Rungekuttametodene løser initialverdiproblemer på formen y' = F x, y, y x 0
|
|
|
- Signe Carlsson
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Rungekuttametodene løser initialverdiproblemer på formen y' = F x, y, y x 0 = y 0 der F x, y står for et uttrykk i x og y. De er iterative metoder, så for - løkker egner seg ypperlig i denne sammenengen. Vi må bare vite va som skal utføres i løkken. For å plotte punktene vi får, skal vi bruke kommandoen pointplot men da må vi ente inn Maples plottekommandoer wit plots Ekstraoppgave Iterasjonen er er y n C x n K 1 C x n K 1 $y n K 1 med y 0 = 0, x 0 = 0 (i) Vi setter startverdiene for x og y, verdien for og definerer plottet P 1 Legg merke til at vi bruker akeparenteser når vi skriver inn indekser. Kommandoen pointplot brukes for å plotte ett og ett punkt. av det første punktet. x 0 d 0 : y 0 d 0 : d 0. For å finne de resterende punktene og definere plottene for dem, bruker vi en for - løkke. Kontroller selv at denne løkken gjør akkurat det vi vil: for n from 1 by 1 to 5 do y n d y n K 1 C $ x n K 1 C x n K 1 $y n K 1 : x n d x n K 1 C end do For å plotte disse punktene, lager vi en liste av dem som vi kan kalle va vi vil. Her er listen kalt points
2 Kommandoen for å lage en slik liste er seq Legg merke til at vi bruker akeparentes rundt de to koordinatene til punktet også. Og så plotter vi punktene ved jelp av kommandoen pointplot, color = blue Eller vis du vil a linjestykker mellom punktene: plot points, color = blue Et lite råd på slutten: Dersom man skal plott mange punkter, og ikke trenger å vite tallkoordinatene til punktene, kan man unngå utskriften etter for -løkken og listekonstruksjonen ved å avslutte disse kommandoene med kolon. Prøv for eksempel x 0 d 0 : y 0 d 0 : d 0. : for n from 1 by 1 to 5 do y n d y n K 1 C $ x n K 1 C x n K 1 $y n K 1 d x n K 1 C end do: : plot points, color = blue : x n Ekstraoppgave 4.6. Rungekuttametodene løser initialverdiproblemer på formen y' = F x, y, y x 0 = y 0 der F x, y står for et uttrykk i x og y. De er iterative metoder, så for - løkker egner seg ypperlig i denne sammenengen. Vi må bare vite va som utføres i løkken.
3 Iterasjonen er er y n C xx n K 1 C xx n K 1 yy n K 1 der xx n K 1 = x n K 1 C og yy n K 1 C x C x n K 1 n K 1 y n K 1 $ med y 0 = 0, x 0 = 0 Her ar vi skrevet xx og yy istedenfor at x og at y Siden det ikke står noe multiplikasjonstegn mellom de to x K ene eller ykene, oppfatter Maple dem som nye navn. (i) Først setter vi startverdiene. Ikke eng dere opp i at Maple bare kvitterer for den siste kommandoen -- Maple ar merket seg alle tre. x 0 d 0 : y 0 d 0 : d 0. for n from 1 by 1 to 5 do xx n K 1 d x n K 1 C : yy n K 1 d x n K 1 C x n K 1 $y n K 1 $ C $ xx n K 1 C xx n K 1 $yy n K 1 : x n d x n K 1 C end do : y n d y n K 1 Ekstraoppgave Iterasjonen er nå adskillig mer komplisert. Spesielt brukes funksjonsuttrykket F x, y = x C x$y gjentatte ganger. Det enkleste er derfor å definere denne funksjonen i Maple. Men det er en funksjon som er avengig av to variable. Definisjonen blir derfor F d x, y /x C x$y
4 Når vi skriver inn all beregningen som skal foregå i for-løkken, må vi passe på rekkefølgen. Uttrykket for y n må komme etter at vi ar gitt verdi til m n K 1. Uttrykket for m n K 1 må komme etter at vi ar gitt verdier til m1 n K 1, m n K 1, m3 n K 1 og m4 n K 1. Og disse siste 4 uttrykkene må komme akkurat i den rekkefølgen (fordi de avenger av verandre på den spesielle måten de gjør). (i) Først setter vi startverdiene. Ikke eng dere opp i at Maple bare kvitterer for den siste kommandoen -- Maple ar merket seg alle tre. x 0 d 0 : y 0 d 0 : d 0.; for n from 1 by 1 to 5 do m1 n K 1 d F x n K 1, y n K 1 : m n K 1 d F x n K 1 C, y n K 1 m1 n K 1 $ C : m3 n K 1 d F x n K 1 C m n K 1 $, y n K 1 C : m4 n K 1 d F x n K 1 C, m1 n K 1 C $ m n K 1 C $m3 n K 1 C m4 n K 1 y n K 1 C m3 n K 1 $ : m n K 1 d : y n d y n 6 K 1 C m n K 1 $ : x n d x n K 1 C end do eller vis du eller vil a linjestykkene mellom punktene: plot points, color = blue Ekstraoppgave Ved diskretisering på intervallet Det gjør vi ved å sette a, b med skrittlengde skriver vi om differensiallikningen til en differenslikning.
