Eksamensoppgave i FY1002 og TFY4160 BØLGEFYSIKK

Transkript

1 Institutt for Fysikk Eksamensoppgave i FY1 og TFY416 BØLGEFYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Prof. em. J. Høye, Prof. M. Kildemo (kun per telefon) Tlf.: (Prof. em. J. Høye) Tlf.: (Prof. M. Kildemo) Eksamensdato: 18/1/13 Eksamenstid (fra-til): 15:-19: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: Nivå C. Typegodkjent kalkulator, med tomt minne, i samsvar med NTNUs regler. Trykte hjelpemidler: Matematisk Formelsamling (Rottmann), Størrelser og Enheter i Fysikk og Teknikk, (O. Øgrim og B. E. Lian) eller Fysiske Størrelser og Enheter, (C. Angell og B. E. Lian). Annen informasjon: Totalt antall poeng for skriftlig eksamen er 1. Disse vil være grunnlaget for evalueringen. For studenter med godkjent labrapport høst 13 teller labrapporten 1% og avsluttende eksamen 9% på karakteren. Målform/språk: Bokmål Antall sider: 17 (inkludert denne forsiden) Antall sider vedlegg: Svar ark, 1 side, side 8. Formelsamling, 9 sider, side Kontrollert av: Dato Sign Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.

2 Oppgave 1 [9p] (Akustiske bølger) Stående bølger i rør, refleksjon og transmisjon av propagerende bølger ved grenseflate: a) [5p] En stående eller stasjonær bølge beskrives matematisk som: D( x, t) f ( x) g( t ), (1.1) g f '' f '' som innsatt i bølgeligningen gir: v. Av dette medfører at konstant, der konstanten g f f velges som k. Utled med dette den generelle løsningen for f( x ) og gt () som funksjon av bølgetall, vinkelfrekvens, x og t. b) [7p] Et rør har lengde L, med en åpen og en lukket ende. Hvilke grensebetingelser gjelder for en stående bølge i dette røret, for partikkelutsvinget fra likevekt ( xt, ) og trykkutsvinget fra likevekt p( x, t) B? (, t ) og p( L, t ) følger fra x fysiske vurderinger. Oppgi spesifikt løsningene for ( xt, ) og p( x, t ), av formen i ligning (1.1), som tilsvarer disse grensebetingelsene. Skisser profilen til trykkutsving og partikkelutsving fra likevekt for grunntonen. c) [5p] Røret har lengde L=1m og lydhastigheten er 33 m/s. Vi eksiterer stående bølger i røret. De harmoniske trykk-amplitudene er målt av en mikrofon. Vi måler frekvensen f=577.5 Hz. Hvilken harmonisk er dette (f.eks grunntonen, 1. harmoniske,. harmoniske, etc.)? d) [1p] Gitt en propagerende akustisk bølge med normalt innfall på en grenseflate som skiller stoff 1 og stoff (for eksempel luft og vann). Målet er å utlede amplituderefleksjon og transmisjonkoeffisentene til partikkelutsvingsbølgen. Den innfallende bølgen skal beskrives av partikkelutsvinget på formen: ( x, t) sin k x t (1.) i i i Grensebetingelsene er oppgitt som kontinuitet i trykk og kontinuitet i partikkel hastighet (ev. fluidelement hastighet). i. Skriv opp uttrykket for de innkommende i( xt, ), reflekterte r( xt, ) og transmitterte t( xt, ) partikkelutsvingsbølgene. ii. iii. Skriv opp de korresponderende uttrykkene for trykkutsvingsbølgene pi ( x, t), pr( x, t) og pt ( x, t ), og partkkelhastighetsbølgene vpi( x, t), vpr( x, t) og vpt( x, t ). Bruk de oppgitte grensebetingelsene og utled amplitude refleksjons- og transmisjons- koeffisienten for partikkelutsvingsbølgen som funksjon av bulk modulen B og tettheten for stoffene på hver side av grenseflaten, r r og oi t t, (1.3) oi der i, r og t er henholdsvis amplitudene til det lille utsvinget fra likevekt til den innfallende, reflekterte og transmitterte partikkelutsvingsbølgen. Side

