Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable X være atall kro på ti mytkast a ) Hva slags fordelig har X (dvs. agi fordeligstype og verdi på parametree). b ) Reg ut forvetigsverdie μ og stadardavviket σ. c ) Reg ut alle puktsasylighetee P (X 0),P(X 1),...,P(X 9)ogP(X 10) d ) Teg stolpediagram over puktsasylighete f(x), og marker μ og σ. e) Reg ut F (2) P (X 2), og P (X >2). f) Reg ut P(X<2 X>8). Oppgave 2 La Y være atall seksere ved 12 terigkast. a ) Hva slags fordelig har Y (dvs. agi fordeligstype og verdi på parametree). b) Reg ut μ og σ. c) Reg ut P(Y 0),P(Y 1),P(Y 2)ogP(Y 3). Oppgave 3 Vi teker oss å et spill der vi både skal kaste 12 teriger (med seksere som gustige ) og 10 myter (med kro som gustige ), og teller opp atall gustige totalt. Det vil si at utfallet er U X + Y,derX er som i oppgave 1 og Y som i oppgave 2. a ) Reg ut forvetigsverdie og stadardavviket til U. b) Reg ut P(U 3). Oppgave 4 Av alle bar som blir født er ca 51% gutter. E dag ble det født bar (ige tvilliger) ved et sykehus, og lar X være atall gutter. Vi atar dermed at X bi (, 0.51). Hva er sasylighete for at det var flest gutter? Hva er sasylighete for at det var flest jeter? Hvorfor vil evetuelle tvilliger ødelegge regestykket? Oppgave 5 E Beroulli forsøksrekke med kro/myt kast med tegestift skal utføres, og vi skal registrere X atall gager spisse kommer opp. I e serie på kast ka vi da ata X bi (, p), me vi kjeer ikke p. Oppgave hadler om presisjo ved empirisk bestemmelse av p, det vil si (u)øyaktighete ved å bruke relativ frekves (empirisk sasylighet) som verdi for p. a ) For hvilke verdier av p blir Var (X) såstorsommulig,også lite som mulig? Hva er det største stadardavviket som er mulig å oppå med 100?
2 Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. b) La Y X/, detvilsiadele gager spisse kommer opp i kast. c ) Det vil si at Y er relativ frekves eller empirisk sasylighet, e observasjo y av Y erdetviipraksismå bruke for åaslå p. Hva er E (Y )ogvar(y )? Drøft dette resultatet i lys av problemstillige å bestemme p (Spesielt: Hva skjer år blir veldig stor?). E setig fra sasylighetsregiga kallt Tsjebysjevs ulikhet sier at sasylighete for at e hedelse er mer e k stadardavvik fra forvetigsverdie helt sikkert er midre e 1/k 2. Dette ka skrives P( Y μ >kσ) < 1 k 2. Bruk Tsjebysjevs ulikhet til å bestemme hvor mage gager vi må kaste tegestifte for at sasylighete for at vi feilbestemmer p med mer e 0.01 (eller 1%) helt sikkert er midre e 5%. Oppgave Ata vi har e Beroulliforsøksrekke, det vil si samme sasylighet p for gustig utfall i hvert ekelt forsøk. La X være atall gager vi gjetar forsøket før første gustige utfall opptre. For eksempel ka vi kaste terig fram til første sekser opptrer. Da er p 1/, og vi teller slik at utfallet med sekser i første kast betyr X 0. E slik fordelig kalles e geometrisk fordelig. a ) Reg ut puktsasylighete f(x) P(X x), for vilkårlig p. b ) Hva er sasylighete for at første sekser i e terigkastserie kommer i 5. kast (X 4)? c ) Et spill går ut på at to persoer skal kaste e terig aehver gag, og de første som får e sekser vier. Kall hedelse at det kommer x kast før første sekser for A x, og hedelse