POLYGONDRAG MÅLING OG BEREGNING AV POLYGONDRAG (POLYGONERING) NEDLASTBART TILLEGG TIL GEOMATIKKBOKA SIDE 329 SIDENE HAR MARGER FOR TO-SIDIG UTSKRIFT
|
|
- Oscar Olafsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 KOORDINATTRANSFORMASJON MÅLING OG BEREGNING AV POLYGONDRAG (POLYGONERING) NEDLASTBART TILLEGG TIL GEOMATIKKBOKA SIDE 329 SIDENE HAR MARGER FOR TO-SIDIG UTSKRIFT Jan Karlsen 2009 byggesaken.no P1 Geomatikkboka
2 På et byggeområde hvor flere aktører er avhengig av et felles, og meget nøyaktig grunnlagsnett, må alle bruke de samme (lokale) fastmerkene. Polygondrag er en metode for å bestemme (fastlegge) koordinater i grunnlagsnettet og vil være aktuelt i noen få år fremover. Det som oppnås med et polygondrag er at nye punkter får svært nøyaktige, relative koordinater, altså innbyrdes på byggeplassen. Selv om det er unøyaktigheter i kommunens nett (mellom fastmerker) vil dette ikke få betydning for tiltaket som bruker de nye punktene. Eksempler på tiltak hvor polygondrag er aktuelt kan være et større byggefelt, en lang veitrasé og inne i en tunnel, hvor GNSS-utstyr ikke kan brukes. I skolesamenheng er polygondrag velegnet som feltøvelser for å lære bruken av instrumentene, måleprosedyrer og vurdering og fordeling av feil i måleresultater. Eksemplene som vises i boka varier med hensyn til desimalbruk. I dag måles det med millimeter og milligon eller bedre. Utstyret som brukes dreier seg om en totalstasjon. Standarden Fastmerkenummerering og fastmerkeregister gir en beskrivelse av hvordan nummer kan tilordnes fastmerker brukt innen kart- og oppmålingsvirksomhet. Den beskriver også hva et fastmerkeregister skal og bør inneholde samt hvordan det bør fungere. Hensikten med standarden Fastmerkenummerering og fastmerkeregister er å bidra til rasjonell kvalitetssikring av forvaltningsoppgavene innen kart og oppmåling bl.a. ved at nummerering av fastmerkene bygges opp etter samme lest, og at fastmerkeregistrene får samme minimumsinnhold. Standarden definer polygonpunkt som koordinatbestemt punkt der koordinatene i grunnriss, eventuell høyde, er bestemt ved polygonering. Følgende overordnede krav stilles til fastmerkenummer og nummereringssystem: I registeret skal alle fastmerker ha landsunike identitetsnummer, tildelt av registermyndighet kartverket.no 2 Geomatikkboka P2
3 1 GRUNNLAG POLYGONDRAG Poly betyr mange. Gon betyr vinkel. Et drag kan bety en linje eller en terrengformasjon. Polygondrag er å bestemme koordinater på nye punkter ved å måle vinkler, lengder og høyder ut fra eksisterende fastmerker. Dette kapitlet tar for seg enkle polygondrag for å bli kjent med målingene og få innsikt i målerutinene. Det er ikke aktuelt å beregne polygondrag manuelt i dag, men en bør ha innsikt i grunnlaget. Programvaren ivaretar utjevninger etter gjeldende standarder, både for koordinater og høyder. Et polygondrag er altså å bestemme koordinater og høyder på fastmerker med stor innbyrdes nøyaktighet. Dette utføres ved å måle vinker og avstander mellom kjente punkter, og utjevne (fordele) eventuelle feil i fastmerkegrunnlaget eller i målingene. Skråmåling og feilfordeling i avstandsmåling er ikke vist i dette kapitlet. Skråmålinger er behandlet i Geomatikkboka. Sidelengdene i bokas eksempler og oppgaver er korte, og er kun ment til bruk i å lære systemet. Vinkler og avstander måles med totalstasjon. 1.1 INNLEDENDE OM POLYGONDRAG Hensikten med å etablere nye punkter kan dreie seg om å få kort avstand fra nye fastmerker til bygg som skal oppføres, eller nye fastmerker langs en veistrekning som skal bygges. Punktene som etableres kalles polygonpunkter. Stedvis etableres også nye punkter i forbindelse med generell kartlegging og oppmåling, men metoden er nå lite i bruk og på vei ut. Først bestemmes en del hovedpunkter i grunnlagsnettet ved hjelp av polygondrag eller såkalt triangulering. Grunnlagsnettet er inndelt i ordener hvor en høyere orden danner grunnlaget for en lavere orden, som har flere punkter. 1. ordens nett i offentlige oppmålinger har sidelengder på 30 km eller mer, mens 4. ordens nett har lengde ned mot 1 km på trekantsidene. Punktene i disse høyere målingene kalles for trekantpunkter. Det er en fordel å bruke landsnettet ved etablering av nye offentlige punkter. Da er det orientert mot sann nord og en slipper senere koordinattransformasjoner. Når en går ut fra eksisterende polygon- eller trekantpunkter og etablerer nye polygonpunkter er det viktig å få kontroll. Det alltid vil oppstå feil eller unøyaktigheter som må utjevnes etter spesielle kriterier, normer og metoder. P3 byggesaken.no 3
4 1.2 POLYGONDRAGSKJEMA Nedenfor vises et skjema for manuell beregning av polygondrag. Det er et utvidet koordinatberegningsskjema, og utvidelsen er at x og y føres i separate kolonner, og det er nye celler for kontroll og utjevning av måleresultater. Det er et skjema bak i boka som kan brukes som kopieringsoriginal. Venstre halvdel: er sanne koordinattilvekster mellom kjente fastmerker. Målt Σα er resultat av feltmålingene for vinklene. Sann Σα er mellom kjente fastmerker. Feil er differanse mellom målte og sanne retningsvinkler. Korr. α er korreksjonen for måleresultatene. Høyre halvdel: Målt Σ er resultat av feltmålingene. Målt er koordinatdifferanser på bakgrunn av feltmålingene. Sann er koordinatdifferanser mellom kjente fastmerker. Feil er differanse mellom målte og sanne D -verdier. Korr. er korreksjonen som føres over måleresultatene. Formler: Antall målinger er n. Feil = målt Σα - sann Σα Feil = målt Rv2 - sann Rv2 Korr. = Feil/-n P4 4 Geomatikkboka
