Hvor små detaljer kan en linse oppløse?

Transkript

1 IN 31 Digial bildebehandling Raleigh-krierie e Oppsummering, mai 14: Avbildning 1 Sampling og kvanisering Geomeriske operasjoner 3 Gå Gråone- og hisogramoperasjoner 4,5 Segmenering ved erskling 13 arger og argerom 15 To punk-kilder kilder kan adskilles hvis de ligger slik a senrum i de ene diraksjonsmønsre aller sammen med den ørse mørke ringen i de andre. Vinkelen mellom dem er da gi ved sin = 1 1. /D radianer. Dee er Raleigh-krierie. Vi kan ikke se dealjer som er mindre enn dee Hvor små dealjer kan en linse oppløse? Vinkeloppløsningen er gi ved Tangens il vinkelen θ er gi ved θ s sin 1. g or små vinkler er sin = gθ =, når vinkelen er gi i radianer. => Den minse dealjen vi kan oppløse: s D D s s D D Samplingseoreme Shannon/Nquis Ana a de koninuerlige bilde er båndbegrense, dvs. de inneholder ikke høere rekvenser enn max De koninuerlige bilde kan rekonsrueres ra de digiale bilde dersom samplingsraen s =1/T s er sørre enn max alså T s < ½T max kalles Nquis-raen I praksis oversampler vi med en viss akor or å kunne å god rekonsruksjon 3 4

2 Ani-aliasing Ved ani-aliasing jerner/demper vi de høere rekvensene i bilde ør vi sampler Kvanisering Hver piksel lagres vha. n bier Piksele kan da inneholde helallsverdier ra il n -1 Eks 3 bier: 5 6 Kvaniseringseil Geomeriske operasjoner Kvaniseringseil Summen av hver piksels avrundingseil Kan velge inervaller og ilhørende rekonsruksjonsinensieer or å minimere denne => Ikke nødvendigvis uniorm ordeling Senrale sikkord: Lagringsplass ehov or presisjon/aksepabel inormasjonsap Hardware-kompleksie, eller siske begrensninger Merk: remvisning og videre analse av de kvanisere bilde kan sille ulike krav il presisjon 7 Endrer på pikslenes posisjoner ørse seg i denne prosessen: Transormer pikselkoordinaene il x, : x = T x = T T x og T er oe gi som polnomer. Siden pikselkoordinaene må være helall, må vi dereer bruke inerpolasjon il å inne pikselverdien gråonen i den ne posisjonen. 8

3 Aine ransormer Transormerer pikselkoordinaene ilx x, : x = T x = T Aine ransormer beskrives ved: På mariseorm: x = a x + a 1 + a =bx+b+b b 1 + b Eksempler på enkle ransormer - I Transormasjon a a 1 a b b 1 b Urkk Idenie 1 1 x = x = Skalering s 1 s x = s 1 x = s Roasjon cosθ -sinθ sinθ cosθ x =xcosθ-sinθ =xsinθ+cosθ eller 9 1 Eksempler på enkle ransormer - II Transormasjon a a 1 a b b 1 b Urkk Translasjon 1 x 1 x = x+ x = + = Horisonal shear 1 s 1 x x+s 1 med akor s 1 1 = Verikal shear med dakor s 1 s 1 x = x = s x+ Alernaiv måe å inne ransormkoeisienene i i En ain ransorm kan besemmes ved å spesiisere re punker ør og eer avbildningen inn-bilde resula-bilde Med disse re punkparene p kan vi inne de 6 koeisienene; a, a 1, a, b, b 1, b Med lere enn 3 punkpar velger man den ransormasjonen som minimerer kvadra-eilen summer over alle punkene. 11 1

4 orlengs-mapping aklengs-mapping or all x',' do gx',' = a = cos θ a 1 = -sin θ b = sin θ b 1 =cosθ θ or all do x = rounda x+a 1 = roundb x+b 1 i x, inside g gx, = end Eksempel: Enkel roasjon ved ransormen: ler de posisjonsransormere pikselposisjonene il nærmese pikselposisjon i ubilde. Skriver innbildes inn i gx, a = cos -θ a 1 = -sin -θ b = sin -θ b 1 = cos -θ or alle x, do x = rounda x +a 1 = roundb x +b 1 i inside gx, = else gx, = end Samme eksempel som ved orlengs-mappingen. N: roer med θ ga x, x, roer med -θ gir Resample bilde. Her; or hver ubilde-piksel, invers-ransormér, og velg nærmese piksel ra innbilde. or hver pikselposisjon i u-bilde: Hen pikselverdi ra innbilde aklengs-mapping, ors. Trilineær inerpolasjon Uvidelsen ra D il 3D kalles rilineær inerpolasjon, og er en lineær inerpolasjon mellom resulaene av o bilineære inerpolasjoner. Resulae e er uavhengig av rekkeølgen