3 Oppgave. [16p] Polarisasjon og geometrisk «optikk» a) [8p] En EM bølge er gitt som: E( z, t) cos kz t xˆ cos kz t y ˆ (.1) Utled hvilken polarisasjonstilstand dette er, inklusiv dreieretning når en ser inn i strålen langs z-aksen (dvs: mot bølgens forplantningsretning). Det kreves «bevis» og en standard skisse som viser (spissen av) E (, t) i x,y-planet, med angitt dreieretning. Angi det korresponderende B (, t) feltet. b) [8p] Den empiriske Snells lov eller brytningsloven er gitt av n sin n sin, (.) 1 1 og beskriver en geometrisk stråle som krysser en plan grenseflate mellom to medier, og kan utledes ved hjelp av Huygens prinsipp, Fermats prinsipp og for EM bølger ved hjelp av Maxwells ligninger. i. Forklar kort og ved hjelp av en skisse, Fermat s prinsipp for å utlede brytnings-loven. ii. Utled Snells brytningslov ved å kreve at komponenten til bølgevektorene parallelt til grenseflaten skal være like for det innkommende og det transmitterte EM feltet.* * Denne betingelsen kommer fra grensebetingelsene til Maxwells ligninger ( E ). Side 3

4 Oppgave 3. [14p] Koplede svingninger To identiske pendler med masse m og lengde l, er koplet ved hjelp av ei vannrett fjær med fjærkonstant k, som knytter sammen pendlene A 1 og A, se Figur 3.1. Ved likevekt, så har fjæra sin naturlige lengde l. Figur 3.1. Kopling mellom to ideelle matematiske pendler. De to pendlene er lokalisert ved enhver tid t, ved hjelp av sine vinkelutslag og 1 (antatt små) med hensyn til sin vertikale posisjon ved likevekt. Tyngdens akselerasjon er g. De andre-ordens koplede differensialligningene for systemet, for tilstandsvariablene () t og () 1 t, er gitt av: a) [8p] k g k m l m 1 1 k g k m l m 1 (3.1) i. Finn vinkelfrekvensene for normalmodene (egenmodene), og. ii. Gi eksempel på initialbetingelser som vil gi svingning i disse egenmodene. b) [6p] Vi lar massen A i figur 3.1 utsettes for en påtrykt kraft F = F cos( t). Skriv opp de korresponderende differensialligningene for () t og () 1 t. (Du kan basere deg på ligningssettet i ligning 3.1). Hva forventer du vil skje for =? Side 4

5 Intensity (arb. units) Oppgave 4 [16p] Interferens og diffraksjon (EM bølger) aperture y a Y P z (rad) Figur 4.1. Figuren viser intensiteten observert på skjermen. Figuren i høyre hjørne viser en plan EMbølge med normalt innfall på to spalter. Et Youngs dobbeltspalte diffraksjonseksperiment består av to lange spalter (rektangulære hull) i ei plate, der avstanden mellom spaltene er a, bredden til hver spalte er b, og det er her totalt spalter. Vi neglisjerer intensiteten langs X-aksen på skjermen, da vi antar at høyden til spaltene er stor i forhold til bølgelengden. Ved å belyse spaltene med en plan harmonisk (linærpolarisert/skalar) elektromagnetisk bølge med bølgelengde og bølgetall k, så kan vi observere et «diffraksjonsmønster» på skjermen. I Fraunhofer diffraksjonsgrensen observeres en tidsmidlere intensitet gitt av ligningen: I I sin 4 cos r, (4.1) 1 der sin kb, 1 sin ka, 1 I ce er intensiteten til den innkommende bølgen, og r er avstanden mellom vilkårlig punkt P på skjermen og midtpunktet mellom spaltene. a) [8p] Interferensleddet i ligning 4.1 kan utledes med å summere feltet fra kulebølger fra hver av spalteåpningene. Vis dette. b) [8p] Ved å lese ut fra intensitetsmønsteret i figur 4.1, finn både spaltebredden og avstanden mellom spaltene, gitt at = 514 nm. Merknad. Oppgave (b) kan løses uten oppgave (a). Side 5

