I denne øvingen vil vi sammenlikne det teoretiske resultat med et grafisk bilde av konturlinjene til flaten. Vi tegner konturene der

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "I denne øvingen vil vi sammenlikne det teoretiske resultat med et grafisk bilde av konturlinjene til flaten. Vi tegner konturene der"

Bendik Thoresen
9 år siden
Visninger:

1 Øving uke 44 Kritiske punkter Se også Mathematicakompendiet, kap 3.8 En funksjon av to variable kan ha lokale maksimal- og minimalpunkter innenfor definisjonsmengden, akkurat som funksjoner av en variabel. I tillegg kan de ha sadelpunkter. Se for deg et punkt på ryggen av en kamel mellom puklene. En fellesbetegnelse for maks-, min- og sadelpunkter er kritiske punkter. Vi bruker. deriverttesten til å klassifisere typen av kritiske punkter for funksjonen z = f Hx, yl. Vi antar f er kontinuerlig med kontinuerlige deriverte. La Α = f x, Β= f y,γ= f f =, x y y x D = Α Β - Γ I alle kritiske punkter der de partielt deriverte eksisterer, må f x =, f y = begge være oppfylt. Geometrisk betyr dette at to tangenter i ortogonale retninger begge må være horisontale. Dette er en nødvendig, men ikke tilstrekkelig betingelse. Dersom de partielt deriverte er null, behøver ikke punktet være kritisk. (Betingelsen kan f.eks. være oppfylt for alle punkter på en rett linje). Vi beregner Α, Β, Γ og D i alle punkter som er kandidat til å være et kritisk punkt. Testen sier da: Hvis D >, Α <, har vi et lokalt maksimumspunkt Hvis D >, Α >, har vi et lokalt minimumspunkt Hvis D <, har vi et sadelpunkt. Hvis D =, kan ikke testen alene avgjøre klassifiseringen. I tillegg kan du ha ekstremalpunkter der funksjonen ikke er deriverbar. For å bestemme globale ekstremalpunkter innenfor definisjonsmengden må disse også tas med i kandidatlisten. I denne øvingen vil vi sammenlikne det teoretiske resultat med et grafisk bilde av konturlinjene til flaten. Vi tegner konturene der f x = og f y = hver for seg. Der konturene skjærer hverandre, er begge partielt deriverte lik null og vi har et mulig kritisk punkt. Vi leser av skjæringspunktet (evt. beregner det ved numeriske metoder) og sammenlikner med resultatene vi allerede har kommet fram til ved håndregningen.

Se for deg et punkt på ryggen av en kamel mellom puklene. En fellesbetegnelse for maks-, min- og sadelpunkter er kritiske punkter. Vi bruker.

2 Eksempel y_d := x + H - x L y pl = Plot3D@ f@x, yd, 8x, -, 5<, 8y, - 3, 3<, AxesLabel 8"x", "y", "z"<, BoxRatios 8,, <D y z - x 4 Kan du allerede av grafen se hvor de kritiske punkter er, og hva slags type de er? dfx = D@f@x, yd, xd Factor x - y dfy = D@f@x, yd, yd Factor - Hx - L y soln = Solve@8dfx, dfy <, 8x, y<d 88x, y -<, 8x, y <, 8x, y << Her ekstraheres de kritiske punktene. critpts = 8x, y<. soln - Vi må bestemme alle deriverte av. orden Α = D@f@x, yd, 8x, <D

dfx = D@f@x, yd, xd Factor x - y dfy = D@f@x, yd, yd Factor - Hx - L y soln = Solve@8dfx, dfy <, 8x, y<d 88x, y -<, 8x,