5 2 POLYGONDRAGTYPER POLYGONDRAG Hvordan et polygondrag skal gjennomføres avhenger av hva det skal brukes til. Langs et veianlegg kan draget være langstrakt, mens for en byggeplass kan det være aktuelt med nye punkter rundt området. 2.1 TILKNYTTET POLYGONDRAG Nedenfor vises et drag som går mellom kjente trekantpunkter. Det måles brytningsvinkler (a) og horisontallengder (L) mellom de nye polygonpunktene. Draget går mellom B og C. Trekantpunktene A og D er her tilsiktningspunkter. Målingene kan lett kontrolleres og utjevnes manuelt for feil i måling av vinkler og lengder. LUKKET POLYGONDRAG Nedenfor vises et drag som også går mellom kjente trekantpunkter. Det måles brytningsvinkler (a) og horisontallengder mellom de nye polygonpunktene, men her startes og avsluttes draget i de samme punktene. Draget kan brukes i lokale områder og rundt byggefelter. Her får en også kontroll av eventuelle feil i måling av vinkler og lengder. A og B er tilsiktningspunkter for henholdsvis B og A. 2.2 BLINDT POLYGONDRAG Nedenfor vises et blinddrag som starter i koordinatbestemte trekantpunkter, men slutter uten å gå mot kjente punkter. Det måles brytningsvinkler (a ) og horisontallengder mellom de nye polygonpunktene. Det kan ikke utjevnes for feil i måling av vinkler og lengder og er lite aktuelt, men kan brukes til f.eks. å kontrollere punkter. P5 byggesaken.no 5
6 2.3 KNUTEPUNKTDRAG Nedenfor vises drag som går mellom kjente trekantpunkter og som knytter seg sammen i et knutepunkt (K). Det måles brytningsvinkler og horisontallengder mellom de nye polygonpunktene. Dragene beregnes i dag stort sett bare ved hjelp av dataprogrammer. 2.4 DRAGETS FORLØP Det måles alltid mindre eller større feil når en utfører feltarbeider. Nedenfor vises en planskisse med heltrukken strek hvor en fysisk har gått, mens den stiplede linjen viser hvor det beregningsmessig ser ut til å være gått. Når det måles kan det bli både ensidige og tilfeldige feil (se kap. om feil). Videre gang i arbeidene blir å beregne og utjevne (fordele, flytte, dra på plass) de beregnede koordinatene slik at de stemmer mest mulig med den fysiske beliggenheten. GAP Gap er en betegnelse på avviket mellom målt beliggenhet og sann, fysisk beliggenhet. Gapet er altså et retningsbestemt avvik i koordinattilvekster. P6 6 Geomatikkboka
7 2.5 UTSTYR FOR POLYGONDRAGMÅLING POLYGONDRAG l dag benyttes en totalstasjon til måling av vinkler og avstander. Målebånd kan også brukes med bra resultat for kortere strekninger, men blir stadig mindre aktuelt. Ved elektronisk avstandsmåling brukes gjerne to prismer. Totalstasjon Prismer/blinker Målebok Stativer 2.6 MÅLERUTINER Det er viktig for et godt resultat å tvangssentrere. Dette betyr at det brukes flere (minst tre stk.) stativer som stilles opp over punktene, og at kikkerten flyttes over til disse stativene som vist nedenfor. Hensikten er at eventuelle unøyaktigheter med sentreringen bare gir feil i vedkommende punkt, og får ikke betydning for resten av polygondraget. Nedenfor vises arbeidsgangen slik den bør utføres ved måling av et tilknyttet drag. Utstyret her dreier seg om en totalstasjon, prismer og flere stativer. TP-punktene er koordinatbestemte trekantpunkter. L er horisontallengder (L H ). Punktene A-B-C er nye polygonpunktene. a er brytningsvinkler, målt med sola. P7 byggesaken.no 7
8 Første kikkertoppstilling (TP1). Første kikkertoppstilling er i TP1 og et prisme settes på et stativ i A. a 1 måles mellom kirkespiret og A. Andre kikkertoppstilling (A). Neste kikkertoppstilling blir i punkt A. Et prisme settes på stativet i TP1 og et annet prisme settes på et stativ i B. a 2 måles og avstandene L 1 og L 2 til prismene i TP1 og B avleses. Tredje kikkertoppstilling (B). Et prisme settes i stativet i A. Videre flyttes kikkerten fra A til B. Stativet og prismet i TP1 flyttes til C. a 3 avleses. Videre kikkertoppstillinger. Videre oppstillinger følger arbeidsgangen ovenfor. Til slutt avleses a 5 mot TP3, hvor det settes opp et prisme eller en blink for nøyaktig retningsmåling. 2.7 FORMLER Det kan være hensiktsmessig å se litt på grunlaget for formlene som brukes til å kontrollere de målte brytningsvinklene. Eksemplene her viser grunnlaget for formlene i polygondragskjemaet. RETNINGSVINKLER Formel: Her vises hva som menes med Rv1 og Rv2. Retningsvinkelen fra TPA til TP22 er sann. Gjeldende Rv1 og Rv2 vil flytte seg fra punkt til punkt etter som en regner seg gjennom dragforløpet. Legg spesielt merke til at den første retningsvinkelen (Rv1) er fra det kjente fastmerke (tilsiktningspunktet) bortenfor det første oppstillingspunktet. l felten stilles det ikke opp i tilsiktningspunkter, men de inngår beregningene. Figuren ovenfor viser at fra et gitt punkt og videre ett punkt fremover blir det: Rv2= Rv1 + a - (1. 200) Her: n=1 P8 8 Geomatikkboka
