120 x5 K x7 C O x 9

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "120 x5 K x7 C O x 9"

Transkript

1 Maple kan selv konstruere taylorpolynomer til en gitt funksjon om et gitt punkt. Kommandoen er taylor der vi må taste inn funksjonen, punktet a vi finner polynomet om, og hvilken orden n vi vil at polynomet skal ha (i akkurat den rekkefølgen). Eksempel: s d taylor sin, = 0, 9 s := K 6 3 C 0 5 K C O 9 () Merk: Det siste leddet i hvert taylorpolynom kan du se bort fra. (Det betyr bare at det neste leddet er av slik grad eller høyere.) At Maple tar med dette siste leddet, betyr at vi må sette n ett steg høyere enn orden til det taylorpolynomet vi er ute etter. Merk: Vi vil at Maple skal oppfatte taylorpolynomet som et helt vanlig polynom. Det gjør vi ved kommandoen convert: p d convert s, polynom p := K 6 3 C 0 5 K () For å finne p for eksempel, skriver vi subs =, p (3) og vil vi plotte polynomet, kan vi det også: plot p, = 0..$Pi

2 0 K p 4 p 3 p 4 p 5 p 4 3 p 7 p 4 K4 K6 K8 K0 K K4 Den ligner på grafen til sin når bare ikke er for stor. Eksempel:

3 taylor sin, =, 7 sin C cos K C K 8 sin K 8 cos K C 6 sin C 4 cos K 3 C K 7 9 sin K 3 8 cos K 4 C C O K 7 sin C cos K 5 C K sin K 3 56 cos K 6 (4) Det ville kanskje være bedre i dette eksemplet om taylorkoeffisientene kom på desimalform. Det kan vi fikse ved å skrive ettallet som.0 taylor sin, =.0, C K.0 K K.0 C K.0 3 K K.0 4 C K.0 5 K K.0 6 C O K.0 7 (5) Oppgave P, P,..., P 5, men siden vi skal plotte disse polynomene, gjør vi det litt annerledes: (husk at det er snakk om en tabell) for n from by to 5 do t d taylor ln, =, n C : p d convert t, polynom t := K C O K p := K : plot p, = end do

4 t := K K K C O K 3 p := K K K

5 K0.5 K K.5 t := K K K C 3 K 3 C O K 4 p := K K K C 3 K 3

6 t := K K K C 3 K 3 K 4 K 4 C O K 5 p := K K K C 3 K 3 K 4 K 4

7 0 3 4 K K4 K6 K8 K0 K t := K K K C 3 K 3 K 4 K 4 C 5 K 5 C O K 6 p := K K K C 3 K 3 K 4 K 4 C 5 K 5

8 Vi skal sammenligne disse plottene med grafen til ln plot ln, =

9 K K0.4 K0.6 Det hadde vært enklere å sammenligne om vi hadde tegnet alle grafene i samme koordinatsystem P d plot ln, = , color = red P := PLOT... (6)

10 P d plot K, = , color = orange P := PLOT... (7) P d plot K K K, = , color = yellow P := PLOT... (8) P3 d plot K K K C 3 K 3, = , color = green ; P3 := PLOT... (9) P4 d plot K K K C 3 K 3 K 4 K 4, = , color = blue P4 := PLOT... (0) P5 d plot K K K C K 3 K K 4 C K 5, = , color = magenta P5 := PLOT... with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, compleplot, compleplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot, display, dualaisplot, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, interactive, interactiveparams, intersectplot, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matriplot, multiple, odeplot, pareto, plotcompare, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedra_supported, polyhedraplot, rootlocus, semilogplot, setcolors, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematriplot, surfdata, tetplot, tetplot3d, tubeplot display P, P, P, P3, P4, P5 () ()

11 K0 Det ble bedre. Her ser vi hvordan polynomene klarer å imitere logaritmen i et stadig større intervall når vi øker ordnen til taylorpolynomet. Vi ser det kanskje enda bedre om vi belger intervallet [0.5, 3] for. Du kan selv endre kommandoene over for å få det slik. Oppgave 3.5.7

