Oppgave Oppdatert svar Dato

Transkript

1 Endringer fra versjon /86: Oppgave Oppdatert svar Dato.9a /06 8.6b [, ] /06 6.j + 6 /06 Ad y ( + y) /96 A4b /96 A9b + /96 A9c 4 /96 A9d /96 A9f /96

2

3 Kapittel Fasit betyr at det ikke egner seg å lage kortsvarfasit for oppgaven. Gi beskjed til dersom du oppdager feil eller uklarheter i fasiten. (Versjon /9-06). Fasit til kapittel Delkapittel.. a) e) f) g) h) 0. a) e) f) 4 g) 0 h). a) a) 0 6 e) f) 4. a og i, b og d, c og h, e og g, f og j Delkapittel.. a) 6 8. a) 4 8 e) 8 f). a) 0 7 e) 8 f) g) 4 h) i) j) 8 k) l) 6 4. Regneregelen for divisjon av brøk a) 0 0 Delkapittel % a) a).8 millioner.4 millioner 6. Inneholder 40 kg vann og 0 kg tørrsto, totalt 0 kg % dyrere, 8. % billigere 8. a) NOK.74 USD 9. NOK SEK Delkapittel.4. a) 8y 4y 8 e) 6 4 f) 0.9 g) h) 00. a) a + b a b b a ab. Dersom 4 : 0 = må 0 = 4, som er umulig. 4. a) y + 0y e) + y y 8y f) 7 y g) 7 y h) 0 6 i) + 8 j) y k) + y l) + 7y 7 m) + y + y + + y n) +y y y. a) 0 4 e) a b f) 9 g) 8 h) 0 y 6. a) e) f) 4 g) h) y + 4y 6 i) 4y j) k) 4 64 l) a) + h + h + h 8. a) (y ) ( ) (4 + 8)(4 8) = 6( + )( ) ( + )( ) e) y ( + y)( y) f) y ( y) g) ( + )( ) h) ( + 4)( 4) i) ( + )( ) j) y ( + )( ) 9. a)

4 4 Fasit ab e) f) 0. a, f og o. c og i. d og j. e og n. g og m. Dersom 0 er h og p.. a) e) Begge blir f) ( )( + ) Delkapittel.. a) 4 7 e) 4 f) 4 g) 6 h) 0.. a) e) f) 6. a) e) 0 f) 8 4. a) z Ingen løsning. a) 0 4, 6, a) a) -, 0 -, 7 0, 0, 4 e) 0, ± f) 0, ± 9. a) -, -0 0, 4 ±6 Ingen reell løsning e), -4 f) 4, 7 g) -4, h), 0. a) Ingen reell løsning Ingen reell løsning. a) -4, 7 4, - Ingen reell løsning e) Ingen reell løsning f) g) Ingen reell løsning h) ± 8 i) ± 6 j) 0, 0 7 k) 0, -4 l) 0, 0.7. a) ( 4)( + ) ( 8.4)( +.4) ( + ) ( 4)( 7) e) ( + 4) ( + ) f) ( ) ( ). a) ( )( + ) ( 4)( ) ( 4)( + ) ( + 7) e) Kan ikke faktoriseres f) (4 )( ) 4. a),, 7 ±, ± 0,. a), -, produkt: -0, sum: Regn ut ( )( ) og 6. 4 og eller -4 og - 7. a) Delkapittel.6. a) %. a) , 09, 49 dette er nybilprisen. 4. a) e). f). g) 0. h) 0.0. a) Øke.7 % Redusere.6 % Redusere 7 % Øke 8 % e) Øke 07 % f) Øke 0. % g) Redusere 0.0 % h) Øke 80. % 6. a) Ca % 7. a) Ned % Ned 4 % Ned a 00 % 8. Øke ( a + b + ab ) 00 % 9. a).6, K t = t 60.7, K t = t Ca.06 % Ca.47 % , 7.9, 4. %. 40.7, (i) (ii) (iii) B 4. a) a) a) (i) 7.9 (ii).0, om år og om år % 8. a) ± ±.6.90 ± 6 0 ±.76 e) Ingen reell løsning f) ± 0 0 ± % %. a) A B Ca 4.9 % millioner. Hun har nok. 4. A. a), 0, 8 Begge kombinasjonene koster 00 Maksimal nytte når vi forbruker av A og 8 av B 6.., 47., 6, 8., + 0y = a) Ca 9. % Ca 7.9 % 8. a) e) f) og a) y 4 4y y. a) Bruk reglene for likningsløsing og potensreglene y =.. Ca. %, ca.4 %, %. a) Ned ca. % Opp ca % 4. a) Dobles Øker, men mindre enn dobling Dobles Øker med faktoren