5 x n = a C n, y x n z y n, y' x n z y n C 1 K y n og y'' x n z y' x K y' x n C 1 n inn i differensiallikningen. z y n C K y n C 1 K y n C 1 K y n = y n C K y n C 1 C y n y'c x $y = 4 omformes da til y n C 1 K y n C $x n $yn = 4 slik at y n C 1 = y n K $x n $yn C 4 Initialbetingelsen y 0 = 0 omformes til y 0 = 0. Dessuten skal = 0.1 ifølge oppgaven. Vi trenger derfor 0 trinn for å komme til x =. d 0.1 : x 0 d 0 : y 0 d 0 for n from 0 by 1 to 19 do y n C 1 d y n K $x n $y n C 4$ : x n C 1 d x n C end do points d seq x n, y n, n = 0..0
Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon. F x = x K f x f' x. , x 2
Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon F x = x K f x f' x, starter med en x 0 og beregner x 1 = F x 0, x = F x 1, x 3 = F x,... Dette er en metode der en for-løkke egner
: subs x = 2, f n x end do
Oppgave 2..5 a) Vi starter med å finne de deriverte til funksjonen av orden opp til og med 5 i punktet x = 2. Det gjør vi ved å bruke kommandoen diff f x, x$n der f x er uttrykket som skal deriveres, x
Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon. F x = x K f x f' x
Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon F x = x K f x f' x, starter med en x 0 og beregner x 1 = F x 0, x = F x 1, x 3 = F x,... Dette er en metode der en for-løkke egner
with plots plot sin x, x =KPi..Pi Pi 3 eval tan eval cos K1 1 > evalf sin 3 2 K 2 $Pi
with plots Maple har en rekke innebygde funksjoner. Kommandoen plot brukes til å tegne grafen til en funksjon, og kommandoene eval og evalf brukes til å beregne funksjonsverdier for en funskjon. Den første
Eksempel: s d taylor sin x, x = 0, 9
Maple kan selv konstruere taylorpolynomer til en gitt funksjon om et gitt punkt. Kommandoen er taylor der vi må taste inn funksjonen, punktet a vi finner polynomet om, og hvilken orden n vi vil at polynomet
x (logaritemen med a som grunntall) skrives log a
Oppgave 1.5.20. For å gjøre denne oppgaven, kan du nesten alt du trenger. Det eneste nye er at funksjonen log a x (logaritemen med a som grunntall) skrives log a x i Maple. Som vanlig trenger vi å hente
Oppgave x, x$1 f 1 x := K 1. x d diff. x 2. subs x = 2, f 2 K x, x$2 f 2 x := 2. x x, x$3 f 3 x := K 6.
Oppgave 2.3.35 a) Vi starter med å finne de deriverte til funksjonen av orden opp til og med 5 i punktet = 2. Det gjør vi ved å bruke kommandoen diff f, $n der f er uttrykket som skal deriveres, er navnet
120 x5 K x7 C O x 9
Maple kan selv konstruere taylorpolynomer til en gitt funksjon om et gitt punkt. Kommandoen er taylor der vi må taste inn funksjonen, punktet a vi finner polynomet om, og hvilken orden n vi vil at polynomet
Tegning av fasediagram med Maple
Tegning av fasediagram med Maple Torbjørn Helvik Sammendrag Dette notatet er ment som en hjelp til faget SIF5025 Di.ligninger og Dynamiske Systemer, og tar for seg hvordan en kan plotte fasediagrammer
Oppgave x d 1.0 for n from 1 by 1 to 200 do x d sin x end do
Oppgave 7.2.6 a) x d 1.0 for n from 1 by 1 to 200 do x d sin x Iterasjonen ser ut til å konvergere sakte mot null som er det eneste fikspunktet for sin x. d) Det er klart at f x = 0 hvis og bare hvis x
Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen
For å tegne grafen til en likning, skal vi bruke kommandoen Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen with plots Gjør det (altså: trykk linjeskift med
Oppgave Iterasjonen ser ut til å konvergere sakte mot null som er det eneste fikspunktet for sin x.