5 Inerpolasjon en sammenligning Nærmese nabo gir D rappeunksjon. Diskoninuie mid mellom punkene. i-lineær inerpolasjon bruker x=4 piksler. Deriver er ikke koninuerlig over bilde-laen. i-kubisk inerpolasjon gir glaere laer. Er mer regnekrevende. ruker 4x4=164 piksler. Normaliser hisogram Vi har a De normalisere hisogramme: pi kan ses på som en sannsnlighesordeling or pikselinensieene Uavhengig av anall piksler i bilde Kumulaiv hisogram Lineær gråoneransorm Hvor mange piksler har gråone mindre enn eller lik gråone j? Lineær srekking T [ i ] ai b g a b Normaliser kumulaiv hisogram: Sannsnligheen or a en ileldig valg piksel er mindre eller lik gråone j a regulerer konrasen, og b lsheen a>1: mer konras a<1: mindre konras Q: Når og hvordan påvirker a middelverdien? di b: ler alle gråoner b nivåer Negaiver: a=-1, b =maxverdi or bildepe 19

6 Endre lsheen brighness Endre konrasen Legge il en konsan b il alle pikselverdiene g Muliplisere hver pikselverdi med en akor a: g g b Hvis b>, alle pikselverdiene øker, og bilde blir lsere Hi Hvis b<, bilde blir mørkere Hisogramme les opp eller ned med b Middelverdien endres! hg h g a Hvis a > 1, konrasen øker Hvis a < 1, konrasen minker Eks: ruke hele inensiesskalaen Q: Hva skjer med middelverdien? hg h 1 Jusering av μ og σ Logarimiske ransormasjoner Gi inn-bilde med middelverdi μ og varians σ Ana en lineær gråone-ransorm T[i]=ai+b N middelverdi μ T og varians σ T er da gi ved G 1 T[ i] p i a b T i T G1 T[ i] p i G1 i i T[ i] p i G1 G1 Dvs. a i aib b p i ai b a=σ T /σ b= -aμ i i T/, μ T μ Vi kan alså G1 G1 a i p i i p i a velge ne μ T og σ T, i i beregne a og b, anvende T[i]=ai + b på inn-bilde og å e u-bilde med rikig μ T og σ T p i Q: Hvilken av ransormasjonene il høre er bruk her? ig 3.3 i DIP 3 4

7 Power-law gamma-ransormasjoner Hisogramujevning hisogram equalizaion Mange bildeproduserende apparaer har e inpu/oupuorhold som kan beskrives som: s ci der s er u-inensieen i ved en inpu i Kan korrigeres ved gråoneransormen T[i] = i 1/γ Generell konras-manipulasjon rukervennlig med kun én variabel ig 3.6 i DIP Mål: Maksimere konrasen Gjøre hisogramme uniorm la Kumulaive hisogramme en re linje Middel: Global gråoneransorm; T[i] Alså le på hele hisogramsøler Tilnærming ved å spre sølene mes mulig uover de søede inensiesinervalle i i 5 6 Algorime or hisogramujevning or e nm bilde med G gråoner: Lag arra h, p, c og T av lengde G med iniialverdi inn bildes normalisere hisogram Gå igjennom bilde piksel or piksel. Hvis piksel har inensie i, la h[i]=h[i]+1 Dereer skalér, p[i] = h[i]/n*m, i=,1,,g-1 Lag L de kumulaive hisogramme c c[] = p[] c[i] = c[i-1]+p[i], i=1,,...,g-1 Se inn verdier i ransormarra T T[i] = Round G-1*c[i], i=,1,...,g-1 Gå igjennom bilde piksel or piksel, Hvis bilde har inensie i, se inensie i ubilde il s=t[i] Hisogramilpasning Hisogramujevning gir la hisogram Kan spesiisere annen orm på resulahisogramme: 1.Gjør hisogramujevning på innbilde, inn s=ti.spesiiser ønske n hisogram gz 3.inn den ransormen T g som hisogramujevner gz og inversransormen T -1 g 4.Inversransormer de hisogramujevnede bilde ra punk 1 ved z=t -1 g s 7 8

