POLYGONDRAG MÅLING OG BEREGNING AV POLYGONDRAG (POLYGONERING) NEDLASTBART TILLEGG TIL GEOMATIKKBOKA SIDE 329 SIDENE HAR MARGER FOR TO-SIDIG UTSKRIFT

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "POLYGONDRAG MÅLING OG BEREGNING AV POLYGONDRAG (POLYGONERING) NEDLASTBART TILLEGG TIL GEOMATIKKBOKA SIDE 329 SIDENE HAR MARGER FOR TO-SIDIG UTSKRIFT"

Transkript

1 KOORDINATTRANSFORMASJON MÅLING OG BEREGNING AV POLYGONDRAG (POLYGONERING) NEDLASTBART TILLEGG TIL GEOMATIKKBOKA SIDE 329 SIDENE HAR MARGER FOR TO-SIDIG UTSKRIFT Jan Karlsen 2009 byggesaken.no P1 Geomatikkboka

2 På et byggeområde hvor flere aktører er avhengig av et felles, og meget nøyaktig grunnlagsnett, må alle bruke de samme (lokale) fastmerkene. Polygondrag er en metode for å bestemme (fastlegge) koordinater i grunnlagsnettet og vil være aktuelt i noen få år fremover. Det som oppnås med et polygondrag er at nye punkter får svært nøyaktige, relative koordinater, altså innbyrdes på byggeplassen. Selv om det er unøyaktigheter i kommunens nett (mellom fastmerker) vil dette ikke få betydning for tiltaket som bruker de nye punktene. Eksempler på tiltak hvor polygondrag er aktuelt kan være et større byggefelt, en lang veitrasé og inne i en tunnel, hvor GNSS-utstyr ikke kan brukes. I skolesamenheng er polygondrag velegnet som feltøvelser for å lære bruken av instrumentene, måleprosedyrer og vurdering og fordeling av feil i måleresultater. Eksemplene som vises i boka varier med hensyn til desimalbruk. I dag måles det med millimeter og milligon eller bedre. Utstyret som brukes dreier seg om en totalstasjon. Standarden Fastmerkenummerering og fastmerkeregister gir en beskrivelse av hvordan nummer kan tilordnes fastmerker brukt innen kart- og oppmålingsvirksomhet. Den beskriver også hva et fastmerkeregister skal og bør inneholde samt hvordan det bør fungere. Hensikten med standarden Fastmerkenummerering og fastmerkeregister er å bidra til rasjonell kvalitetssikring av forvaltningsoppgavene innen kart og oppmåling bl.a. ved at nummerering av fastmerkene bygges opp etter samme lest, og at fastmerkeregistrene får samme minimumsinnhold. Standarden definer polygonpunkt som koordinatbestemt punkt der koordinatene i grunnriss, eventuell høyde, er bestemt ved polygonering. Følgende overordnede krav stilles til fastmerkenummer og nummereringssystem: I registeret skal alle fastmerker ha landsunike identitetsnummer, tildelt av registermyndighet kartverket.no 2 Geomatikkboka P2

3 1 GRUNNLAG POLYGONDRAG Poly betyr mange. Gon betyr vinkel. Et drag kan bety en linje eller en terrengformasjon. Polygondrag er å bestemme koordinater på nye punkter ved å måle vinkler, lengder og høyder ut fra eksisterende fastmerker. Dette kapitlet tar for seg enkle polygondrag for å bli kjent med målingene og få innsikt i målerutinene. Det er ikke aktuelt å beregne polygondrag manuelt i dag, men en bør ha innsikt i grunnlaget. Programvaren ivaretar utjevninger etter gjeldende standarder, både for koordinater og høyder. Et polygondrag er altså å bestemme koordinater og høyder på fastmerker med stor innbyrdes nøyaktighet. Dette utføres ved å måle vinker og avstander mellom kjente punkter, og utjevne (fordele) eventuelle feil i fastmerkegrunnlaget eller i målingene. Skråmåling og feilfordeling i avstandsmåling er ikke vist i dette kapitlet. Skråmålinger er behandlet i Geomatikkboka. Sidelengdene i bokas eksempler og oppgaver er korte, og er kun ment til bruk i å lære systemet. Vinkler og avstander måles med totalstasjon. 1.1 INNLEDENDE OM POLYGONDRAG Hensikten med å etablere nye punkter kan dreie seg om å få kort avstand fra nye fastmerker til bygg som skal oppføres, eller nye fastmerker langs en veistrekning som skal bygges. Punktene som etableres kalles polygonpunkter. Stedvis etableres også nye punkter i forbindelse med generell kartlegging og oppmåling, men metoden er nå lite i bruk og på vei ut. Først bestemmes en del hovedpunkter i grunnlagsnettet ved hjelp av polygondrag eller såkalt triangulering. Grunnlagsnettet er inndelt i ordener hvor en høyere orden danner grunnlaget for en lavere orden, som har flere punkter. 1. ordens nett i offentlige oppmålinger har sidelengder på 30 km eller mer, mens 4. ordens nett har lengde ned mot 1 km på trekantsidene. Punktene i disse høyere målingene kalles for trekantpunkter. Det er en fordel å bruke landsnettet ved etablering av nye offentlige punkter. Da er det orientert mot sann nord og en slipper senere koordinattransformasjoner. Når en går ut fra eksisterende polygon- eller trekantpunkter og etablerer nye polygonpunkter er det viktig å få kontroll. Det alltid vil oppstå feil eller unøyaktigheter som må utjevnes etter spesielle kriterier, normer og metoder. P3 byggesaken.no 3

4 1.2 POLYGONDRAGSKJEMA Nedenfor vises et skjema for manuell beregning av polygondrag. Det er et utvidet koordinatberegningsskjema, og utvidelsen er at x og y føres i separate kolonner, og det er nye celler for kontroll og utjevning av måleresultater. Det er et skjema bak i boka som kan brukes som kopieringsoriginal. Venstre halvdel: er sanne koordinattilvekster mellom kjente fastmerker. Målt Σα er resultat av feltmålingene for vinklene. Sann Σα er mellom kjente fastmerker. Feil er differanse mellom målte og sanne retningsvinkler. Korr. α er korreksjonen for måleresultatene. Høyre halvdel: Målt Σ er resultat av feltmålingene. Målt er koordinatdifferanser på bakgrunn av feltmålingene. Sann er koordinatdifferanser mellom kjente fastmerker. Feil er differanse mellom målte og sanne D -verdier. Korr. er korreksjonen som føres over måleresultatene. Formler: Antall målinger er n. Feil = målt Σα - sann Σα Feil = målt Rv2 - sann Rv2 Korr. = Feil/-n P4 4 Geomatikkboka

