med Driving Reliability and Error Analysis Method (DREAM) Sammendrag: TØI-rapport 912/2007 Forfatter: Fridulv Sagberg Oslo 2007, 50 sider En metodologisk studie av ulykkesgransking med Driving Reliability and Error Analysis Method (DREAM) Denne undersøkelsen

Detaljer

6.2 Signifikanstester

6.2 Signifikanstester 6.2 Signifikanstester Konfidensintervaller er nyttige når vi ønsker å estimere en populasjonsparameter Signifikanstester er nyttige dersom vi ønsker å teste en hypotese om en parameter i en populasjon

Detaljer

Verdens statistikk-dag. Signifikanstester. Eksempel studentlån. http://unstats.un.org/unsd/wsd/

Verdens statistikk-dag. Signifikanstester. Eksempel studentlån. http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Verdens statistikk-dag http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Signifikanstester Ønsker å teste hypotese om populasjon Bruker data til å teste hypotese Typisk prosedyre Beregn sannsynlighet for utfall av observator

Detaljer

IEC 61508. Hovedprinsipper og veiledning

IEC 61508. Hovedprinsipper og veiledning IEC 61508 Hovedprinsipper og veiledning Stein Hauge SINTEF Tlf: 75 17 33 70 / 930 18 395 haustein@online.no / stein.hauge@sintef.no 1 Bare måtte bruke IEC 61508 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010 1 1212 1313 1414

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4275 Levetidsanalyse

Eksamensoppgave i TMA4275 Levetidsanalyse Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4275 Levetidsanalyse Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf: 975 89 418 Eksamensdato: Lørdag 31. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Oppgavesett for investeringsanalyse

Oppgavesett for investeringsanalyse Oppgavesett for investeringsanalyse Mål for øvingen: Studentene skal: Forstå formålet med investeringer Forstå bakgrunn for bruk av NNV til å evaluere prosjekter i bedrifter Forstå hva tidsverdi av penger

Detaljer

Kritiske Suksess Faktorer (KSF) for Mobiloperatører (MO) ved kjøp av Site Aquisition (SA) tjenester i Norge

Kritiske Suksess Faktorer (KSF) for Mobiloperatører (MO) ved kjøp av Site Aquisition (SA) tjenester i Norge Kritiske Suksess Faktorer (KSF) for Mobiloperatører (MO) ved kjøp av Site Aquisition (SA) tjenester i Norge Trondheim 19. september 2008/ Student: Asle Birkeland INNHOLD: Bakgrunn for Masteroppgaven Nøkkelantakelser

Detaljer

Risikovurdering av elektriske anlegg

Risikovurdering av elektriske anlegg Risikovurdering av elektriske anlegg NEK Elsikkerhetskonferanse : 9 november 2011 NK 64 AG risiko Fel 16 Hvordan gjør de det? Definisjon av fare Handling eller forhold som kan føre til en uønsket hendelse

Detaljer

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom:. f(x 0 for alle x R 2. f(xdx = 3. P (a

Detaljer

i x i

i x i TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale

Detaljer

Kompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder

Kompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Innhold 1 1 1.1 Hva er en algoritme?............................... 1 1.2

Detaljer

Hasardidentifikasjon. Hvordan finne ut hva som kan gå GALT FØR det går galt.

Hasardidentifikasjon. Hvordan finne ut hva som kan gå GALT FØR det går galt. Hasardidentifikasjon Hvordan finne ut hva som kan gå GALT FØR det går galt. 1 Hasard (trussel, uønsket hendelse) 2 Hendelse/situasjon som potensielt kan medføre skade på mennesker eller miljø. Bilkollisjon,

Detaljer

Jernbaneverkets erfaringer med implementering av RAMS

Jernbaneverkets erfaringer med implementering av RAMS Jernbaneverkets erfaringer med implementering av RAMS Terje Sivertsen, seksjonsleder signal Infrastruktur Teknikk, Premiss og utvikling Jernbaneverket RAMS-seminar, NJS, Oslo, 18. april 2007 1 Innhold

Detaljer

Side 1 Versjon

Side 1 Versjon Side 1 BEHANDLING AV AVVIKENDE EKV-RESULTAT Ekstern kvalitetsvurdering (EKV) er en viktig del av kvalitetssikringen ved medisinske laboratorier fordi resultatene herfra kontinuerlig forteller noe om kvaliteten