12 a) (i) Vi trenger bare å finne taylorpolynomet av orden 30, for de andre to får vi ved å avkorte det lengste. convert taylor sin, = 0, 3, polynom K 6 3 C 0 5 K C K C C C K K C C K K For å skrive plottekommandoen, bruker vi så klipp og lim. Siden sinus er begrenset mellom, mens polynomer har en tendens til å vokse ganske fort i absoluttverdi, velger vi å bruke kommandoen implicitplot Vi har allrede hentet inn Maples plottekommandoer, så den er grei. (3) P d implicitplot y = sin, = 0..5, y =K.5...5, color = red, gridrefine = P := PLOT... P d implicitplot y = K 6 3 C 0 5 K C , = 0..5, y =K.5...5, color = green, gridrefine = P := PLOT... P d implicitplot y = K 6 3 C 0 5 K C K C K gridrefine = C K , = 0..5, y =K.5...5, color = blue, P := PLOT... P3 d implicitplot y = K 6 3 C 0 5 K C K C (4) (5) (6)

13 K K C C C display P, P, P, P K C K , = 0..5, y =K.5...5, color = magenta, gridrefine = P3 := PLOT... (7)

14 .5 y K0.5 K K.5 Se så fint polynomene imiterer en sinus. Men de er jo bare polynomer, så de klarer det bare et stykke, før de skjærer aldeles ut. Men de klarer det lenger jo høyere grad de har.

15 Oppgave a) convert taylor tan, = Pi 6, 6, polynom 3 3 C 4 3 K 9 p C K 6 p C 8 9 K 6 p 3 C K 6 p 4 C K 6 p 5 (8) Her vet vi at koeffisienten foran leddet av grad 5 er lik Derfor er f 5 p 6 lik f 5 p 6 5! $ 5! 83 9 (9) Oppgave a) Å finne taylorpolynomet er ingen sak. Vi kaller det p p d convert taylor sin, = 0,, polynom p := K 6 3 C 0 5 K C K C K C For å evaluere dette polynomet for ulike verdier av, bruker vi kommandoen subs K (0)

16 Det er fristende å bruke en for-løkke for å beregne polynomverdiene det spørres om. Tellevariabelen n (eller hva vi kaller den) i en for-løkke, skal ta heltallsverdier. Derfor skriver vi det slik: for n from by to 5 do subs = n, p end do Dette ble voldsomme brøker. Vi er antakelig bedre tjent med desimaltall: () for n from by to 5 do evalf subs = n 0, p, 7 end do () Oppgave

17 a) (i) Her trenger vi ikke Maple for å derivere funksjonen. Men la oss likevel gjøre det for treningens skyld. For å få den førstederiverte av en funksjon f skrev vi kommandoen diff f, For å få den andrederiverte skriver vi diff f,, eller diff f, $ : diff cos,, Kcos (3) Vi trenger heller ikke Maple for å løse likningen Kcos = 0 Løsningen er La oss likevel se hva Maple gjør om vi ber programmet om å løse likningen: p C kp for alle hele tall k solve Kcos = 0, p Vi fikk altså bare én av de uendelig mange løsningene. Resten må vi så finne ut selv. (4) (ii) Vi velger å plotte én periode av cos der går fra 0 til p. I vendepunktet = p er funksjonsverdien lik 0 og den deriverte lik - Tangenten har derfor likningen y = 0 K K p I vendepunktet = 3 p Tangenten har derfor likningen y = 0 C er funksjonsverdien lik 0 og den deriverte lik K 3 p P d implicitplot y = cos, = 0.. Pi, y =K.., color = red P := PLOT... P d implicitplot y =K C Pi, = 0.. Pi, y =K.., color = blue (5) (6)

