EKSAMEN FY1002 og TFY4160 BØLGEFYSIKK. Onsdag 12. desember 2012 kl

Transkript

1 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Prof. Morten Kildemo Telefon: / EKSAMEN FY1 og TFY416 BØLGEFYSIKK Onsdag 1. desember 1 kl Hjelpemidler: C Typegodkjent kalkulator, med tomt minne, i samsvar med NTNUs regler. Trykte hjelpemidler: Matematisk Formelsamling (Rottmann), Størrelser og Enheter i Fysikk og Teknikk, (O. Øgrim og B. E. Lian) eller Fysiske Størrelser og Enheter, (C. Angell og B. E. Lian). Evaluering/karaktersetting Totalt antall poeng for skriftlig eksamen er 1. Disse vil være grunnlaget (med ev. små justeringer i vekt per oppgave) for evalueringen 1

2 Oppgave 1 [p] En stasjonær bølge på en streng er gitt av D( x, t) f ( x) g( t ) med generell løsning: D( x, t) Acos( kx 1)cos( t ) () a) [4p] For en streng med lengde L festet i begge ender, hva må 1. være. Vi velger fritt En metallstreng med lengde L = 18 cm er festet i begge ender (dvs knutepunkter der). Grunntonen (dvs laveste resonansfrekvens) og overtonene genereres av stående transversale bølger på strengen. Den skal stemmes slik at grunntonen er en E med frekvens f 1 = 41 Hz, tilsvarende en kontrabass. Strengen har sirkulært tverrsnitt med radius R =. mm og er laget av stål, med massetetthet = 78 kg/m 3. b) [16p] Vis at svingefrekvensene til overtonene til metallstrengen er gitt som et heltall ganger grunn-tonen (dvs f N =Nf 1, der N er et heltall). Bestem bølgelengden og bølgehastigheten v til 1. overtone (dvs nest laveste resonansfrekvens). Med hvor stor strekk-kraft S må strengen strammes? Skriv ned strengens utslag D(x,t), hvis N av strengen moder eksiteres samtidig. Hvis strengens generelle utslag ved t= var kjent, hvordan kan amplitudene til strengens moder for t> da bestemmes? (kort kvalitativt svar forventes) Oppgave. [p] a) [6p] Gitt en linearpolarisert plan elektromagnetisk (EM) bølge som propagerer med bølgevektor k. Lag en skisse som beskriver E (,) og E(, t) for t<t der T er bølgens periode og k r. k b) [9p] Hvilke hovedtyper polarisasjonstilstander kan man ha for en transversal bølge? En EM bølge er gitt som: E( r, t) E ˆ ˆ 1cos kz t x Ecos kz t y Utled hvilken polarisasjons-tilstand dette er. Lag en figur som viser (spissen av) E(,t) i x,yplanet, og angi dreieretning når en ser inn i strålen langs z-aksen (dvs: mot bølgens forplantningsretning). Angi det korresponderende B(,t) feltet. c) [5p] Lineærpolarisert lys kan observeres ved å se på blå himmel*. Forklar dette fenomenet ved hjelp av dipol-strålings modellen og en skisse. * Litt mer presist, kan vi si at ved å observere blå himmel med polarisasjonsfilter ved 9 graders spredning ut fra sol-lysets retning, så observerer vi lineærpolarisert lys.

3 Oppgave 3. [15p] Spesiell relativitets-teori Et Kaon K henfaller («decays») til 3 identiske pioner (pion) har den samme energien i hvilesystemet til inertialsystemet I, der K er i ro. ( K 3 ). Vi antar at hvert K. Hvilesystemet til K er altså a) Beregn farten v til i inertialsystemet I. b) Hvis vi antar at ett av pionene har hastighet v vx, ˆ beregn hastighetene til de to andre pionene i inertialsystemet I. c) Den midlere levetiden til et er 17 8,4 1 s i sitt hvilesystem (det vil si det inertialsystemet hvor pionet er i ro). Hva er den midlere avstand som kan tilbakelegge i inertialsystemet I (det vil si i hvilesystemet til K ). Gitt: og Oppgave 4. [15p] Refleksjon av bølger To identiske strenger med forskjellig masse per lengdeenhet 1 og er festet sammen ved x=. Strengen er strekt langs x-aksen med strekk-kraft gitt av S. Du skal nå utlede uttrykket til refleksjonskoeffisienten (forholdet mellom reflektert amplitude og innkommende amplitude) ved skøyten, gitt at vi ser kun på transversale bølger på strengen. a) [1p] Ved å definere en innkommende, reflektert og transmittert bølge, skriv ned bølgens totale utslag y(x,t) på hver side av skøyten. Grensebetingelsene er gitt av at både y og dy/dx må være kontinuerlige over skøyten. Utled refleksjonskoeffisienten (r) for bølgen ved hjelp av grensebetingelsene (det endelige svaret er gitt i appendiks). b)[5p] To stålstrenger (massetetthet ), med forskjellig diameter d 1 = mm og d =1 mm er skøytet sammen. Finn tallverdien til refleksjonskoeffisienten fra skøyten (for den transversale bølgen). Beregn også reflektiviteten R ((forholdet mellom reflektert effekt og innkommende effekt), og transmisjonen T (forholdet mellom transmittert effekt og innkommende effekt). 3

