TFY4109 Fysikk Eksamen 14. desember 2015 Side 13 av 22

Transkript

1 TFY4109 Fysikk Eksamen 14. desember 2015 Side 13 av 22 FORMLER: Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning antas forøvrig å være kjent. Symbolbruk og betegnelser som i forelesningene. KLASSISK DYNAMIKK Newtons andre lov: F = dp/dt p = mv = mṙ Konstant akselerasjon: v = v 0 +at x = x 0 +v 0 t+ 1 2 at2 Konstant vinkelakselerasjon: ω = ω 0 +αt θ = θ 0 +ω 0 t+ 1 2 αt2 Arbeid: dw = F dr Kinetisk energi: K = 1 2 mv2 r Konservativ kraft og potensiell energi: U(r) = F dr r 0 F = U(r) Friksjon, statisk: f µ s N kinetisk: f = µ k N Luftmotstand (liten v): f = kv Luftmotstand (stor v): f = Dv 2ˆv Tyngdepunkt: R CM = 1 r i m i 1 r dm M M i Sirkelbevegelse: v = rω Sentripetalakselerasjon: a = v 2 /r Baneakselerasjon: a = dv/dt = rdω/dt Dreiemoment: τ = (r r 0 ) F Statisk likevekt: ΣF i = 0 Στ i = 0 Dreieimpuls: L = (r r 0 ) p N2 rotasjon: τ = dl/dt Stivt legeme, refleksjonssymmetri mhp rotasjonsaksen: L = L b +L s = (R CM r 0 ) MV +I 0 ω Kinetisk energi, stivt legeme: K = 1 2 MV I 0ω 2 Treghetsmoment: I = i m i r 2 i r 2 dm Kompakt sylinder (skive): I 0 = 1 2 MR2 Kompakt kule: I 0 = 2 5 MR2 Kuleskall: I 0 = 2 3 MR2 Tynn stang: I 0 = 1 12 ML2 Stivt legeme, rotasjon om fast akse: K = 1 2 Iω2 N2 rotasjon, akse med fast orientering: τ = I dω dt Steiners sats (parallellakseteoremet): I = I 0 +Md 2

2 TFY4109 Fysikk Eksamen 14. desember 2015 Side 14 av 22 Enkel harmonisk oscillator: ẍ+ω0x 2 = 0 T = 2π/ω 0 f = 1/T = ω 0 /2π Masse i fjær: ω 0 = k/m Matematisk pendel: ω 0 = g/l Fysisk pendel: ω 0 = mgd/i Fri, dempet svingning, langsom bevegelse i fluid: mẍ+bẋ+kx = 0 ẍ+2γẋ+ω0x 2 = 0 ω0 2 = k/m γ = b/2m Underkritisk demping (γ < ω 0 ) x(t) = Ae γt sin(ωt+φ) ω = ω0 2 γ2 Overkritisk demping (γ > ω 0 ) x(t) = Ae α1t +Be α 2t α 1,2 = γ ± γ 2 ω0 2 Kritisk demping (γ = ω 0 ) x(t) = Ae γt +Bte γt Tvungen svingning, harmonisk ytre kraft: (partikulær-)løsning: x(t) = A(ω) sin(ωt + φ(ω)) F 0 /m amplitude: A(ω) = (ω 2 ω0 2)2 +(2γω) 2 mẍ+bẋ+kx = F 0 cosωt halvverdibredde: ω 2γ Q-faktor: Q = ω 0 / ω BØLGEFYSIKK Harmonisk plan bølge (forplantning i positiv x-retning): ξ(x,t) = ξ 0 sin(kx ωt+φ), k = 2π/λ, ω = 2π/T = 2πf Bølgeligning: Fasehastighet: v = λ/t = ω/k Gruppehastighet: v g = dω/dk 2 ξ(x,t) x 2 = 1 v 2 2 ξ(x,t) t 2 Lineær respons i elastiske, isotrope medier (Hookes lov): mekanisk spenning = elastisk modul relativ tøyning S = strekk-kraft, B = bulkmodul, E = elastisitetsmodul, G = skjærmodul For transversale bølger på streng: v = S/µ For longitudinale bølger (lydbølger) i fluider (gasser og væsker): v = B/ρ Lydhastighet i gass (m = (midlere) molekylmasse, γ = C p /C V ): v = γk B T/m For longitudinale bølger i tynn stang (fast stoff): v = E/ρ For longitudinale (v P ) og transversale (v S ) bølger i faste stoffer (bulk): v P = (B +4G/3)/ρ ; v S = G/ρ

