Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Akershus. Undervisningsplanlegging funksjoner, problemløsing, kartlegging, vurdering,... Dag 2 6.februar 2014 Håndverkeren kurssenter Tone Elisabeth Bakken tone.bakken@ohg.vgs.no
Fokus: Grunnleggende ferdigheter; - fokus på muntlige i tillegg til regning Elevaktive metoder. Samarbeidslæring Problemløsing. Rike oppgaver Kartlegging og vurdering for læring (VFL) God regneopplæring. Motivasjon. Mestring
Kan vi klare å få elevene med?! Snakke matte, Samarbeidslæring/ elevaktiviserende metodikk Problemløsing Aktive elever Læreren som tydelig leder Trygt klasse- og læringsmiljø Holdninger til faget. Motivasjon Utfordringer og mestring
Den reviderte læreplanen i matematikk Å kunne regne i matematikk Å kunne regne som grunnleggende ferdighet innebærer å kunne bruke symbolspråk, matematiske begreper, fremgangsmåter og varierte strategier til problemløsing og utforsking som tar utgangspunkt både i praktiske, dagligdagse situasjoner og i matematiske problemer. Dette innebærer å kunne kjenne igjen og beskrive situasjoner der matematikk inngår, og bruke matematiske metoder til å behandle problemstillinger. Elevene må også kunne kommunisere og vurdere hvor gyldige løsningene er..
Den reviderte læreplanen i matematikk Å kunne regne i matematikk. Utvikling av å kunne regne i matematikk går fra grunnleggende tallforståelse og å kjenne igjen og løse problemer fra enkle situasjoner til å analysere og løse et spekter av komplekse problem med et variert utvalg av strategier og metoder. Videre innebærer dette i økende grad å kunne bruke ulike hjelpemidler i beregninger, modellering og kommunikasjon.
Tallpyramider (+ Algebrapyramider) Samarbeidsoppgave problemløsing Legg sammen slik at tallet i en rute er lik summen av tallene i de to rutene under. Fyll inn tall i alle de tomme feltene. (LAMIS: Skolenes Matematikkdag 2007)
Algebrapyramider Sum Samarbeidsoppgave problem Likner TALLPYRAMIDER, men inneholder både tall og bokstaver. Uttrykket i en rute er summen av uttrykkene i de to rutene under. Finn uttrykkene som skal stå i de tomme rutene. (LAMIS: Skolenes Matematikkdag 2007)
En liten statistikkoppgave Du får vite dette om en gruppe på 6 personer: - Den eldste er 17 år - Gjennomsnittsalderen er 10 år - Medianen er 9 år - Variasjonsbredden er 12 år - Typetallet er 8 år Finn alderen på personene. Forklar hvordan du tenker.
Svake elever tror ikke på ros forskning.no 29.01.2014 (Terje Manger, UiB) Overdreven skryt øker ikke motivasjonen til en skolesliter. Den type ros virker ofte mot sin hensikt. Foreldre og lærere må ha forventninger til elevene Kartlegging + tilrettelegging + konstruktiv tilbakemelding økt mulighet for læring og motivasjon Den autoritative lærer: Ønsker og forventer at elevene skal lære Viser høy omsorg og oppmerksomhet mot eleven http://www.forskning.no/artikler/2014/januar/379142 Elever bør slite med matematikken Ellers overflatisk forståelse og lite læringsutbytte http://www.forskning.no/artikler/2013/mai/357407 (forskning.no 23.05.2013)
USA Japan: Forskjellige syn på læring USA Fakta og ferdigheter Lære og pugge Kjedelig fag for lærerne Stigende vanskegrad: 1/5+2/5, ½+1/4, 2/3+4/7 Japan Sammenhenger mellom begreper, fakta og fremgangsmåter Elevene utvikler egne løsningsmetoder og diskuterer disse Interessant for lærerne 1/2+1/4 = 2/6 er dette riktig?
Sammenheng mellom læringssyn og vurderingspraksis Behavioristisk Kognitivt Sosiokulturelt Læring Overføring av kunnskap Sekvensiell kunnskap Vurdering Skjer etter innlæring Kvantitativ kunnskap Mange små tester Tilbakemelding er positiv/negativ forsterker Konstruerer sin egen kunnskap Metakognisjon Helhet og sammenhenger Skjer både underveis og etter Gjerne med hjelpemidler, - vurderer anvendelse og vurdering av kunnskap Egenvurdering og tilbakemeldinger Learning by doing Deltagelse i et praksisfelleskap Kunnskap konstrueres gjennom samhandling Skjer i/gjennom språket Integrert i læringsprosessen Vurderer seg selv og hverandre Tilbakemeldinger er en del av stillasbygging hjelper elevene videre i deres nære utviklingssone
Vurderingssituasjoner Forprøver Par-/gruppeprøver Fokus: Anvendelse (Hele/deler av prøven) Prosessorienterte prøver Tester Rette og vurdere seg selv Har vi fokus på læringsfremmende prøver? Vurderingsinformasjonen må brukes aktivt av lærer og elev Elevene må kjenne kriteriene for et godt arbeid Krever tenking og forståelse av eleven
Underveisvurdering Hvordan kan vi fremme læring hos elevene? Ulikt fokus / progresjon når det gjelder bl.a. egenvurdering og framovermeldinger Elevens alder Vg1 / Vg2 / Vg3 Matematikk-kurs T / P / R / S, YF Når i skoleåret Oppstart, etter første vurderingssituasjon, underveisvurdering, foran terminprøver, Elevens nivå / faglig potensial Annet; - forventninger, motivasjon, selvtillit i faget, arbeidsmetoder,
Kjennetegn på måloppnåelse (Utdrag fra eksamensveiledningen i matematikk 2014) Kompetanse Karakteren 2 Karakteren 3 og 4 Karakteren 5 og 6 Begreper, forståelse og ferdigheter Eleven forstår en del grunnleggende begreper Eleven forstår de fleste grunnleggende begreper og viser eksempler på forståelse Eleven forstår alle grunnleggende begreper, kombinerer begreper Problemløsning Eleven viser eksempler på å kunne løse enkle problemstillinger Eleven løser de fleste enkle og en del middels kompliserte Eleven utforsker problemstillinger, stiller opp matematiske modeller, Kommunikasjon Eleven presenterer løsninger på en enkel måte, for det meste med uformelle uttrykksformer på en forholdsvis sammenhengende måte med forklarende tekst i et delvis matematisk formspråk på en oversiktlig, systematisk og overbevisende måte med forklarende tekst i matematisk formspråk.
Kjennetegn på måloppnåelse (Utdrag fra eksamensveiledningen i matematikk 2014) Kompetanse Karakteren 2 Karakteren 3 og 4 Karakteren 5 og 6 Begreper, forståelse og ferdigheter Eleven forstår en del grunnleggende begreper Eleven forstår de fleste grunnleggende begreper og viser eksempler på forståelse Eleven forstår alle grunnleggende begreper, kombinerer begreper Problemløsning Eleven viser eksempler på å kunne løse enkle problemstillinger Eleven løser de fleste enkle og en del middels kompliserte Eleven utforsker problemstillinger, stiller opp matematiske modeller, Kommunikasjon Eleven presenterer løsninger på en enkel måte, for det meste med uformelle uttrykksformer på en forholdsvis sammenhengende måte med forklarende tekst i et delvis matematisk formspråk på en oversiktlig, systematisk og overbevisende måte med forklarende tekst i matematisk formspråk.
Kontroll av læring på slutten av en undervisningsøkt Hvordan kan vi kontrollere noen eller alle elevers læring denne økta? Hvordan kan vi løfte fram viktige momenter, begreper, osv. ved en felles oppsummering? Hvordan kan vi finne ut i hvilken grad elevene har lært det som var hensikten med timen? Og dermed finne ut om undervisningsopplegget har fungert. Og eventuelt også hvorfor det har fungert / ikke fungert.
Tenk på noe du har lært (teori, en ferdighet, ) HVA lærte du? NÅR lærte du det? HVORFOR lærte du det? HVORDAN lærte du det? Hva slags HJELP fikk du? Hva slags TILBAKEMELDINGER fikk du?
Proporsjonalitet Eksamensoppgave (10.klasse V12, oppgave 8 del 1 )
Flere framgangsmåter Oppgave: problemløsing Elise har 42 femkroner mens Petter har 18 tjuekroner. Hver dag bruker Elise en femkrone og Petter en tjuekrone. Når vil de ha like mye penger? Prøv å finne svaret på flere måter.
Hva kan elevene fra før? Metode: Funksjoner Tegning av grafer grafisk avlesning Elevene skal lage et tankekart som viser de viktigste sidene ved et tema. Individuelt: Noter ned det du husker i ditt hjørne. Gruppevis: Elevene skriver formler, begreper, stikkord, regler, lager tegninger m.m. Alle skal kunne forklare tankekartet etterpå, så elevene må samarbeide og lære av hverandre.
Kartlegging før gjennomgåelse Oppgave Merk av punktene A (3, 1), B (0, 2) og C (1, 0): Oppgave Grafen viser sammenhengen mellom antall kilogram epler (x) og prisen i kroner som man må betale (y). Bruk grafen til å svare på følgende spørsmål: a) Hvor mye koster 4 kg epler? b) Hvor mange kg epler får man for 45 kroner?
Å oversette mellom ulike representasjoner av funksjon
Punkter og grafer i koordinatsystemet Eksempel tatt fra Sigma 1P: Tegn disse punktene i et koordinatsystem: A (2, 3), B ( 2, 2), C (1, 2), D (0, 3), E ( 1, 0), F (0,0)
Rett linje grafen til lineære funksjoner Eksempel tatt fra Sigma 1P:
Metode: TENK, REGN, DEL Metoden veksler mellom individuelt arbeid og samarbeid i par eller i grupper. Utgangspunktet er hva elevene kan fra før, men det kan også være mulig å få elevene til å tenke videre. Metoden fremmer individuell tenking, samarbeidsevne og muntlig evne i faget. Framgangsmåte: Elevene får et ark hver med oppgaver eller spørsmål. Først skal elevene gjøre noe individuelt. TENK + REGN Deretter skal elevene diskutere og forklare for hverandre i par eller gruppe. DEL Så kan f.eks. en elev på vegne av gruppen bli bedt om å forklare for resten av klassen. DEL
Lineære funksjoner Hver gruppe får ansvaret for å tegne fire rette linjer inn i et koordinatsystem. Gruppene får forskjellige funksjoner (forslag på neste side). Skriv + regn : På gruppa fordeles oppgavene, og elevene prøver å løse hver sin oppgave alene. Elevene tegner gruppevis inn linjene for eksempel på millimeterark for deretter å tegne på en transparent, på tavle eller i på PC. Del : Elevene samarbeider i gruppa og en av elevene forklarer for resten av klassen.
Lineære funksjoner Oppgaver Gruppe A) Gruppe B) Gruppe C) y 1 = 2x + 3 y 1 = 3x + 5 y 1 = 5x y 2 = 2x + 1 y 2 = 3x + 2 y 2 = 3x y 3 = 2x 2 y 3 = 3x y 3 = x y 4 = 2x 5 y 4 = 3x 1 y 4 = 0,5x Gruppe D) Gruppe E) Gruppe F) y 1 = 0,5x y 1 = 4x + 1 y 1 = 5 y 2 = x y 2 = 2x + 1 y 2 = 2 y 3 = 3x y 3 = x + 1 y 3 = 1 y 4 = 5x y 4 = 3x + 1 y 4 = 4
Lineære funksjoner Gjennomgåelse i klassen Avslutningsvis oppsummeres hva som er likt og hva som er forskjellig når det gjelder de fire rette linjene: Hva kan vi se ut fra funksjonsuttrykkene? Går linjene oppover eller nedover? Hvilken linje er brattest? Hva er stigningstallet / -tallene? Hvor skjærer linjene y-aksen? Gruppe E y 1 = 4x + 1 y 2 = 2x + 1 y 3 = x + 1 y 4 = 3x + 1
Funksjoner (Hva hører sammen?) Drilloppgaver øve på funksjonsbegrepet Kort i to farger: Funksjonsuttrykk og graf Muntlige ferdigheter; - elevene må forklare hvordan man ser hva som hører sammen. y = 0,5x + 1
Eksamensoppgave (2P-Y V09 Oppg.3)
EKSAMENSOPPGAVE
Bordstafett Volum og overflate Læreren lager en oversikt over volum og overflate. Oversikten har blanke felt, hvor navn, figurer og formler mangler. Når arket sendes mellom to og to elever, skal de prøve å fylle ut ett blankt felt hver gang. I forlengelsen av denne aktiviteten kan elevene lage oppgaver til hverandre om emnet.
Matematikkvansker (Metodehefte utgitt av Pedlex, 2008) Ulike tilnærminger Fire hovedkategorier av forstyrrelser : (Alexander Luria) 1. Forstyrrelser i logisk tenking 2. Forstyrrelser i planlegging 3. Strategiforstyrrelser 4. Automatiseringsforstyrrelser
Matematikkvansker Årsaker til matematikkvansker 1. Medisinske eller nevrologiske årsaker 2. Undervisningspåførte årsaker 3. Psykologiske årsaker 4. Sosiologiske årsaker Kjennetegn ved elever med matematikkvansker
Hefte Udir: God regneopplæring for lærere på ungdomstrinnet Prinsipper for god regneopplæring (side 5) 1. Sett klare mål, og form undervisningen deretter 2. Vær bevisst i valg av oppgaver 3. Varier mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før 5. Bruk det matematiske språket aktivt 6. Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet http://www.udir.no/lareplaner/grunnleggende-ferdigheter/container/god-regneopplaring--for-larere-pa-ungdomstrinnet/ (Publisert 14.08.2012)
Hefte Udir: God regneopplæring for lærere på ungdomstrinnet Regning som grunnleggende ferdighet i alle fag: (side 4) 1. Forståelse 2. Beregning 3. Anvendelse 4. Resonnering 5. Engasjement
Introduksjon til funksjonsbegrepet Udir: God regneopplæring for lærere på ungdomstrinnet, s.11-13 1. Mål Elevene skal bli fortrolige med variabler og funksjoner. 2. Valg av oppgaver Rik oppgave 3. Varier ved å la elevene jobbe på egenhånd, forklare i gruppe + gjennomgå i klassen 4. Utgangspunkt i noe de kan: Hoderegning, ganging, Se at det er nok med en ukjent her. 5. Bruk det matematiske språket aktivt Tydelige instrukser. Når vi bygger opp formelen. 6. Benytt hjelpemidler fremmer læring og kreativitet
Prinsipper for god regneopplæring 1. Sett klare mål, og form undervisningen deretter Basert på elevenes forkunnskaper Lærerens horisontkunnskap Relevante, presise, vurderbare, tydelige og individuelle læringsmål.
Prinsipper for god regneopplæring 2. Vær bevisst i valg av oppgaver Oppgavene former læringsmiljøet og de påvirker elevenes syn på faget. Diagnostiske oppgaver Passer som introduksjon, underveis og ved avslutningen Kartlegge begrepsforståelsen Rike oppgaver Løses på flere måter Matematisk diskusjon, utforsking, problemløsing, Realistiske oppgaver Viser relevans til dagligliv og samfunnsliv Treningsoppgaver
Eksempler på annerledes oppgaver Oppgaver (Kryss av for riktig eller gal) R G 1) Prisen på en vare stiger med 12,5 %. Vi kan bruke vekstfaktoren 1,125 til å finne den nye prisen. 2) Hvis Malin jobber lenger enn det som er avtalt i arbeidsavtalen, har hun krav på overtidsbetaling. 3) Prisen på en vare blir satt ned med 15 % fra 500 kroner. Den nye prisen blir 500 0,15. 4) Budsjett og regnskap er det samme. 5) Å legge til 25 % er det samme som å gange med 1,25. 6) Vetle selger PC-utstyr. Han får i lønn 5 % av det han selger for. Vi sier at Vetle har akkordlønn. 7) Elisabeth har en timelønn på 220 kroner. Når hun må jobbe overtid får hun 50 % tillegg til lønna. Elisabeth får altså 330 kroner i overtidslønn. 8) Fast månedslønn + overtidslønn = netto månedslønn 9) Trekkgrunnlaget er det du betaler i skatt. 10) Zoheeb vil planlegge økonomien for en utenlandsferie. Han setter derfor opp et regnskap.
Fyll inn de tallene som mangler i budsjettet. Tallene er: 900, 3 900, 4 100, 5 300, 25 400, 26 500 mars april Faste inntekter 24 000 24 000 Ekstrainntekter 2 500 Sum inntekter 28 100 Faste utgifter 13 000 13 000 Dagligvarer og helse 4 600 5 100 Klær og transport 2 700 3 400 Fritid Sum utgifter 21 200 Penger til sparing 2 700
Fyll inn ordene på rett plass: bonus, grunnlønn, akkordlønn, provisjonslønn, overtid, timelønn, prestasjonslønn. er lønn vi får for den tiden vi jobber. Dersom Bayram skal ha snekkere til å gjøre en jobb for seg kan det være at det avtales en sum for hele jobben. Da får snekkerne.. Dette er et eksempel på... Noen bedrifter deler ut.. dersom bedriften går godt. Selgere får ofte.... Dette får de ofte i kombinasjon med en... Dersom man har en fast timelønn får man ofte høyere lønn ved å jobbe til ugunstige tider eller når man må jobbe....
Tabell a Tabell b Se på tallene i de tre lønnstabellene. Svar a, b eller c for hvert spørsmål. Bruttolønn 30 000 kr Pensjonstrekk 600 kr Fagforeningskontingent 450 kr = Trekkgrunnlag 28 950 kr Skatt 11 580 kr = Nettolønn 17 370 kr Bruttolønn 38 000 kr Pensjonstrekk 950 kr Fagforeningskontingent 380 kr = Trekkgrunnlag 36 670 kr Skatt 11 001 kr = Nettolønn 25 669 kr I hvilken tabell er pensjonstrekket størst i kroner? Svar I hvilken tabell er pensjonstrekket minst i prosent? Svar I hvilken tabell er pensjonstrekket størst i prosent? Svar I hvilken tabell er skattetrekket størst i prosent? Svar I hvilken tabell er skattetrekket minst i prosent? Svar I hvilken tabell er fagforeningskontingenten størst i kroner? Svar Tabell c Bruttolønn 42 000 kr Pensjonstrekk 630 kr Fagforeningskontingent 840 kr = Trekkgrunnlag 40 530 kr Skatt 20 265 kr = Nettolønn 20 265 kr I hvilken tabell er fagforeningskontingenten størst i prosent? Svar I hvilken tabell er fagforeningskontingenten minst i prosent? Svar
Prinsipper for god regneopplæring 3. Varier mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt Samsvar mellom valg av aktivitet eller oppgave og gruppering av elevene Individuelt utveksler erfaringer i gruppe presenterer løsningsstrategier i helklasse
Prinsipper for god regneopplæring 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før Konkrete problemer: Konteksten hentes fra en gjenkjennbar situasjon Konkretiseringsmateriell Prosess konkret abstrakt Ulike representasjoner Kommunikasjon
Prinsipper for god regneopplæring 5. Bruk det matematiske språket aktivt Matematikk må ikke bli de stille timene Læreren må stille spørsmål av høyere orden Fra å gjøre flest mulig oppgaver til å forstå og begrunne Fra hva elevene har gjort til hva de har lært Oppgaver som er løst feil kan være en rik kilde til læring Elevene må utfordres til å resonnere framfor å gjette Læreren må bruke ulike representasjoner
Prinsipper for god regneopplæring 6. Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet Digitale verktøy: Både regneteknisk og pedagogisk verktøy Elevene må lære å velge hensiktsmessige hjelpemidler og bruke dem Fokusere på å se mønster og sammenhenger
Hvordan mestre oppgaver fra dagliglivet Guri A. Nortvedt i Utdanning nr.18, 4.november 2011 Hvordan lære elevene å mestre uoppstilte matematikkoppgaver? Ideelt: Gi elevene oppgaver fra dagliglivet først, og så komme fram til hvilke regnemetoder en må bruke. Men: Mange elever har for svak tekstkompetanse Elevene må få trening i å trekke ut hva som er essensielt. Og: Mange elever har for dårlige formelle kunnskaper i matematikk for å løse tekstoppgaver. Vellykket undervisning er en gåte!!! Regning må ikke skje på autopilot Diagnostisere om eleven anvender gale metoder Tekstoppgaver som kan løses på mange ulike måter Tenk alternativt Problemløsing og modellering mer sentralt
Bruk av avis i matematikkundervisningen Et kinderegg : 1. Avisen handler om virkeligheten og om elevenes hverdag 2. Matematikken brukes i stoff som omhandler andre fag 3. Elevene får lesetrening Bidrar med motivasjon: 1. Dagsaktuelt stoff 2. Kobler matematikk til andre fag 3. Har ungdomsstoff En form for matematisk modellering, formulere problemstillinger Avis i skolen http://www.ais-oppland.net/index.php?option=com_content&view=article&id=55&itemid=19 http://www.ais-oppland.net/index.php/materiell/laererhefter
Matematikk i dagliglivet - Birkebeinerrennet I alt 10 069 av rundt 10 700 påmeldte stilte til start. Av de som startet var 1244 kvinner, 8 206 menn og i tillegg kommer trim/turklassen med 519 deltakere. Merkeprosenten ligger på 32 %. 458 damer og 2387 menn klarte merket.
Grublis Hvem bor hvor og eier hva? I et rekkehus med 4 boliger bor det 4 gutter. En i hvert hus. Hver gutt har sitt favorittfotballag og hvert sitt kjæledyr. 1. Gutten i nr.10 C heier på Brann. 2. Katten er nabo med marsvinet. 3. Truls heier på Rosenborg og bor på en av endene. 4. Nils bor mellom marsvineier og han som heier på Brann. 5. Kåre bor ved siden av rotteeieren. 6. Gutten som bor lengst til høyre, har Lyn som favorittlag. 7. Rotten er nabo med gutten som liker Viking. I hvilket hus bor Geir, og hvem eier slangen? 10A 10B 10C 10D
Slik blir det enklere Innsikt Matematikk, Aftenposten 15.10.2012 Ni metoder (Tom Rune Kongelf, HSF) Se etter mønster Lag en systematisk tabell Lag en visualisering Gjett og sjekk Løs en del av problemet Arbeid baklengs Tenk på et tilsvarende problem Forenkle problemet Endre angrepsmåte
Om problemløsing i Vurderingsveiledningen Kjennetegn på måloppnåelse Kategorien problemløsing sier noe om elevens evne til å løse ulike problemstillinger. Problem må her forstås vidt fra enkle, rutinemessige oppgaver til større, mer sammensatte problemer. Det er altså snakk om hvordan elevene bruker kunnskaper og ferdigheter på ulike matematiske problemstillinger og ser sammenhenger i faget og mellom læreplanens hovedområder. Denne kategorien vil også beskrive elevens kompetanse når det gjelder modellering i hvilken grad eleven kan lage, ta i bruk og vurdere modeller. Videre er det naturlig å vurdere i hvilken grad eleven viser matematisk tankegang, og om eleven har evne til å vurdere svar i forbindelse med ulike matematiske problemstillinger.