9 Minioppgave: Tegn selv på figuren nedenfor og vis ved egen beregning at Rv2 kan bestemmes med formelen som er gitt her. Rv2= Rv1 + Sa- (n- 200) Her: n= a 0 = 50 g a 1 = 150 g a 2 = 70 g Kontroller med transportør. Legg merke til at vinklene er målt på den ene siden. Når PP2 skal koordinatberegnes flyttes angrepspunktet til PP1. Da blir retningsvinkelen fra TP22 mot PP1 pr. definisjon Rv1 i formelen, mens Rv2 går fra PP1 til PP2. LUKKET DRAG Formel for vinkelsum: ± betyr + for utvendige og - for innvendige målte brytningsvinkler. Her er TPA og TPB kjente. De utvendige brytningsvinklene og avstandene er målt. Minioppgave: Beregn matematisk sann Sa med formelen som er gitt, og sammenlikn med målingene. Sa = 200. (n ± 200) Sa målt = Sa sann = g g Feil = Sa målt - Sa sann = (Pass på fortegn.) g Når draget regens med sola får en her ved beregningsoppstart og formelbruk at den første retningsvinkelen er gitt ved: Rv1= Rv TPA->TPB (Her: 269 g ) Videre fremover i draget gjelder formelen nedenfor. Formel: Når du har gått rundt et lukket drag får du kontroll når du kommer tilbake til fastmerkene. P9 byggesaken.no 9
10 2.8 TILKNYTTET POLYGONDRAG Eksempel på et tilnyttet drag. Nedenfor skal tre nye P-punkter langs en vei koordinatbestemmes manuelt. TP-punktene er kjente. Når brytningsvinkler og lengder mellom punktene måles ved å gå fra (minst) to kjente fastmerker til to nye fastmerker kan de nye punktene bestemmes. Brytningsvinkler og horisontallengder måles ved bruk av flere stativer som da gir tvangssentrering i hvert punkt. Gitt: TP1: X= 61,013 Y= -128,182 TP2: X= 149,274 Y= - 81,166 TP3: X= 128,645 Y= 364,952 TP4: X= -127,076 Y= 793,786 Feltarbeider: Vinkelmålingene er utført ensidig. Avstandene er horisontalmål. Innearbeider: Besemmelse av basislinjen TP1->TP2 og TP3->TP4. Utjevning av koordinater. I eksemplet er lengder i mm og vinkler er i gon med kun tre desimaler. Dersom du ønsker å føre eksemplet selv kan du kopiere polygondragskjemaet som er satt inn bakerst i boka. Tegn også en god skisse av dragforløpet. P10 10 Geomatikkboka
11 Først legges draget inn i skjemaet med kjente koordinater. Før inn start- og sluttpunktene i rekkefølge som vist. Regn ut retningsvinklene mellom de kjente punktene, her 31,160 g og 134,231 g. UTJEVNING AV FEIL I BRYTNINGSVINKLER Før inn de målte brytningsvinklene og summer som vist. Her: 1103,171 g. Formel: Rv2 er den siste Rv, her fra TP3->TP4. Rv1 er den første Rv, her: Rv TP1->TP2 =31,160 g Sa er vinkelsummen av brytningsvinkler. n er antall brytningsvinkler. n. 200 g er sann vinkelsum i et tilknyttet drag. Rv2 = 31, ,171 - (5. 200) = 134,331 g Fei i målte brytningsvinkler kan nå beregnes. Pass på fortegn. Sann Rv2 = Rv TP3->TP4 =134,231 g Feil = Målt Rv2 - sann Rv2 Feil = 134,331 g - 134,231 g = 0,100 g Feilen fordeles tilnærmet likt med motsatt fortegn på de viste målingene for å oppheve feilen. Nedenfor er n antall målinger. Korreksjon = feil/ -n Korreksjon 0,100 g / -5 = -0,020 g Fordelingen skrives over målingene med rødt. Hvis det hadde vært 0,110 g som skulle fordeles hadde det blitt f.eks. tre målinger med korreksjoner på -0,020 og to med -0,025. Regnemessig: 3. -0, ,025 = - 0,060-0,050 = - 0,110 P11 byggesaken.no 11
12 BEREGNING AV RETNINGSVINKLER Formel: Nå skal det regnes fra punkt til punkt. n =1. Nedenfor er retningsvinklene ført inn. Dette starter med: Rv TP2->PA = 31,160 g + (296,889 g - 0,020 g ) - ( g ) = 128,069 g Rv PA->PB = 128,069 g + (118,480 g - 0,020 g ) - ( g ) = 46,489 g : Når du kommer ned til Rv TP3->TP4 får du kontroll. Rv TP3->TP4 = 134,231 g UTJEVNING AV LENGDEMÅLINGER Før inn de målte lengdene. (De gråmarkerte dataene er sanne og skal ikke tas med eller utjevnes.) Regn ut Dx og Dy og før inn svarene. Pass på fortegn. Summer Dx og Dy. Før inn S koordinattilvekster for Dx og D y (den totale forflytning). SDx = = mm SDy = = mm Sann D= siste - første fastmerke Her: Sann D= TP 3 - TP2 (Se tallene i skjemaet ovenfor.) Dx = = mm Dy = (-81166) = mm Feil = Målt D - sann D Her: Dx = +116 mm og Dy = +244 mm P12 12 Geomatikkboka
13 UTJEVNING AV KOORDINATTILVEKSTER Feil i avstandsmåling fordeles likt ved bruk av elektronisk avstandsmåler. Tidligere ble feilen fordelt i forhold til målte lengder (proporsjonalt) når det ble brukt målebånd. Korreksjon = feil/ -n Dx = Korreksjon = 116/ -4 = -29 mm Dy = Korreksjon = 244/ -4 = -61 mm Korreksjonen fordeles tilnærmet likt med motsatt fortegn på de viste målingene for å oppheve feilen. Før inn de fire fordelingene som vist. Siden det bare er gått mot positiv Y-verdi (øst) blir det ikke noe i den negative kolonnen for Dy nå. BEREGNING AV KOORDINATER PÅ POLYGONPUNKTER Nå beregnes de endelige koordinatene på P-punktene. XB = XA + Dx og YB = YA + Dy Korreksjoner legges til D-verdiene. X PA = X TP2 + Dx X PB = X PA + Dx X PA = (-67271) + (-29) = mm = 81,974 m X PB = (-29) = mm = 186,674 m Når du kommer ned til TP3 får du kontroll. Det ferdige polygondragskjemaet er vist nedenfor. P13 byggesaken.no 13