5 .. Fasit til kapittel. Fasit til kapittel Delkapittel.. 0,, 0,, 6.,,,, 7. a) 7, 8, a +, a +, a + b +, 0, a +, a 4 +, a + ab + b + 4. D f =,, V f = [0,. D f = R\0, V f = 0, 6. D f =,,, 7. a) 49, 9 f() = , rekkefølgen har betydning, g(h()) = + 8. a) 4, 9,,, a + a e) (i) f(l, = lb (ii) f() = s (iii) f(l, b, h) = lbh (iv) f(l, = l + b (v) f(s) = 4s (vi) f(l, b, h) = lb + lh + bh Delkapittel.. -. a) y =. + y = = y =. +.7 e) y = f) y = g) y = 0... a) a) 7 + 0y = A B, B A 6. a) = p + 0 D = 0,, V = 0, 0 7. a) y = ±0.9 F 8. a) 0 000, , 000, S(i) = 0.i , S(i) = ( a)i b 9. a) 80, 0, C a < 0 0. a) 4 og 6, og 0 7 over og 0 % over. a) < < 0.6 >. a) I() = 0 K() = > 60. a) K() = D K = [0, ] 4. a) Lin.,,, -. Lin., 0.,, - Ikke lin. Lin., 7,, 7 e) Lin., 0.,, - f) Lin., 6, 9, -. g) Lin., 0., 0., - h) Lin., 0., 0.7, 6 i) Lin.,, 4, 6 j) Ikke lin. k) Lin, 0, 0., - l) b og e. a) (p) = 0.p = 0p a) y = 0. + y = y =.. y = e) y = f) y = + g) y = h) y = 8. a) y = + y = 4 + y = y = 6 e) y = + 4 f) y = g) y = + h) y = 9. a) y = 4, = y = 6, = y = 0, = 8 y =, = a) D (p) = p Delkapittel.. -, og -, bunnp., (0.,.). a) -, og -, -., -. 0, 0og -, -., , a) -4, og 4,., ,70, ,.6. De to parallelle sidene må være m og 6 m 6. a) P () = , a), 9, 9, v +, v +, - 4, -8, -8, v + 4, v + 4, - - a + b + c, - e) - 9. a).9, P () = , , 0,. a) 4 og 0, og a) 40, 40 v() = K() = K() = a) v() = K() = D K = [0, 0] 6. K() = a) (i) 0 (ii).8, 6. y = 0. + K () = + 00, I() = 0, 0 60, 800, v() = 0. +, K () = e).8 og 6., P () = , 7, 6. Delkapittel.4. a), 8, 8 a 4 a, a 4 a. a),, a a, a + a = (a a). a) Sym. om yaksen Ingen av delene Sym. om origo Sym. om yaksen e) Ingen av delene f) Sym. om origo g) Sym. om yaksen 4. f() = 0. a) Begge har topp- og bunnpunkt Nei, har ikke toppog bunnpunkt, bare et att punkt e) Nei, går oppover møt høyre hele tida f) Maksimalt antall nullpunkter er, maksimalt antall topp og bunnpunkter er 6. a) Flytter grafen v enheter opp Flytter grafen h enheter mot høyre Speiler grafen om aksen Speiler grafen om yaksen e) y = f) y = g) y = 7. a).., dette er kostnaden ved å øke fra til 6. Rasjonaliseringsgevinst og overproporsjonale kostnader 8. a) 0, 70, 70 K() = h()

6 6 Fasit Delkapittel.. a) % e) 7. %. a) , verdien år før kjøp..44 % e) Ca 6 år.. a) Ca. år Ca. år 4. a) Litt for stor, litt for liten. i. 40 ii. 70 iii. 4 iv. 7 v.. vi..4 Best resultat når p er liten. a) y = 4 9 y = 4 y = 7 4 y = ( ) 6. a) y = 7 0 y = 7. a) Delkapittel.6. a) k b a 7a a 7 a +. a) = k b = ± k. a) b = ± = ±4 c < a) Avtar Øker. a) 0 < p < 0 0, 00 Ikke negativ pris og ikke negativ etterspørsel. I(p) = αp + βp, p = β α e) I(p ) = β 4α 6. a) p = β+δ α+γ βγ αδ α+γ Delkapittel.7. a) y = 4., og.9,.79. a), 6,, 4. a) + y = 49 ( + ) + (y ) = 9 ( + ) + y + ) = a) origo, origo, (, 4), 9 (, ), a), (i) Inni (ii) På (iii) Utenfor Enerett, ikke enerett. ( ) +(y 7) 0 7. a) ( ) +(y ) = 6, ±, ingen løsning (, 4), 4 8. a). 7.7 Delkapittel.8. a) Nei Ja. a) (, 7) (, ) (0, ) (, ) e) (, ) f) (, ) g) (, ) h) (, 0) i) ( 0, ) j) Ingen løsning. a), 7.00, 0.40, 4,, 8 e) 0, 4 f) -, 7 4. a) (0, ) (, ) (, ) (, 0). a) Parallelle linjer, ingen løsning Identiske linjer, uendelig mange løsninger (t, t) 6. Ja 7. a) Ja Nei Ja (t, 9.t, t) 8. a) (,, ) (4, 7, ) (,, ) (, 7 4, ) 4 9. a) y = y = + 7 y = y = + + e) y = 0. K() = K() = v() = 0.0 +, en overødig opplysning. Delkapittel.9. ( + 8 )( ). ( + ++9)( ). ( 0 + 0)( + ) ( ) 4. + ( + +. a) ±, ± ) ( ) ( + )( ) 6. a) ±, ±, ±, ± ( )( )(+) 7. a) ±, ± ( )( )( + ) 8. a) ±, ±, ±, ±6 ( + )( )( ) 9. a) Delkapittel.0. a) (0, ±), (.,.), (.,.) (, ) (±, 0), (, ), (, ) (, ), (, ) e) (, 8), (, ) f) Ingen løsning g) (±, ), (0, 4) ) h) (t, a) (, ), (, ) (±, ), (0, ) (, ), (4, ) Ingen løsning e) (±, ±) f) (0, ±), (±., 0)., 8 Delkapittel.... a), a) , a) 6 + 4y 08, + y 4,, y 0. = 0,,,..., 6 og y = 4 Produser 4 slalåmski 6. a) Hverkan maks eller min Maksimum eksisterer ikke minimum er 0.