5 2 POLYGONDRAGTYPER POLYGONDRAG Hvordan et polygondrag skal gjennomføres avhenger av hva det skal brukes til. Langs et veianlegg kan draget være langstrakt, mens for en byggeplass kan det være aktuelt med nye punkter rundt området. 2.1 TILKNYTTET POLYGONDRAG Nedenfor vises et drag som går mellom kjente trekantpunkter. Det måles brytningsvinkler (a) og horisontallengder (L) mellom de nye polygonpunktene. Draget går mellom B og C. Trekantpunktene A og D er her tilsiktningspunkter. Målingene kan lett kontrolleres og utjevnes manuelt for feil i måling av vinkler og lengder. LUKKET POLYGONDRAG Nedenfor vises et drag som også går mellom kjente trekantpunkter. Det måles brytningsvinkler (a) og horisontallengder mellom de nye polygonpunktene, men her startes og avsluttes draget i de samme punktene. Draget kan brukes i lokale områder og rundt byggefelter. Her får en også kontroll av eventuelle feil i måling av vinkler og lengder. A og B er tilsiktningspunkter for henholdsvis B og A. 2.2 BLINDT POLYGONDRAG Nedenfor vises et blinddrag som starter i koordinatbestemte trekantpunkter, men slutter uten å gå mot kjente punkter. Det måles brytningsvinkler (a ) og horisontallengder mellom de nye polygonpunktene. Det kan ikke utjevnes for feil i måling av vinkler og lengder og er lite aktuelt, men kan brukes til f.eks. å kontrollere punkter. P5 byggesaken.no 5

6 2.3 KNUTEPUNKTDRAG Nedenfor vises drag som går mellom kjente trekantpunkter og som knytter seg sammen i et knutepunkt (K). Det måles brytningsvinkler og horisontallengder mellom de nye polygonpunktene. Dragene beregnes i dag stort sett bare ved hjelp av dataprogrammer. 2.4 DRAGETS FORLØP Det måles alltid mindre eller større feil når en utfører feltarbeider. Nedenfor vises en planskisse med heltrukken strek hvor en fysisk har gått, mens den stiplede linjen viser hvor det beregningsmessig ser ut til å være gått. Når det måles kan det bli både ensidige og tilfeldige feil (se kap. om feil). Videre gang i arbeidene blir å beregne og utjevne (fordele, flytte, dra på plass) de beregnede koordinatene slik at de stemmer mest mulig med den fysiske beliggenheten. GAP Gap er en betegnelse på avviket mellom målt beliggenhet og sann, fysisk beliggenhet. Gapet er altså et retningsbestemt avvik i koordinattilvekster. P6 6 Geomatikkboka

7 2.5 UTSTYR FOR POLYGONDRAGMÅLING POLYGONDRAG l dag benyttes en totalstasjon til måling av vinkler og avstander. Målebånd kan også brukes med bra resultat for kortere strekninger, men blir stadig mindre aktuelt. Ved elektronisk avstandsmåling brukes gjerne to prismer. Totalstasjon Prismer/blinker Målebok Stativer 2.6 MÅLERUTINER Det er viktig for et godt resultat å tvangssentrere. Dette betyr at det brukes flere (minst tre stk.) stativer som stilles opp over punktene, og at kikkerten flyttes over til disse stativene som vist nedenfor. Hensikten er at eventuelle unøyaktigheter med sentreringen bare gir feil i vedkommende punkt, og får ikke betydning for resten av polygondraget. Nedenfor vises arbeidsgangen slik den bør utføres ved måling av et tilknyttet drag. Utstyret her dreier seg om en totalstasjon, prismer og flere stativer. TP-punktene er koordinatbestemte trekantpunkter. L er horisontallengder (L H ). Punktene A-B-C er nye polygonpunktene. a er brytningsvinkler, målt med sola. P7 byggesaken.no 7

8 Første kikkertoppstilling (TP1). Første kikkertoppstilling er i TP1 og et prisme settes på et stativ i A. a 1 måles mellom kirkespiret og A. Andre kikkertoppstilling (A). Neste kikkertoppstilling blir i punkt A. Et prisme settes på stativet i TP1 og et annet prisme settes på et stativ i B. a 2 måles og avstandene L 1 og L 2 til prismene i TP1 og B avleses. Tredje kikkertoppstilling (B). Et prisme settes i stativet i A. Videre flyttes kikkerten fra A til B. Stativet og prismet i TP1 flyttes til C. a 3 avleses. Videre kikkertoppstillinger. Videre oppstillinger følger arbeidsgangen ovenfor. Til slutt avleses a 5 mot TP3, hvor det settes opp et prisme eller en blink for nøyaktig retningsmåling. 2.7 FORMLER Det kan være hensiktsmessig å se litt på grunlaget for formlene som brukes til å kontrollere de målte brytningsvinklene. Eksemplene her viser grunnlaget for formlene i polygondragskjemaet. RETNINGSVINKLER Formel: Her vises hva som menes med Rv1 og Rv2. Retningsvinkelen fra TPA til TP22 er sann. Gjeldende Rv1 og Rv2 vil flytte seg fra punkt til punkt etter som en regner seg gjennom dragforløpet. Legg spesielt merke til at den første retningsvinkelen (Rv1) er fra det kjente fastmerke (tilsiktningspunktet) bortenfor det første oppstillingspunktet. l felten stilles det ikke opp i tilsiktningspunkter, men de inngår beregningene. Figuren ovenfor viser at fra et gitt punkt og videre ett punkt fremover blir det: Rv2= Rv1 + a - (1. 200) Her: n=1 P8 8 Geomatikkboka

9 Minioppgave: Tegn selv på figuren nedenfor og vis ved egen beregning at Rv2 kan bestemmes med formelen som er gitt her. Rv2= Rv1 + Sa- (n- 200) Her: n= a 0 = 50 g a 1 = 150 g a 2 = 70 g Kontroller med transportør. Legg merke til at vinklene er målt på den ene siden. Når PP2 skal koordinatberegnes flyttes angrepspunktet til PP1. Da blir retningsvinkelen fra TP22 mot PP1 pr. definisjon Rv1 i formelen, mens Rv2 går fra PP1 til PP2. LUKKET DRAG Formel for vinkelsum: ± betyr + for utvendige og - for innvendige målte brytningsvinkler. Her er TPA og TPB kjente. De utvendige brytningsvinklene og avstandene er målt. Minioppgave: Beregn matematisk sann Sa med formelen som er gitt, og sammenlikn med målingene. Sa = 200. (n ± 200) Sa målt = Sa sann = g g Feil = Sa målt - Sa sann = (Pass på fortegn.) g Når draget regens med sola får en her ved beregningsoppstart og formelbruk at den første retningsvinkelen er gitt ved: Rv1= Rv TPA->TPB (Her: 269 g ) Videre fremover i draget gjelder formelen nedenfor. Formel: Når du har gått rundt et lukket drag får du kontroll når du kommer tilbake til fastmerkene. P9 byggesaken.no 9