6 Oppgave 5 [1p] Bølgepakker og dispersjon a) [7p] En bølgepakke* er oppgitt som k d ( x, t) k cos k x t sinc x t, (5.1) dk k hvor det er antatt at k<<k. Oppgitt at sinc x sin( x) / x. konst i. Lag en skisse av ( x,) og ( xt, ) der t konst er en valgt konstant>. Skisser to kurver ovenfor hverandre med felles x-akse. Bruk vedlagt svar-ark. Skissen skal være enkel, men klar nok til å evaluere din forståelse av bølgeforplantning, med angitt fasehastighet og gruppehastighet. ii. Hva skjer med uttrykket i ligning (5.1) i grensen når k. Anta at k konstant. b) [5p] La bølgepakken ovenfor beskrive vannbølger, og vi antar at vi har tyngdebølger med dispersjonsrelasjonen gk tanh kd, der g=9.8 m/s og d er vannets dybde. For hvilke vanndybder har vi en ikke-dispersiv bølgepakke? *Denne bølgepakken har vi i kurset utledet for en fordeling av amplituder i bølgetalls-rommet gitt av: ( k) for ( k k / ) k ( k k / ). ellers Videre har vi brukt at ˆ(, ) ( ) i kx k t ( ( ) ) x t k e dk, der ˆ ( x, t) Re( ( x, t )), og rekkeutviklet dispersjonsrelasjonen slik at ( k) k k d dk k. Side 6

7 Oppgave 6. [13p] Stråletrykk, impulsbevarelse og spesiell relativitet En laserstråle med bølgelengde 14 nm, med total effekt 1 W reflekteres fra et lite speil. a) [8p] i. Hvor mange fotoner når speilet per sekund? ii. Hva er den totale kraften som virker på speilet? Oppgitt: Fotonets energi E hf, relasjonen E m c p c, og 34 h 6,66 1 Js. b) [5p] Et He atom med hastighet v,7c i retning mot laserstrålen (hastighet målt i laboratoriesystemet), der c er lyshastigheten. Hvilken bølgelengde vil en måle i hvilesystemet(referansesystemet) til He- atomet? Slutt på eksamen. Lykke til. God Jul. Side 7

8 Svar Ark, Oppgave 5a Kandidatnr.:. Dato: Side:. Antall Ark:.. Side 8

9 Formelsamling Side 9 av 17 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk plan bølge: ξ(x, t) = ξ sin(kx ωt + φ) ξ(r, t) = ξ sin(k r ωt + φ) Bølgeligning: Fasehastighet: ξ(x, t) = 1 ξ(x, t) x v t ) ( ξ(r, t) ξ x + ξ y + ξ z = 1 v ξ(r, t) t Gruppehastighet: v = ω k v g = dω dk Generelt for ikkedispersive udempede bølger: elastisk modul v = massetetthet Generelt for lineær respons i elastiske medier: mekanisk spenning = elastisk modul relativ tøyning For transversale bølger på streng: For longitudinale bølger i fluider: For longitudinale bølger i faste stoffer: v = v = v = S µ B ρ Y ρ 1

10 Side 1 av 17 Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over bølgelengde λ: λ A(x, t) dx A = λ dx = 1 λ A(x, t) dx λ Middelverdi av harmonisk varierende størrelse A(x, t), midlet over periode T : A = T A(x, t) dt T dt = 1 T T A(x, t) dt Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng: ε = 1 µω ξ Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge: ε = 1 ρω ξ Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng: Intensitet i harmonisk plan bølge: P = vε = 1 vµω ξ Midlere impulstetthet for harmonisk bølge: I = vε = 1 vρω ξ π = ε v Ideell gass: pv = Nk B T Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme): ( ) dq C p = dt Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme): ( ) dq C V = dt p V

11 Side 11 av 17 Adiabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pv γ = konstant Adiabatkonstanten: γ = C p C V Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med -atomige molekyler: γ = 7/5. Bulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: B = γp Lydhastighet i gass (m = molekylmassen): γp v = ρ = γkb T m Lydtrykk: Lydnivå: p = B ξ x β(db) = 1 log I I med I = 1 1 W/m Dopplereffekt for lydbølger: ν O = 1 v O/v 1 v S /v ν S For sjokkbølger gjelder: sin α = v v S 3