7 .. Fasit til kapittel 7. Fasit til kapittel Delkapittel a) 0 4 e) f) 6. a) a) 6 0 e) 4 f) 0 8. ± 9. a) 8 ±. e) 0 f) 0.6 g) 0 h) 0. a) ± ±. a) ,.0986, a) 0 ± a) , 8, ja den er kontinuerlig 7. 6, 6, nei ikke kontinuerlig for = 8. Eksisterer ikke, nei ikke kontinuerlig for = 9. a) 00 for 0 < p 0 og 0 for 0 < p Eksisterer ikke e) 00 f) Ikke kontinuerlig i = 0 0. a) 0 00 eksisterer ikke e) Ikke kontinuerlig for = a) e) 00 f) Kontinuerlig. a) 60. A: 000, B: 90, C: 000 A: for 0 000, for > 000. B: for 0 000, for > 000. C: for 0 000, for > for 0 8, for > Mellom 4 % og 4. %. a) Minst ett nullpunkt i (0, ) Minst ett nullpunkt i (,.) Minst ett ullpunkt i intervallet (0., 0.6) Delkapittel.. a) (A) < 0, < 0, = 0, > 0, > 0. (B) > 0, > 0, > 0, < 0, < 0. (C) = 0, < 0, > 0. (D) > 0, < 0, > 0, < 0, > 0. (A) 4,, 0,, 4. (B),,,,. (C) 0,, 4. (D) 0, 8,,., 0.. a) f (), f (4) 4, f (9) 6 f () =, f (4) = 4, f (9) = 6. v (t) < 0 4. a) f () = f () =. f () = f () =. e) f () = 6 f) f () = , 7. a) +, f () = Cirka og Eksakt 0. og Cirka 0. og 6 = Eksakt og a) Ikke deriverbar i = 0.. f( + ) f() f () Delkapittel.. a) f () = f () = 4 f () = 0 f () = + e) f () = 6 f) f () = 4 g) f () = 6 8 h) f () =. a) f () = f () = f () = 9 4 f () = +6+ e) f () = 7 f) f () = 4 + g) f () = 6 4 h) f () =. K () = K (0) = 0 tolkes som tilnærmet kostnadsøkning ved å øke fra 0 til produserte enheter. Å øke produksjonen fra 00 til 0 enheter koster omlag K (00) =. 4. I () = I (00) = 80, tolkes som inntektsøkinga ved å øke salget fra 00 til 0 enheter. I (00) = 60, tolkes som inntektsøkinga ved å øke salget fra 00 til 0 enheter.. a) f () = f () = f () = f () = a) g () = h () = ++ u () = 4 4 v () = + 7. a) a) y = y = + 7 y = 9 + y = 4 + e) y = a) t + 0. e) f) Delkapittel.4. a) f () = 4 f () = 8 7 f () = 8 f () = e) f () = 6 6 f) f () = g) f () = h) f () = +. a) f () = + 6 f () = f () = 6 4 f () = π π e) f () = + f) f () = ( ) + 6. a) f () = 0( + ) 4 f () = ( +) f () = 4( + 4)( + ) f () = e) f () = f) f () = 4 ( ) g) f () = ( + ) + 8