Oppgave 7.2.6 a) x d 1.0 x := 1.0 (1) for n from 1 by 1 to 20 do x d sin x end do x := 0.8170988 x := 0.7562117 x := 0.6783077 x := 0.6275718321 x := 0.5871809966 x := 0.550163908 x := 0.5261070755 x :=
Om plotting. Knut Mørken. 31. oktober 2003
Om plotting Knut Mørken 31. oktober 2003 1 Innledning Dette lille notatet tar for seg primitiv plotting av funksjoner og visualisering av Newtons metode ved hjelp av Java-klassen PlotDisplayer. Merk at
Øving 6 Tallfølger og differenslikninger
Øving Tallfølger og differenslikninger Teori Se også Mathematicakompendiet kap. En tallfølge er en liste av elementer satt opp i en bestemt rekkefølge { a[0]a[]a[]...a[n]... } = {a[n]} 0. Vi kaller elementet
plot sin x, x =KPi..Pi
with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, compleplot, compleplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot, display, dualaisplot,
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på
Inf109 Programmering for realister Uke 5. I denne leksjonen skal vi se på hvordan vi kan lage våre egne vinduer og hvordan vi bruker disse.
Inf109 Programmering for realister Uke 5 I denne leksjonen skal vi se på hvordan vi kan lage våre egne vinduer og hvordan vi bruker disse. Før du starter må du kopiere filen graphics.py fra http://www.ii.uib.no/~matthew/inf1092014
z = f x, y for x, y 2 D (kartesiske koordinater) Maplekommando: plot3d f x, y, x = a..b, y = c..d.
For å plotte flater gitt i sylinderkoordinater eller kulekoordinater skal vi bruke kommandoen på disse oppgavene. Denne kommandoen kan plotte flater gitt i ulike koordinatsystemer. Vi skal plotte flater
MAT 1110: Obligatorisk oppgave 1, V-07: Løsningsforslag
1 MAT 111: Obligatorisk oppgave 1, V-7: Løsningsforslag Oppgave 1. a) Vi deriverer på vanlig måte: ( e (sinh x) x e x ) = = ex + e x = cosh x, ( e (cosh x) x + e x ) = = ex e x = sinh x Enkel algebra gir
NTNU. TMA4105 Matematik 2 våren 2011. Maple-øving 1. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple01 1.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematik 2 våren 2011 Maple-øving 1 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid med maksimalt
TMA4105 Matematikk 2 Vår 2008
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2008 Øving 1 Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut): 1.
Skal man tegne grafen til en likning, må Maples plotteprogrammer hentes inn. Det gjør man ved kommandoen
Skal man tegne grafen til en likning, må Maples plotteprogrammer hentes inn. Det gjør man ved kommandoen with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, compleplot, compleplot3d, conformal,
Ekstraoppgave 11.6.1. with plots. Vi plotter først de to flatene x 2 C y 2 = 1 og z = 4 K x for å få en ide om hvordan T ser ut.
Ekstraoppgave 11.6.1. a) with plots Vi plotter først de to flatene x 2 C y 2 = 1 og z = 4 K x for å få en ide om hvordan T ser ut. P1 d plot3d x, sqrt 1 K x 2, z, x = 0..4, z = 0..4, color = blue, style
Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m
Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning
3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)
Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.
Løsningsforslag. og B =
Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi
Prosent- og renteregning
FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra
EKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Achenef Tesfahun (9 84 97 5) EKSAMEN I MA2 Brukerkurs B i matematikk Lørdag 322 Tid:
Ekstraoppgave
Ekstraoppgave 11.6.1. a) with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot,
MAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V Løsningsforslag
MAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V-2015 Oppgave 1: a) Vi har Av 1 = ( 4 6 6 1 Løsningsforslag ) ( 3 2 ) = ( 24 16 ) = 8v 1, så v 1 er en egenvektor med egenverdi 8. Tilsvarende er ( ) ( ) ( ) 4 6 2 10
Løsning, funksjoner av flere variable.