at de som kaster først vier for A. Daer A A 0 A 2 A 4... A 2x. Reg ut sasylighete for at hehodsvis de som kaster først og de som kaster sist vier dette spillet. Hit: Bruk summeformele for geometriske rekker : akx a 1 k. d ) E utfordrig til slutt: Klarer du å rege ut E (X)? Hit: Deriver begge sider i summeformele for geometrisk rekke med hesy på k (a og x er kostater), og erstatt deretter først a med pk og deretter k med 1 p på begge sider. Vestreside vil da ede opp som defiisjoe av forvetigsverdie, og høyreside blir et kompakt formeluttrykk for dee. Oppgaver fra læreboka, kap. 5.12: 2, (, 13) og 15 19.01.11 Has Petter Horæs
Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 3 LØSNING, Biomisk fordelig. Oppgave 1 a) X er biomisk fordelt med 10ogp 1/2, som kort skrives X bi(10, 1/2). b) μ p 10 1/2 5, σ p(1 p) 10 1/2 1/2 1.58. c) 0 10 10 1 1 f(0) P (X 0) 1 0 2 2 1 9 10 1 1 f(1) P (X 1) 10 1 2 2 2 8 10 1 1 f(2) P (X 2) 45 2 2 2 3 10 1 1 f(3) P (X 3) 120 3 2 2 4 10 1 1 f(4) P (X 4) 210 4 2 2 5 5 10 1 1 f(5) P (X 5) 252 5 2 2 4 10 1 1 f() P (X ) 210 2 2 3 10 1 1 f() P (X ) 120 2 2 8 2 10 1 1 f(8) P (X 8) 45 8 2 2 9 1 10 1 1 f(9) P (X 9) 10 9 2 2 10 0 10 1 1 f(10) P (X 10) 1 10 2 2 1 0.0010 0.0098 0.0439 0.112 0.2051 0.241 0.2051 0.112 0.0439 0.0098 0.0010 210 d) Sas. 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 8 9 10 μ σ μ μ+ σ Atall kro
4 Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. e) F (2) P (X 2) P (X 0)+P(X 1)+P(X 2) 0.0010 + 0.0098 + 0.0439 0.054 P(X>2) 1 P ( X>2 ) 1 P(X 2) 1 0.054 0.9453. f) P(X<2 X>9) P (X 0)+P(X 1)+P(X 9)+P(X 10) 0.0010 + 0.0098 + 0.0098 + 0.0010 0.021. Oppgave 2 a) Y bi(12, 1/). b) μ 12 1/ 2ogσ 12 1/ 5/ 1.291. c) 0 12 1 P(Y 0) 0 1 12 1 P(Y 1) 1 2 12 1 P(Y 2) P(Y 3) 2 ( 12 3 ) 12 5 1 512 12 0.1122 11 5 12 511 0.292 12 10 5 510 0.291 12 ) 3 9 5 220 59 0.194 12 ( 1 P(Y > 3) 1 P(Y 3) 1 (0.1122 + 0.292 + 0.291 + 0.194) 0.1251 Oppgave 3 a) E(U) E(X)+E(Z) 5+2. Var (U) Var(X)+Var(Z) 1.58 2 +1.29 2 4.1. Dermed er σ 4.1 2.04. b ) Nøyaktig 3 gustige er følgede kombiasjoer, der første koordiat er atall kro: (3, 0), (2, 1), (1, 2) og (0, 3). Side hvert av disse paree utgjør disjukte hedelser ka vi addere sasylighetee, og side myt- og terigkastee er uavhegige ka vi fie sasylighetee for hver ekelt ved multiplikasjo: Oppgave 4 P(U 3)0.0010 0.194 + 0.0098 0.291 + 0.0439 0.292 + 0.112 0.1122 0.0281 Flest gutter betyr X 4. P(X 4) 0.51 4 0.49 3 + 0.51 5 0.49 2 + 0.51 0.49 1 + 0.51 0.49 0 4 5 0.28 + 0.140 + 0.004 + 0.0090 0.5219 Dermed er sasylighete for flest jeter 1 0.5219 0.481. På gru av at eeggede tvilliger er av samme kjø vil dette ødelegge atagelse om uavhegighet. Oppgave 5 a) Var(X) p(1 p) (p p 2 ). Ved å derivere dette med hesy på p (og behadle som kostat) fier vi de deriverte lik (1 2p). De deriverte er 0 for p 1/2, og de adrederiverte er 2 <0, så dette gir maksimum. Med 100 blir da største mulige stadardavvik 100( 1 2 (1 1 2 ) 25 5. Variase ka ikke være egativ, me de blir lik 0 for p 0 eller p 1. Dette er miimum. Dette ka forklares med at om p 0får vi helt sikkert utfallet X 0,ogomp 1får vi helt sikkert utfallet X, altså ige tilfeldig variasjo i disse to ekstremtilfellee.
Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 5 b) E(Y )E ( 1 X) 1 E(X) 1 p p. Forvetigsverdie til adele gager spisse kommer opp er altså sasylighete p vi er på jakt etter. Var (Y )Var ( 1 X) 1 Var (X) 1 2 p(1 p) p(1 p) 2. Det vil si at spredige (variase, og dermed stadardavviket) blir lite år blir stor, og kovergerer mot 0år vokser mot uedelig. Dette betyr at observasjoe blir ær forvetigsverdie slik at adele gir et godt aslag av p for store, og at presisjoe blir ubegreset stor år blir ubegreset stor. Dette kalles de store talls lov, og ka presiseres og vises mer formelt ved Tsjebysjevs ulikhet. c) Variase til X er ihvertfall ikke større e 1 2 (1 1 2 )/4 fra a oppgave, og dermed er variase til Y ikke større e /4 1 1 2 4.Vedå sette σ 2 er dette helt sikkert stort ok stadardavvik ( ) for Y. Fra Tsjebysjevs ulikhet får vi derfor helt sikkert at P Y p > k 2 < 1/k 2.Kraveterat høyreside skal være (ikke større e) 5% 0.05, som gir 1/k 2 0.05 k 2 20 k 20. Dessute skal feilmargie være (høyst) 1% 0.01 så k 2 0.01 20 2 0.01 Det vil si at ved åvelge 50000 er kravet helt sikkert oppfyllt. 20 50 000 0.022 Vi skal seere se på e ae metode som er eklere i bruk og som gir e verdi 10 000 mot e moderat slakkig på kravetom heltsikkert. Oppgave a) X 0 betyr gustig i første trekk, med sasylighet p. X 1 betyr at første er ugustig, adre gustig med sasylighete (1 p)p. X 2 betyr ført to ugustige, med sasylighet (1 p)(1 p), og deretter e gustig, så sasylighete er (1 p) 2 p.vedå fortsette dette resoemetet får vi f(x) P(X x) (1 p) x p. b) c) d ) P(X 4) 4 5 1 0.0804. P(A 2x )(1 p) 2x p ( (1 p) 2) x p ( (5/) 2 ) x 1/ 1 x 25 3 Side et og bare et av utfallee A x vil opptre i et ekeltspill er A x ee parvis disjukte, og sasylighetee ka adderes (Kolmogoroffs 3. aksiom): x 1 25 P(A) P(A 0 )+P(A 2 )+P(A 4 )+ 3 Dette er e geometrisk rekke med a 1/ ogk 25/3 så summeformele gir P(A) 1/ 1 25/3 11 Da er sasylighete for at de adre spillere vier 1 11 5 11. Forvetigsverdie er E(X) xf(x) x(1 p) x p. Deriverer begge sider av på vestreside): a k x a medhesypå k (a er e kostat, x kostat i hvert ledd 1 k axk x 1 a (1 k) 2
Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. Ved å erstatte a med pk, ogdermedpk k x 1 med pk x får vi Ved åå erstatte k med 1 p får vi: x p k x kp (1 k) 2. x p (1 p) x (1 p)p (1 p)p (1 (1 p)) 2 p 2 1 p p Summe til vestre er forvetigsverdie per defiisjo, og dee ka dermed forekles til E(X) 1 p p. Foreksempelerforvetetatallkastførførstesekseropptrer 1 1/ 1/ 5/ 1/ 5.