4 Oppgave 5 [16p] Interferens mellom plane bølger Figuren ovenfor viser et «Moiree» mønster som dannes grunnet interferens mellom to identiske plane bølger, men med forskjellig retningsvektorer ˆk 1 og ˆk, der er vinkelen mellom disse to. a) [11p] Vis at summen av to identiske plane EM bølger (samme amplitude, bølgelengde, fase og polarisasjon), men med retning ˆk 1 og ˆk gir det følgende uttrykket for interferensmønsteret til den tidsmidlere intensitet: I I 1 cos kr, der k k k1 Oppgitt: cos z 1 cos z. For lys med bølgelengde 55 nm, og et interferens-stripemønster med romlig periode = mm ( er avstand mellom interferens-stripene i figuren ovenfor), hvor stor er vinkelen mellom retningsvektorene ˆk 1 og ˆk til de to EM plane bølgene. (Du kan b) [5p] 1 trygt regne paraxialt/små vinkler i dette tilfellet, cosinus regelen for trekanter: a b c bc cos A.) 1 cos 1 ;sin. Oppgitt Vi studerer det samme fenomenet for interferens mellom to plane trykkutsvingsbølger (lydtrykksbølger p(r,t)) med retning ˆk 1 og ˆk. Utled et tilsvarende uttrykk for den tidsmidlere intensitet som funksjon av trykkutsvingsamplituden (p ) til hver av bølgene. Oppgitt : ( xt, ) ( xt, ) v x, I ( x, t ) v og p( x, t) B. x 4

5 Oppgave 6 [14p] Bølgepakker og dispersjon For en generell bølgepakke satt sammen av en kontinuerlig fordeling av frekvenser rundt, finner man at fasehastigheten v k, og gruppehastigheten d vg. Masse-fjær dk transmisjons-systemet studert i forelesningene, med masser m, festet med fjærer med fjærkonstant s, og endelig avstand d, har dispersjonsrelasjon: 4s sin kd / m der k er bølgens bølgetall og vi ser kun på. Oppgi et eksakt uttrykk for fasehastigheten, og lag en skisse av denne for k Hva blir fasehastigheten for kd 1. I hvilke tilfeller har vi dispersjon? d. Finn et uttrykk for gruppehastigheten v g, og skisser denne for k d. Hva vil v g = bety for dette masse-fjær systemet? Foreslå videre hva som skjer med bølgen for 4s m. Lykke til og god jul. 5

6 Formelsamling Side 6 av 13 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk plan bølge: Bølgeligning: ξ(r, t) ξ(x, t) = ξ sin(kx ωt + φ) ξ(r, t) = ξ sin(k r ωt + φ) ( ξ(x, t) = 1 ξ(x, t) x v t ) ξ x + ξ y + ξ z = 1 v ξ(r, t) t Fasehastighet: Gruppehastighet: Generelt for ikkedispersive udempede bølger: v = Generelt for lineær respons i elastiske medier: v = ω k v g = dω dk elastisk modul massetetthet mekanisk spenning = elastisk modul relativ tøyning For transversale bølger på streng: For longitudinale bølger i fluider: v = v = S µ B ρ For longitudinale bølger i faste stoffer: v = Y ρ

7 Side 7 av 13 Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over bølgelengde λ: A = λ A(x, t)dx λ dx = 1 λ λ A(x, t)dx Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over periode T: A = T A(x, t)dt T dt = 1 T T A(x, t)dt Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng: ε = 1 µω ξ Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge: ε = 1 ρω ξ Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng: P = vε = 1 vµω ξ Intensitet i harmonisk plan bølge: I = vε = 1 vρω ξ Midlere impulstetthet for harmonisk bølge: π = ε v Ideell gass: pv = Nk B T Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme): C p = ( ) dq dt p Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme): C V = ( dq dt ) V