Detaljer

1 Mandag 15. februar 2010

1 Mandag 15. februar 2010 1 Mandag 15. februar 2010 Vi begynner med et eksempel på bruk av partiell derivasjon for å gjøre såkalt lineær regresjon, eller minste kvadraters metode. Dette er en anvendelse av teorien vi har gjennomgått

Detaljer

Når Merge sort og Insertion sort samarbeider

Når Merge sort og Insertion sort samarbeider Når Merge sort og Insertion sort samarbeider Lars Sydnes 8. november 2014 1 Innledning Her skal vi undersøke to algoritmer som brukes til å sortere lister, Merge sort og Insertion sort. Det at Merge sort

Detaljer

= 5, forventet inntekt er 26

= 5, forventet inntekt er 26 Eksempel på optimal risikodeling Hevdet forrige gang at i en kontrakt mellom en risikonøytral og en risikoavers person burde den risikonøytrale bære all risiko Kan illustrere dette i en enkel situasjon,

Detaljer

Detaljerte forklaringer av begreper og metoder.

Detaljerte forklaringer av begreper og metoder. Appendiks til Ingar Holme, Serena Tonstad. Risikofaktorer og dødelighet oppfølging av Oslo-undersøkelsen fra 1972-73. Tidsskr Nor Legeforen 2011; 131: 456 60. Dette appendikset er et tillegg til artikkelen

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Oppgave 1 Oljeleting a) Siden P(A

Detaljer

Test og kvalitet To gode naboer. Børge Brynlund

Test og kvalitet To gode naboer. Børge Brynlund Test og kvalitet To gode naboer Børge Brynlund To gode naboer som egentlig er tre Kvalitetssikring, kvalitetskontroll og testing Kvalitet I Betydningen Kvalitet er den viktigste faktoren for å avlede langsiktig

Detaljer

Derfor er forretningssystemet viktig for bedriften

Derfor er forretningssystemet viktig for bedriften Innhold Derfor er forretningssystemet viktig for bedriften... 2 Når er det på tide å bytte forretningssystem?... 2 Velg riktig forretningssystem for din bedrift... 3 Velg riktig leverandør... 4 Standard

Detaljer

Teknisk-økonomisk analyse og dokumentasjon av nytteverdier

Teknisk-økonomisk analyse og dokumentasjon av nytteverdier EBL temamøte: Innføring i risikobasert vedlikehold og fornyelse av kraftnett Trondheim, 19. mars 2009 Teknisk-økonomisk analyse og dokumentasjon av nytteverdier Eivind Solvang Innhold Teknisk-økonomisk

Detaljer

Målstyring og effektivisering gir økt verdiskapning. Estate Konferanse Oslo, 15. oktober 2015 Daniela M. Hamborg og Frederik Krarup, EY

Målstyring og effektivisering gir økt verdiskapning. Estate Konferanse Oslo, 15. oktober 2015 Daniela M. Hamborg og Frederik Krarup, EY Målstyring og effektivisering gir økt verdiskapning Estate Konferanse Oslo, 15. oktober 2015 Daniela M. Hamborg og Frederik Krarup, EY Vi ser tre store trender innen Real Estate og Facilities Management,

Detaljer

Viktige læringsaktiviteter

Viktige læringsaktiviteter Viktige læringsaktiviteter Læringsaktiviteter som dekkes av Aktiviteter Stille spørsmål. Utvikle og bruke modeller. = dekkes Planlegge og gjennomføre undersøkelser. Analysere og tolke data. Bruke matematikk,

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

Styret i Helseforetakenes senter for pasientreiser ANS 08/12/10

Styret i Helseforetakenes senter for pasientreiser ANS 08/12/10 Saksframlegg Referanse Saksgang: Styre Møtedato Styret i Helseforetakenes senter for pasientreiser ANS 08/12/10 SAK NR 066-2010 Optimalisering og kontinuerlig forbedring innenfor pasientreiseområdet rapport

Detaljer

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden. Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen

Detaljer

Til: Aktuelle studenter for Cyberneticas studentprogram Antall sider: 5 Dato: 2015-11-01

Til: Aktuelle studenter for Cyberneticas studentprogram Antall sider: 5 Dato: 2015-11-01 Address: Cybernetica AS Leirfossveien 27 N-7038 Trondheim Norway Phone.: +47 73 82 28 70 Fax: +47 73 82 28 71 STUDENTOPPGAVER 2016 Til: Aktuelle studenter for Cyberneticas studentprogram Antall sider:

Detaljer

Fart og trafikkulykker: evaluering av potensmodellen

Fart og trafikkulykker: evaluering av potensmodellen TØI-rapport 740/2004 Forfattere: Rune Elvik, Peter Christensen, Astrid Amundsen Oslo 2004, 134 sider Sammendrag: Fart og trafikkulykker: evaluering av potensmodellen Sammenhengen mellom fart og trafikksikkerhet

Detaljer

Ressurs Aktivitet Resultat Effekt

Ressurs Aktivitet Resultat Effekt Vedlegg 3 til internmelding om arbeidet med evaluering i UDI Hvordan utforme en evaluering? I dette vedlegget gir vi en beskrivelse av en evaluering kan utformes og planlegges. Dette kan benyttes uavhengig

Detaljer

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings-

Detaljer

Strategier for vedlikehold og oppgraderinger

Strategier for vedlikehold og oppgraderinger Forum for generatorer 18. og 19. september 2007 Ingeniørenes Hus, Oslo Strategier for vedlikehold og oppgraderinger Eivind Solvang Innhold EBL SyDK-6: Verdiskapende vedlikehold innen kraftproduksjon Strategirelaterte

Detaljer

Kort overblikk over kurset sålangt

Kort overblikk over kurset sålangt Kort overblikk over kurset sålangt Kapittel 1: Deskriptiv statististikk for en variabel Kapittel 2: Deskriptiv statistikk for samvariasjon mellom to variable (regresjon) Kapittel 3: Metoder for å innhente

Detaljer

Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen

Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafunksjonen Gammafunksjonen er en funksjon som brukes ofte i sannsynlighetsregning. I mange fordelinger dukker den opp i konstantleddet. Hvis man plotter n-fakultet

Detaljer

AEAM i KU. 1. AEAM-prosessen

AEAM i KU. 1. AEAM-prosessen AEAM i KU 1. AEAM-prosessen KU er en prosess som ligger i området mellom forskning, forvaltning og politikk, og de fleste KU karakteriseres av knapphet på økonomiske ressurser, tid og kunnskap. Det er

Detaljer

Krav til kunnskaper og ferdigheter for vedlikeholdsleder, gyldig fra

Krav til kunnskaper og ferdigheter for vedlikeholdsleder, gyldig fra Krav til kunnskaper og ferdigheter, gyldig fra 18-07-2016 Vedlikeholdsleder (Maintenance Manager MM) ette dokumentet gjengir krav til kandidatens kompetanse i Normativt dokument for sertifisering av vedlikeholdsledere.

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte

Detaljer

Første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015

Første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Dette er det første obligatoriske oppgavesettet i STK1110 høsten 2015. Oppgavesettet består av fire oppgaver. Du må bruke Matematisk institutts

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato:??. august 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Presentasjon av Masteroppgave

Presentasjon av Masteroppgave 1 Presentasjon av Masteroppgave State of the Art Electrical Driven Winches for Offshore Cranes Årsmøte Kranteknisk Forening 2008 Sivilingeniør Margrethe Aven Storheim, DNV 2 Oppgaven Kartlegge state of

Detaljer

BA 2015 tilgjengeliggjør benchmarkingsprogram fra Construction Industry Institute alexander.smidt.olsen@metier.no

BA 2015 tilgjengeliggjør benchmarkingsprogram fra Construction Industry Institute alexander.smidt.olsen@metier.no BA 2015 tilgjengeliggjør benchmarkingsprogram fra Construction Industry Institute alexander.smidt.olsen@metier.no B A 2 0 1 5 - E N B A E - N Æ R I N G I V E R D E N S K L A S S E Hvem er BA 2015 og andre

Detaljer

Plan for økt nytteverdi av levetidsmodeller

Plan for økt nytteverdi av levetidsmodeller EBL temadag: Estimering av restlevetid som underlag for vedlikehold og reinvestering Trondheim, 14. og 15. oktober 2009 Plan for økt nytteverdi av levetidsmodeller Eivind Solvang / Jørn Heggset Innhold

Detaljer

Rapport for Difi: Krav til lønns- og arbeidsvilkår i offentlige anskaffelser kunngjort i Doffin i 2015

Rapport for Difi: Krav til lønns- og arbeidsvilkår i offentlige anskaffelser kunngjort i Doffin i 2015 Rapport for Difi: Krav til lønns- og arbeidsvilkår i offentlige anskaffelser kunngjort i Doffin i 2015 MAI 2015 Bergen: Spelhaugen 22, 5147 Fyllingsdalen Oslo: Karl Johans gate 12J, 0154 Oslo Stavanger:

Detaljer

Hvem er de? Foreløpig oppsummering etter tilsyn med styring av vedlikehold i 2006 og Petroleumstilsynet

Hvem er de? Foreløpig oppsummering etter tilsyn med styring av vedlikehold i 2006 og Petroleumstilsynet Hvem er de? Foreløpig oppsummering etter tilsyn med styring av vedlikehold i 2006 og 2007 1 Petroleumstilsynet Innhold - dagsorden Innledning ved Finn Carlsen, tilsynsdirektør Bakgrunn for tilsynet Hva

Detaljer

Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100

Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Geir Storvik April 2014 (oppdatert April 2016) 1 Introduksjon Simulering av tilfeldige variable (stokastisk simulering) er et nyttig verktøy innenfor

Detaljer

Elevundersøkelsene: Mobbing og uro; Noen trender over år.

Elevundersøkelsene: Mobbing og uro; Noen trender over år. Elevundersøkelsene: Mobbing og uro; Noen trender over år. Notat 16.5.08 utarbeidet av Karl Skaar, Oxford Research og Einar Skaalvik, NTNU Elevundersøkelsen er en nettbasert undersøkelse der elever i grunnskolen

Detaljer

KommITs lederkurs i gevinstrealisering

KommITs lederkurs i gevinstrealisering KommITs lederkurs i gevinstrealisering Økonomiforum i Skien 4. juni 2015 Grete Kvernland-Berg, PA Consulting Group Liza Nienova, PA Consulting Group Plan for dagen 13:30 Introduksjon 13:50 14:20 14:30

Detaljer

Oppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0

Oppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0 Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 08. mai 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir

Detaljer

Endringer -- Hva blir det (til) med IEC 61511?

Endringer -- Hva blir det (til) med IEC 61511? 1 Endringer -- Hva blir det (til) med IEC 61511? IFEAs IEC 61508 seminar 7-8 Mars 2012 Mary Ann Lundteigen NTNU Mary.a.lundteigen@ntnu.no Mars 2012 2 IEC 61511 er Brukernes* standard Tre deler: Del 1 (tilsvarer

Detaljer

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer. Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg

Detaljer

Grunnleggende testteori

Grunnleggende testteori 1 Grunnleggende testteori Industri - og software produkt Industriprodukt: Fysisk produkt Testes under produksjon og til slutt om produktet oppfyller kravene Tilpasses, endres, redesignes, og justeres så

Detaljer

Hypotesetesting: Prinsipper. Frode Svartdal UiTø Januar 2014 Frode Svartdal

Hypotesetesting: Prinsipper. Frode Svartdal UiTø Januar 2014 Frode Svartdal Hypotesetesting: Prinsipper Frode Svartdal UiTø Januar 2014 Frode Svartdal Alt dette er mat for hypotesetesting! Utgangspunkt En antakelse begrunnet i teori Dissonansteori: Hvis, så. En vanlig oppfatning

Detaljer

Finansieringsmodellen effekt på tilbudet av spesialisthelsetjenester i Midt-Norge opplegg for en følgeevaluering

Finansieringsmodellen effekt på tilbudet av spesialisthelsetjenester i Midt-Norge opplegg for en følgeevaluering Finansieringsmodellen effekt på tilbudet av spesialisthelsetjenester i Midt-Norge opplegg for en følgeevaluering Helse Midt-Norge RHF desember 2012 Innledning Finansieringsmodellen i Helse Midt-Norge (HMN)

Detaljer

MACAW. Økt profitt med porteføljeoptimalisering. Jon Sederqvist Østmoe, MACAW research

MACAW. Økt profitt med porteføljeoptimalisering. Jon Sederqvist Østmoe, MACAW research Økt profitt med porteføljeoptimalisering Jon Sederqvist Østmoe, MACAW research MACAW research www.macawresearch.com MACAW MACAW research er et norsk konsulentselskap spesialisert innen analyse og forretningsutvikling

Detaljer

6 TOTALRESSURSER BEREGNET FRA LETEMODELLANALYSE

6 TOTALRESSURSER BEREGNET FRA LETEMODELLANALYSE 6 TOTALRESSURSER BEREGNET FRA LETEMODELLANALYSE En letemodellanalyse er en ressursberegningsmetode som er basert på geologiske modeller; letemodeller. Letemodellene er definert innenfor et avgrenset geografisk

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlege stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynstettleik

Detaljer

1 Mandag 8. februar 2010

1 Mandag 8. februar 2010 1 Mandag 8. februar 2010 Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for funksjoner

Detaljer

INF2220: Time 12 - Sortering

INF2220: Time 12 - Sortering INF0: Time 1 - Sortering Mathias Lohne mathialo Noen algoritmer Vi skal nå se på noen konkrete sorteringsalgoritmer. Gjennomgående i alle eksempler vil vi sortere tall etter tallverdi, men som diskutert

Detaljer

Læreplan i matematikk X - programfag i utdanningsprogram for studiespesialisering

Læreplan i matematikk X - programfag i utdanningsprogram for studiespesialisering Læreplan i matematikk X - programfag i utdanningsprogram for Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 22. mai 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings- og forskningsdepartementet

Detaljer

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall)

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Forelesning 3, kapittel 6 Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Konfidensintervall for µ basert på n observasjoner fra uavhengige N( µ, σ) fordelinger når σ er kjent : Hvis σ er ukjent har

Detaljer

Kan vi forutse en pendels bevegelse, før vi har satt den i sving?

Kan vi forutse en pendels bevegelse, før vi har satt den i sving? Gjør dette hjemme 6 #8 Kan vi forutse en pendels bevegelse, før vi har satt den i sving? Skrevet av: Kristian Sørnes Dette eksperimentet ser på hvordan man finner en matematisk formel fra et eksperiment,

Detaljer

Mer om Markov modeller

Mer om Markov modeller Høyere ordens Markov modeller Mer om Markov modeller p h mnr = Pr( Y j+ 3 = ah Y j+ 2 = am, Y j+ 1 = an, Y j = a : r For en k-te ordens Markov modell som modellerer en DNA prosess vil det være 3*4 k mulige

Detaljer

Menneskelige og organisatoriske risikofaktorer i en IO-kontekst

Menneskelige og organisatoriske risikofaktorer i en IO-kontekst Menneskelige og organisatoriske risikofaktorer i en IO-kontekst The interplay between integrated operations and operative risk assessments and judgements in offshore oil and gas Doktoravhandling Siri Andersen

Detaljer

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett

Detaljer

Supplement til power-point presentasjonen i medisinsk statistikk, forelesning 7 januar 2013. Skrevet av Stian Lydersen 16 januar 2013

Supplement til power-point presentasjonen i medisinsk statistikk, forelesning 7 januar 2013. Skrevet av Stian Lydersen 16 januar 2013 1 Supplement til power-point presentasjonen i medisinsk statistikk, forelesning 7 januar 013. Skrevet av Stian Lydersen 16 januar 013 Vi antar at vårt utvalg er et tilfeldig og representativt utvalg for

Detaljer

Oppfølging av avvik og uønskede hendelser

Oppfølging av avvik og uønskede hendelser Veiledning om: Oppfølging av avvik og uønskede hendelser 1 Bakgrunn 2 2 Hensikt 2 3 Omfang 2 4 Sentrale krav i regelverk 2 Krav i sikkerhetsstyringsforskriften og kravforskriften 3 Fastsette årsak 3 Evaluere

Detaljer

SOS1120 Kvantitativ metode. Regresjonsanalyse. Lineær sammenheng II. Lineær sammenheng I. Forelesningsnotater 11. forelesning høsten 2005

SOS1120 Kvantitativ metode. Regresjonsanalyse. Lineær sammenheng II. Lineær sammenheng I. Forelesningsnotater 11. forelesning høsten 2005 SOS1120 Kvantitativ metode Regresjonsanalyse Forelesningsnotater 11. forelesning høsten 2005 Per Arne Tufte Lineær sammenheng I Lineær sammenheng II Ukelønn i kroner 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000

Detaljer

Forskningsmetoder i informatikk

Forskningsmetoder i informatikk Forskningsmetoder i informatikk Forskning; Masteroppgave + Essay Forskning er fokus for Essay og Masteroppgave Forskning er ulike måter å vite / finne ut av noe på Forskning er å vise HVORDAN du vet/ har

Detaljer

RAM analyse på Jernbanesystem

RAM analyse på Jernbanesystem RAM analyse på Jernbanesystem Muligheter og utfordringer ESRA-seminar 28.01.2015 Ruth Tuven, Teknologi RAM-analyse i et Jernbanesystem Skal oppfylle to viktige målsetninger 1.Pålitelige systemer som oppfyller

Detaljer

Andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010

Andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Dette er det andre settet med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010. Oppgavesettet består av fire oppgaver. Det er valgfritt om du vil

Detaljer