10 2.8 TILKNYTTET POLYGONDRAG Eksempel på et tilnyttet drag. Nedenfor skal tre nye P-punkter langs en vei koordinatbestemmes manuelt. TP-punktene er kjente. Når brytningsvinkler og lengder mellom punktene måles ved å gå fra (minst) to kjente fastmerker til to nye fastmerker kan de nye punktene bestemmes. Brytningsvinkler og horisontallengder måles ved bruk av flere stativer som da gir tvangssentrering i hvert punkt. Gitt: TP1: X= 61,013 Y= -128,182 TP2: X= 149,274 Y= - 81,166 TP3: X= 128,645 Y= 364,952 TP4: X= -127,076 Y= 793,786 Feltarbeider: Vinkelmålingene er utført ensidig. Avstandene er horisontalmål. Innearbeider: Besemmelse av basislinjen TP1->TP2 og TP3->TP4. Utjevning av koordinater. I eksemplet er lengder i mm og vinkler er i gon med kun tre desimaler. Dersom du ønsker å føre eksemplet selv kan du kopiere polygondragskjemaet som er satt inn bakerst i boka. Tegn også en god skisse av dragforløpet. P10 10 Geomatikkboka

11 Først legges draget inn i skjemaet med kjente koordinater. Før inn start- og sluttpunktene i rekkefølge som vist. Regn ut retningsvinklene mellom de kjente punktene, her 31,160 g og 134,231 g. UTJEVNING AV FEIL I BRYTNINGSVINKLER Før inn de målte brytningsvinklene og summer som vist. Her: 1103,171 g. Formel: Rv2 er den siste Rv, her fra TP3->TP4. Rv1 er den første Rv, her: Rv TP1->TP2 =31,160 g Sa er vinkelsummen av brytningsvinkler. n er antall brytningsvinkler. n. 200 g er sann vinkelsum i et tilknyttet drag. Rv2 = 31, ,171 - (5. 200) = 134,331 g Fei i målte brytningsvinkler kan nå beregnes. Pass på fortegn. Sann Rv2 = Rv TP3->TP4 =134,231 g Feil = Målt Rv2 - sann Rv2 Feil = 134,331 g - 134,231 g = 0,100 g Feilen fordeles tilnærmet likt med motsatt fortegn på de viste målingene for å oppheve feilen. Nedenfor er n antall målinger. Korreksjon = feil/ -n Korreksjon 0,100 g / -5 = -0,020 g Fordelingen skrives over målingene med rødt. Hvis det hadde vært 0,110 g som skulle fordeles hadde det blitt f.eks. tre målinger med korreksjoner på -0,020 og to med -0,025. Regnemessig: 3. -0, ,025 = - 0,060-0,050 = - 0,110 P11 byggesaken.no 11

12 BEREGNING AV RETNINGSVINKLER Formel: Nå skal det regnes fra punkt til punkt. n =1. Nedenfor er retningsvinklene ført inn. Dette starter med: Rv TP2->PA = 31,160 g + (296,889 g - 0,020 g ) - ( g ) = 128,069 g Rv PA->PB = 128,069 g + (118,480 g - 0,020 g ) - ( g ) = 46,489 g : Når du kommer ned til Rv TP3->TP4 får du kontroll. Rv TP3->TP4 = 134,231 g UTJEVNING AV LENGDEMÅLINGER Før inn de målte lengdene. (De gråmarkerte dataene er sanne og skal ikke tas med eller utjevnes.) Regn ut Dx og Dy og før inn svarene. Pass på fortegn. Summer Dx og Dy. Før inn S koordinattilvekster for Dx og D y (den totale forflytning). SDx = = mm SDy = = mm Sann D= siste - første fastmerke Her: Sann D= TP 3 - TP2 (Se tallene i skjemaet ovenfor.) Dx = = mm Dy = (-81166) = mm Feil = Målt D - sann D Her: Dx = +116 mm og Dy = +244 mm P12 12 Geomatikkboka

13 UTJEVNING AV KOORDINATTILVEKSTER Feil i avstandsmåling fordeles likt ved bruk av elektronisk avstandsmåler. Tidligere ble feilen fordelt i forhold til målte lengder (proporsjonalt) når det ble brukt målebånd. Korreksjon = feil/ -n Dx = Korreksjon = 116/ -4 = -29 mm Dy = Korreksjon = 244/ -4 = -61 mm Korreksjonen fordeles tilnærmet likt med motsatt fortegn på de viste målingene for å oppheve feilen. Før inn de fire fordelingene som vist. Siden det bare er gått mot positiv Y-verdi (øst) blir det ikke noe i den negative kolonnen for Dy nå. BEREGNING AV KOORDINATER PÅ POLYGONPUNKTER Nå beregnes de endelige koordinatene på P-punktene. XB = XA + Dx og YB = YA + Dy Korreksjoner legges til D-verdiene. X PA = X TP2 + Dx X PB = X PA + Dx X PA = (-67271) + (-29) = mm = 81,974 m X PB = (-29) = mm = 186,674 m Når du kommer ned til TP3 får du kontroll. Det ferdige polygondragskjemaet er vist nedenfor. P13 byggesaken.no 13

14 2.9 LUKKET POLYGONDRAG Eksempel på et lukket drag. Nedenfor skal tre nye P-punkter rundt en byggetomt koordinatbestemmes manuelt. TP-punktene er kjente. Når brytningsvinkler og lengder mellom punktene måles ved å gå rundt polygonen kan de nye punktene bestemmes. Gitt: TPA: X= Y= TPB: X= Y= Feltarbeider: Vinkelmålingene er utført utvendig. Avstandene er horisontalmål. Innearbeider: Besemmelse av basislinjen TPA->TPB. Utjevning av koordinater. Videre i eksemplet er lengder i mm og vinkler i gon, med tre desimaler. P14 14 Geomatikkboka

15 Først legges draget inn i skjemaet med kjente koordinater. Før inn start- og sluttpunktene som start- og sluttpunkter, selv om de er de samme punktene. Videre beregnes den kjente retningsvinkelen fra TPA til TPB. Her: Rv TPA-TPB = 276,927 g (Lengden og D-verdiene er ikke interessante videre.) UTJEVNING AV FEIL I BRYTNINGSVINKLER Før inn de målte brytningsvinklene og summer de som vist til venstre. Her: Sa = 1400,058 g Formel: ± betyr + for utvendige og - for innvendige målte brytningsvinkler. Sann vinkelsum for n antall vinkler i polygonen er nå: Sa = 200. (5+2) = 1400,000 g Feil = Målt Sa - sann Sa Fei i målte brytningsvinkler beregnes. Her: + 0,058 g. Pass på fortegn. Korreksjon = feil/ -n Korreksjonen fordeles tilnærmet likt med motsatt fortegn på de viste målingene. Korreksjon 0,058 g / -5 = -0,0116 g Her: 2 punkter gis -0,011 g og 3 punkter gis - 0,012 g. byggesaken.no 15 P15