8 Side 8 av 13 Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pv γ = konstant Adiabatkonstanten: γ = C p C V Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med -atomige molekyler: γ = 7/5. Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: B = γp Lydhastighet i gass (m = molekylmassen): v = γp ρ = γkb T m Lydtrykk: p = B ξ x Lydnivå: β(db) = 1log I I med I = 1 1 W/m Dopplereffekt for lydbølger: ν O = 1 v O/v 1 v S /v ν S For sjokkbølger gjelder: sinα = v v S

9 Side 9 av 13 Transversal bølge på streng med massetetthet µ 1 for x < og µ for x >, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning: Amplitude for reflektert bølge: y r = µ1 µ µ1 + µ y i = ry i, der r er refleksjonskoeffisienten. Amplitude for transmittert bølge: Reflektivitet: Transmisjon: y t = µ 1 µ1 + µ y i = ty i, der t er transmisjonskoeffisienten. R = P r P i T = P t P i Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E 1, ρ 1 (for x < ) og E, ρ (for x > ), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning: Amplitude for reflektert bølge: Amplitude for transmittert bølge: ξ r = ξ t = ρ E ρ 1 E 1 ρ E + ρ 1 E 1 ξ i ρ 1 E 1 ρ E + ρ 1 E 1 ξ i Reflektivitet: Transmisjon: R = P r P i T = P t P i

10 Side 1 av 13 Maxwells ligninger på integralform: Maxwells ligninger på differensialform: E da = q/ε B da = E dl = d B da dt d B dl = µ I + µ ε E da dt E = ρ/ε Lorentzkraften: B = E = B t B = µ j + µ ε E t F = q (E + v B) Bølgeligning for E og B i vakuum: Energitetthet i elektromagnetisk felt: Intensitet i elektromagnetisk bølge: E = 1 c E t B = 1 c B t c = 1/ ε µ u = u E + u B = 1 ε E + 1 µ B I = cε E = cε E Poyntings vektor: Impuls i elektromagnetisk bølge: S = 1 µ E B π = µ ε S

11 Side 11 av 13 Elektrisk dipolmoment: Magnetisk dipolmoment: p = qd m = IA Midlere utstrålt effekt fra oscillerende elektrisk dipol p cos(ωt): P = p ω4 1πε c 3 Midlere utstrålt effekt fra oscillerende magnetisk dipol m cos(ωt): P = µ m ω 4 1πc 3 Malus lov: I(θ) = I cos θ Lineære medier: P = ε χ e E D = ε E + P = ε (1 + χ e )E = ε ε r E = εe M = χ m H B = µ H + M = µ (1 + χ m )H = µ µ r H = µh D da = q fri B da = E dl = d B da dt H dl = I fri + d D da dt D = ρ fri B = E = B t H = j fri + D t u = 1 εe + 1 µ B S = 1 µ E B

12 Side 1 av 13 For elektromagnetiske bølger i medier (q fri = I fri = ): E = B = v = 1 E v t 1 B v t 1 = c = c εµ εr µ r n Grenseflatebetingelser (q fri = I fri = i grenseflaten): D = E = B = H = Refleksjon og brytning: θ r = θ i Youngs eksperiment med to smale spalter: Diffraksjonsgitter med N smale spalter: n 1 sinθ i = n sin θ t ( ) πd I(θ) = 4I cos λ sin θ ( sin Nπd sin θ) λ I(θ) = I sin ( πd λ sinθ) Diffraksjon fra en spalte: ( πa I(θ) = I() sin λ sinθ) ( πa sin λ θ) Diffraksjon fra N spalter, spaltebredde a, spalteavstand d: ( πa I(θ) = Î sin λ sinθ) ( πa λ sinθ) sin ( Nπd λ sinθ) sin ( πd λ sinθ)

13 Side 13 av 13 Lorentzfaktor: γ = ( 1 v /c ) 1/ Lorentztransformasjonene (S har hastighet v = v ˆx i forhold til S): x = γ (x vt) y = y z = z t = γ (t v ) c x x = γ (x + vt) y = y z = z t = γ (t + v ) c x Tidsdilatasjon: Lengdekontraksjon: t = γ t x = γ x Hastighet i S (u = u xˆx + u y ŷ + u z ẑ): u x = dx/dt u y = dy/dt u z = dz/dt Hastighet i S (u = u xˆx + u y ŷ + u z ẑ): u x = dx/dt u y = dy/dt u z = dz/dt Addisjon av hastigheter (alle hastigheter i samme retning): v AC = Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger: ν = ν v AB + v BC 1 + v AB v BC /c ( ) c v 1/ c + v

14 Side 14 av 14 Vedlegg til formelsamling TFY416/Fy1 1 Relativistisk impuls: p = γmv Energi (partikkel med masse m): E = γmc E = mc E k = E E E = (pc) + ( mc )