18 P d implicitplot y = K 3 Pi display P, P, P P := PLOT..., = 0.. Pi, y =K.., color = green P := PLOT... (6) (7) y K K

19 (iii) Det har naturligvis med grafens form i et vendepunkt å gjøre. Taylors restleddformel sier at forskjellen mellom f og tangenten i punktet a, f a er begrenset av Den andrederiverte er null i vendepunktet, og derfor vanligvis liten i en omegn om vendepunktet. Derfor blir feilskranken også liten. f'' c! K a

Eksempel: s d taylor sin x, x = 0, 9

Eksempel: s d taylor sin x, x = 0, 9 Maple kan selv konstruere taylorpolynomer til en gitt funksjon om et gitt punkt. Kommandoen er taylor der vi må taste inn funksjonen, punktet a vi finner polynomet om, og hvilken orden n vi vil at polynomet

Detaljer

Oppgave x, x$1 f 1 x := K 1. x d diff. x 2. subs x = 2, f 2 K x, x$2 f 2 x := 2. x x, x$3 f 3 x := K 6.

Oppgave x, x$1 f 1 x := K 1. x d diff. x 2. subs x = 2, f 2 K x, x$2 f 2 x := 2. x x, x$3 f 3 x := K 6. Oppgave 2.3.35 a) Vi starter med å finne de deriverte til funksjonen av orden opp til og med 5 i punktet = 2. Det gjør vi ved å bruke kommandoen diff f, $n der f er uttrykket som skal deriveres, er navnet

Detaljer

plot sin x, x =KPi..Pi

plot sin x, x =KPi..Pi with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, compleplot, compleplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot, display, dualaisplot,

Detaljer

Oppgave P1 d implicitplot y = sinh x, x = 0..5, y = 0..5, color = red P2 := PLOT...

Oppgave P1 d implicitplot y = sinh x, x = 0..5, y = 0..5, color = red P2 := PLOT... Oppgave 11.3.16. Maple kan hjelpe oss med to ting: programmet kan tegne kurvene som avgrenser området, og det kan beregne det itererte integralet. Men å sette opp det itererte integralet må vi klare selv.

Detaljer

x (logaritemen med a som grunntall) skrives log a

x (logaritemen med a som grunntall) skrives log a Oppgave 1.5.20. For å gjøre denne oppgaven, kan du nesten alt du trenger. Det eneste nye er at funksjonen log a x (logaritemen med a som grunntall) skrives log a x i Maple. Som vanlig trenger vi å hente

Detaljer

1 x 2 C 1. K 1 2 ek1 2 x C e x

1 x 2 C 1. K 1 2 ek1 2 x C e x Oppgave 3.2.4 a) diff x sqrt C x 2, x x 2 C K x 2 x 2 C 3 / 2 () simplify % x 2 C 3 / 2 (2) Dette viser at den deriverte ikke har noen reelle nullpunkter. b) diff exp K x 2 C exp x, x K 2 ek 2 x C e x

Detaljer

Skal man tegne grafen til en likning, må Maples plotteprogrammer hentes inn. Det gjør man ved kommandoen

Skal man tegne grafen til en likning, må Maples plotteprogrammer hentes inn. Det gjør man ved kommandoen Skal man tegne grafen til en likning, må Maples plotteprogrammer hentes inn. Det gjør man ved kommandoen with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, compleplot, compleplot3d, conformal,

Detaljer

Oppgave : For å plotte disse figurene, henter vi inn Maples plottekommandoer:

Oppgave : For å plotte disse figurene, henter vi inn Maples plottekommandoer: Oppgave 10.9.15: For å plotte disse figurene, henter vi inn Maples plottekommandoer: with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, conformal3d,

Detaljer

Ekstraoppgave

Ekstraoppgave Ekstraoppgave 11.6.1. a) with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot,

Detaljer

Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen

Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen For å tegne grafen til en likning, skal vi bruke kommandoen implicitplot Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen > with plots animate, animate3d, animatecurve,

Detaljer

Ekstraoppgave

Ekstraoppgave Ekstraoppgave 11.7.1. b) with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot,

Detaljer

Oppgave Vi importerer først både vektoranalyse- og plottekommandoene til Maple:

Oppgave Vi importerer først både vektoranalyse- og plottekommandoene til Maple: Oppgave 1.4.1. a) Vi importerer først både vektoranalyse- og plottekommandoene til Maple: with VectorCalculus &x, `*`, `C`, `-`, `.`,!,O,! O, About, AddCoordinates, ArcLength, BasisFormat, Binormal, Compatibility,

Detaljer

z = f x, y for x, y 2 D (kartesiske koordinater) Maplekommando: plot3d f x, y, x = a..b, y = c..d.

z = f x, y for x, y 2 D (kartesiske koordinater) Maplekommando: plot3d f x, y, x = a..b, y = c..d. For å plotte flater gitt i sylinderkoordinater eller kulekoordinater skal vi bruke kommandoen på disse oppgavene. Denne kommandoen kan plotte flater gitt i ulike koordinatsystemer. Vi skal plotte flater

Detaljer

Ekstraoppgave

Ekstraoppgave with plots animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot, display, dualaxisplot,

Detaljer

Ekstraoppgave (i) Vi henter først inn Maplekommandoer for vektorregning:

Ekstraoppgave (i) Vi henter først inn Maplekommandoer for vektorregning: Ekstraoppgave 8.6.. a) (i) Vi henter først inn Maplekommandoer for vektorregning: with VectorCalculus &x, `*`, `C`, `-`, `.`,!,O,! O, About, AddCoordinates, ArcLength, BasisFormat, Binormal, Compatibility,

Detaljer

: subs x = 2, f n x end do

: subs x = 2, f n x end do Oppgave 2..5 a) Vi starter med å finne de deriverte til funksjonen av orden opp til og med 5 i punktet x = 2. Det gjør vi ved å bruke kommandoen diff f x, x$n der f x er uttrykket som skal deriveres, x

Detaljer

with plots plot sin x, x =KPi..Pi Pi 3 eval tan eval cos K1 1 > evalf sin 3 2 K 2 $Pi

with plots plot sin x, x =KPi..Pi Pi 3 eval tan eval cos K1 1 > evalf sin 3 2 K 2 $Pi with plots Maple har en rekke innebygde funksjoner. Kommandoen plot brukes til å tegne grafen til en funksjon, og kommandoene eval og evalf brukes til å beregne funksjonsverdier for en funskjon. Den første

Detaljer

Oppgave Iterasjonen ser ut til å konvergere sakte mot null som er det eneste fikspunktet for sin x.

Oppgave Iterasjonen ser ut til å konvergere sakte mot null som er det eneste fikspunktet for sin x. Oppgave 7.2.6 a) x d 1.0 x := 1.0 (1) for n from 1 by 1 to 20 do x d sin x end do x := 0.8170988 x := 0.7562117 x := 0.6783077 x := 0.6275718321 x := 0.5871809966 x := 0.550163908 x := 0.5261070755 x :=

Detaljer

Oppgave x d 1.0 for n from 1 by 1 to 200 do x d sin x end do

Oppgave x d 1.0 for n from 1 by 1 to 200 do x d sin x end do Oppgave 7.2.6 a) x d 1.0 for n from 1 by 1 to 200 do x d sin x Iterasjonen ser ut til å konvergere sakte mot null som er det eneste fikspunktet for sin x. d) Det er klart at f x = 0 hvis og bare hvis x

Detaljer

Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon. F x = x K f x f' x. , x 2

Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon. F x = x K f x f' x. , x 2 Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon F x = x K f x f' x, starter med en x 0 og beregner x 1 = F x 0, x = F x 1, x 3 = F x,... Dette er en metode der en for-løkke egner

Detaljer

Ekstraoppgave 11.6.1. with plots. Vi plotter først de to flatene x 2 C y 2 = 1 og z = 4 K x for å få en ide om hvordan T ser ut.