8 Terskling Hvis vi har grunn il å ana a objekene.eks. er lsere enn bakgrunnen, kan vi see en erskel T og lage oss e binær u-bilde g ved mappingen: hvis g 1 hvis T T Da har vi å e u-bilde g med bare o mulige verdier. Med rikig valg av T vil nå alle piksler med g=1 være objek-piksler. g 9 Klassiikasjonseil ved erskling Ana a hisogramme er en sum av o ordelinger bz og z, b og er normalisere bakgrunns- og orgrunns-hisogrammer. La og være a priori sannsnlighe or bakgrunn og orgrunn +=1 De normalisere hisogramme il bilde kan da skrives p z b z z Sannsnligheene or å eilklassiisere e piksel, gi en erskelverdi, inner vi ra de normalisere ordelingene: E z dz E b z dz 3 Den oale eilen Vi har unne andelen eilklassiikasjon i hver ordeling. Den oale eilen inner vi ved å muliplisere med a priori sannsnligheene or orgrunn og bakgrunn: E E E z dz b z dz Legges erskelen veldig hø eller veldig lav, blir eilen sor. De er rimelig å ana a eilen har e minimum or en besem verdi =T. inn den T som minimerer eilen E z dz b z dz Deriverer E mhp. vha. Leibniz regel or derivasjon av inegraler. Seer den derivere lik og år: de d T b T VIKTIG!!! Merk a dee er en generell løsning som gir mins eil. De er ingen resriksjoner mh. ordelingene b og!! 31 3

9 De er IKKE skjæringen mellom de normalisere hisogrammene vi er ue eer! Hvilke hisogram?, Normalized hisograms orskjellige sandardavvik? Hvis sandardavvikene i de o Gauss-ordelingene er orskjellige og skjæringspunkene mellom ordelingene skaler med a priori sannsnlighe ligger innenor gråoneskalaen i bilde En erskelverdi or hver skjæringspunk.,3,4 De er skjæringen mellom de a priori-skalere normalisere hisogrammene som gir rikig erskelverdi!!! Scaled normalized hisograms De er bare mellom de o ersklene a leralle av pikslene er bakgrunnspiksler! Hvor ligger opimal erskel? Vi har en annengradsligning i T: T T ln Hvis sandard-avvikene i de o ordelingene er like = = år vi en enklere ligning: T ln T ln Hvis a priori sannsnligheene og er omren like eller hvis = har vi en veldig enkel løsning: T 35 En enkel ersklings-algorime Sar med erskel-verdi =middelverdien il alle pikslene i bilde. inn middelverdien 1 av alle piksler som er mørkere enn erskelen inn middelverdien av alle piksler som er lsere enn erskelen. La n erskel-verdi være 1 1 Gjena de o punkene ovenor il erskelen ikke ler seg mer. Dee kalles Ridler og Calvard s meode Hvilke beingelser må være oppl or a meoden skal virke? 36

10 Osu s s meode - moivasjon Ana a vi har e gråonebilde med G gråoner, med normaliser hisogram pi. Ana a bilde inneholder o populasjoner av piksler, slik a pikslene innenor hver populasjon er noenlunde like, mens populasjonene p er orskjellige. Målseing: Vi vil inne en erskel T slik a hver av de o klassene som oppsår ved ersklingen blir mes mulig homogen, mens de o klassene bli mes mulig orskjellige. Klassene er homogene: variansen i hver av de o klassene er mins mulig. Separasjonen mellom klassene er sor: avsanden mellom middelverdiene di er sørs mulig. 37 Osu s s meode; oppsummering Gi e NxM pikslers bilde med G gråoner. inn bildes hisogram, hk, k=,1,,..,g-1. inn bildes normalisere hisogram: h k p k, k,1,,..., G MN 1 eregn kumulaiv normaliser hisogram: eregn kumulaiv middelverdi, μk: eregn global middelverdi, μ: eregn variansen mellom klassene, σ k: inn erskelen, T, der σ k har si maksimum. eregn separabiliesmåle, ηt: k P1 k p i, k,1,,..., G 1 i k ip i, k i k,1,,..., G 1 G 1 i ip i k P P1 k P k1 P k k k 1 1 T T, T 1 38 To Adapiv erskling ved inerpolasjon Globale erskler gir oe dårlig resula. Globale meoder kan benes lokal. Dee virker ikke der vindue bare inneholder en klasse! Oppskri: NIVÅ I: Del opp bilde i del-bilder. or del-bilder med bi-modal hisogram: inn lokal erskelverdi e T c i,j og ilordne den il senerpiksele i,j i del-bilde. or del-bilder med uni-modal hisogram: inn lokal l erskelverdi ved inerpolasjon. NIVÅ II: Piksel-or-piksel inerpolasjon: Gå gjennom alle piksel-posisjoner p besem adapiv erskelverdi T ved inerpolasjon mellom de lokale erskelverdiene T c i,j. Terskle så hver piksel i bilde i erskelverdiene T. Tre inegraler ae gir RG Ls ra en kilde med spekralordeling E reer e objek med spekral releksjonsunksjon S. Releker ls deekeres av re per apper med spekral lsølsomhesunksjon q i. Tre analoge signaler kommer u av dee: R E S qr d G E S q d G E S q d 39 4