Boken Matematikk for skolen (Barbro Grevholm (red.)) Lærerne er de viktigste faktorene når det gjelder å skape lyst til å lære matematikk. Utvikle gode presentasjonsformer og arbeidsmåter som bygger opp elevenes forståelse og selvtillit i faget. Hvilke arbeidsformer er med på å skape en indre motivasjon hos elevene for å lære matematikk? En gjennombruddssituasjon Gylne øyeblikk
Forts. Matematikk for skolen Ekte entusiasme for elevenes forslag og bestrebelser Entusiasme for og glede over matematikkens fantastiske verden Verdsetting av respekt, omsorg, nysgjerrighet og kreativitet Verdsetting av det å tørre å ta sjanser, kaste seg ut i ukjente ting Verdsetting av forståelse, i motsetning til å fokusere på fasitsvar Verdsetting av følelsen av å ha det gøy med elevene Verdsetting av elevenes stolthet og eierforhold til eget arbeid Høye forventninger til alle elevene
Forts. Matematikk for skolen PROBLEMLØSING: Når vi har en matematisk oppgave hvor det ikke er klart for problemløseren hvilke løsningsmetoder som skal brukes. MATEMATISK MODELLERING: Erkjennelse av et problemområde Forenkling av og idealisering av situasjonen Bruke kjente metoder Tolke resultatet Refleksjon
Forts. Matematikk for skolen Lærerens rolle Elevenes problemløsing: 1. Eleven klarer ikke å komme i gang læreren fungerer som en modell for problemløsing 2. Eleven tør til en viss grad å angripe problemer hvis de virker kjente læreren er støtte 3. Eleven tør å bruke nye strategier læreren er leverandør av problemer 4. Eleven klarer å velge passende strategier og produserer nye løsningsmåter læreren fremmer kreativt elevarbeid
Problemløsing i matematikk PROBLEMLØSING er de handlinger vi foretar med sikte på å finne problemets løsning. Men hva gjør vi når vi prøver å løse noe vi ikke har gjort før? En kort oversikt: 1) Forstå hva problemet er 2) Legg en plan 3) Gjennomfør planen 4) Se tilbake Overlæring Det er viktig å se etter om det er noe mønster, tenk spesialtilfeller i begynnelsen, se om det er noe generelt, og fremfor alt; - jobb systematisk.
Tips i problemløsingen 1) Å oversette en tekst til likning: Bruk opplysningene i teksten til å sette opp en likning. Ved å innføre bokstaver for ukjente størrelser, kan du løse en likning eller et likningssett. Pass på å svare på det som det spørres etter. Det kan være flere spørsmål. 2) Tegn hjelpefigurer: I mange oppgaver er teksten uoversiktlig. Det lønner seg ofte å tegne en figur der vi avsetter kjente og ukjente størrelser; - en hjelpefigur.
Tips i problemløsingen (forts.) 3) Innfør hjelpestørrelser: Hvis f.eks. arealet til en sirkel er oppgitt, - og du skal regne ut omkretsen, kan du finne radius ved først å regne med arealformelen. 4) Tegn hjelpelinjer: I geometrioppgaver kan det være nødvendig å tegne inn (hjelpe-) linjer som ikke er gitt i oppgaven. F.eks. en diagonal slik at du kan regne med Pytagoras setning. 5) Finn to uttrykk for samme størrelse: I enkelte oppgaver kan vi tilsynelatende ha for få opplysninger. Vær da på utkikk etter om noe kan skrives på to forskjellige måter; - finn to uttrykk for samme størrelse. Ved å sette disse to uttrykkene lik hverandre får vi en likning vi kan løse.
Tips i problemløsingen (forts.) 6) Bli kjent med enkelttilfeller: Når en formel er gitt, eller vi selv skal prøve å lage en formel for noe, må vi ofte prøve oss frem med tall først, - enkelttilfeller. Deretter ser vi kanskje et slags mønster i det hele slik at vi kan sette opp en formel eller gi et generelt bevis eller vise at det gjelder generelt ved å innføre bokstavstørrelser. 7) Arbeid baklengs: Du klarer kanskje ut fra teksten å se hva svaret blir, eller hva som skal til for å finne svaret. Da blir oppgaven din å prøve å tenke baklengs akkurat som en som etterforsker et mord. Still deg spørsmålet: Hva hvis? 8) Lag selvmotsigelser: Angrip oppgaven fra forskjellige steder, - som du vet ikke begge kan være riktige.
