UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 BOKMÅL UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultetet Eksamen i: FYS30 Svingninger og bølger. chaptertvungne Eksamensdag: 4. svingninger juni 04. og resonans Dummy Tid for eksamen: tekst for kl. å spenne 4:30 - ut 8:30. et åpent felt for et førsteside-opplegg. Oppgavesettet er på: sider. Vedlegg: Generelle formelark utgjør de siste tre sidene. Tillatte hjelpemidler: Øgrim/Angell og Lian: Størrelser og enheter i fysikken. Rottmann: Matematisk formelsamling. Elektronisk kalkulator av godkjent type (uten lagret tekst. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene.. Maksimalt 5 poeng for hvert delspørsmål i hele eksamenssettet. Oppgave a Vis at følgende differensialligning beskriver bevegelsen til en fjærpendel (ikke bruk mye tid på detaljen knyttet til gravitasjon og likevektsstilling: z(t+ b k mż(t+ z(t =0 ( m Angi selv hva de ulike symbolene står for. b Hvilke ledd MÅ være med for at ligningen skal kunne kalles en svingeligning? Det finnes tre kategorier av løsninger av ligning (. De fleste dekkes av følgende uttrykk: z(t =Ae αt ( α = γ ± γ ω (3 A og α kan være komplekse tall. γ = b/m og ω = k/m. c Fortell hvilke kategorier av løsninger vi har, betingelser for at de ulike kategoriene skal forekomme, og hva som karakteriserer de tre type løsninger. d Fjærpendelen antas så å bli utsatt for en tidsvariabel kraft. Angi faseresonansfrekvensen i det tilfellet der dette begrepet har mening. (Det er ikke meningen å foreta en full utledning! e I oppgave c anga du betingelser som måtte være oppfylt for å få de tre kategoriene av løsninger i det tilfellet. Drøft om det er mulig å gjenkjenne de tre kategoriene av løsninger også for det tilfellet at systemet blir utsatt for en tidsvariabel kraft? Oppgave a Anta at vi sender lys fra luft på skrå inn mot en av sideflatene til et glassprisme som vist i figur. Anta at polariseringen er vinkelrett på innfallsplanet. Hvilke veier tar lyset etter at det har truffet glassoverflaten? Tegn en figur og angi retninger.

2 Figur : En lysstråle går på skrå fra luft inn mot et stykke glass. Hva vil skje med strålen når den treffer glassoverflaten? b Hopp over denne deloppgaven i første omgang dersom du synes den er vanskelig. Det går an å beregne intensiteter på de ulike strålene ved å ta utgangspunkt i Maxwells ligninger og andre fundamentale ligninger. Sett opp et sett av ligninger som kan brukes for å finne forholdet mellom intensiteter. Regn så ut intensitetsfordelingen eksplisitt. Gir de ligningene du har brukt også retningene på lyset etter at det innfallende lyset har truffet overlaten? Forklar. c Hvilke fysiske prosesser vil foregå i glasset når lysstrålen går gjennom det? Hva er resultatet av disse prosessene. Hvilke endringer i fysiske størrelser får vi når lys går fra luft til glass? d Anta at vi sender to parallelle laserstråler med bølgelengde hhv 633 og 53 nm inn mot glassoverflaten. Hvordan vil strålene gå? Kan du gi en kvalitativ forklaring på det du ser? e Fortell hva Fermats prinsipp sier oss. Synes dette prinsippet å være en god forklaring for å beskrive dan én laserstråle går etter å ha truffet glassoverflaten? Begrunn svaret. f Uten sammenligning forøvrig: Kjenner du til Babinets prinsipp? I så fall, gi en kort forklaring. Oppgave 3 Et tidsvariabelt signal blir digitalisert med en samplingsfrekvens på 4400 Hz og beskrevet i 048 punkter. Signalet blir analysert ved hjelp av FFT (fast fourier transform, og resultatet er at element nummer 7 i frekvensspekteret har en høy absoluttverdi, mens alle andre av de første 04 punktene er tilnærmet lik null. a Kan du fortelle dan signalet var? b Er det ett eller flere andre punkter av de 048 punktene etter fouriertransformasjonen som også har en høy absoluttverdi? I så fall, på hvilket nummer i rekken befinner det/de seg? c Vi digitaliserer et nytt signal med samme samplingsfrekvens og antall punkter som tidligere. Innenfor de første 04 punktene i frekvensspekteret observerer vi denne gangen

