Chebyshev interpolasjon
|
|
|
- Flemming Thorbjørnsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Chebyshev interpolasjon Chebyshev polynomer Vi vil studere polynomapproksimasjon på intervallet [-, ]. Målet er å minimalisere den største verdien av feilestimatet E HxL = f HxL - P HxL, hvor maksimum tas over alle x Î [-,], Både lagrangepolynomer og newtonpolynomer gir et feilestimat som involverer nodene xk, k = 0,,,..., : E HxL = QHxL f H+L HcL H+L!, c x D, QHxL = Hx - x0 L Hx - x L... Hx - x- L Hx - x L Hvis nodene kan velges fritt, vil Chebyshev interpolasjonspolynomer P HxL minimere maksimumsverdien av Q(x). odene velges da som nullpunktene til Chebyshev polynomet T HxL av grad.. Disse ligger alle i intervallet [-,] og er gitt ved xk = cosj +. H k+l Π, k = 0,,..., -. Polynomet Q(x) er av grad Chebyshev polynomer kan defineres rekursivt ved T@0, x_d = ; T@, x_d = x; T@k_, x_d := x T@k -, xd - T@k -, xd ; Table@T@k, xd, k, 0, 7<D Simplify Expand Column x x - 4 x3-3 x x4 - x + 6 x5-0 x3 + 5 x 3 x6-4 x4 + x - 64 x7 - x x3-7 x Den ledende koeffisienten for x i polynomet T HxL er - når ³. Polynomene har en trigonometrisk representasjon T HxL = cos H arccos xl, x D Chebyshev polynomer ( av første slag) er implementert i Mathematica som ChebyshevT[k,x]. Her er et plott av de 5 første polynomene, av grad,...,5. Her ser vi tydelig at alle nullpunktene ligger innenfor intervallet <-,>.
2 = 5<, Plot@ChebyshevT@Range@kD, xd, x, -, <DD Chebyshev interpolerende polynom Chebyshev approksimasjonen av grad er basert på de + nullpunkter av T+ HxL. Chebyshevpolynomene tilfredsstiller følgende ortogonalitetsrelasjoner: Ú k=0 Ti Hxk L T j Hxk L = 0 når i ¹ j Ú k=0 Ti Hxk L Ti Hxk L = + når i ¹ 0 Ú k=0 T0 Hxk L T0 Hxk L = + Sjekker for I = j = : â CosBΠ k=0 k+ + + F Simplify Sjekker for i = 3, j = 5 : â CosB3 Π k=0 k+ + 0 F CosB5 Π k+ + F Det interpolerende polynom kan da utvikles i en sum av ortogonale funksjoner: P HxL = Új=0 c j T j HxL For å bestemme koeffisientene ck, benyttes ortogonalitetsegenskapene. Med xk = cosj vi: k+ Π + får f Hxk L = Pn Hxk L = Új=0 c j T j Hxk L Ú k=0 f Hxk L T0 Hxk L = Úk=0 Új=0 c j T j Hxk L T0 Hxk L = Új=0 Úk=0 c j T j Hxk L T0 Hxk L = Úk=0 c0 T0 Hxk L T0 Hxk L = c0 Ú k=0 T0 Hxk L T0 Hxk L = c0 Úk=0 = c0 H + L HVi har byttet om rekkefølgen av summasjonene over k og j og benyttet at bare j = 0 gir bidrag til den indre summen over k. Videre har vi benyttet at T0 Hxk L = siden polynomet er konstantl
