Bruksanvisning i Mathcad Videregående skoler i Oppland

Transkript

1 Bruksanvisning i Mathcad Videregående skoler i Oppland Sverre Nygård, Sverre.Nygard@oppland.org. En kort bruksanvisning 7.4 Symbolsk løsning av ligninger.0 Symbolpalettene 5.5 Ulikheter. De mest brukte tegn og operatorer: 8.0 Funksjoner. De fire likhetstegnene: 8. Verditabell 3.0 Enkle beregninger: 8. Grafer 3. Forkorting av uttrykk 8.3 Flere grafer i samme figur 3. Forenkle uttrykk 8.4 Minimum og maksimumspunkter 3.3 Faktorisering 9.0 Integrasjon 3.4 Enhetsberegning 9. Bestemte integraler 4.0 Flytting av uttrykk 9. Ubestemte integraler 5.0 Hurtigtaster 9.3 Plotting av integral 6.0 Gi verdier til variable og parametre 0.0 Derivasjon 7.0 Løse ligninger 0. Symbolsk derivasjon 7. Ligninger med en ukjent.0 Regresjon 7. Løsning av annengradsligning. Lineær regresjon 7.3 Ligninger med flere ukjente. Potensregresjon.3 Eksponensialregresjon f (, y) : + y u (, v) : usin ( v) yu (, v) : ucos ( v) zu (, v) : usin ( u) f (, y, z)

2 . En kort bruksanvisningen. Denne oppskriften er tilstrebet å bli så kort som mulig. Oppskriften er på ingen måte fullstendig, men likevel innholder den nyttige eksempler og oppskrifter på hvordan du kan gjøre ting i Mathcad. Med denne oppskriften kan du utføre alt som den grafiske kalkulatoren ble brukt til i den videregående skole. Dersom du sitter med et problem vil du finne mer grundig hjelp under: Help - > "Tutorials" og "Quick Sheet" Videre vil jeg anbefale å bruke:spørsmålstegnet nede til venstre når du skal sette inn en funksjon. Det vil lede deg videre til "Quick Sheet" som er et eksempel på en oppgave løst i Mathcad. Denne framgangsmåten vil du antakelig bruke en del tid på i starten. Jeg viser ellers til Tutorials -Getting started-a quick Tour of Mathcads Features..0 Symbolpalettene Start med å gjøre deg kjent med menylinjen, verktøylinjen og skriftlinjen. Menylinjen er på den øverste grå linjen, verktøylinjen er den neste, så kommer skriftlinjen. Legg merke til symbolpalettene som ser slik ut: Undersøk hva som ligger bak de ulike knappene. Legg merke til at ved å klikke og dra kan du ta med deg alle disse symbolpalettene og plassere dem hvor du vil på skrivebordet.. De mest brukte tegn og operatorer: Kvadratrot Tast: \ Potens Tast: ^ Intervallvariabel: m..n Tast: ; Startverdi,steglengde og sluttverdi Algebraisk sum: Tast: og velg pilen Absoluttverdi: Tast: Tast: Tegnet under paragraf eller (Strek eller delt strek) p etterfulgt av Ctrl og g (g for greek) n m Tast: Ctrl "Tegnet under paragraf" +

3 . De fire likhetstegnene: Definisjon: a : Tast: a: Definerer størrelser og funksjoner. Evaluering a Tast: a Beregner svaret numerisk Boolsk likhetstegn: Tast: Ctrl og + Brukes i ligninger.tykt likhetstegn Global definisjon: Tast: Ctrl og ~ Definerer størrelser i hele arket 3.0 Enkle beregninger: Skriv: Ctrl og Shift og p eller p og deretter tast Ctrl og g samtidig 0.57 Skriv: 4/ Skriv: 36 ^ Skriv: \ Skriv: 5^4+3^ Skriv: 6^4 mellomrom +3^ Skriv: 6/7+\9 cos ( 60deg ) 0.5 Skriv: / mellomrom *cos(60deg) log Skriv: log(/7)

4 Du kan velge om du skriver inn de matematiske funksjonene fra tastaturet eller fra palettene. Legg merke til hva som skjer med de blå valgboksene når du taster mellomrom i følgende eksempler: e Skriv: e^^5[mellomrom][mellomrom]+4 e Skriv: e^^3[mellomrom]+5 e Skriv: e^^ Forkorting av uttrykk + epands to Marker hele uttrykket, dvs. den blå markøren skal underliniere hele utrykket. Gå til Symbolicg velg Epand og Mathcad forkorter uttrykket. 3. Forenkling av uttrykk. ( ) ( ) ( ) simplify 3 + : For å utheve en region høyreklikker du på den og velger "Properties" og "Higlight region" Marker hele uttrykket, dvs. den blå markøren skal underliniere hele utrykket. Gå til Symbolicg velg Simplify og Mathcad forenkler uttrykket. Eks: simplifies to