3 høye verdier for element 3, 6, 93 og 4. Hvordan karakteriserer vi et slikt frekvensspekter? Har du et forslag til hva kilden til signalet kan ha vært? Angi et typisk trekk for dan dette signalet ser ut i tidsbildet. Oppgave 4 a I utledningen av bølgeligningen E t fra Maxwells ligninger, gjør vi noen antakelser. Hvilke? = c E z (4 b Plane elektromagentiske bølger er én av mulige løsninger av denne bølgeligningen. Skriv et matematisk uttrykk for en plan elektromagnetisk bølge, og forklar ditt valg av symboler. Lag en skisse som illustrerer denne løsningen, og forklar litt i detalj hva skissen faktisk viser. c Ofte er planbølgeløsningen slett ikke en aksepterbar løsning av bølgeligningen, selv om det kan synes som om antakelsene nevnt i punkt a er tilfredsstilt. Forklar for. d Ved omtale av elektromagnetiske bølger, trekkes gjerne Poyntings vektor inn i bildet. Hva forteller Poyntings vektor oss, og når kan den brukes og når kan den ikke brukes? e Radiobølger genereres ofte ved hjelp av en dipolantenne. Gi en kort beskrivelse av dipolantennen og for den egner seg godt for å generere elektromagnetiske bølger. f De elektromagnetiske bølgene som kommer fra en dipolantennen har ikke like stor intensitet i alle retninger. Tegn et retningsdiagram, og forklar dette. g Ved mobiltelefon-kommunikasjon brukes sjeldent enkle dipolantenner på basestasjonene. Forklar for man der velger litt mer kompliserte antenneløsninger og hva man oppnår med dette. Oppgave 5 Bildet på neste side er tatt gjennom et svakt mikroskop fra et lite parti av skjermen til en iphone 5 mobiltelefon. Skjermen har en fysisk størrelse på 49.5 x 88.5 mm, og har en oppløsning på 640 x 36 pixler. a Fortell hva som er bakgrunnen for at vi lager fargebilder på den måten vi ser her. Hvilke farger opplever vi i de tre ulike feltene i figuren når vi ser dette partiet av mobiltelefonskjermen med bare øynene? b Selv om fargebilder iblant er imponerende gode, kan de i en del tilfeller ikke matche fargeopplevelsen vi har når vi ser farger i virkeligheten (direkte med øyet vårt. Hva er grunnen til dette, og når er avviket mellom et fargebilde og fargene vi kan se direkte størst? 3

4 Figur : Fotografi (med høy forstørrelse av en bitte liten del av skjermen til en iphone5 mobiltelefon. (Figuren skal være i farger. I motsatt fall får du si fra til eksamensvakten! c Det menneskelige øyet har en oppløsningsevne på om lag 40 linjer per grad dersom vi betrakter et sort/hvitt stripemønster ved god belysning. Synes denne grensen å ha noen som helst sammenheng med diffraksjonsbegrensing å gjøre? d Diskuter om det er passe mange pixler på mobiltelefonskjermen i forhold til vårt syn. e Vi ønsker å se direkte de ulike fargefeltene i hvert pixel slik de kommer fram i bildet ovenfor. Vi ønsker å bruke en såkalt 6 x lupe og betrakte skjermen med den. Vil du forvente at vi kan se fargefeltene atskilt som i fotografiet ovenfor da? Begrunn svaret. f Dessverre finner vi ikke lupen vår, men fant i stedet et gammelt sett med briller med ulike brillestyrker. Det er brillestyrker fra -6 til +8 i settet. Hvilken brillestyrke er mest interessant å teste for å se om vi kan skille de ulike fargefeltene i hvert pixel ved bruk av brillen? Beregn nærpunktet når vi bruker denne brillen (anta at vi har normalsyn. Vil du forvente at vi klarer å se separate fargefelt i hvert pixel nå? Eksamenssettet slutter her. 4

5 Formelark FYS30 Eulers formel: e iα = cos(α+i sin(α (. Differensialligning for dempet svingning av fjær-pendel: z(t+ b mż(t+ k m z(t =0 (. Ved løsning kan man forsøke (A og α kan være komplekse tall: z(t =Ae αt (.3 Svingeligningen for tvungen svingning av en fjærpendel: z(t+(b/mż(t+ω 0z(t =(F/m cos(ωf t (.4 ω 0 = k/m. Faseforskjellen mellom utslag og påtrykt kraft: tan φ = bω F /m ω F ω 0 (.5 Amplituden i de tvungne svingningene: A = F/m (.6 (ω F ω 0 +(bωf /m Amplituderesonansfrekvensen er: famp.res. = π ω 0 b (.7 m ω0 = k/m. Faseresonansfrekvensen er: ffase.res. = π ω 0 (.8 Kvalitetsfaktoren for en svingende fjær-pendel: Q = mω b = mk (.9 b To vanlige måter å definere Q på. Den første er: Q π Lagret energi Tap av energi per periode =π E Etap,periode (.0 Eulers metode (for løsning av annen ordens differensiallikning: ẋn+ =ẋn +ẍn t (. xn+ = xn +ẋn t (. Fouriertransformasjon og invers fouriertransformasjon av kontinuerlige signaler: F (ω = π f(te iωt dt (.3 f(t = π Fourierrekker og invers transformasjon: ck = T t0+t t0 F (ωe iωt dω (.4 f(te ikωt dt (.5 f(t = + k= Diskret fouriertransformasjon og invers transformasjon: cke ikωt (.6 Xk = N N n=0 xne i π N kn (.7 xn = N k=0 Alternativt kan diskret fouriertransformasjon angis slik: Xke i π N kn (.8 Xk = N N n= xne iπf ktn (.9 Bølgelegningen: xn = N k= Xke iπf ktn (.0 f(x, t = v f(x, t (. t x Planbølge: f(r,t= Aei(k r ωt+φ + c.c. (.