Rike oppgaver Veiledningen til læreplanen i matematikk En rik oppgave er en problemløsningsoppgave som byr på muligheter til diskusjoner med andre når det gjelder ideer til løsninger og forståelse av matematiske begreper En rik oppgave skal: Introdusere viktige matematiske ideer eller løsningsstrategier Være lett å forstå og alle skal kunne komme i gang og ha muligheter til å jobbe med den (lav inngangsterskel) Oppleves som en utfordring, kreve anstrengelse og tillates å ta tid Kunne løses på flere ulike måter, med ulike strategier og representasjoner
Forts. Rike oppgaver Veiledningen til læreplanen i matematikk Kunne initiere matematisk diskusjon som viser ulike strategier, representasjoner og matematiske ideer Kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske områder Kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problemer (Hva hvis? Hvorfor er det sånn?) Elevene vil få øvelse i: Kjenne igjen matematikk i ulike kontekster Bruke basiskunnskapene sine på nye problemstillinger Se sammenhenger Tenke matematisk og opparbeide et sett av løsningsstrategier
Forts. Rike oppgaver Veiledningen til læreplanen i matematikk Rike oppgaver: Er selvdifferensierende Oppmuntrer til samarbeid og til å finne hverandres sterke og svake sider Gir utfordringer til alle Gir mestringsfølelse Utvikler og oppøver utholdenhet Er morsomme å arbeide med både for elever og lærere
Froskehopp Spill eller matematikk? To froskefamilier sitter på vannliljeblader. Hver familie består av like mange frosker (f.eks. 3). Midt mellom de to familiene er det et ledig vannliljeblad. De gule og blå froskene skal bytte plass etter følgende regler: De gule kan bare gå mot høyre, de blå mot venstre. De kan enten hoppe til et ledig naboblad eller over en frosk til et ledig blad. Det kan bare være en frosk per blad. http://web2.gyldendal.no/sigma/paabygging_p/html/full_content.asp?file=moduler/frogs http://www.matematikksenteret.no/content/2223/froskehopp
Froskehopp Spill eller matematikk? Analysere spillets gang. Modellering.
Hundrekartet mønster og bevis Fra Undersøkende matematikk undervisning i videregående skole. http://matematikksenteret.no/content/1788/hundrekartet---monster-og-bevis 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Hundrekartet mønster og bevis Hensikt Instruks: Tallene som danner en diagonal fra øvre høyre til nedre venstre hjørne multipliseres med hverandre. Trekk så ifra produktet av tallene i den andre diagonalen.. Utforsking Hvordan bygge opp et bevis? Hva man vil bevise Et bevis må gjelde generelt Regn det generelle på samme måte som med tall Trekk en konklusjon, relatert til påstanden.
Hundrekartet mønster og bevis Firkanter, - store eller små, - kvadrater eller rektangler. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Hundrekartet mønster og bevis a a+1 a+10 a+11 Regnestykket blir: (a + 1)(a + 10) a(a + 11) = a 2 + 10a + a + 10 a 2 11a = 10
Noen aktuelle bøker, kilder og lenker: Matematiske utfordringer Tangentens oppgavehefte, Caspar forlag AS 2003 http://www.caspar.no/boker.php Matematikkvansker. Metode og teori. Anders Einseth (red.), Pedlex, 2008, ISBN 978-82-7841-487-3 Matematikk for skolen. Barbro Grevholm (red.), Fagbokforlaget, 2003, ISBN 82-7674-984-4 www.lamis.no, Bl.a. det årlige heftet Matematikkens dag http://butikk.lamis.no/matematikkdaghefter (alle heftene unntatt to av årene kan bestilles, kr. 200 for medlemmer/kr.350 for ikke-medlemmer), hefter (http://butikk.lamis.no/skriftserien), lokallagsmøter og sommerkurs Faghefter i samarbeidslæring utgitt av Akershus fylkeskommune (matematikk, naturfag, biologi, kjemi og fysikk) fås elektronisk (og gratis) ved henvendelse til kursholder: tone.bakken@ohg.vgs.no