UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultetet chaptertvungne svingninger og resonans Dummy tekst for å spenne ut et åpent felt for et førsteside-opplegg. Konte-eksamen i: FYS30 Svingninger og bølger. Eksamensdag: 3. august 05. Tid for eksamen: kl. 4:30-8:30. Oppgavesettet er på: sider. Vedlegg: Generelle formelark utgjør de siste tre sidene. Tillatte hjelpemidler: Øgrim/Angell og Lian: Størrelser og enheter i fysikken. Rottmann: Matematisk formelsamling. Elektronisk kalkulator av godkjent type (uten lagret tekst. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Maksimalt 5 poeng for hvert delspørsmål i hele eksamenssettet. Lurt å ta alle lette og korte oppgaver først! Oppgave a Beskriv en plan, planpolarisert (lineært polarisert elektromagnetisk bølge matematisk. (Skal ikke utledes! Forklar hvilke detaljer i beskrivelsen som viser at bølgen er plan, og hvilke detaljer som viser at den er planpolarisert. b Lag en standard skisse av denne elektromagnetiske bølgen. Nevn for en slik skisse iblant leder til feilaktige oppfatninger av en elektromagnetisk bølge. c Vi har i kurset påpekt forskjeller mellom såkalt nærfelt og fjernfelt. Hva går forskjellene ut på? d Beregn omtrentlig langt ut nærfeltsområdet strekker seg for lyset fra en lysemitterende diode, en radiobølge fra en senderantenne, og elektromagnetiske felter fra en kraftledning. Angi selv omtrentlig bølgelengde eller frekvens for disse tre tilfellene. e Hva mener vi med Poynting vektor, og hva kan den fortelle oss? Er det noen begrensinger i bruk av denne størrelsen? Oppgave a Beskriv dan bildet (lysfordelingen vil se ut på en skjerm plassert 5.0 m etter en dobbeltspalt som belyses med en grønn laser (bølgelengde 53 nm. Avstanden mellom spaltene er 0.0 mm. b Hvordan vil bildet endre seg (kvalitativt dersom vi endrer på bredden på spaltene? c Anta at vi i stedet for en dobbeltspalt bruker et optisk gitter med 00 linjer per cm. Hvordan vil bildet se ut nå? Hvilke forskjeller er mest iøynefallende i forhold til dobbeltspalten? (Vi har samme avstand mellom gitter og skjerm som mellom dobbeltspalter og skjerm i del a.

2 Oppgave 3 a Lyden fra en obo blir digitalisert og signalet i tidsbildet blir fouriertransformert. Frekvensspekteret er vist i figur. Angi omtrentlig frekvensene til grunntonen og de harmoniske. 3 Fourierkoeff (rel. verdi Frekvens (khz Figur : Fouriertransanalyse av lyden til en obo (absoluttverdier i en relativ skala. b Fortell hva frekvensspekteret sier oss om signalet betraktet i tidsbildet. Oppgave 4 a Tegn strålegangen (standard konstruksjonslinjer for en enkel konveks linse brukt f.eks. i et fotoapparat. Angi størrelser som inngår og hvilke ord vi bruker ved beskrivelsen av et slikt optisk oppsett. b Tegn strålegangen (standard konstruksjonslinjer for et mikroskop. c Fortell hvilken funksjon de ulike elementene i mikroskopet har og dan forstørrelse defineres. d I virkelige mikroskop brukes linsesystemer sammensatt av flere linseelementer, men vi gjør følgende forenkling her: Anta at mikroskopet består av to bikonvekse linser, en med brennvidde 8 mm (nærmest det vi skal betrakte og en med brennvidde 5 mm (nærmest øyet vårt. Hva kaller vi de to linsene i et mikroskop? Hvor stor blir forstørrelsen? (Du mangler en opplysning for å beregne forstørrelsen. Fortell hvilken størrelse du mangler, og angi selv en omtrentlig verdi på denne for å kunne gjøre beregningen. Oppgave 5 a Hva mener vi med koherens?

3 b I hvilke fenomener spiller koherens en viktig rolle? Forklar. Oppgave 6 a Hvor stor er fasehastigheten, frekvensen, bølgelengden og bølgetallet til lys fra en He- Ne laser (λ = 633 nm i luft når lyset går gjennom vann? Brytningsindeksen for lys i vann er om lag.333. b Bølger kan reflekteres og transmitteres ved grensesjikt mellom ulike medier. Beregn Brewstervinkelen for tilfellene at laserstrålen i punkt a går fra luft til vann og motsatt vei. c Gjennomfør liknende beregninger for å angi kritisk vinkel for totalrefleksjon. d Kan du foreslå en situasjon vi kan utnytte Brewster-vinkel-fenomenet til noe nyttig i forbindelse med overgangen mellom vann / luft? Oppgave 7 Fasehastigheten til overflate/gravitasjonsdrevne bølger på vann er gitt omtrentlig ved uttrykket: [ g vf (k = k + Tk ] tanh(kh ( ρ k er bølgetallet, g tyngdens akselerasjon, T overflatespenningen, ρ massetettheten og h dybden på vannet. Formelen gjelder for en praktisk talt flat bunn (sammenlignet med bølgelengden. a Husker du omtrentlig hvilken betingelse som må tilfredsstilles for at vi kan se bort fra overflatespenningen? (Vi vil gjerne ha tallsvar i tillegg til et eventuelt matematisk uttrykk. Merk: Vi ser i resten av oppgaven bort fra leddet som skyldes overflatespenningen. b Utled et forenklet uttrykk for fasehastigheten for bølger på grunt og dypt vann (antar at bølgelengden er minst 0 cm. Hva menes forresten med dypt og grunt vann i vår sammenheng? Hint: Det er i læreboka vist at tanh(x x for x < tanh(x for x> c Forekommer dispersjon i noen av disse tilfellene? Forklar. d Angi ett fenomen vi kan observere som har sammenheng med dan fasehastigheten til bølger endrer seg ved grunt vann. Gjør det samme for dypt vann. *** Eksamenssettet slutter her, men etterfølges av tre sider med formler. 3

4 Formelark FYS30 Eulers formel: e iα = cos(α+i sin(α (. Differensialligning for dempet svingning av fjær-pendel: z(t+ b mż(t+ k m z(t =0 (. Ved løsning kan man forsøke (A og α kan være komplekse tall: z(t =Ae αt (.3 Svingeligningen for tvungen svingning av en fjærpendel: z(t+(b/mż(t+ω 0z(t =(F/m cos(ωf t (.4 ω 0 = k/m. Faseforskjellen mellom utslag og påtrykt kraft: tan φ = bω F /m ω F ω 0 (.5 Amplituden i de tvungne svingningene: A = F/m (.6 (ω F ω 0 +(bωf /m Amplituderesonansfrekvensen er: famp.res. = π ω 0 b (.7 m ω0 = k/m. Faseresonansfrekvensen er: ffase.res. = π ω 0 (.8 Kvalitetsfaktoren for en svingende fjær-pendel: Q = mω b = mk (.9 b To vanlige måter å definere Q på. Den første er: Q π Lagret energi Tap av energi per periode =π E Etap,periode (.0 Eulers metode (for løsning av annen ordens differensiallikning: ẋn+ =ẋn +ẍn t (. xn+ = xn +ẋn t (. Fouriertransformasjon og invers fouriertransformasjon av kontinuerlige signaler: F (ω = π f(te iωt dt (.3 f(t = π Fourierrekker og invers transformasjon: ck = T t0+t t0 F (ωe iωt dω (.4 f(te ikωt dt (.5 f(t = + k= cke ikωt (.6 Diskret fouriertransformasjon og invers transformasjon: Xk = N N n=0 xne i π N kn (.7 xn = N k=0 Alternativt kan diskret fouriertransformasjon angis slik: Xke i π N kn (.8 Xk = N N n= xne iπf ktn (.9 Bølgelegningen: xn = N k= Xke iπf ktn (.0 f(x, t = v f(x, t (. t x Planbølge: f(r,t= Aei(k r ωt+φ + c.c. (.

5 Del-uttrykk ved utledning av bølger på en streng: S sin φ S sin φ = µ x ( h t midtpunkt (.3 Bølger i luft/væske: Tidsmidlet lydintensitet: η t = K ρ v = η (.4 x K ρ (.5 p(x, t =kkη0 sin(kx ωt (.6 I = kωkη 0 = kωkηrms =4π K v (fη rms (.7 I = (p rms ρv (.8 I =4π ρv(fηrms (.9 LIabs = (0 db(spl log Dopplerskift: I Iabs.ref = (0 db(spl log p p abs.ref (.30 fo = v + v o v vk Dopplerskift for elektromagnetiske bølger i vakum: fo = fk (.3 c + v c v f k (.3 Fasehastighet for overflatebølger i vann: [ g v f (k = k + Tk ρ ] tanh(kh (.33 tanh(x = ex e x (.34 e x + e x Gruppehastighet: vg = ω k Algoritmen for å beregne dan en bølge utvikler seg i tid og rom: (.35 ui,j+ = ui,j +(ui,j ui,j + ( tv uxx,i,j (.36 3 Fire ligninger forbinder elektriske og magnetiske felt:. Gauss lov for elektrisk felt: E d A Qinnenfor = ǫrǫ0 (.37. Gauss lov for magnetfelt: B d A =0 ( Faraday-Henrys lov: ( E d dφ B l = dt innenfor ( Ampère-Maxwells lov: ( B d l = µ rµ0 if + ǫrǫ0 ( dφ E dt innenfor (.40 Stokes teorem: Divergensteoremet: Lyshastigheten G d l = A Gdv = c = ( G d A (.4 ǫ rǫ0µrµ0 Tidsmidlet intensitet i en elektromagnetisk bølge: A G d A (.4 = c 0 n (.43 I = cǫe 0 = ce 0D0 = c µ B 0 = ch 0B0 (.44 Poynting vektor S = E H (.45 Forholdet mellom amplituder, ved refleksjon og transmisjon, em bølge vinkelrett på: Er Ei = n n n + n (.46 Et Ei = n n + n (.47 4

6 Litt tilsvarende, men bølge på skrå: ( cos θ t Er, = n Et, (.48 cos θi n Fresnels ligninger: og Rs = Rp = n cos θi n n cos θi + n n cos θi n n cos θi + n ( n sin θ i n ( n sin θ i n ( n sin θ i n ( n sin θ i n (.49 (.50 Brewstervinkel: tan θb = n n (.5 Snels brytningslov: n sin θ = n sin θ (.5 Tappe-energi-absorbsjon: M = φ(λm(λdλ (.53 Linsemakerformelen og linseformelen: f =(n ( R R (.54 s + = s f Numerisk beregning av diffraksjon/interferens: (.55 Em = An e i(πrn,m/λ+θn (.56 r n,m rn,m = d +(Xm xn (.57 Dobbeltspalt: ( d sin θ I(θ =cǫe 0 (r, θ cos λ π (.58 Mange spalter: I(θ =I0(r, θ [ sin Nφ sin φ ] (.59 5 Diffraksjon fra én spalt: Diffraksjon fra rundt hull (Airy Rayleighs oppløsningskriterium: φ =πd sin θ/λ (.60 I(θ =Imax β = πa λ [ sin β sin(θ =.λ D β ] (.6 sin θ (.6 (.63 ψ D/ =.λ fo Do (.64 Autokorrelasjonsfunksjonen: C(τ = g(tg(t + τdt (.65 g (tdt Autokorrelasjonsfunksjonen digital: C(j + = M i= g(ig(i + j M i= g(ig(i (.66 Diskret kontinuerlig wavelettransformasjon: γk(ωa,tk = N n= xnψ ωa,k,tk (t n (.67 selve Morlet waveleten skrives som: Ψωa,K,tk (t n=c{exp( iωa(tn tk exp( K } exp( ω a (t n tk /(K (.68 Skinndybde: δ = µσω (.69 Merk: Du kan referere til formel nummer så og så på formelarket ved besvaring av eksamensoppgaver, dersom det er aktuelt. Vi har ikke angitt hva størrelsene betyr eller hvilke forutsetninger formlene gjelder for. Slikt må du holde orden på selv og nevne der det er naturlig. 6