6 Del-uttrykk ved utledning av bølger på en streng: S sin φ S sin φ = µ x ( h t midtpunkt (.3 Bølger i luft/væske: η t = K ρ v = η (.4 x K ρ (.5 p(x, t =kkη0 sin(kx ωt (.6 Tidsmidlet lydintensitet: I = kωkη 0 = kωkηrms =4π K v (fη rms (.7 I = (p rms ρv (.8 I =4π ρv(fηrms (.9 LIabs = (0 db(spl log Dopplerskift: I Iabs.ref = (0 db(spl log p p abs.ref (.30 fo = v + v o v vk Dopplerskift for elektromagnetiske bølger i vakum: fo = fk (.3 c + v c v f k (.3 Fasehastighet for overflatebølger i vann: v f(k = [ g k + Tk ρ ] tanh(kh (.33 tanh(x = ex e x (.34 e x + e x Gruppehastighet: vg = ω k (.35 3 Algoritmen for å beregne dan en bølge utvikler seg i tid og rom: ui,j+ = ui,j +(ui,j ui,j + ( tv uxx,i,j (.36 Fire ligninger forbinder elektriske og magnetiske felt:. Gauss lov for elektrisk felt: E d A Qinnenfor = ǫrǫ0 (.37. Gauss lov for magnetfelt: B d A =0 ( Faraday-Henrys lov: ( E d dφ B l = dt innenfor ( Ampère-Maxwells lov: ( B d l = µ rµ0 if + ǫrǫ0 ( dφ E dt innenfor (.40 Stokes teorem: Divergensteoremet: Lyshastigheten G d l = A Gdv = c = ( G d A (.4 ǫ rǫ0µrµ0 Tidsmidlet intensitet i en elektromagnetisk bølge: A G d A (.4 = c 0 n (.43 I = cǫe 0 = ce 0D0 = c µ B 0 = ch 0B0 (.44 Poynting vektor S = E H (.45 Forholdet mellom amplituder, ved refleksjon og transmisjon, em bølge vinkelrett på: Er Ei = n n n + n (.46 4

7 Litt tilsvarende, men bølge på skrå: Er, = Et Ei = n n + n ( cos θ t cos θi n n (.47 Et, (.48 Fresnels ligninger: og Rs = Rp = n cos θi n n cos θi + n n cos θi n n cos θi + n ( n sin θ i n ( n sin θ i n ( n sin θ i n ( n sin θ i n (.49 (.50 Snel: n sin θ = n sin θ (.5 Tappe-energi-absorbsjon: M = φ(λm(λdλ (.5 Linsemakerformelen og linseformelen: f =(n ( R R (.53 s + = s f Numerisk beregning av diffraksjon/interferens: (.54 Em = An e i(πrn,m/λ+θn (.55 r n,m rn,m = d +(Xm xn (.56 Dobbeltspalt: ( d sin θ I(θ =cǫe 0 (r, θ cos λ π (.57 Mange spalter: I(θ =I0(r, θ [ sin Nφ sin φ ] (.58 5 Diffraksjon fra én spalt: Diffraksjon fra rundt hull (Airy Rayleighs oppløsningskriterium: I(θ =Imax β = πa λ [ sin β sin(θ =.λ D β ] (.59 sin θ (.60 (.6 ψ D/ =.λ fo Do (.6 Autokorrelasjonsfunksjonen: C(τ = g(tg(t + τdt (.63 g (tdt Autokorrelasjonsfunksjonen digital: C(j + = M i= g(ig(i + j M i= g(ig(i (.64 Diskret kontinuerlig wavelettransformasjon: γk(ωa,tk = N n= xnψ ωa,k,tk (t n (.65 selve Morlet waveleten skrives som: Ψωa,K,tk (t n=c{exp( iωa(tn tk exp( K } exp( ω a (t n tk /(K (.66 Skinndybde: δ = µσω (.67 Merk: Du kan referere til formel nummer så og så på formelarket ved besvaring av eksamensoppgaver, dersom det er aktuelt. Vi har ikke angitt hva størrelsene betyr eller hvilke forutsetninger formlene gjelder for. Slikt må du holde orden på selv og nevne der det er naturlig. 6