Ukeoppgaver, uke 3 Matematikk 3, funksjoner av flere variable 1 Løsning, funksjoner av flere variable Oppgave 1 a) = +=, b) =, =y3 d ) e ) = 3+= 3 Selv om ikke x er med kan det betraktes som funksjon av
Obligatorisk oppgave 1
Obligatorisk oppgave 1 a) Oppgaveteksten oppgir et vektorfelt f(x, y) F x, y = g x, y der f og g er oppgitt ved f x, y = x 3 3xy 1 og g x, y = y 3 + 3x y. Vi kan med dette regne ut Jacobimatrisen F x,
1 x 2 C 1. K 1 2 ek1 2 x C e x
Oppgave 3.2.4 a) diff x sqrt C x 2, x x 2 C K x 2 x 2 C 3 / 2 () simplify % x 2 C 3 / 2 (2) Dette viser at den deriverte ikke har noen reelle nullpunkter. b) diff exp K x 2 C exp x, x K 2 ek 2 x C e x
Eksamen R2 høsten 2014 løsning
Eksamen R høsten 04 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x Vi bruker kjerneregelen
Oppgave P1 d implicitplot y = sinh x, x = 0..5, y = 0..5, color = red P2 := PLOT...
Oppgave 11.3.16. Maple kan hjelpe oss med to ting: programmet kan tegne kurvene som avgrenser området, og det kan beregne det itererte integralet. Men å sette opp det itererte integralet må vi klare selv.
Svingninger i en elektrisk RCL-krets med og uten påtrykt vekselspenning.
1 Noen gruppeoppgaver for uke 20 våren 2008 i FYS2130: Svingninger i en elektrisk RCL-krets med og uten påtrykt vekselspenning. Vi har på forelesninger i uke 19 vist hvordan vi kan løse den andre ordens
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 5 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 5 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på grenseverdier. 1 Hvorfor
Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009
Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne
Plotting av data. Kapittel 6. 6.1 Plott med plot-funksjonen
Kapittel 6 Plotting av data MATLAB har mange muligheter for plotting av data. Vi skal her konsentrere oss om de viktigste funksjonene og kommandoene for 2-dimensjonale plott. Plottefunksjoner listes opp
Rekker (eng: series, summations)
Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks.
Skilpaddekunst. Steg 1: Møt skilpadden. Sjekkliste. Introduksjon. Turtles
Skilpaddekunst Introduksjon Skilpadder (turtles på engelsk) er en form for roboter som har vært i bruk innen programmering i lang tid. Vi vil bruke skilpadde-biblioteket i Python til å utforske flere programmeringskonsepter
MA0003-8. forelesning
Implisitt derivasjon og 31. august 2009 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2
Emne 9. Egenverdier og egenvektorer
Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller
MA2501 Numeriske metoder
MA501 Numeriske metoder Vår 009 Øving 9 Oppgave 1 Bruk vedlagte matlab-program skyt.m til å løse randverdiproblemet x + e x = 0, x(0) = x(1) = 0 Oppgave Gitt startverdiproblemet x = t(x ), x(0) = 1, x
Anvendelser av derivasjon.
Ukeoppgaver, uke 39, i Matematikk, Anvendelser av derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 39 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea4
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. januar 2005. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på
MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1
22. september, 2016 MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 Innleveringsfrist: 6/10-2016, kl. 14:30 i Devilry Obligatoriske oppgaver («obliger») er en sentral del av MAT-INF1100 og er utmerket trening i å
11. september Institutt for geofag Universitetet i Oslo. GEO En Introduksjon til MatLab. Kapittel 5 (del 2) Ada Gjermundsen
, Institutt for geofag Universitetet i Oslo 11. september 2012 Litt repetisjon: Array, En array er en variabel som inneholder flere objekter (verdier) En endimensjonal array er en vektor En array med to
Oppgave : For å plotte disse figurene, henter vi inn Maples plottekommandoer:
Oppgave 10.9.15: For å plotte disse figurene, henter vi inn Maples plottekommandoer: with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, conformal3d,
Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Litt oppsummering undervegs Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon Litt oppsummering undervegs Løsningsforslag Oppgave 1 Et skjæringspunkt f(x) = x e x g(x) = 1 arctan x. a) Vi kan lage plottet slik i kommando-vinduet:
Oblig 3 i FYS mars 2009
Oblig 3 i FYS230 2. mars 2009 Innledning [Copyright 2009: D.S.Amundsen og A.I.Vistnes.] David Skålid Amundsen har laget hovedskissen til denne obligen i en sommerjobb han utførte for oss sommeren 2008.
Eksempelsett R2, 2008
Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx
Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter.
Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Dersom man ofte ikke er intressert i å finne eksakte løsninger kun sikkre interval, er ulikheter
Ekstraoppgave
Ekstraoppgave 11.7.1. b) with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot,
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger
En enkel while-løkke. 1 of 12 15.09.2015 15:28. 2 of 12 15.09.2015 15:28. while-løkker gjentar instruksjonene så lenge en betingelse er oppfylt
while-løkker gjentar instruksjonene så lenge en betingelse er oppfylt [Kurssidene] [ ABI - fagsider bibin ] Michael Preminger (michaelp@hioa.no) 15/09-15 En liten repetisjon Løkker Arrayer (tabeller) Løkker
DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs
KORT INNFØRING I GEOGEBRA
Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN
QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...
Separable differensiallikninger.
Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 46 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden
f (x) = a 0 + a n cosn π 2 x. xdx. En gangs delvisintegrasjon viser at 1 + w 2 eixw dw, 4 (1 + w 2 ) 2 eixw dw.
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA Matematikk M høsten 008 Løsningsforslag a Cosinusrekka til f blir av formen - 0 6 f (x a 0 + n0 a n cosn π x Vi har a 0 0, og a n R 0 f (xcosnπ xdx En gangs
Rekker (eng: series, summations)
Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks.
Notat 6 - ST februar 2005
Notat 6 - ST1301 22. februar 2005 1 Instruksjoner som data I begynnelsen av kurset definerte vi data som informasjon uttrykkt i et programmeringsspråk. Slike data kan være av ulik type, f.eks. enkle skalarer
TDT4100 Objektorientert programmering
Eksamensoppgave i TDT4100 Objektorientert programmering Torsdag 12. august 2010, kl. 09:00-13:00 Oppgaven er utarbeidet av faglærer Hallvard Trætteberg og kvalitetssikret av Svein Erik Bratsberg. Kontaktperson
Utførelse av programmer, metoder og synlighet av variabler i JSP
Utførelse av programmer, metoder og synlighet av variabler i JSP Av Alf Inge Wang 1. Utførelse av programmer Et dataprogram består oftest av en rekke programlinjer som gir instruksjoner til datamaskinen
Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals
Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...
Høgskolen i Oslo og Akershus. i=1
Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 2 Innleveringsfrist: 19. oktober klokka 14:00 Antall oppgaver: 2 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Skriptet starter med å la Sum være 0, så blir det for hver iterasjon
Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er
Øvingsforelesning i Matlab TDT4105
Øvingsforelesning i Matlab TDT4105 Øving 6. Tema: funksjoner med vektorer, plotting, preallokering, funksjonsvariabler, persistente variabler Benjamin A. Bjørnseth 13. oktober 2015 2 Oversikt Funksjoner
Løsningsforslag. Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3.
Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 a) ln a ln 3 a+ln 4 a = ln a 1/2 ln a 1/3 +ln a 1/4 = 1 2 ln a 1 3
Bioberegninger - notat 4: Mer om sannsynlighetsmaksimering
Bioberegninger - notat 4: Mer om sannsynlighetsmaksimering 8. mars 2004 1 Kort om Newton s metode i flere dimensjoner Newton s metode kan generaliseres til å løse sett av n ligninger med n ukjente. Skal
Argumenter fra kommandolinjen
Argumenter fra kommandolinjen Denne veiledningen er laget for å vise hvordan man kan overføre argumenter fra kommandolinjen til et program. Hvordan transportere data fra en kommandolinje slik at dataene
Utførelse av programmer, funksjoner og synlighet av variabler (Matl.)
Utførelse av programmer, funksjoner og synlighet av variabler (Matl.) Av Jo Skjermo (basert på Alf Inge Wang sin versjon om JSP). 1. Utførelse av kode i kommando/kalkulatormodus Et dataprogram består oftest
Eksamen R2 høsten 2014
Eksamen R høsten 014 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x b) gx 5e x sinx Oppgave
MAPLE-LAB La oss utføre en enkel utregning.