8 8 Fasit h) f () = i) f () = ( + ) j) f () = a) f () = ln() + f () = e +7.. f () = ln(.0).0 f () = ln(4) 4 e) f () = e + ln(.). f) f () = ln(.). 7e. a) f () = e f () = ( + )e + f () = e + f () = e + Delkapittel.. A: Avtar i, 0] og vokser i [0, B: Vokser i, 0.] og avtar i [0., C: Vokser i, ] og i [0.,. Avtar i [, 0.]. D: vokser i,.6], i [ 0., 0.7] og i [,,. Avtar i t [.6, 0.] og i [0.7,.]. a) Avtar i, 0] og vokser i [0, Vokser i, 0] og avtar i [0, Avtar i, ] 4 og [ vokser i 4, Vokser i, ] 8 og avtar i [ 8, e) Vokser i, 0.74] og avtar i [ 0.74, f) Avtar i, ] og vokser i [,. a) Vokser Avtar Vokser Vokser 4. Vokser [ i, ] og i,. Avtar i ],.. a) Vokser Avtar i, ] og øker i [, 6. a) Vokser i, 4] og i [,. Avtar i [ 4, ]. Vokser i, ] og i [,. Avtar i [, ]. Vokser i, ] og i [,. Avtar i [, ]. Vokser i, ] og i [,. Avtar i [, ]. e) Vokser f) Avtar Avtar i, ] og vokser i [, 0.. a) D V = [0, 8] Vokser i [0, 6] og avtar i [6, 8]. Dimensjon 4 cm 4 cm 6 cm og maksimalt volum 46 cm cm. a) V () = 0 4 = cm Radius 6. cm og lengde 8. cm 4. Bredde 4.4 cm, lengde 48.8 cm og dybde 6.8 cm Delkapittel.6. a) L() = 78( 0) + 0 = ,.6,.07. a) 9.0, ,.8 00., L() = ( 8) +,.08,.,.88. a) L() = 44.6( 6) % 6. a) L() =.6( 80) L() = 6.( 80) a)

9 .4. Fasit til kapittel Fasit til kapittel 4 Delkapittel 4. y = 40 e 0. Delkapittel 4.4 Delkapittel 4.6. a) e) f) 0. a). 4 0 e) f). a) e) f) 4.. a) e) 6.49 f) 0. g).48 h). 6. a) e) f).6 g).8 h) ca.4 år, ca 9 år 8. ca.4 år, ca 4.60 år log(9) = e ln(9). a) y = y = y = y = e) y = f) y = a) y = e 0.69 y = e y = 0 e.07 e) y = e f) y = 4 e a) log(a). log( a b ) log( b a ) log( a b ) 6. a) 4,, , , a) y = y = 8 0. y =. y = ( 4 ) e) y = 0. Delkapittel 4.. a) 6.6 % 6.68 % 6.8 % 6.84 %. a) e) %,. % a) A , Omvendte funksjoner. a) Omvendte Omvendte Omvendte Ikke omvendte e) Omvendte f) Omvendte g) Omvendte. a) f () = f () = f() f () = + f () = ( y) e) f () = ± +4 f) f () = g) f () = f() 4.. ln(0)y f () = y 8. f () = + + 4, (f )() = y Delkapittel 4.. a) f () = e 7 f () = f () = ln() f () = ln() + e) f () = ln() + + f) f () = 7(ln())6 g) f () = ln() h) f () = e i) f () = e j) f () =. a) y = + y = 4 y =. a) f () = f () = 4. a) y =. a) y = k (log()) = ln(0) (log a ()) = ln(a). a) Cirka 6. a) c = 9 00 Cirka. y = e 0.08t 4. y = 00 +e 0.t. a) y(t) = e 0.004t y(t) = 00 +4e 0.076t Cirka Cirka 6. y = 4 0e 0.0t, cirka 8.4 grader og cirka 76 minutter 7. a) y(t) = e 0.097t 4, romtemperaturen Cirka 6.4 minutter 8. a) y(0) 8.96 Cirka 60 0., 6, a) a) y = +9.6e 0.04t 8.4. a) y(t) = e 0.686t 8 4 uker. a) y(t) = e.0t Cirka 8. dager. t = ln( k