14 2.9 LUKKET POLYGONDRAG Eksempel på et lukket drag. Nedenfor skal tre nye P-punkter rundt en byggetomt koordinatbestemmes manuelt. TP-punktene er kjente. Når brytningsvinkler og lengder mellom punktene måles ved å gå rundt polygonen kan de nye punktene bestemmes. Gitt: TPA: X= Y= TPB: X= Y= Feltarbeider: Vinkelmålingene er utført utvendig. Avstandene er horisontalmål. Innearbeider: Besemmelse av basislinjen TPA->TPB. Utjevning av koordinater. Videre i eksemplet er lengder i mm og vinkler i gon, med tre desimaler. P14 14 Geomatikkboka
15 Først legges draget inn i skjemaet med kjente koordinater. Før inn start- og sluttpunktene som start- og sluttpunkter, selv om de er de samme punktene. Videre beregnes den kjente retningsvinkelen fra TPA til TPB. Her: Rv TPA-TPB = 276,927 g (Lengden og D-verdiene er ikke interessante videre.) UTJEVNING AV FEIL I BRYTNINGSVINKLER Før inn de målte brytningsvinklene og summer de som vist til venstre. Her: Sa = 1400,058 g Formel: ± betyr + for utvendige og - for innvendige målte brytningsvinkler. Sann vinkelsum for n antall vinkler i polygonen er nå: Sa = 200. (5+2) = 1400,000 g Feil = Målt Sa - sann Sa Fei i målte brytningsvinkler beregnes. Her: + 0,058 g. Pass på fortegn. Korreksjon = feil/ -n Korreksjonen fordeles tilnærmet likt med motsatt fortegn på de viste målingene. Korreksjon 0,058 g / -5 = -0,0116 g Her: 2 punkter gis -0,011 g og 3 punkter gis - 0,012 g. byggesaken.no 15 P15
16 BEREGNING AV RETNINGSVINKLER Den justerte brytningsvinkelen brukes nå for å bestemme retningsvinkelen fra punkt til punkt fra start i TPA til slutt mot TPB etter en runde. Formel: Nå skal det regnes fra punkt til punkt. n=1. Videre føres retningsvinklene inn i skjemaet. Dette starter med: Rv TPA->TPB = 275,927 g + 311,501 g - 0,012 g = 387,416 g Rv TPB->P1 = 387,416 g + 367,254 g -0,011 g = 154,659 g Når du kommer tilbake til Rv TPA-TPB får du kontroll da Rv TPA-TPB = 275,927 g UTJEVNING AV LENGDEMÅLINGER Nå skal feil i lengdemålinger fordeles. Start med å regne ut Dx og Dy. Bruk de utjevnede retningsvinklene. Pass på å føre positive og negative koordinattilvekster i riktig kolonne. Bruk formlene over kolonnene. Når Dx og Dy er regnet ut summeres de som vist ovenfor. P16 16 Geomatikkboka
17 Beregn sann D mellom TPA og TPB Sann D= siste - første fastmerke Her: Sann D= TPA - TPB Dx = = Dx = = Målt D er differansen i Dx- og Dy-verdiene. Dx = = mm Dy = = mm Feil = Målt D - sann D Her: Dx = + 22 mm og Dy = + 1 mm Korreksjon = feil/ -n Dx = Korreksjon = 22/ -4 = - 5,5 mm Dy = Korreksjon = 1/ -4 = - 0,25 mm Korreksjonen fordeles med motsatt fortegn på de viste målingene for å oppheve feilen. Her: Dx: 2 punkter gis -5 mm og 2 punkter gis -6 mm. Dy: 1 punkt gis -1 mm. Fordelingen plasseres vilkårlig, og skrives med rødt over målingene. Pass på fortegn. KOORDINATER PÅ POLYGONPUNKTER Nå beregnes de endelige koordinatene på P-punktene. XB = XA + Dx og YB = YA + Dy Korreksjoner legges til D-verdiene. X P1 = X TPB + Dx X P2 = X P1 + Dx X P1 = ( ) = mm = 6189,280 m X P2 = ( ) = mm = 6160,330 m Når du kommer ned til TPA får du kontroll. P17 byggesaken.no 17
18 Det ferdige polygondragskjemaet er vist nedenfor. P18 18 Geomatikkboka
19 2.10 TILKNYTTET DRAG FOR EN VEI POLYGONDRAG Oppgave med beregning av fire punkter langs en vei. Bestem koordinatene til de fire nye punktene som er vist på skissen nedenfor. Gitt: Punkt X Y H TP , , ,164 TP , ,019 TP , , ,433 TP , ,246 Beregn gapet. Skjemaet ovenfor bør kopiereres og forstørres. P19 byggesaken.no 19
20 2.11 TILKNYTTET DRAG FOR EN RØRGATE Oppgave med beregning av tre punkter langs en rørgate. Bestem koordinatene til de tre nye punktene som er vist på skissen nedenfor. Gitt: Punkt X Y H TP , ,940 TP , ,555 TP , ,084 TP , ,523 Beregn gapet. Skjemaet ovenfor bør kopiereres og forstørres. P20 20 Geomatikkboka
21 2.12 LUKKET DRAG RUNDT EN PARK POLYGONDRAG Oppgave med beregning av tre punkter rundt en tomt. Bestem koordinatene til de tre P-hjørnene som er vist på skissen nedenfor. Lokale koordinater for de kjente punktene P1 og P2 vist nedenfor. P141: X= 3750,207 Y= -1464,672 P142: X= 3770,011 Y= -1396,003 Beregn gapet. Skjemaet ovenfor bør kopiereres og forstørres. P21 byggesaken.no 21
22 2.13 TILKNYTTET DRAG I BYSENTRUM Oppgave med beregning av tre punkter rundt en tomt. Bestem koordinatene til de tre P-punktene som er vist på skissen nedenfor. Gitt: TP1 X = ,123 Y= ,730 TP2 X = ,519 Y = ,089 TP3 X= ,382 Y= ,911 TP4 X= ,231 Y= ,320 Målt: a TP3 = 164,615 g L 1 = 79,945 m a P3 = 46,573 g L 4 =137,700 m a P1 = 270,826 g L 2 = 63,612 m a TP4 = 145,047 g a P2 = 298,542 g L 3 = 62,070 m Beregn gapet. Skjemaet ovenfor bør kopiereres og forstørres. *** P22 22 Geomatikkboka
MANUELLE BEREGNINGER AV POLYGONDRAG
MANUELLE BEREGNINGER AV POLYGONDRAG FOR UTGAVE Dette bilaget tilhører 2 POLYGONDRAG 1. POLYGONDRAG MÅLING OG BEREGNING AV POLYGONDRAG (POLYGONERING) Poly betyr mange og gon betyr vinkel. Et drag kan bety
DetaljerDersom summen vert over 400 g må ein trekkje dette frå.