16 BEREGNING AV RETNINGSVINKLER Den justerte brytningsvinkelen brukes nå for å bestemme retningsvinkelen fra punkt til punkt fra start i TPA til slutt mot TPB etter en runde. Formel: Nå skal det regnes fra punkt til punkt. n=1. Videre føres retningsvinklene inn i skjemaet. Dette starter med: Rv TPA->TPB = 275,927 g + 311,501 g - 0,012 g = 387,416 g Rv TPB->P1 = 387,416 g + 367,254 g -0,011 g = 154,659 g Når du kommer tilbake til Rv TPA-TPB får du kontroll da Rv TPA-TPB = 275,927 g UTJEVNING AV LENGDEMÅLINGER Nå skal feil i lengdemålinger fordeles. Start med å regne ut Dx og Dy. Bruk de utjevnede retningsvinklene. Pass på å føre positive og negative koordinattilvekster i riktig kolonne. Bruk formlene over kolonnene. Når Dx og Dy er regnet ut summeres de som vist ovenfor. P16 16 Geomatikkboka

17 Beregn sann D mellom TPA og TPB Sann D= siste - første fastmerke Her: Sann D= TPA - TPB Dx = = Dx = = Målt D er differansen i Dx- og Dy-verdiene. Dx = = mm Dy = = mm Feil = Målt D - sann D Her: Dx = + 22 mm og Dy = + 1 mm Korreksjon = feil/ -n Dx = Korreksjon = 22/ -4 = - 5,5 mm Dy = Korreksjon = 1/ -4 = - 0,25 mm Korreksjonen fordeles med motsatt fortegn på de viste målingene for å oppheve feilen. Her: Dx: 2 punkter gis -5 mm og 2 punkter gis -6 mm. Dy: 1 punkt gis -1 mm. Fordelingen plasseres vilkårlig, og skrives med rødt over målingene. Pass på fortegn. KOORDINATER PÅ POLYGONPUNKTER Nå beregnes de endelige koordinatene på P-punktene. XB = XA + Dx og YB = YA + Dy Korreksjoner legges til D-verdiene. X P1 = X TPB + Dx X P2 = X P1 + Dx X P1 = ( ) = mm = 6189,280 m X P2 = ( ) = mm = 6160,330 m Når du kommer ned til TPA får du kontroll. P17 byggesaken.no 17

18 Det ferdige polygondragskjemaet er vist nedenfor. P18 18 Geomatikkboka

19 2.10 TILKNYTTET DRAG FOR EN VEI POLYGONDRAG Oppgave med beregning av fire punkter langs en vei. Bestem koordinatene til de fire nye punktene som er vist på skissen nedenfor. Gitt: Punkt X Y H TP , , ,164 TP , ,019 TP , , ,433 TP , ,246 Beregn gapet. Skjemaet ovenfor bør kopiereres og forstørres. P19 byggesaken.no 19

20 2.11 TILKNYTTET DRAG FOR EN RØRGATE Oppgave med beregning av tre punkter langs en rørgate. Bestem koordinatene til de tre nye punktene som er vist på skissen nedenfor. Gitt: Punkt X Y H TP , ,940 TP , ,555 TP , ,084 TP , ,523 Beregn gapet. Skjemaet ovenfor bør kopiereres og forstørres. P20 20 Geomatikkboka

21 2.12 LUKKET DRAG RUNDT EN PARK POLYGONDRAG Oppgave med beregning av tre punkter rundt en tomt. Bestem koordinatene til de tre P-hjørnene som er vist på skissen nedenfor. Lokale koordinater for de kjente punktene P1 og P2 vist nedenfor. P141: X= 3750,207 Y= -1464,672 P142: X= 3770,011 Y= -1396,003 Beregn gapet. Skjemaet ovenfor bør kopiereres og forstørres. P21 byggesaken.no 21

22 2.13 TILKNYTTET DRAG I BYSENTRUM Oppgave med beregning av tre punkter rundt en tomt. Bestem koordinatene til de tre P-punktene som er vist på skissen nedenfor. Gitt: TP1 X = ,123 Y= ,730 TP2 X = ,519 Y = ,089 TP3 X= ,382 Y= ,911 TP4 X= ,231 Y= ,320 Målt: a TP3 = 164,615 g L 1 = 79,945 m a P3 = 46,573 g L 4 =137,700 m a P1 = 270,826 g L 2 = 63,612 m a TP4 = 145,047 g a P2 = 298,542 g L 3 = 62,070 m Beregn gapet. Skjemaet ovenfor bør kopiereres og forstørres. *** P22 22 Geomatikkboka

Dersom summen vert over 400 g må ein trekkje dette frå.

Dersom summen vert over 400 g må ein trekkje dette frå. 13. POLYGONDRAG Nemninga polygondrag kjem frå ein tidlegare nytta metode der ein laga ein lukka polygon ved å måle sidene og vinklane i polygonen. I dag er denne typen lukka polygon lite, om i det heile

Detaljer

TRIGONOMETRISKE BEREGNINGER FOR GEOMATIKK VED BRUK AV KALKULATORER

TRIGONOMETRISKE BEREGNINGER FOR GEOMATIKK VED BRUK AV KALKULATORER BILAG TRIGONOMETRISKE BEREGNINGER FOR GEOMATIKK VED BRUK AV KALKULATORER FORELØPIG UTGAVE 1. OKTOBER 2016 1 BØKER FRA BYGGESAKEN AS Les om bøkene og bestill på www.byggesaken.no 2 KALKULATORER OG TRIGONOMETRISKE

Detaljer

RAPPORT FOR FASTMERKER INNFJORDTUNNELEN. Terratec. Prosjektnummer / 6462

RAPPORT FOR FASTMERKER INNFJORDTUNNELEN. Terratec. Prosjektnummer / 6462 RAPPORT FOR FASTMERKER INNFJORDTUNNELEN Terratec Prosjektnummer 50152 / 6462 1 INNHOLD 1. Oppdraget... 3 1.1. Bakgrunn/beskrivelse av oppdraget... 3 1.2. Oppdragsdata... 3 2. Utførelse... 3 2.1. Krav til

Detaljer

RAPPORT FOR FASTMERKER MÅNDALSTUNNELEN. Terratec. Prosjektnummer / 6462

RAPPORT FOR FASTMERKER MÅNDALSTUNNELEN. Terratec. Prosjektnummer / 6462 RAPPORT FOR FASTMERKER MÅNDALSTUNNELEN Terratec Prosjektnummer 50152 / 6462 1 INNHOLD 1. Oppdraget... 3 1.1. Bakgrunn/beskrivelse av oppdraget... 3 1.2. Oppdragsdata... 3 2. Utførelse... 3 2.1. Krav til

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Side 1 Eksamen i: GEG2210 Eksamensdag: 9. juni 2006 Tid for eksamen: 1430 1730 (3 timer) Oppgavesettet er på 3 sider Vedlegg: 2 vedlegg

Detaljer

Hva skal utføres? Referanser: Nett felles innmåling av anlegg. 1. Generelle krav. Det skal foretaes innmåling av anleggsdeler.