11 RG primærarger Commision Inernaionale de l Eclairage Eclairage, CIE The Inernaional Commision o Illuminaion har deiner primærargene: lå: nm Grønn: nm Rød: 7 nm eskrivelse av arger En arge kan beskrives på orskjellige måer kalles argerom RG HSI Hue, Sauraion, Inensi CMY Can, Magena, Yellow pluss mange lere.. HSI er vikig or hvordan vi beskriver og skiller arger. I Inensie: hvor ls eller mørk er den S sauraion/mening: hvor serk er argen H dominerende arge bølgelengde H og S beskriver sammen argen og kalles kromaisie 41 4 RG-kuben RG og CMY,,1 magena blå hvi can RG og CMY er i prinsippe i sekundærarger or hverandre. Gråonebilder: r=g=b,, svar grønn,1, 1,, rød gul 43 44

12 Hue, Sauraion, Inensi HSI hvi Hue: ren arge - gir bølgelengden l ide elekromagneiske spekrum. S H grønn gul H er vinkel og ligger mellom og : can rød Rød: H=, grønn: H= /3, blå= 4/3, gl:h gul: H=/3, can=, magena= 5/3 blå magena I Hvis vi skalerer H-verdiene il 8-bis verdier vil Rød: H=, grønn: H= 85, blå= 17, gul: H=4, can= 17, magena= 13. svar 45 argebilder agebde ogargeabeller ageabee RG kan lagres med like mange bier or r, g, b,.eks Selv = 9 bier gir oss = 51 kombinasjoner, men bare 8 orskjellige nivåer av rød, grøn og blå, og dermed også bare 8 orskjellige gråoner. E scene med mange nanser av én arge vil da se ille u! Hvoror? Jo ordi denne argen bare år 8 orskjellige nanser! De er ikke sikker a alle de 51 argene innes i bilde. Alernaiv kan man bruke 8 bier og argeabeller. Hver rad i abellen beskriver en r, g, b-arge med 4 bier. Tabellen inneholder de 56 argene som bes beskriver bilde. I bilde-ilen ligger pikselverdiene som all mellom og 55. Når vi skal vise bilde, slår vi bare opp i samme rad som pikselverdien, og inner de ilsvarende r, g, b-verdiene. 46 Hisogramujevning av RG-bilder hvi Hisogramujevning på hver komponen R,G,, uavhengig gg av hverandre Oe dårlig resula H grønn gul can S rød E bedre alernaiv er å bene HSI: blå magena Transormér bilde ra RG il HSI I Gjør hisogramujevning g på I- komponenen Transormer HSI n ilbake il RG svar Terskling es gav argebilder agebde - I Ana a vi har observer samme scene på lere bølgelengder. Vi kan da uøre erskling baser på o-dimensjonale re-dimensjonale eller muli-dimensjonale hisogrammer Enkel meode: 1: esem erskler uavhengig or hver kanal. : Kombiner alle segmenere kanaler il e bilde. Dee svarer il a vi har del opp.eks. RG-romme ibokser bokser

13 Terskling es gav argebilder agebde - II En mer kompleks meode: Velg e punk i de mulidimensjonale romme som reeranse,.eks. R,G, Terskle baser på avsand ra dee reeransepunke. R G d R G Slik a 1hvis d dmax g hvis d x, d max Dee deinerer en kule med radius d max omkring punke R,G,. Kan le generaliseres il ellipsoide med orskjellige avsands-erskler i R,G, d Merk a da er R G R d R 1hvis d 1 g hi hvis d 11 G dg d Terskling es i HSI Transormer ra RG il HSI. Ana a vi vil segmenere u de delene av bilde som Har en gi arge H Er over en gi menings-erskel S Lag en maske ved å erskle S- bilde velg en percenil Mulipliser H-bilde med masken. Velg e inervall i H som svarer il ønske arge. Husk a H er sirkulær! 49 5 Konak oss Hvis du lurer på noe i IN31-pensum e-pos Hvis du enker på lere kurs i digial bildeanalse Hvis du enker på å a en Maser-oppgave Takk, og lkke il med eksamen!!! 51