HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi Side 1 av 5 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Torsdag 14.1.24, kl: 9:-12: Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator, med tomt minne. Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Eksamen består av 5 sider (derav 1 side med formler) og 5 oppgaver. Faglærer: Førsteamanuensis, Dr.ing. Per J. Nicklasson, Tlf. 76 96 64 1 Oppgavenes vekt er angitt i prosent av total poengsum.
Side 2 av 5 Oppgave 1 (5% 5% 5% 5% 1% 3%) a) Hvor mange frihetsgrader har et romfartøy generelt mhp. bevegelse? Tegn en skisse og forklar. Et legeme har generelt 6 frihetsgrader. Tre av dem bestemmer plasseringen i rommet av legemets massesenter (eller et annet fast punkt i legemet) i forhold til origo i et referansesystem, og de tre andre bestemmer orienteringen i av legemet i forhold til et sett med referanseakser. Det er vanlig å legge inn et koordinatsystem i legemet, slik at legemets orientering bestemmes ut fra aksenes orientering. Skisse bør bestå av to koordinatsystem med angivelse av posisjon og indikasjon av legemets utstrekning. b) Anta at en kraft F utfører et arbeid på et legeme med masse m slik at det beveger seg langs en bane i rommet fra punkt 1 til punkt 2. Utled matematiske uttrykk for endringen av legemets kinetiske og potensielle energi. Anta at kraftfeltet er konservativt. Kinetisk energi T: r W 12 F dr m dv dr 2 r 2 mdv v dt c c Potensiell energi P, antar at F grad U r r 2 r r 2 r r W 12 F dr F dr F dr F dr F dr U U r 2, r m 2 dv2 m v 2 2 2 v 2 1 T 2 T 1, dw dt r 2 dw du c) Forklar hva som menes med loven om konservering av energi når et legeme beveger seg i et konservativt kraftfelt. Med loven om konserving av energi, mener vi at endringen av energi ved bevegelse i et konservativt kraftfelt er slik at den totale energien heletiden er konstant, dvs. de dt du og dermed E T U konstant.endringen består altså bare i en overføring mellom de to formene. d) Definer momentet M om et punkt O for en kraft F, samt lineær bevegelsesmengde p og spinn h for en partikkel med masse m. Utled sammenhengen mellom spinn og moment? M r F, r er avstandsvektoren fra O til angrepspunktet for F. Lineær bevegelsesmengde p mv, spinn h m r v r p, dh d r mv ṙ mv r d mv v mv r d mv r F M dt dt dt dt e) Anta at et legeme med masse m 1 kg beveger seg i en bane om et annet legeme, kun påvirket av kraften F som virker mellom de to legemene. La være vinkelen mellom avstandsvektoren r mellom de to legemene (positiv retning av vektoren er fra det sentrale legemet) og en akse i et ortogonalt aksekors plassert i senter av det sentrale legemet (med konstant orientering i rommet). Vis at for spinnet til legemet h om senter av det sentrale legemet gjelder h h r 2 d /dt,derr r. Hvilke verdier vil h anta når r og varierer langs banen? Forklar. h m r v r v,såh h rvsin,der er vinkelen mellom r og v. Nå er det slik at dersom vi definerer 9 o,vilvifåh h rvcos rv v, der altså v v er den komponenten av v som er vinkelrett på r. Dersom vi videre bruker vinkelen,fårvi v v v v r d /dt. Dermed får vi h r 2 d /dt. Vi kan videre merke oss at siden kraften virker langs vektoren r,vilviha dh/dt r F,såh må være konstant når r og varierer langs banen. Se figuren under.