Ekstraoppgave 11.6.1. with plots. Vi plotter først de to flatene x 2 C y 2 = 1 og z = 4 K x for å få en ide om hvordan T ser ut. Ekstraoppgave 11.6.1. a) with plots Vi plotter først de to flatene x 2 C y 2 = 1 og z = 4 K x for å få en ide om hvordan T ser ut. P1 d plot3d x, sqrt 1 K x 2, z, x = 0..4, z = 0..4, color = blue, style

Detaljer

Nicolai Kristen Solheim

Nicolai Kristen Solheim Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1 Fra grafen for ser vi følgende

Detaljer

Rungekuttametodene løser initialverdiproblemer på formen y' = F x, y, y x 0

Rungekuttametodene løser initialverdiproblemer på formen y' = F x, y, y x 0 Rungekuttametodene løser initialverdiproblemer på formen y' = F x, y, y x 0 = y 0 der F x, y står for et uttrykk i x og y. De er iterative metoder, så for - løkker egner seg ypperlig i denne sammenengen.

Detaljer

Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon. F x = x K f x f' x

Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon. F x = x K f x f' x Newtons metode er en iterativ metode. Det vil si, vi lager en funksjon F x = x K f x f' x, starter med en x 0 og beregner x 1 = F x 0, x = F x 1, x 3 = F x,... Dette er en metode der en for-løkke egner

Detaljer

Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen

Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen For å tegne grafen til en likning, skal vi bruke kommandoen Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen with plots Gjør det (altså: trykk linjeskift med

Detaljer

Denne labøvelsen gir en videre innføring i elementær bruk av programmet Maple.

Denne labøvelsen gir en videre innføring i elementær bruk av programmet Maple. MAPLE-LAB 2 Denne labøvelsen gir en videre innføring i elementær bruk av programmet Maple.. Sett i gang Maple på din PC / arbeidsstasjon. Hvis du sitter på en Linux-basert maskin og opplever problemer

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maple Innhold 1 Om Maple 4 1.1 Tillegg til Maple................................ 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Taylor- og Maclaurin-rekker

Taylor- og Maclaurin-rekker Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet

Detaljer

MAPLE-LAB La oss utføre en enkel utregning.

MAPLE-LAB La oss utføre en enkel utregning. MAPLE-LAB Denne labøvelsen (og neste) gir en kort opplæring i elementær bruk av programmet Maple. Dere får dermed et lite glimt av mulighetene som finnes i Maple. Interesserte oppfordres til å utforske

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 5 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 5 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på grenseverdier. 1 Hvorfor

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

MAT 110A - VÅR 2001 OBLIGATORISK OPPGAVESETT

MAT 110A - VÅR 2001 OBLIGATORISK OPPGAVESETT MAT 110A - VÅR 2001 OBLIGATORISK OPPGAVESETT 3 Skriftlige besvarelser skal innleveres til den gruppelæreren på den regneøvelsen hver enkel er påmeldt til, etter nærmere avtale. Innleveringsfristen er fredag

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Prøveeksamen 1 Eksamensdag: Onsdag 14. November 2014. Tid for eksamen:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag. oktober 28. Tid for eksamen: 5: 7:. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R1

Manual for wxmaxima tilpasset R1 Manual for wxmaxima tilpasset R1 Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 2017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8

Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 2017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8 Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8 1 Deriver følgende funksjoner a) ( x) b) (3 5x) 6 c) x x + 3 d) x ln

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).

Detaljer

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005 Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x

Detaljer

Anvendelser av derivasjon.

Anvendelser av derivasjon. Ukeoppgaver, uke 39, i Matematikk, Anvendelser av derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 39 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea4

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT Løsningsforslag for MAT-1, desember 29, UiT av Kristian Hindberg Oppgave 1 a) Bestem grenseverdien e x 1 x lim x x 2 e x 1 x lim x x 2 = lim x e x 1 2x e = x lim x 2 = 1 2 b) Finn det ubestemte integralet

Detaljer

MAT jan jan feb MAT Våren 2010

MAT jan jan feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis

Detaljer

Flere anvendelser av derivasjon

Flere anvendelser av derivasjon Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:

Detaljer

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når

Detaljer

Fasit til obligatorisk oppgave i MAT 100A

Fasit til obligatorisk oppgave i MAT 100A 3. november, 000 Fasit til obligatorisk oppgave i MAT 00A Oppgave a) Grensen er et 0 0-uttrykk, og vi bruker l Hôpitals regel: ln cos π (ln ) (cos π ) ( sin π ) π b) Vi må først skrive uttrykket på eksponentiell

Detaljer

Løsningsforslag. Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3.