13. POLYGONDRAG Nemninga polygondrag kjem frå ein tidlegare nytta metode der ein laga ein lukka polygon ved å måle sidene og vinklane i polygonen. I dag er denne typen lukka polygon lite, om i det heile
DetaljerTRIGONOMETRISKE BEREGNINGER FOR GEOMATIKK VED BRUK AV KALKULATORER
BILAG TRIGONOMETRISKE BEREGNINGER FOR GEOMATIKK VED BRUK AV KALKULATORER FORELØPIG UTGAVE 1. OKTOBER 2016 1 BØKER FRA BYGGESAKEN AS Les om bøkene og bestill på www.byggesaken.no 2 KALKULATORER OG TRIGONOMETRISKE
DetaljerRAPPORT FOR FASTMERKER INNFJORDTUNNELEN. Terratec. Prosjektnummer / 6462
RAPPORT FOR FASTMERKER INNFJORDTUNNELEN Terratec Prosjektnummer 50152 / 6462 1 INNHOLD 1. Oppdraget... 3 1.1. Bakgrunn/beskrivelse av oppdraget... 3 1.2. Oppdragsdata... 3 2. Utførelse... 3 2.1. Krav til
DetaljerRAPPORT FOR FASTMERKER MÅNDALSTUNNELEN. Terratec. Prosjektnummer / 6462
RAPPORT FOR FASTMERKER MÅNDALSTUNNELEN Terratec Prosjektnummer 50152 / 6462 1 INNHOLD 1. Oppdraget... 3 1.1. Bakgrunn/beskrivelse av oppdraget... 3 1.2. Oppdragsdata... 3 2. Utførelse... 3 2.1. Krav til
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Side 1 Eksamen i: GEG2210 Eksamensdag: 9. juni 2006 Tid for eksamen: 1430 1730 (3 timer) Oppgavesettet er på 3 sider Vedlegg: 2 vedlegg
DetaljerHva skal utføres? Referanser: Nett felles innmåling av anlegg. 1. Generelle krav. Det skal foretaes innmåling av anleggsdeler.
REN blad 8042 Versjon 1 2006 Nett felles innmåling av anlegg Hva skal utføres? Det skal foretaes innmåling av anleggsdeler. Referanser: 1) FEF 2006 4-4, 5-3, veiledning. Kabler som legges i samme grøft
DetaljerTrimble S3. med målebok TSC3. Brukermanual
Trimble S3 med målebok TSC3 Brukermanual Gauldal Tekniske Fagskole Kart og Oppmåling Hovedprosjekt Siv Mariann Aas Mai 2013 Innhold Forord... 4 Oversikt over utstyr... 6 Batteriskifte... 6 Oppstilling
DetaljerFASIT. Rev. per 1.3.2011. Ikke fullstendig. Mer kommer senere. Jan Karlsen byggesaken.no Geomatikkboka
FASIT Rev. per 1.3.2011 Ikke fullstendig. Mer kommer senere. Jan Karlsen byggesaken.no Geomatikkboka LØSNINGSFORSLAG TIL GEOMATIKKBOKA Det er viktig å kontrollere både sine egne arbeider og det en mottar
DetaljerKommentarer til boka Regneark for barnetrinnet 1
Kommentarer til boka Regneark for barnetrinnet (Ideen er den samme, men skjermbildene noe forskjellige i ulike versjoner av Excel) Arket Om regneark Endre cellebredden Plasser markøren midt mellom to kolonner.
DetaljerOppgave i landmåling på Mjølfjell. Prosjektering og utstikking av hytte. Deloppgaver: Kom i gang. Innmåling av situasjonspunkt.
Oppgave i landmåling på Mjølfjell Prosjektering og utstikking av hytte Deloppgaver: Kom i gang Innmåling av situasjonspunkt Prosjektering Utstikking av hus Kontrollmåling I denne oppgaven skal vi ikke
DetaljerEKSAMEN I EMNE SIB 6005 GEOMATIKK-1. Torsdag 25. november 1999 Tid: 0900-1500
NORGES TEKNISK-NTURVITENSKPELIGE UNIVERSITET (GM1-99h) side 1 av 5 INSTITUTT FOR KRT OG OPPMÅLING EKSMEN I EMNE SIB 65 GEOMTIKK-1 Torsdag 25. november 1999 Tid: 9-15 Faglig kontakt under eksamen: Oddgeir
DetaljerForelesning i SIB6005 Geomatikk, 30.9.2002. HoltEX
1 Forelesning i SIB6005 Geomatikk, 30.9.2002 Geodesi/landmåling. 30.9 DAGENS TEMA: Gi bakgrunn for feltøvingen GPS: Planlegging HoltEX Tp343 Passpunkt Klassisk måling: Vinkel- og avstandsmåling Nytt pkt
DetaljerExcel. Excel. Legge inn tall eller tekst i en celle. Merke enkeltceller
Excel Hva er et regneark? Vi bruker regneark til å sortere data, gjøre beregninger og lage diagrammer. I denne manualen finner du veiledning til hvordan du kan bruke regneark. Et regneark består av celler
DetaljerMatematikk og fysikk RF3100
DUMMY Matematikk og fysikk RF300 Løsningsforslag 23. januar 205 Tidsfrist: 30.januar 205 Oppgave a) Gjør om til kanoniske polarkoordinater, d.v.s. (r, θ)-koordinater innenfor området r 0 og 80 < θ < 80.
DetaljerKengurukonkurransen 2018
2018 «Et sprang inn i matematikken» Cadet (9. 10. trinn) Løsninger og registreringsskjema Dette heftet inneholder: Fasit og korte løsningsforslag Registreringsskjema Fasit med korte kommentarer Mange matematiske
DetaljerHva skal vi med fastmerker?