Hva skal utføres? Referanser: Nett felles innmåling av anlegg. 1. Generelle krav. Det skal foretaes innmåling av anleggsdeler. REN blad 8042 Versjon 1 2006 Nett felles innmåling av anlegg Hva skal utføres? Det skal foretaes innmåling av anleggsdeler. Referanser: 1) FEF 2006 4-4, 5-3, veiledning. Kabler som legges i samme grøft

Detaljer

Trimble S3. med målebok TSC3. Brukermanual

Trimble S3. med målebok TSC3. Brukermanual Trimble S3 med målebok TSC3 Brukermanual Gauldal Tekniske Fagskole Kart og Oppmåling Hovedprosjekt Siv Mariann Aas Mai 2013 Innhold Forord... 4 Oversikt over utstyr... 6 Batteriskifte... 6 Oppstilling

Detaljer

Oppgave i landmåling på Mjølfjell. Prosjektering og utstikking av hytte. Deloppgaver: Kom i gang. Innmåling av situasjonspunkt.

Oppgave i landmåling på Mjølfjell. Prosjektering og utstikking av hytte. Deloppgaver: Kom i gang. Innmåling av situasjonspunkt. Oppgave i landmåling på Mjølfjell Prosjektering og utstikking av hytte Deloppgaver: Kom i gang Innmåling av situasjonspunkt Prosjektering Utstikking av hus Kontrollmåling I denne oppgaven skal vi ikke

Detaljer

FASIT. Rev. per 1.3.2011. Ikke fullstendig. Mer kommer senere. Jan Karlsen byggesaken.no Geomatikkboka

FASIT. Rev. per 1.3.2011. Ikke fullstendig. Mer kommer senere. Jan Karlsen byggesaken.no Geomatikkboka FASIT Rev. per 1.3.2011 Ikke fullstendig. Mer kommer senere. Jan Karlsen byggesaken.no Geomatikkboka LØSNINGSFORSLAG TIL GEOMATIKKBOKA Det er viktig å kontrollere både sine egne arbeider og det en mottar

Detaljer

EKSAMEN I EMNE SIB 6005 GEOMATIKK-1. Torsdag 25. november 1999 Tid: 0900-1500

EKSAMEN I EMNE SIB 6005 GEOMATIKK-1. Torsdag 25. november 1999 Tid: 0900-1500 NORGES TEKNISK-NTURVITENSKPELIGE UNIVERSITET (GM1-99h) side 1 av 5 INSTITUTT FOR KRT OG OPPMÅLING EKSMEN I EMNE SIB 65 GEOMTIKK-1 Torsdag 25. november 1999 Tid: 9-15 Faglig kontakt under eksamen: Oddgeir

Detaljer

Forelesning i SIB6005 Geomatikk, 30.9.2002. HoltEX

Forelesning i SIB6005 Geomatikk, 30.9.2002. HoltEX 1 Forelesning i SIB6005 Geomatikk, 30.9.2002 Geodesi/landmåling. 30.9 DAGENS TEMA: Gi bakgrunn for feltøvingen GPS: Planlegging HoltEX Tp343 Passpunkt Klassisk måling: Vinkel- og avstandsmåling Nytt pkt

Detaljer

Kommentarer til boka Regneark for barnetrinnet 1

Kommentarer til boka Regneark for barnetrinnet 1 Kommentarer til boka Regneark for barnetrinnet (Ideen er den samme, men skjermbildene noe forskjellige i ulike versjoner av Excel) Arket Om regneark Endre cellebredden Plasser markøren midt mellom to kolonner.

Detaljer

Excel. Excel. Legge inn tall eller tekst i en celle. Merke enkeltceller

Excel. Excel. Legge inn tall eller tekst i en celle. Merke enkeltceller Excel Hva er et regneark? Vi bruker regneark til å sortere data, gjøre beregninger og lage diagrammer. I denne manualen finner du veiledning til hvordan du kan bruke regneark. Et regneark består av celler

Detaljer

Matematikk og fysikk RF3100

Matematikk og fysikk RF3100 DUMMY Matematikk og fysikk RF300 Løsningsforslag 23. januar 205 Tidsfrist: 30.januar 205 Oppgave a) Gjør om til kanoniske polarkoordinater, d.v.s. (r, θ)-koordinater innenfor området r 0 og 80 < θ < 80.

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Ryfast og Rogfast. Bygg- og anleggsnett + kontrollmålinger i tunnelene. Asbjørn Eilefsen Statens vegvesen Region sør/vegdirektoratet

Ryfast og Rogfast. Bygg- og anleggsnett + kontrollmålinger i tunnelene. Asbjørn Eilefsen Statens vegvesen Region sør/vegdirektoratet Ryfast og Rogfast Bygg- og anleggsnett + kontrollmålinger i tunnelene Asbjørn Eilefsen Statens vegvesen Region sør/vegdirektoratet Aktuelle standarder grunnlagsnett/ byggog anleggsnett Krav: Klasse Bygg-

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

Skriv teksten «Ukelønn» i celle A1 (kolonne A, rad 1) og 60 i celle B1 (kolonne B, rad 1). Løsning

Skriv teksten «Ukelønn» i celle A1 (kolonne A, rad 1) og 60 i celle B1 (kolonne B, rad 1). Løsning Hva er et regneark? Vi bruker regneark til å sortere data, gjøre beregninger og lage diagrammer. I denne manualen finner du veiledning til hvordan du kan bruke regneark. Et regneark består av celler som

Detaljer

36038 GEODESI 2 LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN 10.1.2000, kl 0900 1400

36038 GEODESI 2 LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN 10.1.2000, kl 0900 1400 Geodesi 2-99v 1 INSTITUTT FOR GEOMATIKK NTNU side 1 av 6 36038 GEODESI 2 LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN 10.1.2000, kl 0900 1400 (Det synes som om også dette års oppgaver var mer arbeidskrevende enn tidligere

Detaljer

Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til?

Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til? Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til? 14 Vi starter med blanke regneark! Regneark MÅL I dette kapitlet skal du lære om hva et regneark er budsjett og regnskap hvordan du kan gjøre enkle utregninger

Detaljer

Jernbaneverket OVERBYGNING Kap.: 5 Hovedkontoret Regler for bygging Utgitt: 01.01.00

Jernbaneverket OVERBYGNING Kap.: 5 Hovedkontoret Regler for bygging Utgitt: 01.01.00 Utfesting og fastmerkenett Side: 1 av 7 1 Hensikt og omfang...2 2 Varig utfesting av linjen...3 2.1 Generelt...3 2.2 Sporets faktiske beliggenhet...3 2.2.1 Sporjustering og nøytralisering... 3 2.2.2 Registrering

Detaljer

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver) Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen

Detaljer

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1.1: 367 + 254 = 621 c: 67. 88 536 536 = 5896 e: 18,4-9,06 = 9,34 24,8 + 7,53 = 32,33 d: 3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4 32 f: 12 2. 5 2 = 12 2. 25 = 12

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 30 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Oppgave 2 (1 poeng) På et kart er avstanden fra et punkt A til

Detaljer

Jernbaneverket OVERBYGNING Kap.: 13 Hovedkontoret Regler for prosjektering Utgitt: 01.01.00

Jernbaneverket OVERBYGNING Kap.: 13 Hovedkontoret Regler for prosjektering Utgitt: 01.01.00 Utfesting og fastmerkenett Side: 1 av 18 1 Hensikt og omfang... 1.1 Hensikt... 1. Omfang... 1.3 Grunnleggende krav...3 1.3.1 Utfestingsmetode... 3 1.3. Fastmerkenett... 3 Varig utfesting av linjen...4.1

Detaljer

Fig. 3.2 Utsetting av rett vinkel

Fig. 3.2 Utsetting av rett vinkel 3 UTSETTING AV RETTE VINKLAR Den rette vinkelen spelar ei viktig rolle i landmålinga. Ved oppmåling skal ein felle ned normalar og ved utstikking reise normalar på måleliner. Arbeidet må gå snøgt, og vere

Detaljer

Utfordringer med EUREF

Utfordringer med EUREF Utfordringer med EUREF v/ Bjørn Godager, Høgskolen i Gjøvik Email: bjoern.godager@hig.no Hjemmeside: http://www.hig.no/geomatikk/ Tlf: 61 13 52 75 41 25 24 68 Temaer Innledning/ bakgrunn/ temaer i foredraget

Detaljer

Totalstasjon funksjoner. Trykk på instrument symbolet for å komme til Menyen for instrumentet ditt.

Totalstasjon funksjoner. Trykk på instrument symbolet for å komme til Menyen for instrumentet ditt. Totalstasjon funksjoner Trykk på instrument symbolet for å komme til Menyen for instrumentet ditt. Eller trykk og hold inne Trimble symbolet på tastaturet ditt. Denne menyen vil variere alt etter hvilke

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Bevist valg av kartleggingmetodikk for 3D kartlegging. Grotolf ver. 4.27

Bevist valg av kartleggingmetodikk for 3D kartlegging. Grotolf ver. 4.27 Bevist valg av kartleggingmetodikk for 3D kartlegging. Grotolf ver. 4.27 Her er noen tanker og tips om hvordan man kan kartlegge/ sette stasjoner for å få frem et 3D kart som fremstår sammenhengende og

Detaljer

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 31.05.011 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del skal leveres inn

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

LANDMÅLINGS RAPPORT Rindal 2002

LANDMÅLINGS RAPPORT Rindal 2002 Statens kartverk Møre og Romsdal LANDMÅLINGS RAPPORT Rindal 2002 Desember 2002 INNHOLD 1. GENERELT...3 1.1 Oppdragsgiver...3 1.2 Oppdragets nummer og navn...3 1.3 Underleverandører...3 1.4 Lagring av data...3

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: GEG2210 Eksamensdag: Onsdag 8. juni 2005 Tid for eksamen: 3 timer Oppgavesettet er på 3 sider Vedlegg: 1 vedlegg (2 sider)

Detaljer

side 1 av 8 Fysikk 3FY (Alf Dypbukt) Rune, Jon Vegard, Øystein, Erlend, Marthe, Hallvard, Anne Berit, Lisbeth

side 1 av 8 Fysikk 3FY (Alf Dypbukt) Rune, Jon Vegard, Øystein, Erlend, Marthe, Hallvard, Anne Berit, Lisbeth side 1 av 8 Fysikk 3FY (Alf Dypbukt) Racerbilkjøring Mål: Regne ut alt vi kan ut i fra de målingene vi tar. Innledning: I denne rapporten har vi gjort diverse utregninger, basert på tall vi har fra et

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) Ved kommunevalget i høst fikk et politisk parti 4,5 % av stemmene. Ved forrige kommunevalg fikk partiet 3,6 % av stemmene. a) Hvor mange prosentpoeng har økningen

Detaljer

-!4%-!4)++5.$%23 +%,3%.

-!4%-!4)++5.$%23 +%,3%. 6EDLEGG -!4%-!4)++5.$%23 +%,3%. Dette er en undersøkelse om forkunnskaper hos nye studenter. Den blir gjennomført ved alle universiteter og høgskoler i Norge. Ansvarlig for undersøkelsen er Norsk Matematikkråd.

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Høsten 201 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt

Detaljer

Eksamen i matematikk løsningsforslag

Eksamen i matematikk løsningsforslag Eksamen i matematikk 101 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT101 Eksamen Tid: 4 timer Dato: 24.10.2016 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Notodden og nett Antall sider:

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: GEG2210 Eksamensdag: 8. juni 2009 Tid for eksamen: 3 timer Oppgavesettet er på 4 sider + 1 side vedlegg, totalt 5 sider Vedlegg:

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (14 poeng) a) Skriv så enkelt som mulig x x 5 10x 5 b) Løs likningen x 1 3 1 c) Skriv så enkelt som mulig a a 1 4 3 4 a 3 a d) Gitt ABC ovenfor. AB 5,0, AC 3,0 og BC 4,0.

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn. Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut. a) 34, ,3 = c) 1,1 2,9 = b) 3,06 1,28 = d) 33 : 2,2 =

ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn. Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut. a) 34, ,3 = c) 1,1 2,9 = b) 3,06 1,28 = d) 33 : 2,2 = ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn Del 1: 2 timer. Maks 30,5 poeng. Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Bruk sort eller blå penn når du fører inn svar eller

Detaljer

Radene har løpenummer nedover og kolonner navnes alfabetisk. Dermed får hver celle (rute) et eget "navn", eksempelvis A1, B7, D3 osv.

