Midtsemesterprøve Bølgefysikk Fredag 19. november 2010 kl

Transkript

1 Institutt for fysikk, NTNU FY1002/TFY4160 ølgefysikk Høst 2010 Midtsemesterprøve ølgefysikk Fredag 19. november 2010 kl Merk av svarene dine på side 15. Lever inn kun arket med svartabellen Husk å skrive på emnekode og kandidatnummer (evt studentnummer). Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk formelsamling. (Eller tilsvarende.) O. Øgrim og. E. Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk eller. E. Lian og. ngell: Fysiske størrelser og enheter. Typegodkjent kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidet av NTNU. (HP30S eller lignende.) Formelsamling i bølgefysikk er inkludert på de neste 7 sidene. Opplysninger: Prøven består av 20 oppgaver. Hver oppgave har ett riktig og tre gale svaralternativ. u skal krysse av for ett svaralternativ på hver oppgave. vkryssing for mer enn ett alternativ eller ingen alternativ betraktes som feil svar og gir i begge tilfelle null poeng. Noen verdier: Tyngdens akselerasjon: g = 9.8 m/s 2, oltzmanns konstant: k = J/K, vogadros tall: N = , Protonmassen: m p = kg. Nøytronmassen: m n = kg. Vakuumpermittiviteten: ε 0 = F/m. Vakuumpermeabiliteten: µ 0 = 4π 10 7 H/m. Symboler angis i kursiv (f.eks m for masse) mens enheter angis uten kursiv (f.eks m for meter). Vektorer angis med fete symboler. Enhetsvektorer angis med hatt over. SI-prefikser: T (tera) = 10 12, G (giga) = 10 9, M (mega) = 10 6, k (kilo) = 10 3, c (centi) = 10 2, m (milli) = 10 3, µ (mikro) = 10 6, n (nano) = 10 9, p (piko) =

2 Formelsamling ølgefysikk Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk plan bølge: ølgeligning: Fasehastighet: ξ(x, t) = ξ 0 sin(kx ωt + φ) 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) x 2 v 2 t 2 Gruppehastighet: Generelt for ikkedispersive udempede bølger: v = Generelt for lineær respons i elastiske medier: v = ω k v g = dω dk elastisk modul massetetthet mekanisk spenning = elastisk modul relativ tøyning For transversale bølger på streng: For longitudinale bølger i fluider: v = v = S µ ρ For longitudinale bølger i faste stoffer: v = Y ρ 2

3 Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng: ε = 1 2 µω2 ξ 2 0 Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan bølge: ε = 1 2 ρω2 ξ 2 0 Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng: P = vε = 1 2 vµω2 ξ 2 0 Midlere intensitet i harmonisk plan bølge: I = vε = 1 2 vρω2 ξ 2 0 Midlere impulstetthet for harmonisk bølge: π = ε v Ideell gass: pv = Nk T Varmekapasitet ved konstant trykk (Q = varme): p = ( ) dq dt p Varmekapasitet ved konstant volum (Q = varme): V = ( ) dq dt V 3

4 diabatiske forhold (dvs ingen varmeutveksling): pv γ = konstant diabatkonstanten: γ = p V Gass med 1-atomige molekyler: γ = 5/3. Gass med 2-atomige molekyler: γ = 7/5. ulkmodul for ideell gass ved adiabatiske forhold: Lydhastighet i gass (m = molekylmassen): v = = γp γp ρ = γk T m Lydtrykk: Lydnivå: p = ξ x β(d) = 10 log I I 0 med I 0 = W/m 2 opplereffekt: ν O = 1 v O/v 1 v S /v ν S For sjokkbølger: sin α = v v S 4

5 Transversal bølge på streng med massetetthet µ 1 for x < 0 og µ 2 for x > 0, innkommende bølge propagerer i positiv x-retning: mplitude for reflektert bølge: mplitude for transmittert bølge: Refleksjonskoeffisient: Transmisjonskoeffisient: y r0 = y t0 = µ2 µ 1 µ2 + µ 1 y i0 2 µ 1 µ2 + µ 1 y i0 R = P r P i T = P t P i Plan lydbølge normalt inn mot grenseflate i x = 0 mellom to medier med elastiske moduler og massetettheter henholdsvis E 1, ρ 1 (for x < 0) og E 2, ρ 2 (for x > 0), innkommende bølge propagerer i positiv x-retning: mplitude for reflektert bølge: mplitude for transmittert bølge: ξ r0 = ξ t0 = ρ2 E 2 ρ 1 E 1 ρ2 E 2 + ρ 1 E 1 ξ i0 2 ρ 1 E 1 ρ2 E 2 + ρ 1 E 1 ξ i0 Refleksjonskoeffisient: Transmisjonskoeffisient: R = P r P i T = P t P i 5