Hva skal vi med fastmerker? Innhold: Har Norge et entydig geodetisk grunnlag? Hvorfor har Vegvesenet fokus på nabonøyaktighet? Målefeil, standardavvik og toleranser NS3580 Bygg og anleggsnett Sanntids-GNSS
DetaljerStruves meridianbue. Hva er en meridianbue? Per Chr. Bratheim Verdensarvforum i Hammerfest 2017
Struves meridianbue Hva er en meridianbue? Per Chr. Bratheim Verdensarvforum i Hammerfest 2017 Jordens form og størrelse Menneskene har siden tidenes morgen vært interessert i jordens form og størrelse
DetaljerBevist valg av kartleggingmetodikk for 3D kartlegging. Grotolf ver. 4.27
Bevist valg av kartleggingmetodikk for 3D kartlegging. Grotolf ver. 4.27 Her er noen tanker og tips om hvordan man kan kartlegge/ sette stasjoner for å få frem et 3D kart som fremstår sammenhengende og
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Tenk deg at du har et spann med 8 L maling. Du vil helle malingen over i mindre bokser. I hver boks er det plass til 2 3 L. Hvor mange bokser trenger du? Oppgave
DetaljerJULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT
JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1.1: 367 + 254 = 621 c: 67. 88 536 536 = 5896 e: 18,4-9,06 = 9,34 24,8 + 7,53 = 32,33 d: 3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4 32 f: 12 2. 5 2 = 12 2. 25 = 12
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerKapittel 7. Lengder og areal
Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,
DetaljerVet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til?
Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til? 14 Vi starter med blanke regneark! Regneark MÅL I dette kapitlet skal du lære om hva et regneark er budsjett og regnskap hvordan du kan gjøre enkle utregninger
DetaljerBallplass En feltkursoppgave med byggegrop i Gemini Terreng for landmålingskurset BYG102 ved Høgskolen på Vestlandet
Ballplass En feltkursoppgave med byggegrop i Gemini Terreng for landmålingskurset BYG102 ved Høgskolen på Vestlandet Petter N. Sæterdal, 18. mai 2018 Ballplass: mål med oppgaven Dette er en oppgave som
DetaljerRyfast og Rogfast. Bygg- og anleggsnett + kontrollmålinger i tunnelene. Asbjørn Eilefsen Statens vegvesen Region sør/vegdirektoratet
Ryfast og Rogfast Bygg- og anleggsnett + kontrollmålinger i tunnelene Asbjørn Eilefsen Statens vegvesen Region sør/vegdirektoratet Aktuelle standarder grunnlagsnett/ byggog anleggsnett Krav: Klasse Bygg-
DetaljerKapittel 6. Trekanter
Kapittel 6. Trekanter Mål for kapittel 6: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger i praktisk arbeid
DetaljerSkriv teksten «Ukelønn» i celle A1 (kolonne A, rad 1) og 60 i celle B1 (kolonne B, rad 1). Løsning
Hva er et regneark? Vi bruker regneark til å sortere data, gjøre beregninger og lage diagrammer. I denne manualen finner du veiledning til hvordan du kan bruke regneark. Et regneark består av celler som
DetaljerNORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE
Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:
Detaljer36038 GEODESI 2 LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN 10.1.2000, kl 0900 1400
Geodesi 2-99v 1 INSTITUTT FOR GEOMATIKK NTNU side 1 av 6 36038 GEODESI 2 LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN 10.1.2000, kl 0900 1400 (Det synes som om også dette års oppgaver var mer arbeidskrevende enn tidligere
Detaljer1 Geometri R2 Oppgaver
1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer... 2 1.2 Regning med vektorer... 15 1.3 Vektorer på koordinatform... 19 1.4 Vektorprodukt... 22 1.5 Linjer i rommet... 27 1.6 Plan i rommet... 30 1.7 Kuleflater...
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerJernbaneverket OVERBYGNING Kap.: 5 Hovedkontoret Regler for bygging Utgitt: 01.01.00
Utfesting og fastmerkenett Side: 1 av 7 1 Hensikt og omfang...2 2 Varig utfesting av linjen...3 2.1 Generelt...3 2.2 Sporets faktiske beliggenhet...3 2.2.1 Sporjustering og nøytralisering... 3 2.2.2 Registrering
DetaljerHva skal vi med fastmerker?
Hva skal vi med fastmerker? Innhold: Entydig geodetisk grunnlag Hvorfor har Vegvesenet fokus på nabonøyaktighet? Målefeil, standardavvik og toleranse Maskinstyring/maskinkontroll Fastmerker basert på midlede
DetaljerEksamen R2, Høsten 2015, løsning
Eksamen R, Høsten 05, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f( ) 5cos( ) f 5 sin 0sin
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerJernbaneverket OVERBYGNING Kap.: 13 Hovedkontoret Regler for prosjektering Utgitt: 01.01.00
Utfesting og fastmerkenett Side: 1 av 18 1 Hensikt og omfang... 1.1 Hensikt... 1. Omfang... 1.3 Grunnleggende krav...3 1.3.1 Utfestingsmetode... 3 1.3. Fastmerkenett... 3 Varig utfesting av linjen...4.1
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 30 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Oppgave 2 (1 poeng) På et kart er avstanden fra et punkt A til
Detaljer-!4%-!4)++5.$%23 +%,3%.
6EDLEGG -!4%-!4)++5.$%23 +%,3%. Dette er en undersøkelse om forkunnskaper hos nye studenter. Den blir gjennomført ved alle universiteter og høgskoler i Norge. Ansvarlig for undersøkelsen er Norsk Matematikkråd.
DetaljerTotalstasjon funksjoner. Trykk på instrument symbolet for å komme til Menyen for instrumentet ditt.
Totalstasjon funksjoner Trykk på instrument symbolet for å komme til Menyen for instrumentet ditt. Eller trykk og hold inne Trimble symbolet på tastaturet ditt. Denne menyen vil variere alt etter hvilke
DetaljerFig. 3.2 Utsetting av rett vinkel
3 UTSETTING AV RETTE VINKLAR Den rette vinkelen spelar ei viktig rolle i landmålinga. Ved oppmåling skal ein felle ned normalar og ved utstikking reise normalar på måleliner. Arbeidet må gå snøgt, og vere
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG GEOMETRI
INNHOLD GEOMETRI... 3 LINJE, STRÅLE OG LINJESTYKKE... 3 VINKEL... 3 STUMP, SPISS OG RETT VINKEL... 3 TOPPVINKLER... 4 NABOVINKLER... 4 SAMSVARENDE VINKLER... 4 OPPREISE EN NORMAL FRA ET PUNKT PÅ EN LINJE...