3 For å bestemme koeffisientene ck, benyttes ortogonalitetsegenskapene. Med xk = cosj vi: k+ Π + får f Hxk L = Pn Hxk L = Új=0 c j T j Hxk L Ú k=0 f Hxk L T0 Hxk L = Úk=0 Új=0 c j T j Hxk L T0 Hxk L = Új=0 Úk=0 c j T j Hxk L T0 Hxk L = Úk=0 c0 T0 Hxk L T0 Hxk L = c0 Ú k=0 T0 Hxk L T0 Hxk L = c0 Úk=0 = c0 H + L HVi har byttet om rekkefølgen av summasjonene over k og j og benyttet at bare j = 0 gir bidrag til den indre summen over k. Videre har vi benyttet at T0 Hxk L = siden polynomet er konstantl Þ + c0 = Ú k=0 f Hxk L T0 Hxk L = + Ú k=0 f Hxk L Videre får vi, ved ombytte av summasjonene og bruk av ortogonalitetsrelasjonene : Ú k=0 f Hxk L Ti Hxk L = Úk=0 Új=0 c j T j Hxk L Ti Hxk L = Új=0 Úk=0 c j T j Hxk L Ti Hxk L = Úk=0 ci Ti Hxk L Ti Hxk L = ci = ci Ú k=0 Ti Hxk L Ti Hxk L = ci J + Ú k=0 f Hxk L Ti Hxk L = Algoritme + + Ú k=0 f Hxk L coshi arccoshxk LL = + Ú k=0 f Hxk L cos Ji k+ Π + 3
4 4 n_d := Π ModuleB: d = *, c, T>, n+ H* definer noder, lagre funksjonsverdier, initialiser koeffisientliste *L For@k = 0, k n, ++k, x@kd k + L ddd; y@kd = f@x@kdd; c@kd = 0 D; H* Beregn koeffiisentene *L For@j = 0, j n, ++j, For@k = 0, k n, ++k, c@jd = c@jd + y@kd Cos@ j H k + L dd D D; c@0d = c@0d; n+ ForBj =, j n, ++j, c@jd = F c@jdf; n+ H* beregn chebyshevpolynomene rekursivt *L T@0D = ; T@D = x; If@n >, For@j =, j < n, ++j, T@j + D = x T@jD - T@j - D D D; P = 0; For@j = 0, j n, ++j, P = P + c@jd T@jD D; P = Expand Simplify P; Print@" Chebyshevpolynomet Pn HxL = ", PD Mathematica kode Koden i Mathematica blir mye kortere fordi Chebyshevpolynomene allerede er implementert i programmet.
5 In[]:= 5 ChPoly@x_, n_d := ModuleBc, z<, k+ Hn + L z@k_d := B CosBΠ â f@z@kdd ChebyshevT@0, z@kdd; n c@0d := n+ k=0 â f@z@kdd ChebyshevT@j, z@kdd; n c@j_d := n+ k=0 â c@kd ChebyshevT@k, xd Simplify n F FF; k=0 Eksempel Som eksempel ønsker vi å bestemme polynomet P3 HxL som approksimerer funksjonen f HxL = ãx på intervallet [-,] odene er gitt ved xk = cosj c0 = 4 c = c = c3 = Ú3k=0 exk T0 Hxk L = Ú3k=0 exk T Hxk L = Ú3k=0 exk T Hxk L = Ú3k=0 exk T3 Hxk L = 4 ΠH k+l når n = 3.. Ú3k=0 exk = Ú3k=0 exk xk = Ú3k=0 exk cosj Ú3k=0 exk cosj3 ΠH k+l = ΠH k+l = P3 HxL = T0 HxL T HxL T HxL T3 HxL = x x x3 f@x_d := ãx ChebyshevInterpolatingPolynomial@x, 3D Chebyshevpolynomet Pn HxL = x x x Detaljert Mathematica kode : Clear@xD Beregner nullpunkter: nodes = x. Solve@ChebyshevT@4, xd 0, xd : ,-, +, >