5 3.3 Faktorisering Dersom du vil faktorisere tallet 64 gjør du det slik: 64 by factoring, yields 6 Marker 64, gå til Symbolic og velg Factor Merk: Du får komentar til operasjonen ved å gå til Symbolic,Evaluation style,show comments Eks. Dette eksemlet viser bruken av Epend og Factor a a 3 b + 6 a b + 4 ab 3 + b 4 by factoring, yields ( a + b) 4 ( a + b) 4 epands to a a 3 b + 6 a b + 4 ab 3 + b Enhetsberegning Mathcad konverterer mellom enheter. Du kan velge bl.a. mellom SI, MKS, US eller du kan velfge ditt eget system. Det gjør du ved å gå til Tools og Worksheet option. For å definere en variabel skriver du rett og slett bare inn enhetsbenevnelsen bak tallet.eke. 4,6m Eks.3 Eks: Eks. U : 6V 4m + ft 4.6m I : ma Ved å klikke på svaret kan du endre U R : I R resultatet ved å skrife ft i plassholderen s + 5kg This value has unit: Mass but must have units: Time Her foretar Mathcad en dimensjonstest 4.0 Flytting av uttrykk Marker et område ved å venstreklikke på musen og samtidig dra markøren inn over uttrykket til det blir innrammet av en stiplet linje. Slipp museknappen og det vil nå komme fram en hånd når markølren ligger over uttrykket. Trykk på venstre museknapp og flytt uttrykket dit du vil. Merk at du også kan bruke dette ved kopi, klipp og lim. Du kan også merke en eller flere områder ved å holde inne Ctrl tasten, og deretter klikke de områdene du ønsker å merke. Legg også merke til at du kan markere flere regioner og bruke for å liniere opp arket vannrett og loddrett. Pass på ar regionene ikke overlapper hverandre. Du kan skille dem ved å gå inn på Format og Separate regions

6 5.0 Hurtigtaster Det går mye raskere å bruke hurtigtaster enn å bruke musen for å peke på palettene. Du lærer deg hurtigtastene ved å legge merke til hva som står i den gule boksen under paletten når du holder musen over dem. Etterhvert vil du huske dem. Eks: Hold museknappen over det Boolske likhetstegnet, du vil se hurtigtasten:ctrl+ Eksempler på hurtigtaster: ' \ p: p og Ctrl + g (g står for greek), eller Ctrl Shift p (samtidig) Ctrl og shift og z (samtidig) 6.0 Gi verdier til variabler og parametre: a : Skriv a: enter b:4 enter osv. b : 4 c : 5 a + b 6 b a Skriv: a+b Legg merke til at dersom du forandrer verdien av a vil Mathcad automatisk oppdatere svaret. Legg også merke til at definisjon av størrelsen må komme foran beregningen. Prøv selv å beregne følgende ved å forandre parameterverdien på a, b og c: cos( a+ b) 0.98 ba lnc ( ).05 4 c.495 b alog ( c) 4.59 a

7 7.0 Løse ligninger 7. Ligninger med en ukjent has solution(s) 6 Sett markeren ved en av -ene Gå til: Symbolic - Variable - Solve Alle ligninger med en ukjent løses på denne måten, både lineære ligninger, andregradsligninger og ligninger av høyere grad. Dersom oppgaven krever at du viser hvordan du finner løsningen gjør du det slik. Husk at det er ligninger du arbeider med. Da bruker du det "tykke" likhetstegnet som det går raskest å skrive med Ctrl Løsning av annengradsligninger Sett markeren ved en av -ene Gå til: Symbolic - Variable-Solve has solution(s) ( ) Merk at: 5 skrives som 5 ( ) Skal du vise framgangsmåten skriver du det slik: ( ) ( )

8 7.3 Ligninger med to eller flere ukjente Når du skal løse ligninger med to eller flere ukjente bruker du komandoene: Given og Find. Når du sier til Mathcad: Given, forteller du Mathcad at du vil løse en ligning med flere ukjente. Når du skriver Find og finner Mathcad de ukjente i den rekkefølge du ber om: Eks: Given + y + z 0 + z 4 + y z 6 Pass på at komandoen Find er plasseres etter Find(, y, z) ligningene. Her er 4, y34 og z Symbolsk løsning av ligninger, - snu formler + has solution(s) 4 + Løst ligningen med hensyn på Dette kan du også bruke til å snu formler med: Eks arealet av et trapes hvor vi løser ligningen med hensyn på h: a + b Arealet h has solution(s) Arealet a + b Arealet : 0 b : 5 c : 4 Vi løste ligningen med hensyn på h og finner at:: h : Arealet a + b h 5.74