6 Maxwells ligninger på integralform: E d = q/ε 0 Maxwells ligninger på differensialform: d = 0 E dl = d d dt d dl = µ 0 I + µ 0 ε 0 E d dt E = ρ/ε 0 Lorentzkraften: = 0 E = t E = µ 0 j + µ 0 ε 0 t F = q (E + v ) ølgeligning for E og i vakuum: 2 E = 1 c 2 2 E t 2 2 = 1 c 2 2 t 2 c = 1/ ε 0 µ 0 Energitetthet i elektromagnetisk felt: Intensitet i elektromagnetisk bølge: u = u E + u = 1 2 ε 0E µ 0 2 I = cε 0 E 2 = cε 0 E 2 Poyntings vektor: S = 1 µ 0 E Impulstetthet i elektromagnetisk bølge: π = µ 0 ε 0 S 6

7 Elektrisk dipolmoment: Magnetisk dipolmoment: p = qd m = I Midlere utstrålt effekt fra oscillerende elektrisk dipol p 0 cos(ωt): P = p2 0ω 4 12πε 0 c 3 Midlere utstrålt effekt fra oscillerende magnetisk dipol m 0 cos(ωt): P = µ 0m 2 0 ω4 12πc 3 Malus lov: I(θ) = I 0 cos 2 θ Lineære medier: P = ε 0 χ e E = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e )E = ε 0 ε r E = εe M = χ m H = µ 0 H + M = µ 0 (1 + χ m )H = µ 0 µ r H = µh Maxwells ligninger etc: d = q fri d = 0 E dl = d d dt H dl = I fri + d d dt = ρ fri = 0 E = t H = j fri + t Energitetthet, Poyntings vektor: u = 1 2 εe µ 2 S = 1 µ E 7

8 For elektromagnetiske bølger i medier (q fri = I fri = 0): 2 E = 2 = v = 1 2 E v 2 t v 2 t 2 1 = c = c εµ εr µ r n Grenseflatebetingelser (q fri = I fri = 0 i grenseflaten): = 0 E = 0 = 0 H = 0 Refleksjon og brytning: θ r = θ i Youngs eksperiment med to smale spalter: iffraksjonsgitter med N smale spalter: n 1 sin θ i = n 2 sin θ t ( ) πd I(θ) = 4I 0 cos 2 λ sin θ ( sin 2 Nπd sin θ) λ I(θ) = I 0 sin ( 2 πd sin θ) λ iffraksjon fra en spalte: ( πa I(θ) = I(0) sin2 sin θ) λ ( πa sin λ θ) 2 iffraksjon fra N spalter, spaltebredde a, spalteavstand d: ( πa λ ( πa I(θ) = Î sin2 sin θ) sin λ θ) 2 sin 2 ( Nπd λ sin 2 ( πd λ sin θ) sin θ) 8

9 Oppgaver 1) En masse er festet til ei fjær og utfører udempede harmoniske svingninger. Massens maksimale hastighet er 5 cm/s og dens maksimale akselerasjon er 50 cm/s 2. Hva er da massens maksimale utsving fra likevekt? 0.5 cm 5.0 cm 10.0 cm 25 cm 2 1 y (mm) x (cm) Figuren viser et øyeblikksbilde av (en del av) en harmonisk transversal bølge som forplanter seg på en streng. vs, y(x) angir utsvinget fra likevekt. Strengen er strukket med en kraft 160 N og har en masse pr lengdeenhet 100 g/m. 2) Hva er hastigheten til bølgen i figuren over? 40 cm/s 4 m/s 40 m/s 400 m/s 3) Hvilken frekvens har bølgen i figuren over? 16 Hz 80 Hz 140 Hz 1080 Hz 9

10 M k m k M O O 4) Karbondioksyd, O 2, er et lineært molekyl, som vist i figuren over. Vi antar at kreftene mellom karbon og oksygen kan beskrives ved hjelp av ideelle fjærer med fjærkonstant k. tomene kan svinge harmonisk omkring sine likevektsposisjoner i fire såkalte normale moder. En av disse normale modene er antydet i figuren. Her svinger oksygenatomene (masse m O = M = 4m/3) i samme retning (med lik amplitude), mens karbonatomet (masse m = m) svinger i motsatt retning av oksygenatomene. Hva er vinkelfrekvensen ω til denne vibrasjonsbevegelsen? (Tips: Molekylets massesenter ligger i ro under vibrasjonsbevegelsen. ruk dette til å finne fjærenes strekk og sammenpressing når karbonatomets utsving fra likevekt er x. Newtons 2. lov gir deretter vinkelfrekvensen ω.) 9k/17m k/m 3k/2m 11k/4m 5) luminium har massetetthet 2700 kg/m 3 og elastisitetsmodul (Youngs modul) 70 GPa. Hva er da lydhastigheten i ei tynn aluminiumstang? (1 Pa = 1 N/m 2 ) 1.1 km/s 3.2 km/s 5.1 km/s 7.7 km/s 6) En streng på en kontrabass har lengde 75 cm og er festet i begge ender. Strekket i strengen er 173 N, og massen er 6.0 g. Hva er strengens tredje laveste resonansfrekvens (dvs 2. overtone)? 294 Hz 555 Hz 738 Hz 915 Hz 7) Et tynt rør, som er åpent i en ende og lukket i den andre enden, skal brukes til å lage stående lydbølger med frekvens 550 Hz. ette skal være rørets grunntone. Hvor langt må da røret være? Lydhastigheten er 340 m/s cm 50.8 cm 99.2 cm cm 8) Hva innebærer det at et system er dispersivt? t bølger i systemet er dempet. t bølger i systemet er longitudinale. t bølgehastigheten varierer med amplituden. t bølgehastigheten varierer med bølgelengden. 10