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Først en kommentar. I læreboka møter man kjeglesnitt på standardform, som ellipser x
DetaljerØving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)
Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen
DetaljerEksamen 13.05.2009. Stortinget. Arkimedes. MAT0010 Matematikk Elever (10. årstrinn) Del 2. Bokmål
Eksamen 13.05.2009 MAT0010 Matematikk Elever (10. årstrinn) Del 2 Stortinget Bokmål Arkimedes Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer totalt: Del 1 skal du levere innen 2
DetaljerHamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray
HamboHus Technical Note Nr 10: Terreng HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray I HamboHus 5.4 er implementasjonen av terreng utvidet og forbedret. Det er lettere å lage terrengpunkter, og mye
DetaljerEksamen 2P MAT1015 Vår 2012 Løsning
Eksamen 2P MAT1015 Vår 2012 Oppgave 1 (14 poeng) a) 20 elever blir spurt om hvor mange datamaskiner de har hjemme. Se tabellen ovenfor. Finn variasjonsbredden, typetallet, medianen og gjennomsnittet. Variasjonsbredden
DetaljerLOKAL LÆREPLAN Matte Trinn 5
LOKAL LÆREPLAN Matte Trinn 5 Gol kommune side 1 Kjennetegn på måloppnåelse Læringsmål Mestringsnivå 1 Mestringsnivå 2 Mestringsnivå 3 Eleven skal kunne: Eleven skal kunne: Eleven skal kunne: Eleven skal
DetaljerUnneberg skole ÅRSPLAN I MATEMATIKK. 5. trinn. KOMPETANSEMÅL FRA LÆREPLANEN Eleven skal kunne LOKALE KJENNETEGN FOR MÅLOPPNÅELSE. Vurderingskriterier
Unneberg skole ÅRSPLAN I MATEMATIKK. trinn KOMPETANSEMÅL FRA LÆREPLANEN Eleven skal kunne beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltall, regne med positive og negative hele tall, desimaltall, brøker
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerEksamen R2, Høst 2012
Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave
Detaljerside 1 av 8 Fysikk 3FY (Alf Dypbukt) Rune, Jon Vegard, Øystein, Erlend, Marthe, Hallvard, Anne Berit, Lisbeth
side 1 av 8 Fysikk 3FY (Alf Dypbukt) Racerbilkjøring Mål: Regne ut alt vi kan ut i fra de målingene vi tar. Innledning: I denne rapporten har vi gjort diverse utregninger, basert på tall vi har fra et
DetaljerUnneberg skole ÅRSPLAN I MATEMATIKK. 7. trinn. KOMPETANSEMÅL FRA LÆREPLANEN Eleven skal kunne LOKALE KJENNETEGN FOR MÅLOPPNÅELSE.
Unneberg skole ÅRSPLAN I MATEMATIKK. trinn KOMPETANSEMÅL FRA LÆREPLANEN Eleven skal kunne beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltall, regne med positive og negative hele tall, desimaltall, brøker
DetaljerEksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 27.01.2012 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerEksamen i matematikk løsningsforslag
Eksamen i matematikk 101 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT101 Eksamen Tid: 4 timer Dato: 24.10.2016 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Notodden og nett Antall sider:
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerBeregning av vern og kabeltverrsnitt
14 Beregning av vern og kabeltverrsnitt Læreplanmål planlegge, montere, sette i drift og dokumentere enkle systemer for uttak av elektrisk energi, lysstyringer, varmestyring og -regulering beregnet for
DetaljerEksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
DetaljerRadene har løpenummer nedover og kolonner navnes alfabetisk. Dermed får hver celle (rute) et eget "navn", eksempelvis A1, B7, D3 osv.
Excel grunnkurs Skjermbilde/oppbygging Radene har løpenummer nedover og kolonner navnes alfabetisk. Dermed får hver celle (rute) et eget "navn", eksempelvis A1, B7, D3 osv. I hver celle kan vi skrive Tekst
DetaljerGeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.
2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet
DetaljerEksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 31.05.011 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del skal leveres inn
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 Variasjonsredden: 6 C ( 6 C) = 6 C+ 6 C= 12 C Gjennomsnittet: 2 C+ 0 C + ( 4 C) + (
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: GEG2210 Eksamensdag: Onsdag 8. juni 2005 Tid for eksamen: 3 timer Oppgavesettet er på 3 sider Vedlegg: 1 vedlegg (2 sider)
DetaljerLokal læreplan Sokndal skole:
Lokal læreplan Sokndal skole: Fag: Matematikk Trinn:7. Uk er 1/2 time pr uke halv e året 1/2 time pr uke halv e året 34-37 Tema Tid og fart Ligninger Kap. 1: Tall Plassverdisystemet Naturlige Digitale
DetaljerLøsningsforslag kapittel 3
Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave
DetaljerGeometra. Brukermanual. Telefon: 64831920
Geometra Brukermanual Telefon: 64831920 Innhold GENERELT...3 Hva er Geometra?...3 Om PDF tegninger...3 KOM I GANG!...5 Start programvaren og logg inn...5 Grunnleggende funksjoner:...6 Lag et prosjekt,
DetaljerAlle punktene merkes og ved høyreklikk finnes en meny der vi kan velge «kopiere til regneark». (Her har programmereren kanskje vært litt sponset av
Alle punktene merkes og ved høyreklikk finnes en meny der vi kan velge «kopiere til regneark». (Her har programmereren kanskje vært litt sponset av Microsoft, men det fungerer fint med alle slags regneark)
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk
DetaljerLANDMÅLINGS RAPPORT Rindal 2002
Statens kartverk Møre og Romsdal LANDMÅLINGS RAPPORT Rindal 2002 Desember 2002 INNHOLD 1. GENERELT...3 1.1 Oppdragsgiver...3 1.2 Oppdragets nummer og navn...3 1.3 Underleverandører...3 1.4 Lagring av data...3
DetaljerGeoGebraøvelser i geometri
GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...
DetaljerEmnenavn: Teknisk planlegging. Eksamenstid: kl Faglærer: Yonas Zewdu Ayele, PhD. Oppgaven er kontrollert: Ja.