Oppgave 2 (1% 5% 15%) Vi skal gjøre en banendring for en satellitt, og må rette inn hovedtrusteren langs den retningen vi ønsker en lineær hastighetsendring ΔV i. Dessverre har trusteren blitt montert med et vinkelavvik på.8 o i forhold til z-aksen. Anta at vi spinner opp satellitten om denne aksen med en rotasjonshastighet på z.8 rad/s, etter først å ha orientert aksen i ønsket retning for hastighetskorreksjonen. Den parasittiske (uønskede) kraften fra trusteren har angrepspunkt 1.2 m fra massesenteret og trusteren kan gi en skyvekraft på 4 N. Satellitten har forøvrig parametrene I x I y 5 kgm 2, I z 2 kgm 2. a) Hvor stor må hastighetsendringen være dersom vi ønsker å øke høyden av apogeum med 5 km fra en initiell radius på r a 42164 km. Perigeum har en høyde på h 2 km. Her må en først benytte formelen v 2 /2 /r /2a for å beregne hastighetene i perigeum for de to banene. Dette gir V p1 2 r p r p r a1,v p2 2 r p r p r a2. Videre må vi huske på at det er radier som inngår i bereningene, dvs. r p 6378.6 2. km, r a1 42164. km, r a2 42164. 5. km. Videre har vi GM 3.98632 1 5 km 3 /s 3. Innsetting gir ΔV V p2 V p1 8.169 m/s. Under beregningen er det viktig å passe på at vi benytter m og s som enheter overalt. Evt. kan vi bruke km og s som enheter, etterfulgt av multiplikasjon av svaret med 1 3 for å få et sluttresultatet med enhet m/s. b) Beregn midlere nutasjonsvinkel som følge av hastighetskorreksjonen. Hint: Se formelsamlingen. Direkte innsetting gir T d 1.2 sin.8 o 4 6.7 Nm, og av 4T d / z 2 I z I z /I x 1 6.36 o.
Side 3 av 5 Oppgave 3 (5% 1% 5% 2%) a) Rotasjonsmatrisen A 213 er gitt som c c s s s s c c s s s c s c c s s c c s s c s c c s s c c Forklar hvilken rotasjonsrekkefølge dette samsvarer med. Ta utgangspunkt i et inertielt referansesystem. Utled også et uttrykk for den lineariserte rotasjonsmatrisen, under forutsetningen om at rotasjonsvinklene er små. Man dreier alltid først om en akse (som er sammenfallende med tilsvarende akse i) det inertielle systemet, så om en ny akse i det roterte systemet, osv. Denne rotasjonsrekkefølgen tilsvarer en rotasjon om den inertielle y-aksen, etterfulgt av en rotasjon om x-aksen i det roterte systemet (som nå har en ny retning i forhold til x-aksen i det inertielle systemet), og tilslutt en rotasjon om z-aksen i det roterte systemet (som har endret retning i forhold til den inertielle z-aksen to ganger før den benyttes som rotasjonsakse), altså. Ved linearisering benytter vi cos 1, sin. Andreordens eller høyereordens ledd av små ledd settes lik null, f.eks. s s. Dette gir (merk at dette gjelder uansett rotasjonsrekkefølge): A 213 A 1 1 1 b) Utled sammenhengen mellom de tidsderiverte av vinklene,, og de legemefaste rotasjonshastighetene p,q og r for samme rotasjonsrekkefølge som i spørsmålet over. Du trenger ikke skrive ut ligningene på komponentform. p q r A A A A A A De elementære rotasjonsmatrisen er gitt som A cos sin sin cos 1, A 1 cos sin sin cos, A cos sin 1 sin cos c) De totale kreftene (drag, trustere, etc.) som virker på en rakett med masse m kan skrives som F F x, F y, F z T. De lineære hastighetene er gitt som v v x, v y, v z T, og rotasjonshastighetene som p, q, r T. Alle vektorer er dekomponert i et legemefast koordinatsystem. Utled bevegelsesligningene som