Løsningsforslag til FYS2130-konte-eksamen august 2015

Transkript

1 Løsningsforslag til FYS2130-konte-eksamen august 2015 Oppgave 1 a) Beskriv en plan, planpolarisert (lineært polarisert) elektromagnetisk bølge matematisk. (Skal ikke utledes!) Forklar hvilke detaljer i beskrivelsen som viser at bølgen er plan, og hvilke detaljer som viser at den er planpolarisert. En plan elektromagnetisk bølge kan matematisk beskrives slik (symboler regnes som kjent): hvor E = E 0 cos(kz ωt) i B = B 0 cos(kz ωt) j (1) E 0 = cb 0 Bølgen går i z-retning. Den er plan, siden x og y ikke inngår i argumentet (kz ωt), og den er lineært polarisert (planpolarisert) fordi elektrisk vektor alltid peker i x-retning. b) Lag en standard skisse av denne elektromagnetiske bølgen. Nevn hvorfor en slik skisse iblant leder til feilaktige oppfatninger av en elektromagnetisk bølge. Figuren er egentlig tre figurer satt sammen i en figur (se neste side). Figuren viser egentlig bare elektrisk felt og magnetfelt langs punkter langs z-aksen. Det er ikke noe i bølgen som beveger seg på tvers av den retningen som bølgen beveger seg i. Det er bare styrken på feltene som endrer seg, og elektrisk og magnetisk felt er en egenskap til rommet i seg selv mer enn at de karakteriserer en slags gjenstand i rommet. c) Vi har i kurset påpekt forskjeller mellom såkalt nærfelt og fjernfelt. Hva går forskjellene ut på? Nærfelt finner vi overalt hvor elektrisk og/eller magnetfelt blir tydelig påvirket av fri elektriske ladninger og strømmer av fri elektriske ladninger i nærheten. Fjernfelt finner vi i områder hvor feltene er helt dominert av ren elektrodynamikk. Med det mener vi at elektrisk og magnetisk felt bare skyldes tidsvariasjonen i nettopp elektrisk og magnetisk felt i områdene i nærheten, og IKKE av fri elektriske ladninger og strømmer av fri elektriske ladninger i nærheten. 1

2 x c y E H z Figur 1: Et øyeblikksbilde av en plan, planpolarisert elektromagnetisk bølge. De største forskjellene på felter i nær- og fjernfeltområdene ligger i at i nærfeltområdene kan vi ha rent statiske felt og felter der det er hvilket som helst forholdstall mellom styrken på det elektriske og magnetiske feltet. Også retningene kan være nær uavhengige av hverandre. For fjernfelt er det gjerne en nær sammenheng mellom styrken og gjensidig retning på elektrisk og magnetisk felt. d) Beregn omtrentlig hvor langt ut nærfeltsområdet strekker seg for lyset fra en lysemitterende diode, en radiobølge fra en senderantenne, og elektromagnetiske felter fra en kraftledning. Angi selv omtrentlig bølgelengde eller frekvens for disse tre tilfellene. For tidsvariable felt har vi en grov tommelfingerregel som sier at nærfeltene strekker seg i størrelsesorden en beregnet bølgelengde vekk fra kilden til feltene. Beregnet bølgelengde får vi fra relasjonen c = λf, hvor symbolene regnes som kjent. En lysdiode sender ut synlig lys. Vi kan eksempelvis velge 500 nm (grønt). Da vil nærfeltområdet strekke seg i størrelsesorden nettopp 0.5 µm fra halvlederen som gir fra seg lyset. Radiobølger kan ha mange ulike frekvenser. Vi velger for enkelhets skyld radiobølger i FMbåndet. Frekvens ca 100 MHz. Da vil beregnet bølgelengde være λ = / = 3.0 m. Nærfeltet vil strekke seg i størrelsesorden 3 m vekk fra senderantennen, mens fjernfelt vil dominere i betydelig større avstander. Kraftledninger genererer elektriske og magnetiske 50 Hz felter i omgivelsene sine. Beregnet bølgelengde erλ = /50 = m. Nærfeltet vil derfor strekke seg i størrelsesorden 6000 km vekk fra kraftledningen, og lovmessigheter som gjelder for fjernfelt vil vi aldri kunne måle fra kraftledninger mens vi er her på Jorden. e) Hva mener vi med Poynting vektor, og hva kan den fortelle oss? Er det noen begrensinger i bruk av denne størrelsen? 2

3 Poynting vektor er gitt ved: S = E H (2) hvor H er magnetisk feltstyrke. Pointing vektor er en intensitetsvektor som peker i samme retning som energistrømmen i en elektromagnetisk bølge i fjernfeltet (en momentan energitetthetstrøm / en momentan intensitet). Dette er bare korrekt så lenge feltene er gitt ved ren elektrodynamikk, dvs i rent fjernfelt-område. Oppgave 2 a) Beskriv hvordan bildet (lysfordelingen) vil se ut på en skjerm plassert 5.0 m etter en dobbeltspalt som belyses med en grønn laser (bølgelengde 532 nm). Avstanden mellom spaltene er 0.20 mm. Fra en dobbeltspalt vil bildet vi får på skjermen bestå av en del parallelle striper. Intensitetsfordelingen er sinusformet, slik som vist i øvre del av figur 2. N = 2 2 Intensitet / N N = 8 N = Vinkel fra symmteriplanet (grader) Figur 2: Intensitetsfordeling vs vinkel for 2, 8 og 32 spalter. Toppunktene er omtrentlig gitt ved: sinθ = nλ d I vårt tilfelle vil vinkelavstanden mellom to nærliggende maksima være gitt ved sinθ = θ 3

4 Avstanden h mellom maksimaene på skjermen 5.0 m unna spaltene blir da: Avstanden blir altså ca 13 mm. h = mm 13.2 mm b) Hvordan vil bildet endre seg (kvalitativt) dersom vi endrer på bredden på spaltene? Antall synlige striper vil avhenge av bredden på de to spaltene. Er bredden på spaltene bare noen få bølgelengder (eller mindre), vil det bli mange parallelle striper på siden av hverandre. Er bredden på spaltene stor i forhold til bølgelengden, vil det bli færre parallelle striper. Omhyllingskurven for intensitetsfordelingen over flere striper, vil følge diffraksjons-profilen til én spalt. c) Anta at vi i stedet for en dobbeltspalt bruker et optisk gitter med 200 linjer per cm. Hvordan vil bildet se ut nå? Hvilke forskjeller er mest iøynefallende i forhold til dobbeltspalten? (Vi har samme avstand mellom gitter og skjerm som mellom dobbeltspalter og skjerm i del a.) Vi har her 200 linjer per cm. Det betyr at avstanden mellom to nærliggende spalter i gitteret vil være 0.05 mm = 50 µm. Da vil vinkelen mellom linjene i interferensbildet være gitt ved: sinθ = λ d sinθ = θ = Avstanden h mellom maksimaene på skjermen 5.0 m unna det optiske gitteret blir da: h = tan(0.6096) 5000 mm 53.2 mm Avstanden blir altså ca 53 mm. [Det ville være ok om du beregnet dette ved å ta 4 x de 13.2 mm vi fant i oppgave a) siden vinklene fortsatt er små.] I tillegg til at det blir større avstander mellom de lyse stripene, er det intensitetsfordelingen og intensiteten som er mest iøynefallende når vi bruker gitteret. Vi viser til nedre del av figur 2. Det er omtrent ikke noe lys mellom stripene, og stripene er smale og har en høy intensitet. Hvor mange spalter i gitteret som faktisk blir belyst og som bidrar til bildet, avhenger av bredden på laserstrålen. 4

5 Oppgave 3 a) Lyden fra en obo blir digitalisert og signalet i tidsbildet blir fouriertransformert. Frekvensspekteret er vist i figur 3. Angi omtrentlig frekvensene til grunntonen og de harmoniske. 3 Fourierkoeff (rel. verdi) Frekvens (khz) Figur 3: Fouriertransanalyse av lyden til en obo (absoluttverdier i en relativ skala). De harmoniske skal ha en frekvens lik et heltall multiplisert med grunntonens frekvens. Av diagrammet kan vi lese av at den 20. linjen har en frekvens på nesten 5.0 khz. Det betyr at grunntonens frekvens er litt i underkant av 250 Hz. I denne vurderingen ser vi bort fra linjen ved svært lav frekvens. Denne linjen kan muligens skyldes elektrisk støy fanget opp av opptaksutstyret, ofte ved 50 Hz. Vi ser at denne linjen ikke kan inngå som grunntone/harmonisk fordi frekvensen til den aller første linjen fra venstre ikke inngår i en rekke slik linjen ved 250 Hz gjør. Svaret blir altså: Grunntonen: ca 250 Hz. Frekvensen til den n-te harmoniske: ca n 250 Hz for n = [2,3,...21] b) Fortell hva frekvensspekteret sier oss om signalet betraktet i tidsbildet. Når vi får frekvensspektre med en rekke harmoniske, betyr det at signalet vi analyserer er periodisk med periodetid gitt ut fra grunntonens frekvens (periodetid), men at signalet IKKE er sinusformet. Vi har her tatt med tidsbildet av obo-lyden som en kuriositet nettopp for å vise at signalet er periodisk, men ikke sinusformet. (Se neste side.) 5

6 Mikrofonsignal (rel. verdi) Tid (sek) Figur 4: Tidsbildet av lyden til en obo (utsnitt). Oppgave 4 a) Tegn strålegangen (standard konstruksjonslinjer) for en enkel konveks linse brukt f.eks. i et fotoapparat. Angi størrelser som inngår og hvilke ord vi bruker ved beskrivelsen av et slikt optisk oppsett. Figur 5 viser strålegangen med de tre viktige konstruksjonslinjene. utstrakt objekt f f utstrakt bilde Figur 5: Et objekt kan tenkes å bestå av en mengde objektpunkter, og hvert punkt avbildes i et tilsvarende punkt på motsatt side av en konveks linse. Resultatet er at objektet som sådan avbildes som et bilde. Andre størrelser/ord som brukes i slik sammenheng er: Brennvidde f, optisk akse, objektavstand c og bildeavstand c. Bildet er opp-ned og har en annen størrelse enn objektet. Størrelsen på bildet dividert med størrelsen på objektet kaller vi forstørrelsen. b) Tegn strålegangen (standard konstruksjonslinjer) for et mikroskop. Strålegangen i et mikroskop er vist i figur 6. Objektet kan plasseres litt utenfor brennpunktet til objektivet, følgelig gir objektivet et reelt forstørret bilde av objektet. Dette bildet 6

7 betraktes så med okularet som fungerer som en lupe. okular (lupe) f 2 h s 1 objektiv objekt h s 1 Figur 6: Strålegangen i et mikroskop. c) Fortell hvilken funksjon de ulike elementene i mikroskopet har og hvordan forstørrelse defineres. Svaret er egentlig allerede gitt i forrige delspørsmål. Objektivet lager et forstørret reelt bilde, som så betraktes gjennom et okular som fungerer som en lupe. Forstørrelse defineres som et produkt mellom forstørrelsen objektivet gir og forstørrelsen som okularet (lupa) gir: M = s 1 s 1 25cm f 2 hvor f 2 er brennvidden til okularet. Størrelsene s og s kommenteres i neste delspørsmål. d) I virkelige mikroskop brukes linsesystemer sammensatt av flere linseelementer, men vi gjør følgende forenkling her: Anta at mikroskopet består av to bikonvekse linser, en med brennvidde 18 mm (nærmest det vi skal betrakte) og en med brennvidde 25 mm (nærmest øyet vårt). Hva kaller vi de to linsene i et mikroskop? Hvor stor blir forstørrelsen? (Du mangler en opplysning for å beregne forstørrelsen. Fortell hvilken størrelse du mangler, og angi selv en omtrentlig verdi på denne for å kunne gjøre beregningen.) De to linsene kalles objektiv og okular som vist i figuren. Vi kan i prinsippet få hvilken som helst forstørrelse for objektivet dersom vi kan variere avstanden mellom objektiv og okular helt fritt. Det går ikke i praksis. Det er en fast avstand mellom objektiv og okular, en avstand vi kaller tubelengden. 7

8 Vi antar at tubelengden er slik at avstanden mellom objektivet og planet der det reelle bildet av objektet skal ligge, er 20 cm. Vi har da fra linseformelen anvendt på objektivet: når s = 200 mm og f = 18 mm: s = fs s f Da er forstørrelsen til objektivet gitt ved: 1 s + 1 s = 1 f = mm M 1 = s /s = 200/19.78 = 10.1 [Det synes altså å være et såkalt 10 X objektiv.] Forstørrelsen til lupen er gitt ved Den totale forstørrelsen blir da 100 X. Oppgave 5 a) Hva mener vi med koherens? M 2 = 25cm f 2 = = 10 Koherens forteller oss noe om regelmessigheten i en bølge. Vi skiller mellom tids-koherens og romlig koherens. Begge deler angis gjerne som en koherenslengde (for tidskoherens angis den også som en koherenstid). Tidskoherens: Når en bølge vandrer er vi interessert i hvor lang tid vi kan kjenne relativt nøye til utslaget til bølgen på ett sted i rommet etter som tiden går [med basis i kunnskap om utlaget (fasen) ved tiden vi starter tidsangivelsen]. Er bølgen svært regelmessig, kan vi med stor sikkerhet angi utslaget (fasen) til bølgen i så lang tid som tidskoherensen tilsier etter startpunktet. Det er en statistisk størrelse, så det er en gradvis avtakende forutsigelsesevne vi snakker om. Nøyaktig definisjon på koherenstiden kan f.eks. være når den såkalte autokorrelasjonsfunksjonen har avtatt til 1/e av verdien ved null. Vi går ikke inn i finere detaljer her. Romlig koherens kan defineres på liknende vis, men her er det snakk om hvor god sikkerhet vi kan si noe om utslaget ved ett punkt i bølgen når vi kjenner utslaget i et annet punkt i bølgen, der de to punktene ligger en viss avstand fra hverandre på tvers av bølgens bevegelsesretning. b) I hvilke fenomener spiller koherens en viktig rolle? Forklar. 8

9 Koherens er en forutsetning for interferens og til dels også diffraksjon. Vi får ikke fram interferensstriper fra et dobbeltspalt-eksperiment dersom romlig koherenslengde er mindre enn avstanden mellom de to spaltene. For å få flere linjer ved siden av hverandre i et dobbeltspalteksperiment, må det også være en tidskoherens som svarer til minst så mange bølgelengder som antall linjer som skal være mulig å se ved siden av sentrallinjen i interferensbildet. Oppgave 6 a) Hvor stor er fasehastigheten, frekvensen, bølgelengden og bølgetallet til lys fra en He- Ne laser (λ = 633 nm i luft) når lyset går gjennom vann? Brytningsindeksen for lys i vann er om lag Fasehastighet: v v = c/n = 3.0e8/1.33 = 2.26e8 m/s Frekvens: f = c/λ 0 = 3.0e8/0.633e 6 = 4.74e14 Hz (samme som i luft) Bølgelengde: λ v = λ 0 /n = 633/1.33 = 475 nm Bølgetall: k v = 2π/λ v = 9.92e6 m 1 b) Bølger kan reflekteres og transmitteres ved grensesjikt mellom ulike medier. Beregn Brewstervinkelen for tilfellene at laserstrålen i punkt a) går fra luft til vann og motsatt vei. Brewstervinkelen angir hvilke innfallsvinkel f.eks. upolarisert lys skal ha mot et plant grensesjikt for at den reflekterte strålen skal være 100 prosent lineært polarisert. Formel (1.51) på formelarket sier oss: tan(θ B ) = n 2 /n 1 Når laserstrålen går fra luft til vann: n 2 /n 1 = 1.333, da er θ B = Når laserstrålen går fra vann til luft: n 2 /n 1 = 1/1.333 = , da er θ B = [Oppgaven er egentlig mest interessant for laser med upolarisert stråle. He-Ne lasere har ofte upolarisert lys.] c) Gjennomfør liknende beregninger for å angi kritisk vinkel for totalrefleksjon. Kritisk vinkel finner vi ved å bruke Snels brytningslov (formel (1.52) på formelarket), og sette utfallsvinkel lik 90 grader. I så fall får vi at sinθ i = n 2 /n 1 Denne ligningen har BARE løsning for tilfellet at lyset går fra et medium med høyere brytningsindeks enn mediet strålen ellers skulle gå inn i, dvs fra vann til luft i vårt tilfelle. Kritisk vinkel blir: sinθ c = n luft /n vann. θ c =

10 d) Kan du foreslå en situasjon hvor vi kan utnytte Brewster-vinkel-fenomenet til noe nyttig i forbindelse med overgangen mellom vann / luft? Ønsker vi å ta bilder av fisk/planter under vann, når vannoverflaten er speilblank og vi ikke har et undervannskamera, kan vi bruke et lineært polarisasjonsfilter foran objektivet på kameraet og dreie det for å redusere reflekser mest mulig (f.eks. reflekser fra himmelen med skyer). Tar vi bildet i en retning som svarer til en innfallsvinkel på θ B = 53.1, vil refleksene forsvinne helt og vi ser rett ned i vannet som om vi hadde et undervannskamera. Dette er helt analogt til bildet som viser refleks på overflaten av et vindu i læreboka. Oppgave 7 Fasehastigheten til overflate/gravitasjonsdrevne bølger på vann er gitt omtrentlig ved uttrykket: [ g vf 2 (k) = k + Tk ] tanh(kh) (3) ρ hvor k er bølgetallet, g tyngdens akselerasjon, T overflatespenningen, ρ massetettheten og h dybden på vannet. Formelen gjelder for en praktisk talt flat bunn (sammenlignet med bølgelengden). a) Husker du omtrentlig hvilken betingelse som må tilfredsstilles for at vi kan se bort fra overflatespenningen? (Vi vil gjerne ha tallsvar i tillegg til et eventuelt matematisk uttrykk.) Merk: Vi ser i resten av oppgaven bort fra leddet som skyldes overflatespenningen. Kravet for å se bort fra overflatespenningen er at g Tk. Alle variablene er tabellerte k ρ verdier, unntatt bølgetallet k. Setter vi inn disse verdiene, finner vi at overflatespenning og gravitasjon virker like kraftig for en bølgelengde på 1.7 cm. For 3-10 X lengre bølgelengder, vil gravitasjonen spille vesentlig større rolle enn overflatespenningen. b) Utled et forenklet uttrykk for fasehastigheten for bølger på grunt og dypt vann (antar at bølgelengden er minst 20 cm). Hva menes forresten med dypt og grunt vann i vår sammenheng? Hint: Det er i læreboka vist at tanh(x) x for x < 1 tanh(x) 1 for x > 1 Vi ser bort fra overflatespenningen siden bølgelengdene er over 20 cm. Med grunt vann vil vi her anse hk < 1, dvs h < λ. Ut fra ligning 3 og tilnærmingen gitt 2π nettopp, finner vi: vf 2 (k) = g tanh(kh) gh k herav v f = gh 10

11 Vi ser at fasehastigheten ikke avhenger av bølgelenge (eller frekvens), så lenge vi altså er på grunt vann. Derimot avhenger hastigheten av dybden. For dypt vann vil vi her anse hk > 1, dvs h > λ. Ut fra ligning 3 og tilnærmingen gitt 2π nettopp, finner vi: vf 2 (k) = g k tanh(kh) g k herav v f = g gλ k = 2π Vi ser at fasehastigheten avhenger av bølgelenden (gjennom bølgetallet) for bølger på dypt vann. Fasehastigheten avhenger derimot ikke av dybden (rimelig nok). c) Forekommer dispersjon i noen av disse tilfellene? Forklar. Dispersjon vil si at fasehastighet avhenger av frekvens (eller bølgelengde). For grunt vann har vi ingen dispersjon, men for dypt vann har vi det. d) Angi ett fenomen vi kan observere som har sammenheng med hvordan fasehastigheten til bølger endrer seg ved grunt vann. Gjør det samme for dypt vann. For grunt vann vil hastigheten bli mindre og mindre jo grunnere vannet blir. Dette fører til at bølger som kommer innover mot en langgrunn strand vil få bølgefronter som blir tilnærmet parallelle med strandkanten før de når land, selv om bølgefrontene hadde en annen retning lenger ute (på dypere vann). For dypt vann har vi dispersjon, hvilket innebærer at fasehastighet og gruppehastighet er forskjellig. Vi har i kurset sett at bølger etter en båt ofte består av en bølgegruppe/vifte som består av bølger med litt ulik bølgelengde. Viften/bølgegruppen beveger seg med gruppehastigheten, mens individuelle bølger innen viften/gruppen går med en annen hastighet (nemlig fasehastigheten). *** Det kan være feil i løsningsforslaget. Finner du noen, så send en mail til a.i.vistnes@fys.uio.no. 11