6 Sort -0.93, , 0.363, 0.93< k+ x = B TableBCosB ΠF, k, 0, 3<FF Sort -0.93, , 0.363, 0.93< ullpunktene til Chebyshevpolynomet T4 HxL stemmer med listen x Beregner koeffisientene c@0d = Sum@Exp@x@@kDDD, k,, 4<D Alternativt : Plus Exp@xD c@d = SumBExp@x@@kDDD CosB Π H k - L.303 F, k,, 4<F Alternativt : Plus HExp@xD xl.303 c@d = SumBExp@x@@kDDD CosB c@3d = Π H k - L SumBExp@x@@kDDD CosB 3 Π H k - L F, k,, 4<F F, k,, 4<F = â c@kd ChebyshevT@k, xd Simplify 3 k= z z z
7 @xd, x, -, <, PlotStyle Thick, Dashed, Red<, Blue<<D Egenprogrammert: := ãx 3D x x x Sammenlikning med Lagrange interpolasjon Vi vil approksimere f(x) = ex med et Lagrangepolynom av grad n = 3 over intervallet [-, ]. 3 odene er ekvidistante med abscisser x0 = -, x = -, x =, 3 vi gjør med tilsvarende beregning med Chebyshevnoder. Ved Lagrangeinterpolasjon: k X@k_D := f@x_d := Exp@xD pts = Table@X@iD, f@x@idd<, i, 0, 3<D LPoly@x_, 3D = InterpolatingPolynomial@pts, xd Expand x x x errorl@x_d := f@xd - LPoly@x, 3D x3 =.Vi sammenlikner feilen 7
8 p = Plot@errorL@xD, x, -, <, PlotStyle RedD Kontrollerer at feilen er null i de ekvidistante nodene : Table@errorL@X@kDD, k, 0, 3<D 0., 0., 0., 0.< Ser av grafen at største absolutte feil ligger nær x = 0.: FindRoot@D@errorL@xD 0, xd, x, 0.<D x < Vi ser av grafen at dette punktet er globalt maksimum på intervallet [-,]: Abs@errorL@ DD Ved Chebyshevinterpolasjon : errorch@x_d := f@xd - ChPoly@x, 3D p = Plot@errorCh@xD, x, -, <D Kontrollerer at feilen er null i Chebyshevnodene : errorch@nodesd Chop 0, 0, 0, 0< Finner ekstremalpunkt for feilfunksjonen :.0
9 9 0, xd, x, <D x 0.733< Største absolutte feil i det indre av området: Abs@errorCh@0.733DD Sjekker feilen i endepunktet Abs@errorCh@DD Den største absolutte feil er derfor for x = (globalt maksimum på [-,] ). Show@p, p, PlotRange AllD For Lagrangeinterpolasjonen er den største absolutte feilen vi gjør på intervallet [-, ] gitt ved ved x = , mens ved Chebyshevinterpolasjonen er maksimal absolutt feil = ved x =. Feilen er altså redusert med ca. 30% og er fordelt mer jamnt over intervallet. Dette bekrefter at Chebyshevpolynomene minimaliserer feilen over intervallet [-,]. Eksempel Chebyshevpolynomene har odde symmetri for odde og like symmetri for par. En symmetrisk funksjon vil derfor bevare symmetrien i sitt interpolerende polynom. f@x_d := Cos@xD ChebyshevInterpolatingPolynomial@x, 6D Chebyshevpolynomet Pn HxL = x x x x x +. c@x_d := x x x +
10 0 x, -, <, PlotStyle Thick, Dashed, Red<, Blue<<, AxesOrigin 0, 0<D Eksempel 3 (Runge fenomen) f@x_d := + x ChebyshevInterpolatingPolynomial@x, 0D Chebyshevpolynomet Pn HxL = x x x x x x x x x +. CP@x_D := x x x x x + Plot@CP@xD, f@xd<, x, -, <, PlotStyle Thick, Dashed, Red<, Blue<<, PlotRange 0, <D ChPoly@x, 0D Chop x x x x x +.