3 3 Β = D@f@x, yd, 8y, <D H - xl Γ = D@f@x, yd, x, yd - y D = Α Β - Γ Expand -4 x - 4 y + 8 Her beregnes D og Α i de kritiske punkter 88x, y<, D, Α<. soln 8, -< 6 8, < 8 8, < 6 Fra siste output leser vi følgende informasjon : Punktet (,-) er et sadelpunkt. Punktet (,) er et minimumspunkt. Punktet (,) er et sadelpunkt. Vi tegner konturene til funksjonen sammen med nivålinjene for dfx = og dfy =. (Fjern det avsluttende semikolon for å se grafikken) cp = ContourPlot@f@x, yd, 8x, - 3, 3<, 8y, - 3, 3<, Contours 3D; cp = ContourPlot@dfx, 8x, - 3, 3<, 8y, - 3, 3<, ContourStyle 8Yellow, Thick<D; cp = ContourPlot@dfy, 8x, - 3, 3<, 8y, - 3, 3<, ContourStyle 8Green, Thick, Dashed<D; Show@cp, cp, cpd Vi leser av skjæringspunktene mellom den gule linja og de to grønne, stiplede linjene. Det er våre kritiske punkter. Ved å sette markør på en nivålinje, ser du hvilken verdi linjen representerer. Vi ser derfor lett to sadelpunkter og et lokalt mininum på figuren. Dette bekrefter våre beregninger.

Vi tegner konturene til funksjonen sammen med nivålinjene for dfx = og dfy =.

4 4 Vi leser av skjæringspunktene mellom den gule linja og de to grønne, stiplede linjene. Det er våre kritiske punkter. Ved å sette markør på en nivålinje, ser du hvilken verdi linjen representerer. Vi ser derfor lett to sadelpunkter og et lokalt mininum på figuren. Dette bekrefter våre beregninger.

Ved å sette markør på en nivålinje, ser du hvilken verdi linjen

5 Eksempel y_d := a x ExpA- x - y E + b Ix - y M ExpA- x - 3 y E Her velger vi konstantene a og b ved en randomgenerator. Det betyr at du får andre verdier enn eksemplet, og nye verdier hver gang du kjører kommandoen. Hvis du vil prøve eksemplet nøyaktig slik det står, skriver du inn: a = og b =.897. a = RandomReal@8-3, 3<D b = RandomReal@8-3, 3<D.897 pl = Plot3D@ f@x, yd, 8x, -, <, 8y, - 4, 4<, AxesLabel 8"x", "y", "z"<, BoxRatios 8,, <, PlotRange AllD 4 y z. - x dfx = D@f@x, yd, xd x ã-x -y x ã- x -3 y x ã- x -3 y Ix - y M ã-x -y dfy = D@f@x, yd, yd y ã- x -3 y x y ã-x -y y ã- x -3 y Ix - y M Likningene dfx =, df y = lar seg bare løse numerisk. For å benytte Newton s metode, trenger vi gode startverdier. Det finner vi fra konturplottet. cp = ContourPlot@f@x, yd, 8x, -, <, 8y, -, <, Contours 4, FrameLabel 8"x", "y"<, ColorFunction Hue, PlotRange AllD; 5

a = RandomReal@8-3, 3<D.83334 b = RandomReal@8-3, 3<D.897 pl = Plot3D@ f@x, yd, 8x, -, <, 8y, - 4, 4<, AxesLabel 8"x", "y", "z"<, BoxRatios 8,, <, PlotRange AllD 4 y - -4.5 z. - x dfx = D@f@x, yd, xd.

6 cp = ContourPlot@dfx, 8x, -, <, 8y, -, <, ContourStyle 8Yellow, Thick<D; cp = ContourPlot@dfy, 8x, -, <, 8y, -, <, ContourStyle 8Black, Thick, Dashed<D; Show@cp, cp, cpd y x Newton' s metode er implementert i Mathematica ved kommandoen FindRoot. Du trenger en nærliggende startverdi som du leser av fra konturplottet. Du må løse likningene for et punkt ad gangen. sol = FindRoot@8dfx, dfy <, 8x, <, 8y, <D 8x.777, y.< sol = FindRoot@8dfx, dfy <, 8x, -.5<, 8y,.5<D 8x , y.56768< sol3 = FindRoot@8dfx, dfy <, 8x, -.5<, 8y, -.5<D 8x , y < sol4 = FindRoot@8dfx, dfy <, 8x, -.9<, 8y, <D 8x -.777, y.< critpts = 8x, y<. 8sol, sol, sol3, sol4<

Du må løse likningene for et punkt ad gangen. sol = FindRoot@8dfx, dfy <, 8x, <, 8y, <D 8x.777, y.< sol = FindRoot@8dfx, dfy <, 8x, -.5<, 8y,.5<D 8x -.6496, y.