gjelder for rakettens translasjonsbevegelse, dvs. ligninger for dv/dt v x, v y, v z T. Vi vet at Newton s andre lov, F ma mdv/dt kun gjelder i det inertielle systemet. Videre vet vi at a dv/dt I dv/dt B v, der subscriptet indikerer hvilket system vi deriverer relativt. Dette gir ved utregning F x F y F z m v x v y p q v z r v z v z v y p v x q Ligningene kan nå skrives om (strengt tatt ikke nødvendig), slik at v x v y v z 1 m F x v z q v y r F y v x r v z p F z v y p v x q v x v y m v x v z q v y r v y v x r v z p
Oppgave 4 (4 5% 2%) Forklar kort prinsippet bak følgende begreper. Tegn gjerne en skisse dersom du mener det er nødvendig. a) Spinn-biased stabilisering Begrepet beskriver om systemer der vi benytter andre konfigurasjoner enn plattform-rotor for stabilisering av en satellitt vha. rotasjon (spinn). Det er vanlig å benytte et spinnhjul langs en akse. Hjulet har en nominell rotasjonshastighet som gir inertiell stabilitet for hjulaksen som er vinkelrett på baneplanet, og endring av hastigheten gir et moment om aksen som kan benyttes for å stabilisere satelitten i baneplanet. Se figuren under. b) Dumping av spinn Dersom vi benytter spinnbaserte enheter for stabilisering/styring av orientering, vil vi før eller siden komme i en sitasjon der enheten har oppnådd sin maksimale hastighet, f.eks. pga. konstante forstyrrelser som medfører at et konstant moment må motvirke forstyrrelsen. Vi får som kjent kun et moment fra en spinnbasert enhet når den endrer hastighet. Vi må da få ned hastigheten på enheten uten at satelliten endrer orientering. Det kan vi oppnå ved å benytte andre pådragsorganer (f.eks. trustere eller magnetspoler) for å gi et moment motsatt av det som oppstår når vi reduserer hastigheten på enheten. c) Aktiv nutasjonsdempning Ved rotasjon om en akse, f.eks. i forbindelse med stabilisering av orientering, vil rotasjonsaksen lett kunne får en nikkebevegelse, jfr. en roterende kon ( snurrebass ) som mister hastigheten og begynner å vingle. I verste tilfelle kan bevegelsen øke i amplitude (ustabilitet), og plutselig endrer rotasjonsaksen retning. For å stabilisere/redusere denne uønskede nikkebevegelsen, innfører vi et aktivt reguleringssystem som sørger for at bevegelsen stabiliseres/minimaliseres. Bruken av ordet aktivt refererer til systemer som benytter energi (trustere, magnetspoler, etc.) for å stabilisere/redusere nikkebevegelsen. Motsatt har vi passive systemer, f.eks. fjær-masse-demper-systemer, som vi ikke tilfører energi. d) Stabilisering vha. gravitasjonsgradient Ved gravitasjonsbasert stabilisering utnytter vi at gravitasjonskreftene gir et moment om satellittens massesenter, dvs. at angrepspunktet for den totale gravitasjonskraften er gjennom et annet punkt enn massesenteret. Dette skyldes at gravitasjonskreftene både har forskjellig styrke og retning over legemet. Kreftene vil opphøre når satelliten er tvunget inn i en slik orientering at gravitasjonskreftene angriper parallellt med aksen som har minst treghetsmoment. Dersom vi f.eks. utformer satellittkroppen som en homogen kube med hovedtreghetsaksen stikkende ut gjennom midten av sidene, og med en lang stang som har en masse i enden langs z-aksen, vil denne aksen bli tvunget til å være parallell med retningen til gravitasjonskraften.