12 Side 1 av 17 Transversal bølge på streng med massetetthet µ 1 for x < og µ for x >, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning: Amplitude for reflektert bølge: Amplitude for transmittert bølge: Refleksjonskoeffisient: Transmisjonskoeffisient: y r = y t = µ µ 1 µ + µ 1 y i µ 1 µ + µ 1 y i R = P r P i T = P t P i Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E 1, ρ 1 (for x < ) og E, ρ (for x > ), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning: Amplitude for reflektert bølge: Amplitude for transmittert bølge: ξ r = ξ t = ρ E ρ 1 E 1 ρ E + ρ 1 E 1 ξ i ρ 1 E 1 ρ E + ρ 1 E 1 ξ i Refleksjonskoeffisient: Transmisjonskoeffisient: R = P r P i T = P t P i 4

13 Side 13 av 17 Maxwells ligninger på integralform: Maxwells ligninger på differensialform: E da = q/ε B da = E dl = d B da dt d B dl = µ I + µ ε E da dt Lorentzkraften: E = ρ/ε B = E = B t B = µ j + µ ε E t F = q (E + v B) Bølgeligning for E og B i vakuum: E = 1 c E t B = 1 c B t c = 1/ ε µ Energitetthet i elektromagnetisk felt: Intensitet i elektromagnetisk bølge: u = u E + u B = 1 ε E + 1 µ B I = cε E = cε E Poyntings vektor: Impuls i elektromagnetisk bølge: S = 1 µ E B π = µ ε S 5

14 Side 14 av 17 Elektrisk dipolmoment: Magnetisk dipolmoment: p = qd m = IA Midlere utstrålt effekt fra oscillerende elektrisk dipol p cos(ωt): P = p ω 4 1πε c 3 Midlere utstrålt effekt fra oscillerende magnetisk dipol m cos(ωt): P = µ m ω 4 1πc 3 Malus lov: I(θ) = I cos θ Lineære medier: P = ε χ e E D = ε E + P = ε (1 + χ e )E = ε ε r E = εe M = χ m H B = µ H + µ M = µ (1 + χ m )H = µ µ r H = µh D da = q fri B da = E dl = d B da dt H dl = I fri + d D da dt D = ρ fri B = E = B t H = j fri + D t u = 1 εe + 1 µ B S = 1 µ E B 6

15 Side 15 av 17 For elektromagnetiske bølger i medier (q fri = I fri = ): E = 1 v E t B = 1 B v t 1 v = = c = c εµ εr µ r n Grenseflatebetingelser (q fri = I fri = i grenseflaten): D = E = B = H = Refleksjon og brytning: θ r = θ i n 1 sin θ i = n sin θ t Youngs eksperiment med to smale spalter: ( ) πd I(θ) = 4I cos λ sin θ Diffraksjonsgitter med N smale spalter: Diffraksjon fra en spalte: sin ( Nπd sin θ) λ I(θ) = I sin ( πd sin θ) λ ( I(θ) = I() sin πa sin θ) λ ( πa sin θ) λ Diffraksjon fra N spalter, spaltebredde a, spalteavstand d: ( I(θ) = Î sin πa sin θ) λ ( πa sin θ) sin λ ( Nπd λ sin ( πd λ sin θ) sin θ) 7

16 Side 16 av 17 Lorentzfaktor: γ = ( 1 v /c ) 1/ Lorentztransformasjonene (S har hastighet v = vˆx i forhold til S): x = γ (x vt) y = y z = z t = γ (t v ) c x x = γ ( x + vt ) y = y z = z t = γ (t + v ) c x Tidsdilatasjon: Lengdekontraksjon: t = γ t x = γ x Hastighet i S (u = u xˆx + u y ŷ + u z ẑ): u x = dx/dt Hastighet i S (u = u xˆx + u y ŷ + u z ẑ): u y = dy/dt u z = dz/dt u x = dx/dt u y = dy/dt u z = dz/dt Addisjon av hastigheter (alle hastigheter i samme retning): v AC = v AB + v BC 1 + v AB v BC /c Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger: ( c v ν = ν c + v ) 1/ 8

17 Side 17 av 17 Relativistisk impuls: Newtons. lov: p = γmv F = dp dt Energi: E = γmc E = mc E k = E E E = (pc) + ( mc ) Elastisk prosess: E, p, E k og m bevart. Uelastisk prosess: E og p bevart. 9