7 Α = D@f@x, yd, 8x, <D x ã- x -3 y x ã-x -y x I4 x ã-x -y - ã-x -y M ã- x -3 y I6 x ã- x -3 y - 4 ã- x -3 y M Ix - y M Β = D@f@x, yd, 8y, <D y ã- x -3 y ã- x -3 y Ix - y M I36 y ã- x -3 y - 6 ã- x -3 y M x I4 y ã-x -y - ã-x -y M Γ = D@f@x, yd, x, yd x y ã-x -y x y ã- x -3 y x y ã- x -3 y Ix - y M y ã-x -y D = Α Β - Γ Simplify ã-4 x -6 y Iã x +4 y Ix I y M x y M + x6 I y M + x4 I y y M + x I y y y M + x ãx + y Ix4 I y M + x I y y +.855M y y +.989M y y y M 8D, Α<. 8sol, sol, sol3, sol4< Vi leser av type = {maksima, minima, minima, maksima} Oppgave Gitt funksjonen f Hx, yl = 3 x3-9 x + x y. Beregn de partielt deriverte av.orden og angi mulige kritiske punkter ( håndregning). Klassifiser de kritiske punktene etter.deriverttesten (håndregning). Følg framgangsmåten i eksemplet og la programmet beregne og klassifisere de kritiske punkter. Kontroller svarene ved å lage konturplott over flaten og nivåkurvene dfx =, dfy =. Kommenter hva du leser av plottene. Oppgave Gitt funksjonen f Hx, yl = ã-x - y - 3 ã- x -y. Lag et plott av funksjonen f Hx, yl. Hvilke kritiske punkter ser du? Bestem mulige kritiske punkter ved å sette de partielt deriverte lik null. Denne del skal du gjøre for hånd og kontrollere ved å skrive programkode som i eksemplet. Klassifiseringen overlater vi til programmet å gjøre, da uttrykkene blir omfattende. Lag konturplott av flaten sammen med nivåkurvene for dfx = og dfy = og les av posisjon og type for dine kritiske punkter. Sammenlign med håndregningen. Oppgave 3 Ingen håndregning i denne oppgaven! Gitt funksjonen f Hx, yl = a Ix - y M ã-x - y + b y ã- x Velg a, b som tilfeldige heltall mellom -3 og 3. -y.

664 x y ã- x -3 y Ix - y M -.64667 y ã-x -y D = Α Β - Γ Simplify ã-4 x -6 y Iã x +4 y Ix I8.3455-5.433 y M - 5.433 x4 -.75 y M + x6 I-.7374 3 y - 37.734M + x4 I4.54747 3 y4 + 58.867 y + 9.56M + x I-.

8 8 Gitt funksjonen f Hx, yl = a Ix - y M ã-x - y + b y ã- x -y. Velg a, b som tilfeldige heltall mellom -3 og 3. a = RandomInteger@8-3, 3<D b = RandomInteger@8-3, 3<D Bestem og klassifiser de kritiske punkter slik som gjennomført i eksempel. Hvis det er mange punkter, holder med et utvalg. Skulle du mot formodning få kurver der det er tvil om nivåkurvene skjærer hverandre, dropper du disse punktene. Det er lov å prøve alternative verdier av a og b

gjennomført i eksempel. Hvis det er mange punkter, holder med et utvalg.

Like dokumenter

Teori. Eksempel 1 (E.P ) En funksjon av to variable z f x, y har kritisk punkt der hvor z. 0 samtidig. Kritiske punkter kan være et.

Teori. Eksempel 1 (E.P ) En funksjon av to variable z f x, y har kritisk punkt der hvor z. 0 samtidig. Kritiske punkter kan være et. Teori En funksjon av to variable z f x, y har kritisk punkt der hvor z x maksimalpunkt, sadelpunkt eller minimalpunkt. La a z x, b z x y, c z y, a c b Dersom , a < har