11 0D, x, -, <, PlotStyle Thick, Dashed, Red<, Blue<<, PlotRange 0, <D Dette eksemplet viser at Chebyshev interpolasjon kan være bedre enn Lagrange interpolasjon da feilleddet E HxL = f HxL - P HxL 0 når. Det kan vises at når f(x) og f (x) er kontinuerlige på intervallet [-,], vil P HxL konvergere uniformt mot f HxL over intervallet [-,]. Vår funksjon er et eksempel hvor Lagrangepolynomet av grad ikke konvergerer. Lagrangepolynomet er basert på noder med lik avstand seg imellom. Lagrangepolynomer er implementert i Mathematica ved kommandoen InterpolatingPolynomial. Vi deler intervallet [-,] i 0 like deler, og beregner funksjonsverdiene der. pts = Table@ k, f@ kd<, k, 0, 0<D LP@x_, 0D = InterpolatingPolynomial@pts, xd Simplify Chop x x x x x x x x x x
12 0D, x, -, <, PlotStyle Thick, Dashed, Red<, Blue<<, PlotRange 0, <D Vi observerer ville oscillasjoner nær endepunktene av intervallet. Oscillasjonene øker med større verdi for. Problemet opptrer fordi nodene er ekvidistante. Denne mangel på konvergens kalles Runge s fenomen. Eksempel 4 år f(x) ikke er kontinuerlig på intervallet [-,], kan Chebyshevpolynomene gi dårligere tilpasning enn Lagrangepolynomene. Sin@xD f@x_d := - x ChPoly@x, 9D Chop x x x x x Plot@ChPoly@x, D, f@xd<, x, -, <, PlotStyle Thick, Dashed, Red<, Blue<<D
13 3 pts = Table@-.0 + k, f@-.0 + kd<, k, 0, <D LP@x_, D = InterpolatingPolynomial@pts, xd Simplify x x x x x x x x Plot@LP@x, D, f@xd<, x, -, <, PlotStyle Thick, Dashed, Red<, Blue<<D Oppgave Bestem Chebyshevpolynomet av grad som approksimerer besselfunksjonen av grad på intervallet [-,]. Lag et plott som viser polynomet og funksjonen sammen over intervallet [-,] slik som demonstrert i eksemplene. Gjenta plottet over intervallet [-4,4]. Hvor er konvergensområdet for Chebyshevpolynomer? Plott også Chebyshevpolynomet av grad 5 sammen med f(x) over de to intervallene. Har graden av polynom noe å si på konvergensintervallet? Oppgave Bestem Chebyshevpolynomet av grad som approksimerer f HxL = sin 4 x + x på intervallet [-,]. Plott olynomet med stiplet, rød linje sammen med f(x) i samme graf. Beregn deretter Lagrangeplolynomet over de ekvidistante nodene pts =Table[{ k,f[ k]},{k,,9}]. (Bruk InterpolatingPolynomial[pts,x]). Plott polynomet med stiplet, rød linje sammen med f(x) i samme graf. Observer Runge fenomenet. Eksperimenter med andre funksjoner, f.eks. f HxL = sin x + x Oppgave 3 Bestem Chebyshevpolynomet av grad 5 som approksimerer f HxL = cos0 x på intervallet [-,]. Plott polynomet med stiplet, rød linje sammen med f(x) i samme graf. k k Beregn deretter Lagrangeplolynomet over de ekvidistante nodene pts =Table[{-+,f[-+ ]},{k,,9}]. Plott polynomet med stiplet, rød linje sammen med f(x) i samme graf. Hvis tid, eksperimenter med polynomer av grad 0.
14 4 Bestem Chebyshevpolynomet av grad 5 som approksimerer f HxL = cos0 x på intervallet [-,]. Plott polynomet med stiplet, rød linje sammen med f(x) i samme graf. k k Beregn deretter Lagrangeplolynomet over de ekvidistante nodene pts =Table[{-+,f[-+ ]},{k,,9}]. Plott polynomet med stiplet, rød linje sammen med f(x) i samme graf. Hvis tid, eksperimenter med polynomer av grad 0.
