Forkurs i matematikk og statistikk for biologistudenter Dag 3. Derivasjon Integrasjon Taylorpolynomer

Transkript

1 Forkurs i matematikk og statistikk for biologistudenter Dag 3 Derivasjon Integrasjon Taylorpolynomer

2 Derivasjon Hvis f(x) er deriverbar i et punkt a så vil tangenten i punkt (a, f(a)) ha stigning lik f (a) og ligningen for tangentlinjen blir Tangent ved a=4 f< function(x) {(1/sqrt(x))} curve(f,0,10,col=2,lwd=3,main=expression(y==frac(1,sqrt(x)))) #Finner den deriverte til funksjonen fd< D(expression(1/sqrt(x)),"x") #Definerer den deriverte som en funksjon fderiv< function (x) {eval(fd)} #Trekker tangent ved x=4 x0< 4 tangent< function(x) {f(x0)+fderiv(x0)*(x x0)} curve(tangent,0,10,col=3,lwd=3,add=t) points(x0,f(x0),col=4,cex=2)

3

4 f<-function(x) x^3-2*x^2-3*x+2 #kubisk funksjon #plotter kubisk funksjon curve(f,-2,4, col=4,lwd=3,main="kubisk funksjon") abline(h=0,v=0) #x- og y-akse df<-d(expression(x^3-2*x^2-3*x+2),"x");df #førstederiverte 3 * x^2-2 * (2 * x) - 3 dfdx<-function(x) eval(df) #førstederiverte som funksjon curve(dfdx,-2,4,col=2,lwd=3,add=t) #plotter førstederiverte #andrederiverte df2<-d(expression(3 * x^2-2 * (2 * x) - 3),"x");df2 3 * (2 * x) - 2 * 2 df2dx<-function(x)eval(df2) #lager funksjon av andrederiverte curve(df2dx,-2,4,col=3,lwd=3,add=t) #plotter andrederiverte #finner røtter til den kubisk funksjon library(rootsolve) #laster inn pakken rootsolve rot<-uniroot.all(f,c(-2,4));rot #røttene [1] points(rot,f(rot),pch=16,col=5,cex=1.5) #plotter røttene text(0,8,expression(f(x)==x^3-2*x^2-3*x+2),col=4) text(-0.9,15,expression(dfdx==3*x^2-4*x-3),col=2) text(1.5,12,expression(d2fdx==6*x-4),col=3) #vendetangent v<-function(x) 6*x-4 #lager funksjon av andrederiverte #røttene til andrederiverte rotdf2dx<-uniroot.all(v,c(-1,2));rotdf2dx [1] y<-f(rotdf2dx) #vendepunkt #Stigningtallet ved å sette inn i den førstederiverte slope<-dfdx(rotdf2dx) #stigning vendetangent intercept<-y-slope*rotdf2dx #skjæringspunkt vendetangent #plotter vendetangent abline(intercept,slope,lty=3,col="orange",lwd=3)

5 x<-seq(-5,5,0.5) y<-seq(-5,5,0.5) f<-function(x,y) {x^2-y^2} z <- outer(x,y,f) z[is.na(z)]<- 1 op <- par(bg= "lightyellow") persp(x,y,z,theta=30,phi= 40,expand=0.5,col="lightgreen",ticktype="detailed", shade=0.3,main=expression (z==x^2-y^2))

6 Hesse matrise H(f) (Ludwig Otto Hesse ( , en kvadratmatrise med de partielle andrederiverte til en funksjon f(x 1,x 2,,x n ) Determinanten D til Hessematrisen

7 x< seq( 5,5,0.5) y< seq( 5,5,0.5) f< function(x,y) {x^2 y^2} z < outer(x,y,f) z[is.na(z)]< 1 op < par(bg= "lightyellow") persp(x,y,z,theta=30,phi= 40,expand=0.5,col="lightgreen",ticktype="detailed", shade=0.3,main=expression (z==x^2 y^2)) #partiellderiverte dfdx< D(expression(x^2 y^2),"x");dfdx 2 * x dfdy< D(expression(x^2 y^2),"y");dfdy (2 * y) #Hessematrise og partielle andrederiverte A< D(expression (2*x),"x");A [1] 2 B< D(expression(2*x),"y");B [1] 0 C< D(expression( 2*y),"y");C 2 Hf< matrix(c(2,0,0, 2),ncol=2);Hf #Hessematrise [,1] [,2] [1,] 2 0 [2,] 0 2 eigen(hf) #egenverdier og egenvektorer til Hessematrise $values [1] 2 2 $vectors [,1] [,2] [1,] 1 0 [2,] 0 1 prod(eigen(hf)$values) #Determinanten til Hessematrise [1] 4

8 Determinant D og Hesse matrise Sadelpunkt: D<0 Minimumspunkt: D>0 og A>0 Maksimumspunkt: D>0 og A<0 #lager en perspektivmatrise T< persp(x,y,z,theta=30,phi=40,ticktype="detailed") #sadelpunkt x2< 0 #x koordinat y2< 0 #y koordinat z2< f(x2,y2) #z koordinat ny< cbind(x2,y2,z2,1);ny #(x,y,z,t) P< ny%*%t;p #transformerer til nytt punkt #plotter sadelpunktet points(p[,1]/p[,4],p[,2]/p[,4],col=2,pch=16,cex=2) Lagrange multiplikator

