SIF5005 våren 2003: Maple-øving 2

Transkript

1 SIF55 våren 3: Maple-øving Løsningsforslag. Oppgave : Funksjoner, partiellderiverte, gradienter Først tegner vi funksjonen fra oppgave 8 i hjemmeøving : > f:=(,)->ep(-^)*(^+); f := (, ) e ( ) ( + ) > plot3d(f(,),=-..,=-..); Og så den andre funksjonen det ble spurt om: > f:=(,)->^3-*^+^3; > D[](f); > D[](f); f := (, ) (, ) 3 (, ) + 3 > region:==-..,=-..: > plot3d(f(,),region); fplot:=%:

2 Både funksjonen og de to partiellderiverte i ett plott: > plots[displa3d]( > fplot, > plot3d(d[](f)(,),region), > plot3d(d[](f)(,),region));

3 Kan du se hvilken som er hvilken av dem? (Nei, det er ikke lett!) Det blir litt lettere om vi fargelegger de deriverte (og skalerer dem ned litt): > plots[displa3d]( > fplot, > plot3d(.*d[](f)(,),region,color=red), > plot3d(.*d[](f)(,),region,color=blue)); Men me lettere blir det å se på konturplott og gradienter: > plots[contourplot](f(,),region,filled=true,levels=); > fcplot:=%:

4 > plots[gradplot](f(,),region); fgplot:=%: > plots[displa](fcplot,fgplot,scaling=constrained);

5 Vi kan til og med kombinere todimensjonale konturplott med tredimensjonale bilder: > plan:=plottools[transform]((,)->[,,]): > plots[displa3d](fplot,plan(fcplot),plan(fgplot),scaling=constrain > ed);

6 Oppgave : Fra hjemmeøving 3 Oppgave 6: > f:=(,)->-^3+^+3*-^*+^/; f := (, ) Spør Maple om største og minste verdi for f, uten bibetingelser {} og der variablene er {,} (se hjelpesiden for etrema): > etrema(f(,),{},{,}, p ); { 3, 5 } Variabelen p inneholder de kritiske punktene (tre i tallet): > p; {{ = 3, = 9 }, { =, = }, { =, = }} 4 Her er en tegning, hvor vi skulle ha alle de kritiske punktene innenfor: > plots[contourplot](f(,),=-..,=-..3,scaling=constrained,contour > s=4,filled=true); 3 En kjapp liten liste over funksjonsverdiene i de kritiske punktene: > for in p do > print(subs(, f(,) =f(,))); > end; f( 3, 9 4 ) = 45 3 f(, ) = 5 f(, ) = 3 Ntt konturplott, hvor jeg selv velger nivåene slik at jeg får med detaljer rund de kritiske punktene:

7 > ct:=[seq(.*i,i=-..-),seq(.*i,i=..3)]: > plots[contourplot](f(,),=-..,=-..3,scaling=constrained,contours > =ct,filled=true,grid=[5,5]); 3 > plot3d(f(,),=-..,=-..3,aes=boed,view=-3..3,orientation=[5, > 7]); 3 3

8 3 Oppgave 3: Noen overraskelser med kritiske punkter 3. «One peak on a mountainside» Kilde: Eksamen 75 Matematikk B, > f:=(,)->3**ep()-^3-ep(3*): f(,) =f(,); f(, ) = 3 e 3 (3 ) e > etrema(f(,),{},{,}, p ); > p; {} {{ = RootOf(_Z + _Z + ), = ln( RootOf(_Z + _Z + ))}, { =, = }} RootOf betr en rot av polnomet gitt som argument. Vi vil gjerne ha det skrevet ut med rottegn: > convert({%},radical); {{{ =, = }, { = + I 3, = ln( I 3)}}} Bare ett reelt kritisk punkt, ser det ut til. Det andre er komplekst. > A=D[,](f)(,), B=D[,](f)(,), C=D[,](f)(,); > subs(%,a*c-b^); A = 6, B = 3, C = 6 7 Det er et lokalt maksimum. Globalt? Nei! Med = kan vi la gå mot og få vilkårlig store verdier. > region:==-...5, = : > plots[contourplot](f(,),region,grid=[5,5], > filled=true,contours=[seq(i,i=-8..-),seq(.*i,i=-9..9),seq(i,i=..5) > ]); > plot3d(f(,),region,grid=[5,5], > color=ep(f(,)/3.5),stle=patchcontour,aes=boed,view=-..5);