Chebyshev interpolasjon
Chebyshev interpolasjon Chebyshev polynomer Vi vil studere polynomapproksimasjon på intervallet [-, ]. Målet er å minimalisere den største verdien av feilestimatet E HxL = f HxL - P HxL, hvor maksimum
Newtonpolynomer med senterpunkter x0, x1,..., xn-1
Newtonpolynomer med senterpunkter x, x,..., xn- Det er av og til nyttig å finne flere approksimerende polynomer P HxL, P HxL,..., Pn HxL til et datasett med n+ elementer for så å velge den som passer best
8 Interpolasjon TMA4125 våren 2019
8 Interpolasjon TMA4 våren 9 Fra M husker du at dersom x i er n + forskjellige punkter på x-aksen med korresponderende y-verdier y i, finnes det et entydig polynom av maksimal grad n som interpolerer punktene
Tangenten svarer til lineær approksimasjon av funksjonen. Likningen for tangenten finnes derfor fra 1. ordens Taylorutvikling:
Newton' s metode Teori Bisektormetoden og sekantmetoden benytter begge skjæringspunkter mellom x - aksen og approksimerende linjer til funksjonen f som tilnærmede verdier til løsningen av likningen f (x)
Øving 6 Tallfølger og differenslikninger
Øving Tallfølger og differenslikninger Teori Se også Mathematicakompendiet kap. En tallfølge er en liste av elementer satt opp i en bestemt rekkefølge { a[0]a[]a[]...a[n]... } = {a[n]} 0. Vi kaller elementet
I denne øvingen vil vi sammenlikne det teoretiske resultat med et grafisk bilde av konturlinjene til flaten. Vi tegner konturene der
Øving uke 44 Kritiske punkter Se også Mathematicakompendiet, kap 3.8 En funksjon av to variable kan ha lokale maksimal- og minimalpunkter innenfor definisjonsmengden, akkurat som funksjoner av en variabel.
Numerisk integrasjon
Numerisk integrasjon Arne Morten Kvarving Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology 29. Oktober 2007 Problem og framgangsmåte Vil vil finne en numerisk approksimasjon
Eksamensoppgave i TMA4125 Matematikk 4N
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4125 Matematikk 4N Faglig kontakt under eksamen: Morten Andreas Nome Tlf: 90849783 Eksamensdato: 6. juni 2019 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
Taylor- og Maclaurin-rekker
Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =
Matematikk 4 TMA4123M og TMA 4125N 20. Mai 2011 Løsningsforslag med utfyllende kommentarer
h og f g og f Matematikk TMA3M og TMA 5N 0. Mai 0 Løsningsforslag med utfyllende kommentarer Oppgave Funksjonen f () = sin, de nert på intervallet [0; ], skal utvides til en odde funksjon, g, og en like
LØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i.
Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag. februar 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: LØSNINGSFORSLAG Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk
Eksamensoppgave i TMA4125 BARE TULL - LF
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA425 BARE TULL - LF Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 8.april-5. juni 29 Eksamenstid (fra til): : - 24: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
Ekstrapolasjon. Minste kvadraters metode. Minste kvadraters metode på matriseform. Implementering
Ekstrpolsjon Minste kvdrters metode Implementering lsm@dt_d := ModuleB8c, c, c, c
= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
Laplacelikningen med Dirichlet betingelser
Laplacelikningen med Dirichlet betingelser Vi vil løse laplacellikningen Φ x + Φ y = 0, 0 < x
: subs x = 2, f n x end do
Oppgave 2..5 a) Vi starter med å finne de deriverte til funksjonen av orden opp til og med 5 i punktet x = 2. Det gjør vi ved å bruke kommandoen diff f x, x$n der f x er uttrykket som skal deriveres, x
Polynomisk interpolasjon
Polynomisk interpolasjon Hans Munthe-Kaas 1. jaunar 2002 Abstract Dette notatet tar for seg interpolasjon med polynomer. Notatet er ment som et tillegg til læreboken i I162, og forsøker å framstille dette
Semesteroppgave. TMA4215 Numerisk Matematikk Gruppe nr. 6 Kristian Stormark og Bjørn E. Vesterdal. Høst 2003
Semesteroppgave TMA4215 Numerisk Matematikk Gruppe nr. 6 Kristian Stormark og Bjørn E. Vesterdal Høst 2003 Sammendrag Fra datasettet med termodynamiske egenskaper for vann ved konstant temperatur 25 C
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Prøveeksamen 1 Eksamensdag: Onsdag 14. November 2014. Tid for eksamen:
13.1 Fourierrekker-Oppsummering
3. Fourierrekker-Oppsummering Fourierrekken til en periodisk funksjon f med periode = L er gitt ved F f (x) = a + a n cos(nωx) + b n sin(nωx) der x D (konvergensområdet) a = / / f(x) dx = L b n = f(x)
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
Fasit MAT102 juni 2016
Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet
Eksamen i TMA4122 Matematikk 4M
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Yura Lyubarskii: mobil 9647362 Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA422 Matematikk
Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
Høgskolen i Oslo og Akershus. sin 2 x cos 2 x = 0, x [0, 2π) 1 cos 2 x cos 2 x = 0 2 cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 2 1 2
Innlevering i DAFE/ELFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 31. januar klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 Løs disse likningene ved regning, og oppgi svarene eksakt: a) Vi kan for
Eksamensoppgave i MA2501 Numeriske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA50 Numeriske metoder Faglig kontakt under eksamen: Trond Kvamsdal Tlf: 9305870 Eksamensdato: 3. mai 08 Eksamenstid (fra til): 09:00 3:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
UNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
Fasit eksamen i MAT102 4/6 2014
Fasit eksamen i MAT /6. (a Løs ligningssstemene. Svar: i ( x i = 3x + = 7 x + = ( 6, ii x z ii = x + z = 3x + 6 + z = +. er fri. (b Ved å bruke MATLAB-kommandoen rref på totalmatrisen til ligningssstemet
For at en funksjon i to variable skal ha en grenseverdi i punktet (a,b), dvs.
Øving ue 3 Grenser og ontinuitet For at en funsjon i to variable sal ha en grenseverdi i puntet (a,b), dvs. lim Hx,yL Ha,bL f Hx, yl = L sal esistere, må denne unie verdien oppnåes uansett hvilen vei man
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x
Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning.
Stavanger, 6. august 013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 5.1 Implementering av IIR filter....................
5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
MAT 110A - VÅR 2001 OBLIGATORISK OPPGAVESETT
MAT 110A - VÅR 2001 OBLIGATORISK OPPGAVESETT 3 Skriftlige besvarelser skal innleveres til den gruppelæreren på den regneøvelsen hver enkel er påmeldt til, etter nærmere avtale. Innleveringsfristen er fredag
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).
Løsningsforslag MAT102 Vår 2018
Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave
KAPITTEL 9 Approksimasjon av funksjoner
KAPITTEL 9 Approksimasjon av funksjoner En grunnleggende teknikk som ofte brukes i ulike deler av matematikk og anvendelser er å tilnærme eller approksimere et objekt med et annet. Som regel er objektet
Forelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er
MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.
MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal
1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A =
Fasit MAT102 juni 2017 Oppgave 1 1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 1 2 A = 2 1 Løsning: Egenverdiene er røttene til det karakteristiske polynom gitt ved determinanten av matrisen (
Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 2. desember 204 Eksamenstid
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x
Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11)
Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11) Knut Mørken 22. november 2004 Vi har tidligere i kurset sett litt på numerisk derivasjon
Oppgave Iterasjonen ser ut til å konvergere sakte mot null som er det eneste fikspunktet for sin x.