Side 4 av 5 Oppgave 5 (3 5% 15%) a) Anta at vi ønsker å bruke elementene i en feilmatrise A E for å styre orienteringen av en satellitt ved hjelp av tre lineære regulatorer. Utled et utrykk for feilmatrisen når ønsket og nåværende orientering er kjent. Sett opp regulatorligninger for beregning av nødvendige momenter om de tre legemefaste aksene. Forklar valget av elementer fra A E i regulatorligningene. La rotasjonsmatrisen for den ønskede orienteringen (relativt et referansesystem) være gitt som A T, og tilsvarende for nåværende orientering være A S. En vilkårlig vektor a i referansesystemet, kan skrives a S A S a, oga T A T a. Dette gir a S A S A T T a T, slik at et uttrykk for feilmatrisen kan skrives A E A S A T T. Vi ønsker at feilmatrisen skal være lik identitetsmatrisen, og det betyr at vi må tvinge elementene utenom diagonalen mot null. I tillegg ønsker vi å innføre derivatvirkning, dvs. dempning i regulatoren. Vi tar derfor også med vinkelhastighetene. For å finne ut hvordan vi ønsker å bruke elementene utenom diagonalen i regulatoren, må vi se på hvilken sammenheng det er mellom enhetsaksene i de to koordinatsystemene representert med A S og A T,dvs.x S, y S, z S, x T, y T, z T, og elementene i A E. Vi finner a 12E x S y T a 13E x S z T a 23E y S z T Det første elementet kan vi gjøre lik null ved en dreining om z S aksen, det andre elementet ved dreining om y S aksen, og det tredje elementet ved dreining om x S aksen. Dette gir regulatorligningene T cx K x a 23E K xd p T cy K y a 13E K yd q T cz K z a 12E K zd r b) Forklar hva som menes med Euler s teorem om rotasjon, og hva dette innebærer mhp. utførelse av rotasjonsbevegelsen fra en kjent orientering til en annen ønsket orientering for et legeme. Euler s teorem om rotasjoner, sier at den mest generelle bevegelsen for et legeme som er festet i et punkt, er en rotasjon om en akse i rommet. Dvs. at uansett hvordan vi roterer et legeme i forhold til en utgangsorientering, så kan vi oppnå den nye orienteringen ved å dreie en gang om en akse i rommet. c) Dersom elementene i en rotasjonsmatrise A er angitt som a ij, kan vi beregne henholdsvis rotasjonsvinkelen og tilhørende egenvektor e utfra cos 1/2 trace A 1 e 1 a 23 a 32 / 2sin e 2 a 31 a 13 / 2sin e 3 a 12 a 21 / 2sin Foreslå med bakgrunn i disse ligningene lineære regulatorer for styring av orientering av en satellitt om tre akser. Hva oppnår man ved bruk av denne regulatorstrukturen? Vi tar utgangspunkt i en feilmatrise A E som representerer avviket mellom ønsket og nåværende orientering, og velger regulatorene som T cx K x a 32E a 23E K xd p T cy K y a 13E a 31E K yd q T cz K z a 21E a 12E K zd r Dette innebærer at vi ønsker å dreie om Euler-aksen for å komme frem til ønsket orientering, dvs. at vi ønsker å rotere korteste vei mhp. vinkler, for å komme fra en orientering til en annen.
Side 5 av 5 Totalenergi for enhetsmasse: Rakettligningen: Formelsamling og parametre v 2 /2 /r /2a, E /2a m f m i e ΔV/ gisp Ellipsen: A ab, e r a r p / r a r p, a r a r p /2, b a 1 e 2 Inverst kvadratisk kraftfelt: F Gm 1 m 2 /r 3 r Keplar s tidsligning: t t p 2 /T t t p n M e sin Keplar s tredje lov: T 2 a 3 / 2 /n Sann og eksentrisk anomali: cos e cos / 1 e cos,sin sin 1 e 2 / 1 e cos Differansen av to vinkler: sin sin cos cos sin Tilnærming: e x 1 x for små x Midlere nutasjonsvinkel: av 4T d / 2 z I z I z /I x 1 Vektoridentitet: A B A A A B A B A Laplace-transformasjonen: L y t Y s L ẏ t sy s y L ÿ t s 2 Y s sy ẏ L 1 1/s n t n 1 / n 1!, (n 1,2,3,... L 1 1/ s a n t n 1 e at / n 1!, (n 1,2,3,... L 1 1/ s 2 2 1/ sin t L 1 1/ s a 2 2 1/ e at sin t L 1 s/ s 2 2 cos t L 1 1/ s 3 s 2 1/ 2 1 cos t L 1 1/ s 4 s 2 2 1/ 3 t sin t Gravitasjonskonstanten: G 6.669 1 11 m 3 /kg-s 2 Jordas masse: M 5.98 1 24 kg Jordas gravitasjonskonstant: GM 3.98632 1 5 km 3 /s 3 Midlere jordradius: R e 6378.6 km