10 0 Fasit. Fasit til kapittel Delkapittel.. a) f () = ( + ) e f () = ln() + f () = e + e f () = (+) ln()++ e) f () = ( ln() + ) f) f () = e ( ) + g) f () = ( ) ln() + h) f () = e ( ln( + 4) + i) f () = e + + ( + )e + + (+)e + j) f () = ( ) 4 ( ) 4 ( 0 9). a) f () = ( ) f () = (+) f () = ( +) f () = ( ) e) f () = f) f () = 7 ( ). a) f () = e e f () = ln() f () = + ln() ( +) f () = ln() ln () e) f () = ( ) 4 ( 0+9) ( ) 4 f) f () = e ( ++) (+) 4. a). a) ± Avtar i,.4] og i [.4,. Vokser i [.4,.4]. 6. a) f () = ( + ) e Avtar i, ] og vokser i [, y = e(4 ) 7. a) D g = 0, a = e +4 Delkapittel.. a) A() = = 0, y = 00. =, y =. =, y = 4. a).,, 0 millioner 66.7 %, å fjerne kriminaliteten helt blir veldig dyrt. a) a, avlingsmengde uten gjødsling ) a + b, maksimal avlingsmengde a+(a+, ligger midt mellom avling uten gjødsel og maksimal avling 6. a) A() = = 0, y = Avtar i 0, 00], vokser i [00, 00 e) 7. a) A() = = 0, y = Avtakende i 0, 000] og voksende i [000, = 000 e) Delkapittel.. a) L f() = 0 for =, f() < 0 for, og f() > 0 for < eller > f () = (+). Voksende for alle der f er denert =, y = e). a) Nevner 0 y = Avtar for 0 og vokser for 0. a) =, y = Vokser i,.4] og i [.4,. Avtar i [.4, 0 og i 0,.4] 4. a) y = 0, = 0 og = 4 f() > 0 når 0, 4. f() < 0 når < 0 eller > 4 f () = 8 6 (4 ). Avtar i, 0 og i 0, ]. Vokser i [, 4 og i 4,. a) =, y = f() < 0 for,,. f() > 0 for,, f () = + 4 (+). Vokser i og i, Delkapittel.4. a) a) 0.,,,., , 0.4, 0.,, e) 0., 0., ,.8 % 4. a) k 6. E()(p) = p p 0, 0. %, %, % 7. a) a) 0.4 e) 0.8 f) (p) = Ae kp gir inntektsoptimum for p = k 9. a) [0, 88].6 p < a) [0, ], p p, uelastisk for 0 p., nøytralelastisk for p =. og elastisk for. < p <, I(.) = p [0, 4], p 4, uelastisk for 0 p <, nøytralelastisk for p = og elastisk for < p 4, I() == 000 p 0,, alltid nøytralelastisk, I(p) = 00 p [0, 60], p 60, uelastisk for p [0, 0], nøytralelastisk for p = 0 og elastisk for 0 < p < 60, I(0) = 000. a) + Delkapittel.. a) E = {,,, }, globalt maks = og =, globalt min = og = E = {0, },globalt min =, ikke globalt min E = {, }, globalt maks =, globalt min = E = {0,, }, = er globalt min, = 0 er globalt maks e) E = {, }, = globalt maks, = globalt min. = globalt min, = + globalt maks. E = {.,, 0,,.} 4. a) A() = , A(0) = 7 = 00, A(00) = 0 Finn minimum til A() når > 0 I() = 0., P () = e) = 7, 60 f), = 70 g), 7. a), 0, 9,,, = 0 er ikke ekstramalpunkt e)

11 .. Fasit til kapittel f) =, = 6. a) (0, ), (, 0), (, 0), =, y = 9 Globalt maks = 0, globalt min = ( 0 ).77 Delkapittel.6. a) () = + 8 d y d = d f d = 6 4 () = ( + )e d e) d f = ( ) ( +) f) y = + = +. a) = 0, y = + =, y = + = 0, y = =,y = + 4 e) Ingen vendepunkt f) = e., e. + 0.e. () = < 0 4. () = ln (a) a > 0. a) =, = =, y = + 6 Vokser i, og i,. () = 8 (+) skifter fortegn for = der er ikke funksjonen denert. Ingen vendepunkt vendepunkt e) f) Går ut 6. a) y =, y = 6 +, y = 0 +ln(0), y = 9, Delkapittel.7. a) y = y y y = 4 y y = y y = e y y e y e) y = y y f) y = y = y. a) (0, 0), (, ) y = ( ), y = y. a) y = Delkapittel.8. a) [ 9 4, ] [0, 4 ln()] [, e ] [, ]. a) f() < 0 for, f() < 0 for, 0, f() < 0 for,,, f() = 0 for =, ellers positiv e) f() < 0 for, f) f() < 0 for,. a) = er mimimumspunkt = er lokalt maksimumspunkt. = er lokalt minimumspunkt = 0 er minimumspunkt = 0 er trappepunkt e) = er et minimumspunkt f) 4. a). a) ± 9 4, Delkapittel.9. a) 0 0. a) e). a) 4. a). 6. a) e e e Delkapittel.0. a) f (t) = 0.9t.88t+9.6, t = 0 er lokalt min, t = er lokalt maks. Maksimumsverdi 46, minimumsverdi 0 A () = , 6 (i) g () =.8(0. + ) , g () =.08(0. + ) ( 4 +) (ii) 0 = a. a) E = 0.6p, E = 0.8, p > 6.0. %, ca 7 år, % f (t) = 00e 0.t (+800e 0.t ), (t) = 960 e 0.t ( 800e 0.t ) (+800e 0.t ), t = ln(/800) 0... a) f () = g () = + h () = 0 (4 4 ) 4 i () = e 4. a) = 0 a = b =, c = 0.8. a),.0, 0.7,, 4.79, 6.6, = g () = +, ingen ekstremalpunkt 6. a) 64, 9, 0,, 0, 9. = 0, =. f () = 4 + 8, vokser i [0, ] og i [,, avtar i, 0] og i [, ] Konveks i, 0.4] og i [, 8,. Konkav i [0.4,.8]. Vendepunkt ± 7. a) = 0, y = + 4, 6. S() = , < < a) (i) f () = 6 e (ii) g () = ln( ) + = 0 y () = 9. a) 0., E = p p 900, E =.6, p = a) 40, f (t) = (t+), f (t) < 0, pruting gir laver pris