9 7.5 Ulikheter Ulikheter løser vi på samme måte som ligninger. Det vil si sett markøren på og så: Symbolic-Variable-Solve Eks: > has solution(s) < 4 < 8.0 Funksjoner f ( ) + 4 : Funksjoner defineres ved å skrive: f():^[mellomrom]+-4 f( ) 4 Skriv: f() 8. Verditabell Lager verditabell for funksjonen i 8.0 Beregner funksjonsverdien når : 3, Skriv: :-3,-.5;4 Du definerer intervallene av. Her vil du beregne verdien fra -3, neste verdi skal være -.5, det vil si steplengde på 0.5. Det gjør du nå opp til 4 f ( ) Skriv: Skriv: f() Tabellene kommer fram og du kan flytte de inntil hverandre.

10 8. Grafer Du må ikke lage verditabell for å tegne grafer, men har du først gjort det vil Mathcad tegne grafen ut fra verditabellen. Vær oppmerksom på dette: f( ) Tast Tast Tast inn i plassholderen på -aksen Tast inn f() i plassholderen på y-aksen f( ) f( ) For å formatere grafen dobbeltklikker du på den.du vil få opp en mengde valg. Dersom du vil tegne inn aksekorset velger du "Crossed" istedet for "bo". Marker for grid lines og slå av auto grid båd på - og y aksen. Velg 5 linjer på -aksen og 3 på y-aksen Merk at ved å skrive tall i plassholderene på aksen kan du velge lengden på -aksen og tilsvarende på y Legg merke til "Show markes": Her kan du legg inn linjer for min og ma, vendepunkter eller hva du måtte ønske

11 8.3 Flere grafer i samme figur: k ( ) : + 4 g ( ) : + k ( ) g( ) Tast komma etter k() og du får fram en ny plassholder. Ved å velge "Trace" i formatboksen får du opp en rekke valg på heltrukne,- stripledelinjer, tykke og tynne strek. Undere "Labels" kan du sette navn på aksene og grafen. Ved å velge "Show Markers", kan du legge innlinjer for f.eks. min og ma. 8.4 Minimum og maksimumspunkter (ekstremalpunkter) Skal du finne minimums eller maksimumspunkter kan du gjøre det på mange måter alt etter hvor langt en er kommet i matematikken. Se på følgende eksempler: a) Vi ser på k() i eksemplet i 8.3 Vi kan finne skjæringspunktene med aksen ved å sette funksjonen lik null. + 0 has solution(s) ( ) + 3 ( ) 3 k ( ) : + 4 : + 3 : 3 Merk at: skriver du ved å taste punktum Kan også bruke som variabelnavn + min : min k Minimumspunkt ved: (-,-3) ( )

12 b) Du kan bruke funksjonen Minimize eller Maimize som her: k ( ) : i : 0 ( ) ( ) min : Minimize k, i y min k min min y min 3 Du må velge en startverdi for iterasjonen..i 0 er valgt her : Minimize funksjonen finner du ved å gå til f() på menylinjen. k ( ) 0 min y min 4 Dersom du vil markere min eller maks dobbeltklikker du på grafen og velger show markers og du får fram en ny plassholder i diagrammet hvor du kan skrive inn eller navnet eller verdien. c) Finne min. elle ma ved derivasjon Vi lager oss en funksjon som f.eks: d dt st () t st (): t t Husk å bruke pilen ved derivasjon-ikke likhetstegnet Finner når den deriverte er lik null ved ligningen: t 0 has solution(s) Når har vi et minimumspunkt eller maksimumspunkt

13 9.0 Integrasjon 9. Bestemte integraler Sett inn integraltegnet fra symbolpalett nr.5 Sett så inn grenseverdiene og funksjonen. Deretter evaluerer du ved å taste. Vips så har du svaret Eks d 6 9. Ubestemte integraler - symbolsk integrasjon Sett inn integraltegnet fra symbolpalett nr.5. Deretter evaluerer du ved å taste. Vips så har du svaret Eks : d asin( ) 9.3 Plotting av integral f ( ) sin( ) : a : b : 0 ( ) g ( ) : if a b, f ( ), 0 : 0, b a b b a f ( ) d Lager en ny funksjon g() fra a til b som plottes med "stolper" med 0,05 som intervall. f() plottes i samme diagram med linje.bruker du 0,0 som intervall vil stolpene flyte sammen f( ) g( ) 0.5