Løsningsforslag. Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3. Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 a) ln a ln 3 a+ln 4 a = ln a 1/2 ln a 1/3 +ln a 1/4 = 1 2 ln a 1 3

Detaljer

BYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 40

BYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 40 BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver uke 40 Løsningsforlsag Oppgave 1 Lagring og innlesing av data a) Dersom vi skriver save Filnavn, blir alle variable vi har lagra til ei l som heter 'Filnavn'.

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Funksjoner og tangenter 2.1: 15 a) Vi plotter grafen med et rutenett: > x=-3:.1:3; > y=x.^2; > plot(x,y) > grid on > axis([-2

Detaljer

Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003)

Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003) Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003) 0. mars 2005 Radianer Gitt et punkt A på en sirkel med radius og sentrum O. La punktet P v flytte seg fra punktet A slik at det beveger seg langs en sirkelbue

Detaljer

Fjerdegradsfunksjoner og det gylne snitt

Fjerdegradsfunksjoner og det gylne snitt Svein Haugerudbråten, Christoph Kirfel Fjerdegradsfunksjoner og det gylne snitt Matematikkfagets plass i norsk skole blir av mange begrunnet med dets nytteverdi for samfunnet Men sammen med dette har faget

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) 3sin x cos x b) c) g( x) x cosx cos x h( x). Skriv svaret så enkelt som mulig. 1 sin x Oppgave (4 poeng) Bestem integralene a) b)

Detaljer

Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut):

Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut): MA1103 vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 10M Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut): 1. 2. 3. 4. 5.

Detaljer

Forelesning 10 MA0003, Tirsdag 18/ Asymptoter og skissering av grafer Bittinger:

Forelesning 10 MA0003, Tirsdag 18/ Asymptoter og skissering av grafer Bittinger: Forelesning 0 MA000, Tirsdag 8/9-0 Asymptoter og skissering av grafer Bittinger:.-. Asymptoter Definisjon. La f være en funksjon. Vi sier at linjen l() = a + b er en skrå asymptote for f dersom minst ett

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1

Repetisjon i Matematikk 1, 4. desember 2013: Komplekse tall og Derivasjon 1 Repetisjon i Mtemtikk, 4. desember 0: Komplekse tll og Derivsjon Komplekse tll. Regn ut og skriv på normlform i 5 + i b 8 i 7 + 5i c 5 + i 6 i. Regn ut og skriv på normlform d 4 i + i e i 5 + 4i eiπ 6

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 2. Desember 2016. Tid for eksamen: 9:00 13:00.

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. desember 27. Tid for eksamen: 9: 12:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +

Detaljer

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag I kapittel 9 i kompendiet forklarte vi at maximum-likelihood er en av de viktige anvendelsene av ikke-lineær optimering. Vi skal se litt mer på hva

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

8 Interpolasjon TMA4125 våren 2019

8 Interpolasjon TMA4125 våren 2019 8 Interpolasjon TMA4 våren 9 Fra M husker du at dersom x i er n + forskjellige punkter på x-aksen med korresponderende y-verdier y i, finnes det et entydig polynom av maksimal grad n som interpolerer punktene

Detaljer

Funksjoner. Innhold. Funksjoner R1

Funksjoner. Innhold. Funksjoner R1 Funksjoner Innhold Kompetansemål Funksjoner, R1... 3 Innledning... 4 3.1 Funksjoner... 5 3. Grenseverdier, asymptoter og kontinuerlige funksjoner... 6 Grenseverdier... 6 Rasjonale funksjoner og asymptoter...