12 Fasit.6 Fasit til kapittel 6 Delkapittel 6.. a), 4, 9, 6,,, 4, 8, 8,,, 7, 9. a) b + +b + b 4 + b a +a +4a 4+a. a) sum 4 n= an n= (n + )an 6 n= n 7 n= n 4. a og e, d og e. a) n= an+ 6 n= n 6. a) Like Ikke like nk= 7. = k n = n n k= k Delkapittel 6.. a) 0 00 n(n+) 0 n(n+) e) f) 70. a) 8 n= (n ) 9 n= ( n) 9 n= (4n 9). d =, a = , 4, a = b n og b = a n. a) 0, 60, 70, t n = 0n + 0 0, 70, n + n 6 6. a) 870, 940, 00, p n = 70n a) 0, 96, 89, t n = 0 7n V t = t Verdi i antall 000 a) 0, 9, 8, 7, 06, 9, 84, 7, 6,, 40 0, 0,, 96, 8, 70, 60,, 46, 4, 40. a) k(k+) e) V t = 00t 00t Delkapittel 6.. a) e) f) 9. g) 7.94 h) 0 i) y y y 0 j) + 6 k) 76.9 l) 4.79 m).80. a). 0.8 (( )n ). V t = t, V a) a = 0 4, k =, Sum 7 = a) 0,, 4., a n = 0. n %, 9 8. a) 0, , a) Cirka Cirka.8 0 9, cirka.6 0 tonn, ca 0 tonn Delkapittel 6.4. a) a) a) a) a) S() = [ ( ) ] , 80.79, hvis renta øker så øker saldoen 87.08, a) i n = n, i 0 = a) 9.84, , , 769.9, 9. a) Delkapittel 6..., a) , a) a) 777.9, , a og en 6. på a) a) a) n terminbeløp a og et 7. på a) a) %. a) 6., 6.09 % 4. % 7 %.4 %. a) =.0, =.0, = , , a) 8.99, 0 %. a) , a) Gunstig Delkapittel 6.6. a) 8 Divergerer e) 87.4 f) 4 7 g) Diveregerer. a) < eller > 0 < eller > 0 / [, ] Konvergerer for / [, ], S = e) Konvergerer for,, S =. a) 0.6,.,.6984, 7.( 0.9 n ) a) P n = ( 0.9 n+ ) , ved resirkulering vil råvarer til plastposer gi opphav til plastposer. a) Nei, den divergerer Delkapittel 6.7. a) Dyrt. a) 7 7., a) Nei r > v 4. a) %. a) 6. a)

13 .6. Fasit til kapittel 6 Delkapittel 6.8. a) 89.84, 4. % 4., a) , 0.6 % a) (i).8 / (ii).77 / (i) (ii) (iii) a) (i) (ii). % (iii) 4 år (i) (ii) (iii) a) 0 600, 8.48, , 4 år, %, a) 6., 9 84., , 0 år, , 0., Alternativ, 4.4 %,.8 % 7. a) år a) a) 804.6, , a) , , 97.99

14 4 Fasit.7 Fasit til kapittel 7 Delkapittel 7.. a) y = + C y = + C y = 8 t8 + C y = ln t + C e) y = t + C f) y = e + C. a) C e + + C t6 t t + C 4 ln t + 8 t + C. a) C 6e t + 8 t + C 4 ln + C 4 ln + C 4. a) + C C e + C 7e + C e) + ln + C f) C g) C h) 8 + C i) + C j) + C. F () = ln(), ln() d = F () + C 6. (A) lovlig, (B) ikke lovlig. 4 + C, + C a) I() = Delkapittel 7.. a) e) 4 f) e e g) 0 ln() h) 6e 6. a) e) 6 f) 88 g) 64 h) 60 i) 4 9 j) e e. a) a) a) Cirka 7 00 Cirka a) a) 0 Delkapittel 7. a) 4 6 ln() a), ln() 4 e) 48 9 e) 6 f). Området over aksen er arealenhet større enn området under. g) 4 h) a) k Delkapittel , 9, 9.. Eksakt 0. 0, 0., 0.4. Eksakt a) A 00 = Delkapittel 7.. a) a) T.77. a) a) F (t) = te rt 0 000e0r r (0r + e 0r ). a) Delkapittel 7.6. a) ln + C + ln ( ) ln ( ) ln + + C e) ln ( ) 8 f) 4 ln + C. a) ln + C C e e + C e) f) ln ln() + C. a) e ( + ) + C ln(4) ( ln() ) + C ( + )e + C e) ( ln() ) +C f) 96 4 ln ln + C ln +ln +C 4. a) 4 ln ln + + C ln 0 ln + C. e) ln + ln + + C f) 44 ln 4 ln + + C g) ln + C h) 4 ln C Delkapittel 7.7. a) e. a) a) 0,0,0 ln(4) Delkapittel 7.8 a. a) = ±, ingen nullpunkt dersom b a < 0. = ± c. Hvis b og c har ulikt fortegn har vi ikke nullpunkt. Hvis c = 0 og b 0 har vi ikke nullpunkt. a =, b = 4., c = 8.7., 4. (i) + + C (ii) e8 4. a) K() = I() = 0, =

15 .8. Fasit til kapittel 8.8 Fasit til kapittel 8 Delkapittel 8.. 6, a) K(, y) = 0 + 0y + 40 I(, y) = y P (, y) = y 40. a) I(, y) = y Underskudd på 9 7 e) Overskudd på a) K(, y) = y I(, y) = 0 + 0y 7. a) P (, y) = 4+4y+0z P (, y, z) = 0.00z y + 0z 0 000, K(,,, 4) = a) 0 y 00 I(, y) = y y Delkapittel 8.. a) z = , = 90 z = 0.y + 40y + 900, y y 0.y y 00 = 0. a) 40, 6 80, 00 80, 00 Relativt att e) Bratt ned mot fjorden f) Ja. a) Stigning z =, en parabel e) z = + f) g) 4. a), parabler z = z = y e) 4 f) z = + g), 4. a), tredjegradskurver Stigning mot sør z = e) mot vest f) z = + g) h) (, y) = (, 9) i) 7 j) 6. a) Radius vokser eksponetielt Radius avtar eksponetielt e) z = ln(y), z = ln() f) Trakt 7. a) + y 0, z 0 + y > 0, verdimengde er R y, z 0, y > 0, verdimengde er R e) y > 0 f) y > g) y ± h) y og y > 0 Delkapittel 8.. a) f =, f y = f =, f y = y f = 6 + y, = y f y f = 4y + y4, f y = + y e) f = y, f y = y f) f = y y + y, f y = 4 + y g) f = + y, f y = y h) f = 04 y + y, f y = 4 y +. a) f = y, f y = + f = 4y, f y = + 4 f = e ln(y), f y = e y = y ( y), y = ( y) e) = y = y, y y f) = +y, y = y +y. a) Cirka 4.0 Cirka Cirka 8.80 Cirka.0 4. f = A, f y = B, konstant stigning i - og y-retninga.. a) f = y z, f y = + z, f z = y f = yz y z, f y = z 6yz, f z = y 9y z = e ln(yz), y = e y, z = e z = z y ( z), y = z, z = +y ( z) e) = y +z, y = y y +z, z = z y +z f) = +y +z, y = y +y +z, z = z +y +z 6. a) P = 80 + y, = y P y 00, 0, 7. U = αα y β > 0, U y = βα y β. Økt konsum gir økt nytte. 8. a) Cirka 000 q = y 0. z 0.4, q y = y 0.7 z 0.4, q z = y 0. z 0.6, q (8, 6, 9) 97.6, q y (8, 6, 9) 749.0, q z (8, 6, 9) = 4.6 Radioreklame 9. B v = h > 0, B h = v h < 0, 0. a) Komplementære Konkurrerende Komplementære Konkurrerende Delkapittel 8.4. a) f =, f y =, = 0, f yy = 0, y = 0 f =, f y = y, =, f yy =, y = 0 f = 6 + y, f y = y, = 6, yy = 4y, y = f = 4y + y4, f y = + y, = 4y, yy = 6y, = 4 + y y e) f = y, f y = y, = 0, f yy =, y = y f) f = y y + y, f y = 4 + y, = 6 y, yy = 0y, f y = + y g) f = + y, f y = y, = 6, yy =, f y = y h) f = 04 y + y, f y = 4 y +, = 40 y + y, yy = 4, y = 04 y +. a) f = y + y, f y = y + 6y 6, = 6y, yy = + y, y = 6 y + 6y f = yey, f y = ey y, = y e y, yy = e y + y, y = ey + ye y f = ye e y, f y = e e y, = ye, yy = ey, y = e e y f = e y, f y = 4 ye y, = 6ey, yy = 4 e y + 6 y e y, y = ye y. a) (, ) er sadelpunkt (0, 0) er lokalt minimumspunkt (, ) og (, ) er sadelpunkter