9 Numerisk integrasjon og Simpsons regel Areal ved Riemann sum intervallet [a,b] deles inn i n delintervaller med lik lengde: Arealet av det første rektangel blir Δx f(x 1 ) Riemann sum for funksjonen f kalt S n (f) og arealet blir grenseverdien for denne summen når n

10 Areal ved trapesmetoden f<-function(x) {1/x} integrate(f,1,2)#numerisk integrasjon fasit with absolute error < 7.7e-15 #trapesmetoden n=4 n<-4 deltax<-(2-1)/n;deltax A4<- (f(1)/2+f(1.25)+f(1.5)+f(1.75)+f(2)/2)*deltax;a4 [1] #trapesmetoden n=8 n<-8 deltax<-(2-1)/n;deltax A8<- (f(1)/2+f(1.125)+f(1.25)+f(1.375)+f(1.5)+f(1.625)+ f(1.75)+f(1.875)+f(2)/2)*deltax;a8 [1]

11 Numerisk integrasjon og Simpsons regel Betrakter f som kvadratiske polynomer. integralintervallet [a,b] deles i et helt positivt partall n Ved å øke n minsker error i fjerde potens

12 Simpsons metode #Simpsons metode n=2 n<-2 deltax<-(1-0)/n A2<-(h(0)+4*h(0.5)+h(1))*deltax/3;A2 [1] #Simpsons metode n=4 n<-4 deltax<-(1-0)/n;deltax A4<- (h(0)+4*h(0.25)+2*h(0.5)+4*h(0.75)+h(1))*deltax/3;a4 [1] h<-function(x) {exp(-2*x^2)} integrate(h,0,1)#numerisk integrasjon with absolute error < 6.6e-15

13 Volum ved rotasjon omkring x-akse r<-2 f<-function(x){sqrt(r^2-x^2)} plot(f,-r,r,col=4,lwd=3,ylim=c(0,4), main=expression (y==sqrt(r^2-x^2))) g<-function(x){r^2-x^2} A<-integrate(g,-r,r);A with absolute error < 1.2e-13 V1< *pi;V1 #Volum ved rotasjon og integrering [1] V2<-(4/3)*r^3*pi;V2 #Volum av kule fra formel [1]

14 Beregning av buelengden til en graf finne buelengden (s) til en graf beskrevet av en funksjon f(x) over et intervall [a,b] r<-2 D(expression(sqrt(r^2-x^2)),"x") #deriverte -(0.5 * (2 * x * (r^2 - x^2)^-0.5)) f<-function(x){sqrt(1+(-(0.5 * (2 * x * (r^2 - x^2)^-0.5)))^2)} integrate(f,-r,r) with absolute error < 1.9e-05 bue<-pi*r;bue [1]

15 Venn-diagram og sannsynlighet

16 Uniform fordeling n< 1000 y< runif(n) plot(1:n,y,pch=".",col=4,main="standard uniform fordeling") abline(h=0.5,lty=3,col=3)

17 #snitt av 10 uniformt fordelte tall n< y2<-replicate(n,mean(runif(10))) plot(1:n,y2,pch=".",col=4,ylim=c(0,1)) abline(h=0.5,lty=3,col=3,lwd=3) #Gjentar det samme men regner snitt av 100 uniformt fordelte n< y2<-replicate(n,mean(runif(100))) plot(1:n,y2,pch=".",col=4,ylim=c(0,1)) abline(h=0.5,lty=3,col=3,lwd=3)

18 n< varianse<replicate(n,var(runif(100))) plot(1:n,varianse,pch=".",col=4) abline(h=1/12,lty=3,col=3,lwd=3) #numerisk integrasjon f<-function (x) {(x-1/2)^2} integrate(f,0,1) with absolute error < 9.3e-16 1/12 [1]

19 Riemanns zeta funksjon Laurent rekke utvidelse av zeta funksjonen er hvor Stieltjes konstant γ n er lik

20 Taylorpolynomer og feilanalyse Tangenten til en funksjon y=f(x) ved punktet x=a viser hvordan grafen oppfører seg nær punktet (a,f(a)). polynom av andre grad: Taylorpolynom med grad n

21

22 Hvis n=0 blir Stieltjes konstant lik Euler Mascheroni konstanten (gammakonstanten). #Stieltjes konstant n=0 n<-0 m< k<-seq(1,m,1) stieltjes<-sum((log(k)^n)/k)-(log(m)^(n+1)/(n+1)) cbind(n,stieltjes) n stieltjes [1,]

23 Hva nå hvis vi setter s= 1? Funksjonelle ligning av Riemanns zetafunksjon zeta<-2^-1*pi^-2*sin(-pi/2)*gamma(2)*(pi^2/6);zeta [1] /12 [1] #zeta() fra pakken gsl library(gsl) zeta(-1) [1]

24 En alternerende harmoniske rekken som konvergerer Rekke av de naturlige heltallene og skifte fortegn alternerende Intuitivt divergerer, Euler mente den konvergerte mot ¼! n<-seq(1,10,1) #tallene fra 1-10 n*(-1)^(n-1) #tallrekken [1] Spesialutgave av (Cesarosummering (C,n), Höldersummering (H,n)) Libenter homines id quod volent credunt. Vi tror gjerne det vi ønsker (Cicero)

25 k<-1 #tilsvarende n=1 i rekken over n<-seq(1,10,1) #tallene fra 1-10 n^(k)*(-1)^(n-1) [1] k<-0 # n=0 #Grandisrekken konvergerer mot ½! n^(k)*(-1)^(n-1) [1]