Teori. Eksempel 1 (E.P ) En funksjon av to variable z f x, y har kritisk punkt der hvor z. 0 samtidig. Kritiske punkter kan være et.

Transkript

1 Teori En funksjon av to variable z f x, y har kritisk punkt der hvor z x maksimalpunkt, sadelpunkt eller minimalpunkt. La a z x, b z x y, c z y, a c b Dersom <, har vi et sadelpunkt. Dersom >, a < har vi et minimalpunkt Dersom >, a < har vi et maksimalpunkt. Dersom =, kan vi ikke trekke noen konklusjon fra denne testen., z y samtidig. Kritiske punkter kan være et Eksempel (E.P...56) f x_, y_ x Exp x y x x y Flaten sett skrått ovenfra, og skrått nedenfra. Grafene viser fire symmetrisk plassserte lokale toppunkter og et minimumspunkt i origo. Vi ser også 4 sadelpunkter mellom toppene. Plot3D f x, y, x,,, y,,, PlotRange All dfdx D f x, y, x Factor x x y dfdy D f x, y, y Factor x y x y

2 Kritiske punkter.nb cpx ContourPlot dfdx, x,,, y,,, ContourStyle Thick, Black, GridLines Automatic cpy ContourPlot dfdy, x,,, y,,, ContourStyle Thick, Dashed, Black, GridLines Automatic

3 Kritiske punkter.nb Show cpx, cpy Kritiske punkter finnes der de stiplede linjene ( oval + y - akse) skjærer den heltrukne linjen ( åttetall + x - akse). Det blir tilsammen 9 punkter. sol Solve x, x y, x, y y, x, y, x critpts x, y. sol cp ContourPlot f x, y, x,,, y,, ;

4 4 Kritiske punkter.nb Show cp, cpx, cpy Konturplottet bekrefter at vi har to ekstremalpunkter. Origo er ikke et kritisk punkt. maxima Last critpts, minima First critpts, Kontroll ved. deriverttest : a D f x, y, x, ; b D f x, y, x, y ; c D f x, y, y, ; a c b FullSimplify 4 x y x 4 x y 3 y, a. sol 4 4 Eksempel (E.P...58) f x_, y_ x y Exp x y x y x y Flaten sett skrått ovenfra, og skrått nedenfra. Grafene viser fire symmetrisk plassserte lokale toppunkter og et minimumspunkt i origo. Vi ser også 4 sadelpunkter mellom toppene.

5 Kritiske punkter.nb 5 Flaten sett skrått ovenfra, og skrått nedenfra. Grafene viser fire symmetrisk plassserte lokale toppunkter og et minimumspunkt i origo. Vi ser også 4 sadelpunkter mellom toppene. Plot3D f x, y, x,,, y,,, PlotRange All... dfdx D f x, y, x Factor x y x y dfdy D f x, y, y Factor x y x y cpx ContourPlot dfdx, x,,, y,,, ContourStyle Thick, Black, GridLines Automatic

6 6 Kritiske punkter.nb cpy ContourPlot dfdy, x,,, y,,, ContourStyle Thick, Dashed, Black, GridLines Automatic Show cpx, cpy Kritiske punkter finnes der de stiplede linjene skjærer de heltrukne linjene. Det blir tilsammen 5 punkter. sol Solve y x, x y, x, y x, y, x, y, x, y, x, y, x, y

7 Kritiske punkter.nb 7 critpts Table sol n,,, sol n,,, n, 5 cp ContourPlot f x, y, x,,, y,, ; Show cp, cpx, cpy Konturplottet bekrefter at vi har fire ekstremalpunkter og et sadelpunkt maxima critpts, 5 saddles critpts, minima critpts 3, 4 Kontroll ved. deriverttest : a D f x, y, x, ; b D f x, y, x, y ; c D f x, y, y, ;

8 8 Kritiske punkter.nb a c b FullSimplify x y 4 x 4 y x y 4 5 y y 4 4 y, a. sol Eksempel 3 (E.P...59) f x_, y_ x y Exp x y x y x y Flaten sett skrått ovenfra, og skrått nedenfra. Grafene viser fire symmetrisk plassserte lokale toppunkter og et minimumspunkt i origo. Vi ser også 4 sadelpunkter mellom toppene. Plot3D f x, y, x,,, y,,, PlotRange All.5..5 dfdx D f x, y, x Factor x y x x y dfdy D f x, y, y Factor x y x y y

9 Kritiske punkter.nb cpx ContourPlot dfdx, x,,, y,,, ContourStyle Thick, Black, GridLines Automatic cpy ContourPlot dfdy, x,,, y,,, ContourStyle Thick, Dashed, Black, GridLines Automatic

10 Kritiske punkter.nb Show cpx, cpy Kritiske punkter finnes der stiplede linjer krysser heltrukne linjer sol Solve x x y, x y y, x, y x, y, x, y critpts x, y. sol cp ContourPlot f x, y, x,,, y,, ; Show cp, cpx, cpy Konturplottet bekrefter at vi har to ekstremalpunkter

11 Kritiske punkter.nb Konturplottet bekrefter at vi har to ekstremalpunkter maxima Last critpts, minima First critpts, Kontroll ved. deriverttest : a D f x, y, x, ; b D f x, y, x, y ; c D f x, y, y, ; a c b FullSimplify 8 x y x 4 x 3 y x y x y y y 4 y, a. sol Eksempel 4 (E.P...57) f x_, y_ 3 x 3 y Exp x y 3 x y x 3 y Flaten sett skrått ovenfra, og skrått nedenfra. Grafene viser fire symmetrisk plassserte lokale toppunkter og et minimumspunkt i origo. Vi ser også 4 sadelpunkter mellom toppene. Plot3D f x, y, x,,, y,,, PlotRange All 3

12 Kritiske punkter.nb dfdx D f x, y, x Factor 6 x x y x 3 y dfdy D f x, y, y Factor 6 y x y x 3 y 3 cpx ContourPlot dfdx, x,,, y,,, ContourStyle Thick, Black, GridLines Automatic cpy ContourPlot dfdy, x,,, y,,, ContourStyle Thick, Dashed, Black, GridLines Automatic

13 Kritiske punkter.nb Show cpx, cpy Kritiske punkter finnes der de stiplede linjene ( ellipse + x - akse) skjærer de heltrukne linjene ( ellipse + y - akse). Det blir tilsammen 5 punkter. sol Solve y x 3 y 3, x x 3 y, x, y x, y, x, y, x, y, y, x, y, x critpts x, y. sol cp ContourPlot f x, y, x,,, y,, ;

14 4 Kritiske punkter.nb Show cp, cpx, cpy Konturplottet bekrefter at vi har fire ekstremalpunkter og et sadelpunkt maxima critpts 4, 5 saddles critpts, 3 minima critpts, Kontroll ved. deriverttest : a D f x, y, x, ; b D f x, y, x, y ; c D f x, y, y, ; a c b FullSimplify 36 x y x 6 x 4 4 y x 5 y 4 7 y y 6 7 y 4 8 y, a. sol Eksempel 5 (eks. h 9)

15 Kritiske punkter.nb 5 Eksempel 5 (eks. h 9) f x_, y_ x 4 y Exp x y x y x 4 y Flaten sett skrått ovenfra, og skrått nedenfra. Grafene viser fire symmetrisk plassserte lokale toppunkter og et minimumspunkt i origo. Vi ser også 4 sadelpunkter mellom toppene. Plot3D f x, y, x, 3, 3, y, 3, dfdx D f x, y, x Factor x x y x 4 x y dfdy D f x, y, y Factor y x y x 4 y

16 6 Kritiske punkter.nb cpx ContourPlot dfdx, x,,, y,,, ContourStyle Thick, Black, GridLines Automatic cpy ContourPlot dfdy, x,,, y,,, ContourStyle Thick, Dashed, Black, GridLines Automatic

17 Kritiske punkter.nb Show cpx, cpy Kritiske punkter finnes der de stiplede linjene ( oval + y - akse) skjærer den heltrukne linjen ( åttetall + x - akse). Det blir tilsammen 9 punkter. sol Solve x x 4 x y, y x 4 y, x, y x, y, y, x, y, x, y, x, y, x, y, x, y, x, y, x, y, x, y, x, y, x critpts x, y. sol Union cp ContourPlot f x, y, x,,, y,, ;

18 8 Kritiske punkter.nb Show cp, cpx, cpy Konturplottet bekrefter at vi har fire maksimumspunkter, fire sadelpunkter og ett mininumspunkt. maxima critpts 3, 5, 8, 9 saddles critpts,, 6, 7 minima critpts 4,