EKSAMEN Emnekode: IRB11517 Emnenavn: Teknisk planlegging Dato: 28.05.2019 Eksamenstid: kl. 09.00 13.00 Sensurfrist: 18.06.2019 Antall oppgavesider: 4 Antall vedleggsider: 4 Faglærer: Yonas Zewdu Ayele,
DetaljerUtfordringer med EUREF
Utfordringer med EUREF v/ Bjørn Godager, Høgskolen i Gjøvik Email: bjoern.godager@hig.no Hjemmeside: http://www.hig.no/geomatikk/ Tlf: 61 13 52 75 41 25 24 68 Temaer Innledning/ bakgrunn/ temaer i foredraget
DetaljerÅrsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole
Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) Ved kommunevalget i høst fikk et politisk parti 4,5 % av stemmene. Ved forrige kommunevalg fikk partiet 3,6 % av stemmene. a) Hvor mange prosentpoeng har økningen
DetaljerKRAV TIL SLUTTDOKUMENTASJON
KRAV TIL SLUTTDOKUMENTASJON Som bygget tegninger Skal vise hva som er bygget Oversiktlig, mulig å skille mellom de ulike ledningene/delene Vise tydelig hvilke ledninger som er skiftet ut og hvilke som
DetaljerSINUS R1, kapittel 5-8
Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173
DetaljerGEOGEBRA (3.0) til R1-kurset
GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset INNHOLD Side 1. Konstruksjon 2 1.1 Startvinduet 2 1.2 Markere punkter 3 1.3 Midtpunkt 4 1.4 Linje mellom punkter 5 1.5 Vinkelrett linje 6 1.6 Tegne en mangekant 6 1.7 Høyden
DetaljerEksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013
Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013 Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 30 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Oppgave 2 (1 poeng) På et kart er avstanden
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerFaktor terminprøve i matematikk for 10. trinn
Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Høsten 201 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt
Detaljer2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42
Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge
DetaljerBrukermanual, kartløsning
Innhold 1. Oversikt over funksjoner i kartløsningen... 3 2. Månedsvelger... 6 3. Vis i kart (Kartlagsvelger 1)... 6 4. Jeg vil se utslag på (ressursvelger)... 7 5. Søk... 8 6. Generelle knapper... 9 7.
DetaljerKort innføring i kart, kartreferanser og kompass
Kort innføring i kart, kartreferanser og kompass UTM Universal Transverse Mercator (UTM) er en måte å projisere jordas horisontale flate over i to dimensjoner. UTM deler jorda inn i 60 belter fra pol til
Detaljer1P eksamen høsten Løsningsforslag
1P eksamen høsten 2017 - Løsningsforslag Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (2 poeng) En vare koster 640 kroner. Butikkeieren
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: GEG2210 Eksamensdag: 8. juni 2009 Tid for eksamen: 3 timer Oppgavesettet er på 4 sider + 1 side vedlegg, totalt 5 sider Vedlegg:
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (14 poeng) a) Skriv så enkelt som mulig x x 5 10x 5 b) Løs likningen x 1 3 1 c) Skriv så enkelt som mulig a a 1 4 3 4 a 3 a d) Gitt ABC ovenfor. AB 5,0, AC 3,0 og BC 4,0.
DetaljerNiels Henrik Abels matematikkonkurranse 2014 2015
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 204 205 Første runde. november 204 Ikke bla om før læreren sier fra! Abelkonkurransens første runde består av 20 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet av 00 minutter.
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerTallregning Vi på vindusrekka
Tallregning Vi på vindusrekka Addisjon... 2 Addisjon: Oppstilling... 3 Addisjon med minnetall... 4 Addisjon med desimaltall... 5 Subtraksjon... 6 Subtraksjon uten låning... 7 Subtraksjon med låning...
DetaljerØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn. Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut. a) 34, ,3 = c) 1,1 2,9 = b) 3,06 1,28 = d) 33 : 2,2 =
ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn Del 1: 2 timer. Maks 30,5 poeng. Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Bruk sort eller blå penn når du fører inn svar eller
Detaljer27.10.2009 Kapittel 5... 1. Søyle og drager. DDS-CAD Arkitekt FP 6.5 SR1. Kapittel 5 - Søyle og drager... 3. Søyle... 3 Drager...
27.10.2009 Kapittel 5... 1 Kapittel Innhold... Side Kapittel 5 -... 3 Søyle... 3 Drager... 6 2... Kapittel 5 27.10.2009 27.10.2009 Kapittel 5... 3 Kapittel 5 - Søyle Det skal plasseres to søyler samt en
DetaljerNavigasjon. Koordinater og navigasjon Norsk Folkehjelp Lørenskog Tirsdag 29. januar 2015. Tom Hetty Olsen
Navigasjon Koordinater og navigasjon Norsk Folkehjelp Lørenskog Tirsdag 29. januar 2015 Tom Hetty Olsen Kartreferanse Kartreferanse er en tallangivelse av en geografisk posisjon. Tallene kan legges inn
Detaljer1P eksamen våren 2016 løsningsforslag
1P eksamen våren 016 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Ved kommunevalget i høst fikk et politisk parti
DetaljerFYS 2150.ØVELSE 14 GEOMETRISK OPTIKK
FYS 250ØVELSE 4 GEOMETRISK OPTIKK Fysisk institutt, UiO 4 Teori 4 Sfæriske speil Figur 4: Bildedannelse med konkavt, sfærisk speil Speilets krumningssenter ligger i punktet C Et objekt i punktet P avbildes
DetaljerLøsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.
Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at
DetaljerSIB6005 Geomatikk, høsten 2002. Øving 4, del B. Elementmetoden: Koordinat- og høydeberegninger. SIB6005 Geomatikk, 2002. Øving 4.A
WWW.GEOMATIKK.NTNU.NO 1 Ut: 28.10 Inn: Sammen med 4A og 4C, 22.11 SIB6005 Geomatikk, høsten 2002. Øving 4, del B Elementmetoden: Koordinat- og høydeberegninger SIB6005 Geomatikk, 2002. Øving 4.A Etter
Detaljer2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42
Sinus T uten grafisk kalkulator Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus T boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff.. Regnerekkefølge ( + ) (6+ ):+ CTRL+J Bytter mellom
Detaljer