Oppgave 7.2.6 a) x d 1.0 x := 1.0 (1) for n from 1 by 1 to 20 do x d sin x end do x := 0.8170988 x := 0.7562117 x := 0.6783077 x := 0.6275718321 x := 0.5871809966 x := 0.550163908 x := 0.5261070755 x :=
MAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 35
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver uke 35 Oppgave 1 Halveringsmetoden a) x = cos x x cos x = 0 eller f(x) = 0 med f(x) = x cos x b) f(0) = 0 cos 0 = 1 < 0 og f(π/2) = π/2 cos(π/2) = π/2 > 0. f(x)
Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx
eksamensoppgaver.org 4 lg(x 3) = 2 10 lg(x 3) = 10 2 x 3=100 x = 103 tan x = 3 x [0, 360 x = arctan( 3) x = arctan(3)
eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i.1) lg(x 3) = 2 10 lg(x 3) = 10 2 x 3=100 x = 103 a.i.2) tan x = 3 x [0, 360 x = arctan( 3) x = arctan(3) x 71, 6 Viseratløsningenliggeri4.kvadrant,derforsettervi x 360
Newtons interpolasjon og dividerte differanser
Newtons interpolasjon og dividerte differanser Gitt (x i, y i ), for i = 0, 1,..., n, Newtons basis funksjoner er definert som 1/16 j 1 π j (x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x j 1 ) = (x x k ) for j = 1,..., n
Løsningsforslag. Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3.
Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 a) ln a ln 3 a+ln 4 a = ln a 1/2 ln a 1/3 +ln a 1/4 = 1 2 ln a 1 3
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 for-løkker
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 for-løkker I dette settet skal vi introdusere for-løkker. Først vil vi bruke for-løkker til å regne ut summer. Vi skal også se på hvordan vi kan implementere
Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 2017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8
Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8 1 Deriver følgende funksjoner a) ( x) b) (3 5x) 6 c) x x + 3 d) x ln
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon
12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
Eksempler på aktiviteter med TI Interactive!
Eksempler på aktiviteter med TI Interactive! Disse aktivitetene er skrevet ut direkte fra programmet. Skulle du ønske å prøve de i praksis kan du laste ned en demoversjon (30 dager) av programmet fra http://education.ti.com/us/product/software/tii/features/features.ht
Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00
SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende
Høgskolen i Oslo og Akershus. i=1
Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 2 Innleveringsfrist: 19. oktober klokka 14:00 Antall oppgaver: 2 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Skriptet starter med å la Sum være 0, så blir det for hver iterasjon
Flere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
Eksamensoppgave i TMA4130/35 Matematikk 4N/4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4130/35 Matematikk 4N/4D Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø a, Kurusch Ebrahimi-Fard b, Xu Wang c Tlf: a 92 66 38 24, b 96 91 19 85, c 94 43 03
Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015
Fasit til eksamen i emnet MAT02 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 2.september 205 Fasit. (a) Løs ligningssystemene. i) 5x + 7y = 4 3x + 2y = ii) 3x + 4y + z = 2 2x + 3y + 3z = 7 Svar: i) x = 85/, y =
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 =
Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Mandag 12. oktober 2015 før forelesningen 12:30 Antall oppgaver: 7 + 3 Løsningsforslag 1 Deriver de følgende
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN Emnekode: MA 40 Emnenavn: Analyse Dato: 9. desember 999 Varighet: 09.00-5.00 Antall sider inklusivt forside: Tillatte hjelpemidler: Merknader: 2 Alle, også
Eksempel: s d taylor sin x, x = 0, 9
Maple kan selv konstruere taylorpolynomer til en gitt funksjon om et gitt punkt. Kommandoen er taylor der vi må taste inn funksjonen, punktet a vi finner polynomet om, og hvilken orden n vi vil at polynomet
TMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen
1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x n x2 n 3
TMA4 Høst 26 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4.2.8 Vi setter f(x) = x 2 3. Da blir f (x) = 2x, og iterasjonen blir f (x n ) = x n x2 n 3 2x n () Siden vi har
Oppgave x d 1.0 for n from 1 by 1 to 200 do x d sin x end do