MAPLE-LAB Denne labøvelsen (og neste) gir en kort opplæring i elementær bruk av programmet Maple. Dere får dermed et lite glimt av mulighetene som finnes i Maple. Interesserte oppfordres til å utforske
Eksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
Ekstraoppgave
with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot, display, dualaxisplot,
Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015
Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8
Eksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
Sprettball Erfaren ComputerCraft PDF
Sprettball Erfaren ComputerCraft PDF Introduksjon Nå skal vi lære hvordan vi kan koble en skjerm til datamaskinen. Med en ekstra skjerm kan vi bruke datamaskinen til å kommunisere med verden rundt oss.
MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1
13. september, 2018 MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 Innleveringsfrist: 27/9-2018, kl. 14:30 i Devilry Obligatoriske oppgaver («obliger») er en sentral del av MAT-INF1100 og er utmerket trening i å
Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT
Løsningsforslag for MAT-1, desember 29, UiT av Kristian Hindberg Oppgave 1 a) Bestem grenseverdien e x 1 x lim x x 2 e x 1 x lim x x 2 = lim x e x 1 2x e = x lim x 2 = 1 2 b) Finn det ubestemte integralet
Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
Differensiallikninger Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Differensiallikninger Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. november 2011 Kapittel 15.1. Retningsfelt og Picards teorem 3 Retningsvektorfelt for y = y
Innleveringsoppgave 3
Innleveringsoppgave 3 INF109 Dataprogrammering for naturvitskap Dette er den tredje av syv obligatoriske oppgaver. Du kan få totalt 15 poeng på denne oppgaven. Innleveringsfristen er fredag, 4. mars, 23:59.
Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og
1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A =
Fasit MAT102 juni 2017 Oppgave 1 1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 1 2 A = 2 1 Løsning: Egenverdiene er røttene til det karakteristiske polynom gitt ved determinanten av matrisen (
Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning
Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning
Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet
CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...
Eksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
L(t 2 ) = 2 s 3, 2. (1. Skifteteorem) (s 2) 3. s 2. (Konvolusjonsteoremet) s 2. L 1 ( Z. = t, L 1 ( s 2 e 2s) = (t 2)u(t 2). + 1
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA5 Matematikk D høsten 008 Løsningsforslag a i Lt s, Lt e t Skifteteorem s ii Z t L sinτsint τdτ 0 s Konvolusjonsteoremet + b i L s t, L s e s t ut ii L s
Husk at du skal ha to vinduer åpne. Det ene er 'Python Shell' og det andre er for å skrive kode i.
Skilpaddeskolen Steg 1: Flere firkanter Nybegynner Python Åpne IDLE-editoren, og åpne en ny fil ved å trykke File > New File, og la oss begynne. Husk at du skal ha to vinduer åpne. Det ene er 'Python Shell'
3x ( x. x 1 x a 3 = 1 2 x2. a) Bestem rekkens kvotient og rekkens første ledd.
Oppgave 1 Løs likningen x 2 + x 6 = 0. b) Løs likningen c) Løs ulikheten x 2 + 4x 5 < 0. 3x 2 + 7 x 2 1 ) = 8. d) Løs ulikheten Oppgave 2 x 1 x 2 4 0. Deriver g x) = 3x + ln x) 3. b) Deriver h x) = e x
Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Løsningsforslag Oppgave 1 Flo og fjære a) >> x=0:.1:24; >> y=3.2*sin(pi/6*(x-3)); Disse linjene burde vel være forståelige nå. >> plot(x,y,'linewidth',3)
x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved
NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.
Bygg et Hus. Steg 1: Prøv selv først. Sjekkliste. Introduksjon. Prøv selv
Bygg et Hus Introduksjon I denne leksjonen vil vi se litt på hvordan vi kan få en robot til å bygge et hus for oss. Underveis vil vi lære hvordan vi kan bruke løkker og funksjoner for å gjenta ting som
Skilpadder hele veien ned
Level 1 Skilpadder hele veien ned All Code Clubs must be registered. Registered clubs appear on the map at codeclubworld.org - if your club is not on the map then visit jumpto.cc/ccwreg to register your
TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2
TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x
TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA423/TMA425 Matematikk 4M/4N Vår 203 Løsningsforslag Øving 2 La y = yx være funksjonen som tilfredstiller differensialligningen