Radene har løpenummer nedover og kolonner navnes alfabetisk. Dermed får hver celle (rute) et eget navn, eksempelvis A1, B7, D3 osv. Excel grunnkurs Skjermbilde/oppbygging Radene har løpenummer nedover og kolonner navnes alfabetisk. Dermed får hver celle (rute) et eget "navn", eksempelvis A1, B7, D3 osv. I hver celle kan vi skrive Tekst

Detaljer

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 27.01.2012 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Lokal læreplan Sokndal skole:

Lokal læreplan Sokndal skole: Lokal læreplan Sokndal skole: Fag: Matematikk Trinn:7. Uk er 1/2 time pr uke halv e året 1/2 time pr uke halv e året 34-37 Tema Tid og fart Ligninger Kap. 1: Tall Plassverdisystemet Naturlige Digitale

Detaljer

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m

Detaljer

HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray

HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray HamboHus Technical Note Nr 10: Terreng HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray I HamboHus 5.4 er implementasjonen av terreng utvidet og forbedret. Det er lettere å lage terrengpunkter, og mye

Detaljer

Kvalitet i eiendomsregisteret

Kvalitet i eiendomsregisteret Kvalitet i eiendomsregisteret Sikrer beregningskravene i gjeldende standarder den kvaliteten til koordinater i Matrikkelen som loven ønsker? Geodesi- og hydrografidagene Sola 12.11.2014 Tema Lov om eigedomsregistrering

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

FYS 2150.ØVELSE 14 GEOMETRISK OPTIKK

FYS 2150.ØVELSE 14 GEOMETRISK OPTIKK FYS 250ØVELSE 4 GEOMETRISK OPTIKK Fysisk institutt, UiO 4 Teori 4 Sfæriske speil Figur 4: Bildedannelse med konkavt, sfærisk speil Speilets krumningssenter ligger i punktet C Et objekt i punktet P avbildes

Detaljer

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra:

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra: Kartlegging / vurdering av nivå Begynn året med et kort kurs i tall-lære og matematiske symboler. Deretter kartlegging som plasserer elevene i nivågruppe. De som kan dette, jobber med tekstoppgaver / problemløsning.

Detaljer

Beregning av vern og kabeltverrsnitt

Beregning av vern og kabeltverrsnitt 14 Beregning av vern og kabeltverrsnitt Læreplanmål planlegge, montere, sette i drift og dokumentere enkle systemer for uttak av elektrisk energi, lysstyringer, varmestyring og -regulering beregnet for

Detaljer

Kapittel 21 TESSELERING TESSELERING. Tesselere betyr å dekke en flate med en type eller noen få forskjellige typer figurer.

Kapittel 21 TESSELERING TESSELERING. Tesselere betyr å dekke en flate med en type eller noen få forskjellige typer figurer. TESSELERING Tesselere betyr å dekke en flate med en type eller noen få forskjellige typer figurer. Tesselering i planet med regulære mangekanter (regulære polygon) Vi bruker en regulær åttekant (et regulært

Detaljer

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men

Detaljer

Eksamen 13.05.2009. Stortinget. Arkimedes. MAT0010 Matematikk Elever (10. årstrinn) Del 2. Bokmål

Eksamen 13.05.2009. Stortinget. Arkimedes. MAT0010 Matematikk Elever (10. årstrinn) Del 2. Bokmål Eksamen 13.05.2009 MAT0010 Matematikk Elever (10. årstrinn) Del 2 Stortinget Bokmål Arkimedes Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer totalt: Del 1 skal du levere innen 2

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

INF Triangulering. Med sterk støtte fra Petter Kristiansen. Skal først se på et eksempel fra Google Earth

INF Triangulering. Med sterk støtte fra Petter Kristiansen. Skal først se på et eksempel fra Google Earth INF 4130 17. november 2011 Triangulering Stein Krogdahl Med sterk støtte fra Petter Kristiansen Skal først se på et eksempel fra Google Earth De bruker en underliggende triangulering av landskapet, men

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri Basisoppgaver til 1P kap. Geometri.1 Lengde og areal. Formlikhet. Areal og omkrets av plane figurer.4 Rettvinklede trekanter. Pytagorassetningen.5 Areidstegninger og kart.6 Volum og volumenheter.7 Overflate

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

1P eksamen våren 2016

1P eksamen våren 2016 1P eksamen våren 2016 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (2 poeng) Ved kommunevalget i høst fikk et politisk parti 4,5 % av stemmene.

Detaljer

FORSØK I OPTIKK. Forsøk 1: Bestemmelse av brytningsindeks

FORSØK I OPTIKK. Forsøk 1: Bestemmelse av brytningsindeks FORSØK I OPTIKK Forsøk 1: Bestemmelse av brytningsindeks Hensikt I dette forsøket skal brytningsindeksen bestemmes for en sylindrisk linse ut fra måling av brytningsvinkler og bruk av Snells lov. Teori

Detaljer

Pytagoras, Pizza og PC

Pytagoras, Pizza og PC Øistein Gjøvik Pytagoras, Pizza og PC Skal vi bestille en stor eller to små? Eller kanskje en medium og en liten? Magnus har helt klart tenkt seg å få mest for pengene. Kan du regne ut hvor stor forskjellen

Detaljer

Bruk SUMMER-funksjonen i formelen i G9. Oppgave 14. H. Aschehoug & Co Side 1

Bruk SUMMER-funksjonen i formelen i G9. Oppgave 14. H. Aschehoug & Co  Side 1 Repetisjon fra kapittel 2: Summere mange tall, funksjonen SUMMER() Regnearket inneholder en mengde innebygde funksjoner. Vi skal her se på en av de funksjonene vi oftest bruker. Funksjonen SUMMER() legger

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 vår 2013

TMA4105 Matematikk 2 vår 2013 TMA4105 Matematikk vår 013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavene er fra læreboka Merk: I løsningene til alle oppgavene fra seksjon

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

ÅRSPLAN I MATEMATIKK 17/18

ÅRSPLAN I MATEMATIKK 17/18 Tall KOMPETANSEMÅL PERIODE ARBEIDSMETODE DIGITALT VERKTØY Forstå plassverdisystemet for hele tall og, alt fra tusendeler til millioner og så med brøker og prosent. De skal også forstå utvidelsen til negative

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset INNHOLD Side 1. Konstruksjon 2 1.1 Startvinduet 2 1.2 Markere punkter 3 1.3 Midtpunkt 4 1.4 Linje mellom punkter 5 1.5 Vinkelrett linje 6 1.6 Tegne en mangekant 6 1.7 Høyden

Detaljer

Multiplikasjon s. 3 Multiplikasjon med desimaltal s. 4 Divisjon s. 5 Divisjon med desimaltal s. 6 Omkrins s. 7 Areal s. 8 Utvide og forkorta brøk s.