16 6 Fasit (0, 0) og (, ) er sadelpunkter e) (0, 0) er lokalt minimum, (, 0) er lokalt maksimum f) (0, 0) er lokalt maksimum. (, ), (, ), (, ) og (, ) er sadelpunkter 4. a) (0, 0) er sadelpunkt. ( 4, ) 8 og ( 4, ) 8 er lokale minimumspunkter (, ) er lokalt minimumspunkt (0, 0) er sadelpunkt. (, ) er lokalt minimumspunkt ( 4, ) er lokalt maksimum. a) 6. a) Delkapittel 8.. a) y = y y y = 4 y y = y y = e y e y y e) y = y y f) y = y. a) y = +, y = a) U =.y , U y = 7.0. y 0., én ekstra av B Slå til 4. a) f = y + 9, f y = y, = 6, f yy =, y = (, ) er sadelpunkt, (, ) er lokalt minimumspunkt y = Delkapittel 8.6. a) 4. a), Cirka. og -.. a).,., a),, 0 av A og av B gir maksimal nytte på a) Punktene (, ) og (, ), (, ) og (, ) 7. a) 8. a) I(, y) = + y y +0+0y P (, y) = + y y y 0. tonn av A og 9. tonn av B. Øke til ca 7 9. a) av A og 8 av B gir maksimum på Cirka 86, økes til ca a) f = y +, = y, f y =, f yy =, y = (, ) er sadelpunkt Minimumspunkt ( 6, ) 6. a) 0 ved A og ved B gir maksimum på 49 9 ved A og ved B e) Cirka. a) (, 4) 0 + y = 90,, y 0 (4.9,.84). a) + y =,, y 0.6 kg kae og.6 kg te 4. a), budsjett på minimum 00. a) Sirkel om (, ) med radius. 4,. Maks 4 og min 0. Maksimum 4 og minimum 0. Delkapittel 8.7. a) 9,, 0 8, 8 0, e e) 0,, 0 f) 0, 4. a) i Narvik og 97 i Sandnes. a) (4000, 000) er maksimumspunkt. Maksimumsverdi a) f = y + 9, f y = y, = 6, f yy =, y = (, ) er sadelpunkt, (, ) er lokalt minimumspunkt 7,., , Delkapittel 8.8. a) df dt = (t+)+(t+ ) t +(t+) t, df dt = (+e t (t +) )e t + 6t(t + ) e t,. a) = 6t + 0s, 6. s t s = e s = t + 6s +, 8 (e s +e t ) + s s +t + (+e). a) = c 6, y = c, λ = c 6, maksimum c m( = c, dm dc = c 6 = λ Delkapittel 8.9. a) = 4, y =, maksimal fortjeneste Sirkel med sentrum i (, ) og radius k.. y = a) (, y) = (.7,.9), z = 68.84, y = 7 + 7, 7. a) F K = 4 K 4 L, F L = K 4 L, F KK = 6 K 7 4 L, F LL = 4 K 4 L F KL = 8 K 4 L K = 0 000, L = a) = 80, y = av hver. a) h = y, h y = + y, h = y, h yy =, h y = Lokalt minimum, sadelpunkt, sadelpunkt.. Minimum er a) h = 6 y, h y = + y, h = y, h yy =, h y =, Begge er sadelpunkter, minimumsverdi 4 7. a) u = y+, u y = y +y (, 8) 8. a) f = 6 y, f y = 6y + y + 6y, = 6, yy = 6 + 6y + 6, y = 6y (0, 0), (, ), (0., ) Lokalt minimum, sadelpunkt, sadelpunkt 9. a) 000, 6 000, ved A og 00 ved B 0. a) f = 4 + y, f y = 6y + 6, = 4, f yy = 6, y = (, ) er et sadelpunkt

17 .9. Fasit til kapittel A 7.9 Fasit til kapittel A Delkapittel A.. a) e) 4 f) a) Delkapittel A.. a) 6 y 6 y a 8 b 4 e) 8 f) a 6. a) 0 e) y 8 f) 6 Delkapittel A.. a) 9 6 e) 7 f) ( 6 + 7). a) y y ( + y) Delkapittel A.4. a) e) f). a) a 6 y e) y 4 f) 0a g) a h) + i) a b y 6 j) a Delkapittel A.. a) {,,,, 7, 9} {} {, 9} {,, 7}. ahi, bg, cj. Delkapittel A.6. a) ( ) ( + ) ( + ) + ) ( y) = 4( y) e) ( ) f) ( + y) g) (a h) 4a + i) y) j) ( + 4y ) Delkapittel A.7. a) e) + 4 f) +4 g) + h) Stemmer. a) 7,, 9,, e), f), g),. a) ( )( + ) ( 7)( ) ( )( + ) ( + )( + ) e) ( )( + ) f) ( )( + 4) g) ( + ( ))( + ( + )) Delkapittel A.8.. a) [, ], 4 [, ], e) [, ] f),, Delkapittel A.9. a) e) f) g) + + h) + +++