Oppgave 7.2.6 a) x d 1.0 for n from 1 by 1 to 200 do x d sin x Iterasjonen ser ut til å konvergere sakte mot null som er det eneste fikspunktet for sin x. d) Det er klart at f x = 0 hvis og bare hvis x
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MATEMATIKK 4N,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 16 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MATEMATIKK 4N, 19.12.2003 Oppgave 1 a) Vis at den Laplacetransformerte av f(t) = 2te t
Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er
. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sin θ = 3
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 00 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 3.7 99 Vi deriverer to ganger: = A cos (ln ) B sin (ln ) = A cos (ln ) A sin (ln ) + B sin (ln ) B cos (ln
Eksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA/MA6 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG Faglig kontakt under eksamen: John Erik Fornæss /Kari Hag Tlf: 464944/483988 Eksamensdato: 8. desember 5 Eksamenstid
Eksamen S2, Høsten 2013
Eksamen S, Høsten 0 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene x a) fx f x x x x b) 5 g x 5 x 5 5 5 4 4 g x x x
Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX desember eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 08. desember 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned
MA1102 Grunnkurs i Analyse II Vår 2015
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i Analyse II Vår 215 Løsningsforslag Øving 5 11.3:3 f n (x) = 2n+1 x? = x 1 2n+1. (Det er muligens en forskjell
BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: Løsningsforslag
Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: 10 + 1 Løsningsforslag 1 Hvilken av de to funksjonene vist i guren er den deriverte
6.8 Anvendelser av indreprodukter
6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 2. Desember 2016. Tid for eksamen: 9:00 13:00.
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Summer og for-løkker a) 10 i=1 i 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2 + 9 2 + 10 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
Newtons metode. Gitt f(x) slik at f(a)f(b) < 0, Newtons metode genererer en følge {x k }, hvor. (Newton Raphson) x k+1 = x k f(x k) f (x k )
Newtons metode 1/15 Gitt f(x) slik at f(a)f(b) < 0, Newtons metode genererer en følge {x k }, hvor x k+1 = x k f(x k) f (x k ) x 0 [a, b] gitt. (Newton Raphson) y=f(x) x k+1 x k Konvergens: Iterasjons
Eksamensoppgave i TMA4320 Introduksjon til vitenskapelige beregninger
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4320 Introduksjon til vitenskapelige beregninger Faglig kontakt under eksamen: Anton Evgrafov Tlf: 4503 0163 Eksamensdato: 06. juni 2016 Eksamenstid (fra
MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag
MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag I kapittel 9 i kompendiet forklarte vi at maximum-likelihood er en av de viktige anvendelsene av ikke-lineær optimering. Vi skal se litt mer på hva
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
Eksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/N Bokmål Mandag 2.
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
NY Eksamen i matematikk III, 5 studiepoeng. August 2007
NY Eksamen i matematikk III, 5 studiepoeng. August 7 Oppgave a. Regn ut gradienten til funksjonen f(x, y) = x +y +xy. I hvilken retning øker f mest når x = og y =? b. Regn ut kurveintegralet f(x, y) ds
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Onsdag 9. oktober 2013. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet
BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse Faglig kontakt under eksamen: Kari Hag Tlf: 48 30 19 88 Eksamensdato: 15. oktober 018 Eksamenstid (fra til): 17:30 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
Funksjoner (kapittel 1)
Ukeoppgaver, uke 34 og 35, i Matematikk 0, Funksjoner og grenser. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 34 og 35 Funksjoner (kapittel ) Oppgave Figuren til øyre viser
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema
Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være
Eksamen Ma 3 des 2004
Eksamen Ma 3 des 4.nb Eksamen Ma 3 des 4 Initialization In[8]:= In[]:=
MAT jan jan jan MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive
Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)