3 TFY4109 Fysikk Eksamen 14. desember 2015 Side 15 av 22 Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng: ε = 1 2 µω2 y 2 0 Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan longitudinal bølge (lydbølge): ε = 1 2 ρω2 ξ 2 0 Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng: P = vε = 1 2 vµω2 y 2 0 (Midlere) Intensitet i harmonisk plan longitudinal bølge (lydbølge): I = vε = 1 2 vρω2 ξ 2 0 Lydtrykk: Lydtrykksnivå: p = B ξ x β(db) = 10log I I 0 med I 0 = W/m 2 Refleksjon og transmisjon av bølge på streng: µ2 µ 1 y r0 = µ2 + 2 µ 1 y i0 ; y t0 = µ 1 µ2 + y i0 ; R = P r = µ 1 P i ( yr0 y i0 ) 2 ; T = P t P i = 1 R Dopplereffekt: Svevning ( interferens i tid ): Interferens (romlig): f O = v +v m v O v +v m v S f S f S = f 1 f 2 I max for dsinθ = nλ (n = 0,1,2,...) Dispersjonsrelasjon for tyngdebølger (D = vanndybden): ω 2 (k) = gk tanh(kd) GRAVITASJON Gravitasjon: F = GMm r 2 ˆr, U(r) = GMm r, g = F/m Keplers lover: K1: Ellipseformede planetbaner. K2: da/dt = konstant. K3: T 2 /a 3 = konstant for alle planetene.

4 TFY4109 Fysikk Eksamen 14. desember 2015 Side 16 av 22 RELATIVITETSTEORI Lorentzfaktor: γ = (1 v 2 /c 2) 1/2 Lorentztransformasjonene (S har hastighet v = vˆx i forhold til S): x = γ(x vt) y = y z = z t = γ (t v ) c 2x x = γ(x+vt) y = y z = z t = γ (t+ v ) c 2x Tidsdilatasjon: Lengdekontraksjon: t = γ t x = γ x Hastighet i S (u = u xˆx+u y ŷ +u z ẑ): u x = dx/dt u y = dy/dt u z = dz/dt Hastighet i S (u = u xˆx+u y ŷ +u z ẑ): u x = dx/dt u y = dy/dt u z = dz/dt Transformasjon av hastigheter: u x = (u x +v)/(1+u x v/c 2 ) u y = (u y /γ)/(1+u x v/c 2 ) u z = (u z /γ)/(1+u x v/c 2 ) Addisjon av hastigheter (alle hastigheter i samme retning; Einsteins addisjonsformel): Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger: v AC = v AB +v BC 1+v AB v BC /c 2 f = f ( ) c v 1/2 c+v Relativistisk impuls: p = γmv Relativistisk energi (for partikkel med masse m og impuls p): E = γmc 2 ; E 0 = mc 2 ; K = E E 0 ; E 2 = (pc) 2 + (mc 2) 2 Elastisk prosess: E, p, K og m bevart. Uelastisk prosess: E og p bevart.

5 TFY4109 Fysikk Eksamen 14. desember 2015 Side 17 av 22 MIDDELVERDI OG FEIL I MÅLINGER Gauss feilforplantningslov: ( q) 2 = n i=1 ( q a i a i ) 2 Middelverdi (gjennomsnittsverdi): x = 1 N Ni=1 x i ( Standardavvik (feil i enkeltmåling): δ x = 1 Ni=1 N 1 (x i x) 2) Standardfeil (feil i middelverdi): δ x = δ x / N KONSTANTER, OMREGNINGSFAKTORER OG DEKADISKE PREFIKSER Fundamentale konstanter: G = Nm 2 /kg 2 g = 9.81 m/s 2 ) m e = kg m p = m n = kg c = m/s k B = J/K N A = mol 1 h = Js h = h/2π = Js e = C Omregningsfaktorer: 1 ev = J 1 Å = m Dekadiske prefikser: p = piko = 10 12, n = nano = 10 9, µ = mikro = 10 6, m = milli = 10 3, c = centi = 10 2, k = kilo = 10 3, M = mega = 10 6, G = giga = 10 9 MATEMATIKK OG DIVERSE d dx eαx = αe αx e αx dx = 1 α eαx π x 2 e x2 dx = 2 tanh(x) = ex e x e x +e x, tanh(x) 1 hvis x 1, tanh(x) x hvis x 1 Klokkeslettangivelse: time:minutt(:sekund)

6 TFY4109 Fysikk Eksamen 14. desember 2015 Side 18 av 22