9 Det er en lokal fjelltopp på en fjellside. Når vi følger åsrggen ned fra fjelltoppen, kan vi gå uendelig langt uten å forlate denne åsrggen - og alltid nedoverbakke. Bakom er det en dal som alltid går oppover, men heller ikke den ender noe sted. 3.. Hvordan fant de på dette? Eksemplet er sikkert laget ved å starte med 3 3 3, som har et maksimum i [, ] og et sadelpunkt i origo. Deretter erstattes med e, som fltter sadelpunktet ut til det uendelig fjerne. > g:=(,)->3**-^3-^3; > plots[contourplot](g(,),=-..,=-..,filled=true,scaling=constra > ined,contours=4,grid=[5,5]); 3. Twin peaks, no saddle Jeg har hentet eksemplet fra en melding i Usenet: From: clear@zimmer.csufresno.edu (Sean Clear) Subject: Re: Crititical Points of Polnomials Newsgroups: sci.math.research Date: 7 Mar 998 :35:35 GMT Organization: California State Universit, Fresno Also see the problem "Two Mountains without a Valle", proposed and solved b Ira Rosenholz, Mathematics Magazine, Vol 6, No, Feb 987 p.48, referenced in Anton s Calculus book, which gives an analtic solution. > f:=(,)->-(^-)^-(^*--)^: f(,) =f(,); > etrema(f(,),{},{,}, p ); > p; f(, ) = ( ) ( ) {}

10 {{ =, = }, { =, = }} (En nærmere undersøkelse viser at de begge er lokale maksimumspunkter. Vel, det er forresten opplagt, for funksjonsverdien i de kritiske punktene er, mens funksjonen ellers alltid er negativ! Burde det ikke da være et sadelpunkt et sted? Nei! > region:==-..,=-..: > plot3d(f(,),region, > grid=[5,5],orientation=[5,7],view=-5.., > color=ep(f(,)),stle=patchcontour,scaling=unconstrained,aes=boxed) > ; Oppgave 4: Flater i kule- og slinderkoordinater 4. Kulekoordinater Kulekoordinater er i Maple gitt som (ρ, θ, φ). Man kan lage parametriske flater med disse koordinatene, eller plotte ρ som funksjon av θ og φ. Her er figuren til oppgave 5 fra hjemmeøving : > plot3d(-cos(phi),theta=..*pi,phi=..pi,coords=spherical, > aes=normal,scaling=constrained);

11 Kanskje litt lettere å se om man skjærer bort halve flaten: > plot3d(-cos(phi),theta=..pi,phi=..pi,coords=spherical, > aes=normal,scaling=constrained,orientation=[-3,55]); Og kanskje sammenligner med kardioiden, som foreslått:

12 > plot([-cos(theta),theta,theta=..*pi],coords=polar,scaling=constrai > ned); Slinderkoordinater Slinderkoordinater er i Maple gitt som (r, θ, z). Man kan lage parametriske flater med disse koordinatene, eller plotte r som funksjon av θ og z. Hvis vi vil tegne en flate der z er gitt som funksjon av r og θ, for eksempel z = r, må vi altså bruke parametrisk plott: > plot3d([r,theta,r^],r=...5,theta=..*pi,coords=clindrical,aes=n > ormal); > pplot:=%:

13 Dette var et rotasjonslegeme om z-aksen. Vil vi lage det samme rotasjonslegemet om -aksen eller -aksen er det bare å transformere plottet vi nettop laget: > zbtt:=plottools[transform]((,,z)->[z,,]): > zbtt:=plottools[transform]((,,z)->[,z,]): > plots[displa3d](zbtt(pplot),scaling=constrained,aes=normal);

14 Her kommer figuren til oppgave 4 fra hjemmeøving : > plots[displa3d](zbtt(pplot),zbtt(pplot),aes=normal,scaling=cons > trained);