Case: Analyse av passive elektriske filtre

HØGSKOEN I SØR-TRØNDEAG AVDEING FOR TEKNOOGI PROGRAM FOR EEKTRO- OG DATATEKNIKK N7004 TRONDHEIM Telefon jobb: 735 59584 Mobil: 911 77 898 kare.bjorvik@hist.no http://www.edt.hist.no/ Kåre Bjørvik, 15. oktober 2008 AM005-A Matematikk 1 ærebok: Anthony Croft, Robert Davison, Martin Hargreaves: Engineering mathematics, 3.utgave (Grunnlagsfag, 10 studiepoeng) Case: Analyse av passive elektriske filtre es dette først. Casen er en "hjemmeoppgave" som du skal arbeide med før eksamen. Resultatet av arbeidet skal ikke innleveres. Eksamen vil være en flervalgseksamen med 30 spørsmål. De 15 første spørsmålene har en tilknytning til casen. Under denne delen av eksamen er caseteksten og din besvarelse nødvendige hjelpemidler. Husk derfor å ta med både caseteksten og besvarelsen på eksamensdagen. Det er viktig at du før eksamen setter deg godt inn i casens problemstillinger, og at du behersker løsningsmetodene og er i stand til å tolke de resultatene du kommer fram til. Hvis du i en flervalgsoppgave blir spurt om ting du ikke har regnet direkte på, bør du være klar over at svaralternativene ofte er utformet slik at du likevel kan avgjøre hvilket alternativ som er riktig, ut fra den generelle innsikt du har fått gjennom arbeidet med casen. Under arbeidet med casen kan du bruke de hjelpemidler du finner hensiktsmessig (kalkulator /programvare). Vær imidlertid oppmerksom på at noen av spørsmålene på eksamen kan forutsette at du vet hvordan et problem fra casen kan løses for hånd. Du kan arbeide alene med casen, eller sammen med andre. Det avgjørende er at du selv tilegner deg innsikt i problemene. ykke til med arbeidet!

Oppgave 1 avpassfilter Figur 1 Passivt lavpassfilter (P-filter) R representerer motstandsverdien til en høyttaler. avpassfilteret vil fungere som et bassfilter til høyttaleren. y(t). Bestem startbetingelsen y(0). Bestem også et uttrykk for tidskonstanten τ. Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω og at spolen har en induktans på 0,004H. En likespenning på 1V påtrykkes kretsen ved t = 0. øs differensiallikningen og bestem spenningen y(t), og angi hva som er transient spenning og hva som er stasjonær spenning. Plott utgangsspenningen y(t) i samme diagram som inngangsspenningen x(t). Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω og at spolen har en induktans på 0,004H. En sinusspenning med amplitude på 1V og vinkelfrekvens 1000 rad/s påtrykkes kretsen ved t = 0. Benytt kompleks regning til å bestemme stasjonær utgangsspenning. Plott den stasjonære utgangsspenningen i samme diagram som inngangsspenningen x(t). For å beregne amplituden til utgangssignalet i forhold til amplituden til inngangssignalet må en beregne forholdet mellom disse to amplitudene. Dersom en benytter kompleks regning får en da også faseforskjellen mellom inngang- og utgangssignalet, fordi et komplekst tall kan angis med en lengde og en vinkel. a X være amplituden til inngangssignalet og Y være amplituden til utgangssignalet. Vi får da R Y R 1 Y = X H ( jω) = = = R + jω X R + jω 1+ j ω H ( jω) er overføringsfunksjonen til lavpassfilteret. Absoluttverdien (lengden) til H kalles for amplitudeforsterkningen og vinkelen til H kalles for fasen. Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω og at spolen har en induktans på 0,004H. Tegn opp amplitudeforsterkningen og fasen til H som funksjon av vinkelfrekvensen ω. Velg ω -aksen 2 4 logaritmisk, og plott funksjonene i hvert sitt diagram i frekvensområdet 10 10 rad / s. Benytt grader på funksjonsaksen når dere tegner fasekurven til overføringsfunksjonen. R

Oppgave 2 Høypassfilter C Figur 2 Passivt høypassfilter (HP-filter) R representerer motstandsverdien til en høyttaler. Høypassfilteret vil fungere som et diskantfilter til høyttaleren. y(t). Bestem startbetingelsen y(0). Bestem også et uttrykk for tidskonstanten τ. Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω og at kondensatoren har en kapasitans på 6,25µ F. En likespenning på 1V påtrykkes kretsen ved t = 0. øs differensiallikningen og bestem spenningen y(t), og angi hva som er transient spenning og hva som er stasjonær spenning. Plott utgangsspenningen y(t) i samme diagram som inngangsspenningen x(t). Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω og at kondensatoren har en kapasitans på 6,25µ F. En sinusspenning med amplitude på 1V og vinkelfrekvens 40000 rad/s påtrykkes kretsen ved t = 0. Benytt kompleks regning til å bestemme stasjonær utgangsspenning. Plott den stasjonære utgangsspenningen i samme diagram som inngangsspenningen x(t). Bestem overføringsfunksjonen til høypassfilteret. Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω og at kondensatoren har en kapasitans på 6,25µ F. Tegn opp amplitudeforsterkningen og fasen til H som funksjon av vinkelfrekvensen ω. Velg ω -aksen 3 6 logaritmisk, og plott funksjonene i hvert sitt diagram i frekvensområdet 10 10 rad / s.

