1100: ombiatorikk auar 2009 Ørulf orga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: t stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for forsøket i atar at de N utfallee er like sasylige Da har hvert utfall sasylighet 1/N begivehet består av utfall Det er de gustige utfallee for begivehete asylighete for begivehete er P( ) N atall gustige utfall atall mulige utfall 2 For å bruke e uiform sasylighetsmodell må vi fie atall mulige og atall gustig utfall ekle situasjoer som kast med to teriger ka vi skrive opp alle mulige utfall og alle utfall som er gustige for de begivehete vi er iteressert i otto er det over millioer mulige vierrekker i må være veldig tålmodige for å skrive opp alle disse! (1,6) (2,6) (3,6) (,6) (,6) (6,6) (1,) (2,) (3,) (,) (,) (6,) (1,) (2,) (3,) (,) (,) (6,) (1,3) (2,3) (3,3) (,3) (,3) (6,3) (1,2) (2,2) (3,2) (,2) (,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (,1) (,1) (6,1) "um sju øye" i må derfor kue berege atall mulige vierrekker ute å skrive dem opp ombiatorikk er avet på de dele av matematikke som gir oss løsige på dette og likede problemer 3 Multiplikasjossetige ksempel 1: På e mey er det: - forretter - 10 hovedretter - desserter På hvor mage ka vi sette samme et måltid med é forrett, é hovedrett og é dessert? Måltidet ka settes samme på 10 200 Ovefor har vi tre "forsøk": (i) valg av forrett (ii) valg av hovedrett (iii) valg av dessert Geerelt har vi multiplikasjossetige: i har k forsøk. det første forsøket er det 1 mulige utfall, i det adre forsøket er det 2 mulige utfall,, i siste forsøket er det k mulige utfall. Da er det til samme 1 2 k mulige utfall 6 1
ksempel 2: t bilummer består av to bokstaver og siffer Hvor mage bilummere ka vi lage? 1289 20 valg 9 valg 10 valg 20. 20. 9. 10. 10. 10. 10 36 000 000 forskjellige bilummer 7 Ulike typer utvalg i skriver bokstavee i alfabetet på hver si lapp og legger de 29 lappee i e eske i trekker så fire lapper, é etter é. i sier at vi trekker et utvalg på fire bokstaver Hvis vi legger e lapp tilbake før vi trekker de este, trekker vi med Hvis vi ikke legger lappe tilbake, trekker vi ute Hvis rekkefølge bokstavee trekkes i har betydig, trekker vi et ordet utvalg Hvis rekkefølge ikke har betydig, trekker vi et uordet utvalg 8 Ordet utvalg med Uordet utvalg med Ordet utvalg ute Uordet utvalg ute 9 Ordet utvalg med e på bokstaveksempelet Hver gag vi trekker er det 29 bokstaver å velge mellom i ka velge de fire bokstavee på 29 29 29 29 707281 forskjellige år vi tar hesy til rekkefølge 10 Geerelt har vi e megde med elemeter i velger k elemeter fra megde med 123 k gager k ksempel 3: På e tippekupog er det gitt 12 kamper For hver kamp skal e tippe H, U eller Hvor mage forskjellige tipperekker ka vi lage? 3. 3... 3 3 12 311 forskjellige tipperekker ordede utvalg 11 12 2
Ordet utvalg ute e igje på bokstaveksempelet. Første gag er det 29 bokstaver å velge mellom dre gag er det 29-1 bokstaver å velge mellom redje gag er det 29-2 bokstaver å velge mellom Fjerde gag er det 29-3 bokstaver å velge mellom i ka velge de fire bokstavee på 29 (29 1) (29 2) (29 3) 7002 forskjellige år vi tar hesy til rekkefølge 13 Geerelt har vi e megde med elemeter i velger k elemeter fra megde ute Pk, ( 1) ( 2) ( k + 1) k faktorer ordede utvalg (eller permutasjoer) 1 ksempel : adslagstreere i lagre for me har sju løpere å velge mellom til O-stafette for me over x10 km På hvor mage ka ha sette opp stafettlaget år vi tar hesy til hvem som skal gå de ulike etappee? reere ka sette opp stafettlaget på 7 6 80 i har fortsatt e megde med elemeter, og vi velger k elemeter fra megde ute Når k velger vi alle elemetee. Da svarer et ordet utvalg til e bestemt rekkefølge (eller permutasjo) av de elemetee Det er! 1 2 3 ( 1) slike rekkefølger 1 16 ksempel : i ser på eksempelet med stafettlaget. reere har bestemt seg for hvilke fire løpere som skal gå stafette Hvor mage lagoppstilliger ka ha da velge mellom? reere ka velge mellom! 1 2 3 2 lagoppstilliger 17 ksempel 6: e klasse er det elever Hva er sasylighete for at mist to har samme fødselsdag? i reger først ut sasylighete for at ige har samme fødselsdag tall mulige ordede utvalg: 36 tall gustige ordede utvalg: 36 36 363 33 36 36 363 33 P(ige samme fødselsdag) 0.93 36 P(mist to samme fødselsdag) 1 0.93 0.07 18 3
Uordet utvalg ute i ser på stafetteksempelet På hvor mage ka treere velge ut de som skal gå stafette (blat de 7) år vi ikke bryr oss om hvem som skal gå de ulike etappee? a x være atall ha ka gjøre det på Merk at x er atall uordede utvalg av løpere blat 7 år utvelgige skjer ute i vil bestemme x ved å fie atall ordede utvalg på to 19 tall ordede utvalg av løpere blat 7 løpere er 7 6 80 (jf. eksempel ) Fra ett uordet utvalg ka lage! 1 2 3 2 ordede utvalg (jf. eksempel ) i ka derfor lage Dermed er x! x! 7 6 7 6 Dette gir x 3! ordede utvalg reere ka velge ut de som skal gå stafette på 3 år vi ikke bryr oss om hvem som skal gå de ulike etappee 20 Geerelt har vi e megde med elemeter i velger k elemeter fra megde ute ( k ) uordede utvalg ( 1) ( 2) ( k + 1) k! N! For uordet utvalg spiller det ige rolle om vi velger ett elemet om gage, eller om vi velger alle på e gag 21 Merk at ( k ) ( 1) ( k + 1) ( k) ( k 1) 2 1 k! ( k)!! r! ( k)! Formele gjelder også for r 0 og r side vi setter 0! 1 kelte gager skriver vi (f.eks. lommeregere) ( ) ( ) k, i stedet for k k kalles biomialkoeffisieter (side de igår i biomialformele) 22 ksempel 8: klasse har 2 elever Fire elever skal velges til e festkomité Hvor mage ka det gjøres på? De elevee ka velges på 2 ( ) 2 2 22 1 2 3 1260 ksempel 9: Når du tipper é lottorekke, krysser du av sju tall fra 1 til 3 Hvor mage lottorekker fis det? Det fis 3 ( 7 ) forskjellige lottorekker 3 33 32 3130 29 28 1 2 3 6 7 379616 2
ksempel 10: pokerspiller får delt ut fem kort Hva er sasylighete for at spillere bare får hjerter? tall mulige å dele ut fem kort på: 2 10 9 8 298960 12 3 2 ( ) tall av disse som gir bare hjerter: 13 13121110 9 ( ) 12 3 1287 P(bare hjerter) 1287 0.000 298960 2