14 9.4 Delbrøkoppspalting + ( + 5) + 6 ( ) epands in partial fractions to 4 5 ( + 5) Delbrøkoppspaltingen gjør du slik: Marker og velg: Symbolic, Variable og Convert to partial fraction 0.0 Derivasjon Sett inn derivasjonsoperatoren fra symbolpalett nr.5. Deretter evaluerer du ved å taste Vips så har du svaret Eks : Merk at må være en fri variabel. I dette tilfelle f ( ) : 3 + ( ) d 3 + d Eller slik: d d f ( ) har vi definert tiliger når det ble laget verditabell i bestemte step. Derfor definerer jeg den på nytt som en fri variabel ved å sette d d f ( ) 0 Vil du ha ut hva den deriverte er for en bestemt verdi av kan du gjøre det slik. 0. Symbolsk derivasjon ( ( )) f ( ) : ln cos ( ) ( ) d d f ( ) sin cos Husk: Når du deriverer må du bruke pilen. Ikke likhetstegnet.

15 .0 Regresjon. Lineær regresjon data : Definerer datavektoren ved å taste: Ctrl + 6 X : data 0 Bruk Insert og table når du skal sette inn en datatabell. Definerer kolonne/vektoren nr. 0 som verdier Y : data Definerer kolonne/vektoren nr. som y verdier Merk: Du kan endre navnet på første rad og kolonne i en matrise. Det gjør du slik: Tools, Worksheet, Array orgins. Som standard bruker Mathcad å benevne første rad og kolonne som henholdsvis rad nr. 0, og kolonne nr. 0. n : rows( data) n Teller opp antall rader a : intercept( X, Y) a 3 b : slope( X, Y) b Du kan også bruke: Medfit m : medfit( X, Y) m Beregner konstantleddet Beregner stigningstallet Gå til f(), velg Curve fitting and smoothing, under denne menyen finner du medfit. 3 Median regresjon Finner funksjonen på formen: a + b. Merk at a er konstantleddet og b er stiugningstallet. Læreboken kan ha funksjonen på formen a+b Du kan også bruke linefunksjonen når du har en lineær funksjon. 3 funksjonen : line( X, Y) funksjonen funksjonen 3 + (Minste kvadrat) Bortsett fra funksjonen "Line" bruker du "fit"- funksjonene ved regresjonsanalyse. Eks: medfit, epfit, logfit, pwrfit osv.

16 . Potensregresjon data : f ( ) : a b + c Y : data X data 0 : Bruk Ctrl+6 for å definere datavektoren.d.v.s i hvilken retning du finner og y verdiene. Pass på store og små bokstaver. 0 Guess : 5 p : pwrfit( X, Y, Guess) p 3 a b c Tast p og du får a, b og c i ligningen Guess gir startverdi til den numeriske analysen. Du kan velge nesten fritt. Skriv Guess og : Deretter Insert, Matri,Rows 3,Columns og fyll ut plassholderen f ( ) : a b + c f ( ) : 3 + Vi kan også lage en plot av den beregnete funksjonen og datapunktene: Y-vektoren settes inn i plasholderen som funksjon og du velger sirkelpunkter i formateringen som du får når du dobbeltklikker på grafen.

17 60 40 Y f( ) X,.3 Eksponensialregresjon data : X : data 0 Y : data Bruk Ctrl+6 for å definere datavektoren.d.v.s i hvilken retning du finner og y verdiene. Pass på store og små bokstaver. g ( ) : ae b + c z : epfit( X, Y, Start) Start : 5 Start gir startverdi til den numeriske analysen. Du kan velge nesten fritt. Skriv Start og : Deretter Insert, Matri,Rows 3,Columns og fyll ut plassholderen

18 z.83 a.45 b.547 c Tast z og du får a, b og c i "funksjonsligningen" g ( ) : ae b + c g ( ) :.83e Vi kan plotte resultatet af funksjonsberegningen og datapunktene i tabellen: Y-vektoren settes inn i plasholderen som funksjon og du velger sirkelpunkter i formateringen som du får når du dobbeltklikker på grafen 60 Y g( ) X, Vi ser fra plottet at funksjonen stemmer godt med datane vi har i definisjonsområdet. Gjøvik 007, Sverre Nygård