Oppgave 3 Båndpassfilter C Figur 3 Passivt båndpassfilter (BP-filter) R representerer motstandsverdien til en høyttaler. Båndpassfilteret vil fungere som et mellomtonefilter til høyttaleren. dy y(t). Bestem startbetingelsene y(0) og. dt t= 0 Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω. En likespenning på 1V påtrykkes kretsen ved t = 0. øs differensiallikningen og bestem spenningen y(t) for følgende tre tilfeller: 1. C = 78,125µ F og = 0, 2mH 2. C = 62,5µ F og = 0, 25mH 3. C = 40µ F og = 0, 25mH Angi hva som er transient spenning og hva som er stasjonær spenning. Plott utgangsspenningene y(t) i samme diagram som inngangsspenningen x(t). Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω, kondensatoren har en kapasitans på 78,125µ F og at spolen har en induktans på 0,2mH. En sinusspenning med amplitude på 1V og vinkelfrekvens 8000 rad/s påtrykkes kretsen ved t = 0. Benytt kompleks regning til å bestemme stasjonær utgangsspenning. Plott den stasjonære utgangsspenningen i samme diagram som inngangsspenningen x(t). Bestem overføringsfunksjonen til høypassfilteret. Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω, kondensatoren har en kapasitans på 78,125µ F og at spolen har en induktans på 0,2mH. Tegn opp amplitudeforsterkningen og fasen til H som funksjon av vinkelfrekvensen ω. Velg ω -aksen logaritmisk, og plott funksjonene i hvert sitt diagram i frekvensområdet 2 6 10 10 rad / s.

Oppgave 4 Oppsummering Knekkfrekvenser Dere har nå analysert et lavpassfilter, et høypassfilter og et båndpassfilter. Et filter har en eller flere knekkfrekvenser. Knekkfrekvensen er den vinkelfrekvensen der amplitudeforsterkningen til filteret er lik 1. Hva er knekkfrekvensene til lav- og høypassfilteret? Hvilken 2 sammenheng er det mellom knekkfrekvensene og tidskonstantene til henholdsvis lav- og høypassfilteret? Dere fant stasjonær sinusrespons ved regning. Amplitudeforsterkningskurven og fasekurven til filtrene kan benyttes til å lese ut slike sinusresponser uten å foreta beregninger. Benytt disse kurvene til å øve dere opp til å finne sinusresponsen når en påtrykker filtrene andre vinkelfrekvenser enn det dere har regnet på tidligere. Tips: y = A H ( jω ) sin( ω t + H ( jω )) A stasjonær inn inn 1 1 1 = Amplituden til inngangssignalet H ( jω 1) og H ( jω1 ) leses av i henholdsvis amplitude- og fasediagrammet. Matlabtips Opptegning av amplitude- og fasediagram (AFF-diagram) kan med fordel utføres i matlab, likeså plotting av sprangresponsene og sinusresponsene. (AFF-diagram) Før du finner overføringsfunksjonene bytter du ut jω i impedansuttrykkene til en spole og en 1 kondensator med s, d.v.s. impedansen til en spole blir da s og til en kondensator sc. Anta 0.001s + 0 at du har følgende overføringsfunksjon: H ( s) =. Før du får tegnet AFFdiagrammene må telleren og nevneren i H(s) leses inn, og de leses inn som rekkevektorer med 0.001s + 1 riktige koeffisienter. Du må også lese inn hvilket frekvensområde du ønsker å tegne AFFdiagrammene over. Kommando i matlab Forklaring >> w=logspace(2,5,2000); 2 Genererer w-verdier i området 10 5 til 10, 2000 punkter >> Teller=[0.001 0]; Teller lik 0.001s+0 >> Nevner=[0.001 1]; Nevner lik 0.001s+1 >> [a,f]=bode(teller,nevner,w); Her beregnes amplituden (a) og fasen (f) for alle w-verdier >> semilogx(w,a); Her plottes amplituden som funksjon av w med logaritmisk w-akse >>grid; Rutemønster tegnes opp i diagrammet >> semilogx(w,f); Her plottes fasen som funksjon av w med logaritmisk w-akse >>grid; Plotting av vanlige funksjoner har dere prøvd i ENTERing-uka, og øvingen dere da gjennomførte ligger ut på it s learning. Dere kan også se på andre matlabtips og simulinktips som ligger ut på it s learning.