11 9) in venn skrur opp lyden på forsterkeren slik at utsendt effekt økes med en faktor ti. Hva blir den tilsvarende økningen i lydnivået? 1 d 10 d 20 d 30 d 10) Vi betrakter en transversal harmonisk bølge på en streng, med liten amplitude (i forhold til bølgelengden). Hvilken av figurene nedenfor viser hvordan fasehastigheten v f og gruppehastigheten v g avhenger av bølgens vinkelfrekvens ω? v f v f v g, v f v f v g v g ω ω ω ω v g 11) En fin høstkveld ser du månen speile seg ute på en innsjø. u anslår månelysets innfallsvinkel til et sted mellom 50 og 55 grader. Hva kan du da si om lyset som reflekteres på vannoverflaten? et er i stor grad sirkulærpolarisert. et er i stor grad polarisert normalt på innfallsplanet. et er i stor grad elliptisk polarisert. et er fullstendig upolarisert. 11

12 12) Koherent laserlys med bølgelengde 600 nm passerer gjennom 4 parallelle spalter og resulterer i en intensitetsfordeling I(y) på en skjerm i avstand L = 100 cm fra spaltene, se figuren nedenfor. Vi har da sammenhengen y = L tanθ, der θ tilsvarer vinkelavviket i forhold til rett fram. Hvilken kombinasjon av spaltebredde a og (senter til senter) spalteavstand d er benyttet i eksperimentet? a = 0.02 mm, d = 0.06 mm a = 0.02 mm, d = 0.20 mm a = 0.10 mm, d = 0.30 mm a = 0.10 mm, d = 0.50 mm I(y) y (cm) 12

13 13) I en plan harmonisk elektromagnetisk bølge som forplanter seg i vakuum har det elektriske feltet en amplitude 3 V/m. Hva er da amplituden til bølgens magnetfelt? T 10 8 T 3 T 1.73 T 14) Himmelen er blå fordi sola sender ut bare blått lys. molekylene i atmosfæren sprer lys med høy frekvens mest. atmosfæren inneholder mye karbondioksyd. atmosfæren reflekterer lyset fra blå alger i havet. 15) Fra Maxwells ligninger kan man utlede at tangentialkomponenten av E og normalkomponenten av tangentialkomponenten av og normalkomponenten av E tangentialkomponenten av E og tangentialkomponenten av normalkomponenten av E og normalkomponenten av er kontinuerlige i grenseflaten mellom to dielektriske medier. 16) Hva betyr det at to lyskilder er koherente? t de sender ut lysbølger med en fast innbyrdes fasesammenheng. t de sender ut lysbølger med samme intensitet. t de sender ut synlig lys. t de sender ut lysbølger med samme polarisasjonsretning. 17) Laserlys med bølgelengde nm faller normalt inn mot en vegg med to svært smale parallelle spalter med innbyrdes avstand 0.10 mm. Hva blir avstanden mellom linjene med null intensitet som ligger på hver sin side av nullte ordens intensitetsmaksimum når interferensmønsteret observeres på en skjerm i avstand 5.0 m fra veggen med de to spaltene? 64 cm 32 cm 64 mm 32 mm 13

14 18) Hva er bølgelengden til lys med frekvens 520 THz i glass med brytningsindeks 1.60? 577 nm 456 nm 361 nm 225 nm 19) En punktformet lyskilde er plassert midt på bunnen av et basseng med dybde d. assenget har kvadratisk form med sidekanter L. Vannet i bassenget har brytningsindeks Hva blir kriteriet for at hele bassengets overflate skal slippe ut lys fra punktkilden på bunnen? d/l 1.12 d/l 0.62 d/l 0.62 d/l ) En monokromatisk lysstråle treffer ei dielektrisk kule med radius R i avstand 3R/2 fra linjen som går gjennom kulas sentrum. en delen av lysstrålen som passerer gjennom kula uten noen indre refleksjoner har endret sin retning med 30. Hva er kulas brytningsindeks? (et omgivende mediet er luft, med brytningsindeks 1.) 3/2 4/3 5/4 6/5 3 R /2 30 R 14

15 Institutt for fysikk, NTNU FY1002/TFY4160 ølgefysikk Midtsemesterprøve fredag 19. november 2010 kl Emnekode: Kandidatnummer: Oppgave Oppgave N: Kontroller at du har satt ETT kryss for hver av de 20 oppgavene. 15