Multiplikasjon s. 3 Multiplikasjon med desimaltal s. 4 Divisjon s. 5 Divisjon med desimaltal s. 6 Omkrins s. 7 Areal s. 8 Utvide og forkorta brøk s. 1 Multiplikasjon s. 3 Multiplikasjon med desimaltal s. 4 Divisjon s. 5 Divisjon med desimaltal s. 6 Omkrins s. 7 Areal s. 8 Utvide og forkorta brøk s. 9 Addisjon og subtraksjon med brøk s. 10 Multiplikasjon

Detaljer

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på. Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

QED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL

QED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL QED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL S 34: Linja rett over Eksempel 7: Skal være = 30, = 40, = 50 Tallet 34 i Eksempel 7 skal være δ S 37: Andre linje i 124: Det skal være «kile og hakk», dvs at symbolet som står

Detaljer

Jernbaneverket OVERBYGNING Kap.: 5 Infrastruktur Regler for vedlikehold Utgitt:

Jernbaneverket OVERBYGNING Kap.: 5 Infrastruktur Regler for vedlikehold Utgitt: Utfesting og fastmerkenett Side: 1 av 7 1 Hensikt og omfang...2 2 Varig utfesting av linjen...3 2.1 Generelt...3 2.2 Kontrollhyppighet...3 2.3 Kontroll av VUL-merker og geodetisk fastmerkenett...3 2.3.1

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2014 2015

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2014 2015 Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 204 205 Første runde. november 204 Ikke bla om før læreren sier fra! Abelkonkurransens første runde består av 20 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet av 00 minutter.

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har

Detaljer

Hver av oppgavene 1-3 teller likt dvs 1/3 hver. Oppgave 1: Fotogrammetri.

Hver av oppgavene 1-3 teller likt dvs 1/3 hver. Oppgave 1: Fotogrammetri. Hver av oppgavene 1-3 teller likt dvs 1/3 hver. Oppgave 1: Fotogrammetri. a. Forklar forskjellen på sentralprojeksjon og ortogonalprojeksjon. Orthogonalprojeksjon er proj. Vinkelrett på flate (à la kartproj)

Detaljer

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål Eksamen 05.12.2007 AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Oppgave 1 a) Deriver funksjonen: f x 2 ( ) = cos( x + 1) b) Løs likningen og oppgi svaret

Detaljer

Presisjonsmåling med standardutstyr

Presisjonsmåling med standardutstyr Vitenskapelig bedømt (refereed) artikkel Inge Revhaug and Øyvind Grindheim: Precision surveying with standard instruments. KART OG PLAN, Vol 70, pp. 9 17, P.O.B. 5003, NO-1432 Ås, ISSN 0047-3278 Due to

Detaljer

SIB6005 Geomatikk, høsten 2002. Øving 4, del B. Elementmetoden: Koordinat- og høydeberegninger. SIB6005 Geomatikk, 2002. Øving 4.A

SIB6005 Geomatikk, høsten 2002. Øving 4, del B. Elementmetoden: Koordinat- og høydeberegninger. SIB6005 Geomatikk, 2002. Øving 4.A WWW.GEOMATIKK.NTNU.NO 1 Ut: 28.10 Inn: Sammen med 4A og 4C, 22.11 SIB6005 Geomatikk, høsten 2002. Øving 4, del B Elementmetoden: Koordinat- og høydeberegninger SIB6005 Geomatikk, 2002. Øving 4.A Etter

Detaljer

Geometra. Brukermanual. Telefon: 64831920

Geometra. Brukermanual. Telefon: 64831920 Geometra Brukermanual Telefon: 64831920 Innhold GENERELT...3 Hva er Geometra?...3 Om PDF tegninger...3 KOM I GANG!...5 Start programvaren og logg inn...5 Grunnleggende funksjoner:...6 Lag et prosjekt,

Detaljer

Tallregning Vi på vindusrekka

Tallregning Vi på vindusrekka Tallregning Vi på vindusrekka Addisjon... 2 Addisjon: Oppstilling... 3 Addisjon med minnetall... 4 Addisjon med desimaltall... 5 Subtraksjon... 6 Subtraksjon uten låning... 7 Subtraksjon med låning...

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2

Eksamen REA3024 Matematikk R2 Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

27.10.2009 Kapittel 5... 1. Søyle og drager. DDS-CAD Arkitekt FP 6.5 SR1. Kapittel 5 - Søyle og drager... 3. Søyle... 3 Drager...

27.10.2009 Kapittel 5... 1. Søyle og drager. DDS-CAD Arkitekt FP 6.5 SR1. Kapittel 5 - Søyle og drager... 3. Søyle... 3 Drager... 27.10.2009 Kapittel 5... 1 Kapittel Innhold... Side Kapittel 5 -... 3 Søyle... 3 Drager... 6 2... Kapittel 5 27.10.2009 27.10.2009 Kapittel 5... 3 Kapittel 5 - Søyle Det skal plasseres to søyler samt en

Detaljer

Skjema for arbeidsplanlegging og tidsregistrering (revidert versjon, 21. des. 2015)

Skjema for arbeidsplanlegging og tidsregistrering (revidert versjon, 21. des. 2015) Skjema for arbeidsplanlegging og tidsregistrering (revidert versjon, 21. des. 2015) Skjemaet består av to deler. En del for arbeidsplanlegging og beregning av tilleggslønn, jf. punkt A nedenfor, og en

Detaljer

Utvendig sikringsanlegg Side: 1 av 12

Utvendig sikringsanlegg Side: 1 av 12 Utvendig sikringsanlegg Side: 1 av 12 1 LIKESTRØMSPORFELTER PÅ STASJONER...2 1.1 Beregning av ballastmotstand...2 1.2 Korreksjon av beregnet ballastmotstand...2 1.3 Beregning av R t og E...3 1.4 Relèets

Detaljer

Geografisk navigasjon. Lengde- og breddegrader

Geografisk navigasjon. Lengde- og breddegrader Geografisk navigasjon Kartreferanse er en tallangivelse av en geografisk posisjon. Tallene kan legges inn i en datamaskin med digitalt kart, en GPS eller avmerkes på et papirkart. En slik tallmessig beskrivelse

Detaljer

1 Grenser. Retten skal bemerke

1 Grenser. Retten skal bemerke Vernegrensen ble fastsatt ved Kongelig resolusjon 25.02.2011. Grunnlaget for jordskifterettens grensemerking er vernekartet i målestokk 1:50.000 datert februar 2011, samt verneområdets forskrift om fredning.

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten

Detaljer

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER.

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER. TENTAMEN, VÅR 017. FASIT MED KOMMENTARER. DELPRØVE 1. OPPG 1 556 + 1555 = 111 3 85 = - (85 3) 85-3 6 3 85 = - 6 C: 30. 9 718 108 = 1798 D: 68 : 3 = 16 6 3 18 18 OPPG 3 50 mm = 3,50 m 0, h = 0,. 60 = 1

Detaljer