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 I kapittel 5 har mange av oppgavene et mer teoretisk preg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt på å lage løsningsforslag

Detaljer

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7

Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7 Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7 Oppgave a) Likningen e 2x 6e x + 5 = 0 er en annengradslikning i e x. Siden ( ) ( 5) = 5 og 5 = 6 så faktoriserer annengradsuttrykket som (e x 5)(e x ). Dette

Detaljer

NTNU. TMA4105 Matematik 2 våren 2011. Maple-øving 1. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple01 1.

NTNU. TMA4105 Matematik 2 våren 2011. Maple-øving 1. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple01 1. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematik 2 våren 2011 Maple-øving 1 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid med maksimalt

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

x 3 x x3 x 0 3! x2 + O(x 7 ) = lim 1 = lim Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger.

x 3 x x3 x 0 3! x2 + O(x 7 ) = lim 1 = lim Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger. TMA400 Høst 0 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4..4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet Maclaurinpolynomet til sin x om x =

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11 Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x

Detaljer

S2 eksamen våren 2018 løsningsforslag

S2 eksamen våren 2018 løsningsforslag S eksamen våren 08 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene f x =

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx

Detaljer

Oblig 1 - vår 2015 MAT1012

Oblig 1 - vår 2015 MAT1012 Oblig 1 - vår 15 MAT11 MARI RØYSHEIM University of Oslo, Department of Physics 17. februar 15 Med forbehold om trykkfeil og andre feil! Oppgave 1 a) Vi skal finne det bestemte integralet, og bruker substitusjon.

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Løsningsforslag MAT102 Vår 2018

Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maxima Innhold 1 Om wxmaxima 4 1.1 Tilleggspakker................................. 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Mandag 5. desember 2011. Tid for eksamen: 9:00 13:00. Oppgavesettet er på

Detaljer

Hans Petter Hornæs,

Hans Petter Hornæs, Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

6 Vekstfart og derivasjon

6 Vekstfart og derivasjon Løsning til KONTROLLOPPGAVER 6 Vekstfart og derivasjon OPPGAVE 1 a) Økningen i snødybden fra den 10. desember til den 15. desember var S S(15) S(10) 47,5 cm 0 cm 17,5 cm Antall dager var 15 dager 10 dager

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maxima Innhold 1 Om wxmaxima 5 1.1 Tilleggspakker................................. 5 2 Regning 6 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 3

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 3 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel.a cos + + sin + = cos cos sin sin + sin cos + cos sin = cos sin + sin + cos = cos + = cos = cos b sin + = sin sin sin = sin = sin = sin =,7 =,7 +

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

Oppfriskningskurs i Matematikk

Oppfriskningskurs i Matematikk Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 2 Stine M. Berge 06.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 06.07.19 1 / 16 Funksjoner Definisjon En funksjon f er en prosses som ett element i en

Detaljer

Taylor-polynom. Frå læreboka Kalkulus med én og ere variabler"av Lorentzen, Hole og Lindstrøm, Universitetsforlaget 2003

Taylor-polynom. Frå læreboka Kalkulus med én og ere variablerav Lorentzen, Hole og Lindstrøm, Universitetsforlaget 2003 Taylor-polynom Frå læreboka Kalkulus med én og ere variabler"av Lorentzen, Hole og Lindstrøm, Universitetsforlaget 00 Tidligere har vi sett på korleis vi kan bruke tangentar til funksjoner til å estimére

Detaljer

Løsning, Oppsummering av kapittel 10.

Løsning, Oppsummering av kapittel 10. Ukeoppgaver, uke 36 Matematikk 3, Oppsummering av kapittel. Løsning, Oppsummering av kapittel. Oppgave a) = +, = + z og z =z +. b) f(,, z) = +, + z,z + så (f(, 3, ) = +3, 3+, +3=7, 3, 5 c ) Gradienten

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2009

Eksamen REA3022 R1, Våren 2009 Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x 4 4 8 f x x x x x ) g x x

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer