Eksamen ECON - V7 - Sensorveiledning Karakterskala: A - - 8 B - 79-65 C - 64-5 D - 49-4 E - 39-3 F - 9 - Ogave ( oeng) a) Definert for alle x. f (x) = 8 x og f (x) = (x 36) x 4 x 5 b) Definert for alle x. g (x) = xex og g (x) = ex (x +) (x+) (x+) 3 c) Definert for alle (x, y) der (x > y > ) (x < y < ). h x = x, h y = y, h xx = x, h yy = y og h xy = h yx = d) Definert for alle c og for c >. U = c, U =, U = U = U = 4c 3/, U = og
Ogave ( oeng) a) Sant. Fordi summen av alle de n første oddetallene er S n = n (kan vises ved å summere vertikalt "forlengs og baklengs"). Da må summen av de første 7 oddetallene være S 7 = 7. b) Usant. FOB vil imlisitt definere n som en funksjon av alle arametrene i modellen, og f er en funksjon ikke en arameter. Dessuten er w en arameter, slik at n = n(, w, t) ville vært korrekt. c) Sant. Dersom vi antar indre løsning, finner vi FOB som: λ = () f (c ) λ = () Som gir at f (c ) =. Men det betyr at c er en funksjon av kun det relative risforholdet mellom de to varene, som er konstant til gitte riser. Det følger at Engelelastisiteten er, og det kommer tydelig frem ved å vise at dersom vi imlisitt deriverer uttrykket får vi: f (c ) c m = (3) c m = (4) Der imlikasjonen i siste linje fremkommer fordi f (c ) <. Men da må Engelelastisiteten, som er E = m c c m =. d) (i) Usant. Fra omhyllingsteoremet er det korrekte svaret Π q = K (ii) Usant. Fra omhyllingsteoremet er det korrekte svaret Π = F (K, L )
Ogave 3 (5 oeng) a) L = ax + by λ(ln(x) + ln(y) ln(c)) FOB gir da: L x = a λ x = (5) L y = b λ y = (6) Som sammen med ln(x) + ln(y) = ln(c) definerer løsningen å roblemet. Fra FOB får vi at λ = ax = by, som betyr at λ = ax + by = f(x, y). Og hvis ax = by kan vi bruke bibetingelsen: ( ax ln x + ln b ) = ln c (7) ln x + ln a + ln x ln b = ln c (8) ln x = ln c + ln b ln a (9) ln x = ( ( )) bc ln () a bc x = () a Tilsvarende finner vi at y = ac. Da har vi også at λ = ax = a bc = abc. b a b) Vi finner AOB: L x = λ x > () L y = λ y > (3) L x y = (4) 3
Men da har vi at L L x y ( L x y) >. Vi har altså funnet et minimum. c) f (a, b, c) = ax (a, b, c) + by (a, b, c) = λ(a, b, c) = abc d) (i) En t-dobling av a og b gir f (ta, tb, c) = (ta)(tb)c = ((ta)(tb)c) / = t abc = tf (a, b, c). Funksjonen er homogen av grad, og derfor vil en rosentvis like stor økning (en t-dobling) i a og b gi en tilsvarende t-dobling av verdifunksjonen. (ii) f c = L = λ = ab c c c ved omhyllingsteoremet. Eventuelt direkte: f = ab c = ab. c c Ogave 4(5 oeng) a) x (y) = h y h x b) x (y) = xexy (x+y) ye xy (x+y) c) x (y) = x y(ln x+ln y 3) Ogave 5 ( oeng) a) Finner først de artielle deriverte: f x = y x x 3 (5) f y = x (6) Deretter bruker vi formelen for en elastisitet: El x f(x, y) = El y f(x, y) = x3 y x x + y x 3 yx x + y x = y x + y = y + x x + y (7) (8) 4
b) Partielle deriverte: g x = ye x ( + x) (9) g y = xe x () Dermed blir: El x g(x, y) = x xye x yex ( + x) = ( + x) () El y g(x, y) = y xye x xex = () c) Partielle deriverte: h x = y x (3) h y = ln x + ln y + (4) Dermed blir: x y El x h(x, y) = y(ln x + ln y) x = ln x + ln y y ln x + ln y + El y h(x, y) = (ln x + ln y + ) = y(ln x + ln y) ln x + ln y (5) (6) d) Bruker kjerneregel for elastisitering: El x F (x, y) = El x u = El u u El x u (med tilsvarende regel for y). Dermed får vi: El x F (x, y) = y + x + x = 4y x + y x + y y El y F (x, y) = x + y = y x + y (7) (8) 5
Veiledning til eksamensogavene 6 - ECON våren 7 Ogave 6. ( oeng) Du er bedt om å gjøre rede for en del begreer. a) Hva er en isokvant? Svar: Gitt en roduktfunksjon med to variable roduksjonsfaktorer x F( n, k), som er voksende i hvert argument, vil en isokvant definere samlingen av alle de faktorkombinasjoner som gir samme roduktmengde, x ; dvs. x F( n, k). b) Hva uttrykker den Marginale Tekniske Substitusjonsbrøk mellom to roduksjonsfaktorer, og forklar hva som menes med at den Marginale Tekniske Substitusjonsbrøk er strengt avtakende? Svar: MTSB mellom to roduksjonsfaktorer, utregnet i et unkt å F dk n isokvanten, definert som ( ), og som er fallende i xx F dn faktordiagrammet, angir det tekniske bytteforholdet; eller hvor mange enheter av en faktor må erstatte bortfallet av en marginal enhet av den andre, gitt uendret roduktmengde. MTSB er gitt ved tallverdien av stigningstallet til tangenten i et unkt å isokvanten. At MTSB antas å være strengt avtakende betyr at bytteforholdet synker langs en isokvant: Bruker vi lite (mye) av en faktor vil en marginal økning av denne faktoren kunne erstatte mange (få) enheter av den andre faktoren, for uendret roduktmengde. Isokvanten, som er synkende, vil da være krummet mot origo. c) Gi en begrunnelse for at en kostnadsminimerende faktorkombinasjon, for gitte faktorriser, er kjennetegnet ved at den Marginale Tekniske Substitusjonsbrøk er lik faktorrisforholdet. Svar: Hvis de to faktorrisene er w oq q, slik at samlet faktorutlegg, wn qk k, skal minimeres for en gitt roduktmengde, vil vi ved indre Fn w løsning måtte ha (og MTSB avtakende), at MTSB : F q. Her er det tekniske bytteforholdet lik markedsbytteforholdet. Hvis denne likheten ikke er ofylt, er det mulig å frembringe samme roduktmengde til lavere faktorutlegg (se boka s.83-88). d) Gi en kortfattet forklaring av Slutskylikningen i tilfellet med to forbruksgoder, skrevet å elastisitetsform som e S E, der e er ij ij j i ij Cournot-elastisiteten for vare i med hensyn å risen å vare j, S er ij Slutsky-elastisiteten eller den komenserte ettersørselselastisiteten mens k
er vare j s budsjettandel og j E er Engel- eller inntektselastisiteten. Om i du ønsker kan du tolke samme sørsmål med utgangsunkt i Slutsky- c h c i i i likningen å derivertform: cj m j j, der c i er ordinær ettersørsel etter vare i, mens h er komensert ettersørsel etter vare i. i Her er risen å vare j, mens m er inntekten. j Svar: Virkningen å ettersørselen etter vare i av en økning i risen å vare j, kan slittes o i en substitusjonseffekt endring i (den komenserte) ettersørselen for gitt nyttenivå av en vridning i relative riser langs en indifferenskurve - og i en inntektseffekt som skyldes at en risøkning gjør realinntekten lavere. Hvis risen å vare j øker med en krone, vil realinntekten gå ned med c, slik at samlet inntektseffekt da er j gitt som det siste leddet å høyre side i Slutskylikningen. Kan lett illustreres, samtidig som det bør åekes at med indifferenskurver som krummer mot origo i to-godtilfellet, vil den direkte substitusjonseffekten være negativ. Hvis godene er fullverdige i ettersørselen (med ositive inntektsderiverte), vil inntektseffektene trekke i retning av mindre ettersørsel. e) Definer og utled grenseinntekten til en monoolist og forklar under hvilke betingelser den er fallende i omsatt kvantum. Svar: En monoolist står overfor en ettersørselsfunksjon som er fallende i omsatt kvantum, x (), to ganger deriverbar, med () x, og har kun kjennska til denne slik at monoolisten vil måtte selge til en og bare en ris, bestemt ved rofittmaksimering. I denne maksimeringen er grenseinntekten sentral, og den er definert som d ( x ) x ( x ) x ( x ) ( x ) dx. Økes kvantum marginalt, øker vi inntekten å den marginale enheten med x (), men samtidig må risen ned for alle inframarginale enheter, med et inntektsta gitt ved det negative leddet x () x. For at grenseinntekten skal være fallende, må vi ha at d ( x ) x ( x ) ( x ) x ( x ) dx. Vi ser at hvis () x, så er grenseinntekten selv fallende i omsatt kvantum. Ogave 7. ( oeng) Anta at en bedrift har en kostnadsfunksjon for roduksjonen av en vare, i mengde x, gitt som C( x; w, q) b( w, q) x, der b( w, q ) er en voksende, konkav funksjon som er
3 homogen av grad én i de to faktorrisene ( wq, ), og med en ositiv konstant, strengt større enn én. a) Utled gjennomsnitts- og grensekostnad. Svar: Vi har for x at C C( x; w, q) x b( w, q) x og dc( x; w, q) C b( w, q) x C C siden. Siden grensekostnaden er x dx større enn gjennomsnittskostnaden, må gjennomsnittskostnaden være stigende; sees også fra dc dx ( ) b( w, q) x. b) Anta at bedriften med denne kostnadsfunksjonen selger varen som risfast kvantumstilasser i et marked der risen å ferdigvaren er. Bedriften ønsker å maksimerer rofitt. Bestem det rofittmaksimerende kvantum av ferdigvaren. Svar: Profitten er ( x) x C( x; w, q) x b( w, q) x og så lenge roduktrisen er ositiv, vil denne rodusenten ønske å rodusere, og det bestemt fra b( w, q) x siden vi har ( x) ( ) b( w, q) x. Førsteordensbetingelsen bestemmer det rofittmaksimerende kvantum, og slik at tilbudsfunksjonen for alle. x b( w, q) : s(, w, q) ; c) Hvordan åvirkes tilbudet av ferdigvaren av at Produktrisen øker Svar: Kvantum øker siden vi har s b( w, q) b( w, q) Én av faktorrisene øker Svar: Når en av faktorrisene øker, vil b( w, q ) gå o, som om roduktrisen skulle gå ned. Effekten av en økning i w kan beregnes som: b s w w b( w, q) ( b( w, q)) De to faktorrisene øker rosentvis like mye? Fordi b( w, q ) er homogen av grad én, vil vi ha b( tw, tq) tb( w, q) og virkningen å tilbudt kvantum er derfor ekvivalent med en reduksjon i,
4 d) Sett at rodusenten skulle være den eneste selger av denne varen i markedet og ville da stå overfor en ettersørselsfunksjon for ferdigvaren gitt å risform som () x Ax, der A er en ositiv konstant, mens er en konstant større enn én. Karakteriser betingelsen for det rofittmaksimerende kvantum som monoolisten vil velge. (Du er ikke bedt om å finne et ekslisitt uttrykk for kvantum.) Svar: Profitten i dette tilfellet er: ( x) Ax x b( w, q) x Ax b( w, q) x. Vi ser at (), og det vil derfor være lønnsomt å rodusere. Monoolistens rofittmaksimum er kjennetegnet ved at ( x) Ax b( w, q) x siden vi jo har ( x) ( ) Ax ( ) b( w, q) x. Kvantum settes slik at grenseinntekten er lik grensekostnaden, med avtakende grenserofitt. Ogave 8. (5 oeng) Anta at vi har en bedrift som roduserer en ferdigvare i mengde x ved hjel av en roduktfunksjon x n, der n er innsats av arbeidskraft, målt i timer. Bedriften otrer som risfast kvantumstilasser både å rodukt- og å arbeidsmarkedet. Prisen for ferdigvaren er kroner er enhet, mens arbeidskraft avlønnes med lønna w kroner er time. a) Still o bedriftens rofitt som en funksjon av n og utled førsteordensbetingelsen for et rofittmaksimum. Vis at andreordensbetingelsen er ofylt. Svar: Profitten er ( n) n wn. Vi ser at (), samt at bare n blir tilstrekkelig stor, vil. Vi ser også at ( n) n w, og sesielt ser vi at ( n) om n. Da vil det eksistere et nivå å n som maksimerer rofitten; * bestemt ved ( n) w n n. At denne gir et maksimum n w * * ser vi av at ( n) for n n og ( n) for n n.(.ordensbetingeslen er 3 ofylt siden ( n) n.) 4 b) Utled bedriftens ettersørsel etter arbeidstimer og dens tilbud av ferdigvaren, og vis hvordan så vel ettersørsel etter n som tilbud av x varierer med risene. Sett også o et uttrykk for den maksimerte rofitten («rofittfunksjonen»). Vi har fra forrige unkt at faktorettersørselen er
5 n n(, w), med et rodukttilbud som w ( n(, w). Begge w funksjoner er strengt voksende i w. Profittfunksjonen er da gitt ved ( n(, w)) w w w 4w Vi skal tenke oss at ferdigvaren selges å verdensmarkedet til den gitte risen, målt i norske kroner. Arbeidskraften kjøes hjemme i konkurranse med bl.a. offentlig sektor som også bruker samme tye arbeidskraft til å frembringe en gitt mengde g av en offentlig-forsynt vare. Vi antar offentlig bruk av arbeidstimer, gitt ved m, er roorsjonal med samlet roduktmengde; dvs. m ag, der a er en ositiv konstant. Det er kun eksortbedriften og offentlig sektor som ettersør denne tye arbeidskraft som foreligger i en gitt mengde, M timer totalt; der M ag. c) Still o likevektsbetingelsen for denne tyen arbeidskraft i et fullkomment arbeidsmarked og vis at likevektslønna kan uttrykkes som w 4( M ag ). Svar: Likevektsbetingelsen er da: ag M w 4 w og svaret 4(( M ag) følger direkte. d) Vis ved derivasjon hvordan denne likevektslønna blir åvirket av at: Offentlig sektor øker sitt tilbud av g. Svar: Ved derivasjon av w ( M ag ) med hensyn å g, finner vi: w 4 ( M ag ) ( a g ) 3 ettersørsel etter arbeid for gitt tilbud. ; lønna øker når offentlig sektor øker sin Eksortbedriften onår en høyere ris å ferdigvaren å verdensmarkedet. Svar: Vi har nå at øker: w ( M ag ) Tilbudet av arbeidstimer øker.
6 Svar: Når tilbudet M øker, finner vi: w 4 ( M ag M ) 3. Arbeidsroduktiviteten i offentlig sektor øker. Svar: Høyere arbeidsroduktivitet i offentlig sektor er ekvivalent med en lavere verdi å a; siden vi har g w 4 ( M ag ) ( g a ) 3 m. Når a endres, vil vi ha a. Med andre ord, når a synker, vil w gå ned. Årsaken er at ettersørselen etter arbeidskraft fra offentlig sektor for gitt g, går ned. Når tilbudet er gitt, må derfor lønna gå ned. Ogave 9. (5 oeng) Anta at en arbeidstaker/konsument har en nyttefunksjon U( c, f ) f lnc, over konsum c, og fritid, målt i timer, f. Det antas at er en ositiv konstant, mens ln angir den naturlige logaritmen. Konsumenten har et tidsbudsjett f n T, der n er arbeidstid målt i timer, mens T er samlet antall timer til disosisjon. Konsumenten otrer som risfast kvantumstilasser både i konsumvaremarkedet og i arbeidsmarkedet, med som ris er enhet av konsumvaren og med w som lønn er time arbeidet. I tillegg til arbeidsinntekt mottar også arbeidstaker en stønad å S kroner, slik at inntekten wn S i sin helhet finansierer konsumutgiften c. a) Bestem den marginale substitusjonsbrøk mellom fritid og konsum og angi egenskaer ved denne. Svar: Den marginale substitusjonsbrøk mellom konsum og fritid, definert som dc U c ( ), som er uavhengig av fritid. Den er større jo høyere c er. f UU df U c c b) Utled den nyttemaksimerende tilasningen av konsum og fritid. Svar: Bruker vi tidsbudsjettet i c wh S S w( T f ) som da gir oss den fulle budsjettbetingelsen. For en indre løsning har vi da Lagrangefunksjonen gitt ved L f lnc c wf S wt, der er en Lagrangemultilikator, og en indre løsning må ofylle: L w f L c c
7 w Fra disse to finner vi: c og fra budsjettbetingelsen følger da: S c S wh w S wh w( T f ) f T og h w S. w c) Hva er betingelsen for at det vil bli tilbudt et ositivt antall arbeidstimer? Gi en tolkning av denne betingelsen. Svar: Vi ser at h S w S w S w. Reallønna w forteller hvor mange enheter av c-varen en kan bytte til seg for hver time i arbeid. få for en marginal time i arbeidsmarkedet. Denne markedsavkastningen må veies mot reservasjonslønna, dvs. hvor mye konsum arbeidstakeren må ha for i det hele tatt å jobbe. Se derfor å MSB mellom fritid og konsum for h f T, med S S S c, med MSB( T, ). Hvis markedsreallønna overstiger reservasjonslønna, vil det bli tilbudt noe arbeid. Hvis ikke, vil h. d) Fastlegg ettersørselsfunksjonen for konsum og tilbudsfunksjonen for arbeid, når du tar hensyn til at i noen tilfeller kan konsumenten finne det ønskelig ikke å tilby arbeid. w Svar: Vi har da at ettersørselen etter konsumvaren er gitt ved c og w S hvis h S w S hvis w e) Anta at det tilbys arbeidstimer. Hvordan varierer konsum og arbeidstilbud, angitt ved elastisiteter, når c w konsumvaren blir dyrere Svar: El c ( ) c c w c lønna øker Svar: El c, El h w w c w, El h w h w S S h w h w wh f) Diskuter åstanden om at en økning i stønadsbeløet vil motivere arbeidstakeren til å jobbe mer. h S h S Svar: Siden vi har eller vedel h, ser vi at økt S S S w h S wh fører til mindre tilbud av arbeid.