Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter på et otell. Dagen etterpå kjører du nøyaktig samme rute tilbake. Det er mindre trafikk, slik at du starter kl 08:32 og ankommer 11:01. Vis at det finnes et punkt på strekningen der du var på nøyaktig samme tidspunkt de to dagene. (Husk å begrunne vilken matematisk setning du bruker.) Oppgave 2 La p(x) være et polynom med reelle koeffisienter av odde grad. Vis at ligningen p(x) = 0 ar minst én reell løsning. Oppgave 3 (En funksjon som er diskontinuerlig overalt!) La f(x) være funksjonen 1, x rasjonal;. Rasjonale og irrasjonale tall ligger tett på tallinjen, dvs. at i etvert intervall, uansett vor lite det er, vil det finnes både rasjonale og irrasjonale tall. Vis at f er diskontinuerlig i alle punkter. Forsøk først å argumentere intuitivt. Forsøk deretter med et formelt bevis. En enkel modifisering av beviset viser for øvrig også at lim x a f(x) ikke eksisterer i noe punkt. (Hint: Anta at f er kontinuerlig i et punkt a og skriv ned va dette betyr med definisjonen av kontinuitet og ɛ δ definisjonen av en grense. Bruk så det faktum at for enver δ > 0, så vil det i intervallet (a δ, a + δ) finnes både rasjonale og irrasjonale tall, dvs. x er både med 0 og 1, til å vise at det ikke kan finnes noen δ som oppfyller kravene i definisjonen vis ɛ 1.). Funksjonen f(x) blir kalt Diriclets funksjon, etter den tyske matematikeren Joann Peter Gustav Lejeune Diriclet (1805 1859), som regnes som faren til det formelle funksjonsbegrepet. 1
2 Oppgave 4 (En funksjon som er kontinuerlig i alle irrasjonale tall og diskontinuerlig i alle rasjonale tall!) Denne oppgaven er krevende, men den er med fordi funksjonen er en meget kjent funksjon innefor matematikken og gir et fint eksempel på en funksjon der vi må bruke den formelle definisjonen av grenseverdi for å avgjøre kontinuiteten og der vår intuisjon ikke er nok! Les gjennom oppgaven, forsøk gjerne å løse den, men ikke bekymre dere om dere ikke får den til! :-) La g(x) være funksjonen 1/q, om x = p/q er en fullt forkortet eltallsbrøk; g(x) =, definert på (0, 1). Vis at lim x a g(x) = 0 for alle punkter a og dermed at g(x) er kontinuerlig i alle irrasjonale tall og diskontinuerlig i alle rasjonale tall i definisjonsmengden. (Hint: Samme som i Oppgave 3. Bruk i tillegg at for enver gitt ɛ > 0, finnes det kun endelig mange (fullt forkortede) rasjonale tall p (0, 1) som tilfredsstiller at q f( p ) = 1 < ɛ.) q q Funksjonen D(x) blir kalt Tomaes funksjon, etter matematikeren Joannes Karl Tomae, men kalles også popcorn-funksjonen, eller (mer romantisk) Stars over Babylon. Nedendunder ser du grafen.
Vurdér om funksjonen f er (i) kontinuerlig i 0; (ii) derivérbar i 0. (a) (b) (c) Oppgave 5 1, x rasjonal; x, x rasjonal; x 2, x rasjonal; Hint: For kontinuiteten i (a), tenk intuitivt som i Oppgave 3, eventuelt bruk det samme formelle argumentet som i den oppgaven. For derivérbareten, start med å skrive ned uttrykket f(0), sjekk grensen når 0 (du trenger ikke å bruke ɛ δ-definisjonen, bruk et annet resultat du ar lært) og bruk definisjonen av derivérbaret. 3 Fasit/int på neste side
4 Fasit og int til oppgavene Oppgave 1. La t 1 = 08 : 32 og t 2 = 11 : 01. Definér to funksjoner f og g med definisjonsmengde [t 1, t 2 ] ved: f(t) = avstand fra jemmet på mandag ved tid t og g(t) = avstand fra jemmet på tirsdag ved tid t Begrunn at f(t 1 ) < g(t 1 ) og f(t 2 ) > g(t 2 ) og bruk så skjæringssetningen på funksjonen (t) = g(t) f(t). (Begrunn at den er kontinuerlig!) Oppgave 2. Vis at lim x p(x) og lim x p(x) er ± med motsatte fortegn. Begrunn at det derfor finnes (store) positive tall M 1 og M 2 slik at p( M 1 ) < 0 og p(m 2 ) > 0, eller med motsatte uliketer og bruk så skjæringssetningen. Oppgave 5. (a) f er ikke kontinuerlig i 0 siden lim x 0 f(x) ikke eksisterer: funksjonen veksler mellom 0 og 1 uasnett vor nær innpå null x er. Rent formelt kan vi vise at grensen ikke eksisterer ved å argumentere som i oppgave 3. Siden f ikke er kontinuerlig i 0, er den eller ikke derivérbar der (ved Teorem 1 i 2.3). (b) lim x 0 0 ved Skviseteoremet slik at f er kontinuerlig i 0. Regner ut = 1, rasjonal og 0; 0, irrasjonal slik at lim x 0 ikke eksisterer (dette er samme funksjon som i (a)) og f er ikke derivérbar i 0 ved definisjon av derivert. (c) Regner ut =, rasjonal og 0; 0, irrasjonal slik at lim x 0 = 0 (f.eks. ved skviseteoremet) og f er derivérbar i 0 ved definisjon av derivert (og vi ar f (0) = 0). Da er f også kontinuerlig i 0 ved Teorem 1 i 2.3, noe vi også kan vise direkte ved bruk av skviseteoremet.
Løsningsforslag oppgave 3 Vi vil vise at f er diskontinuerlig overalt. Vi antar at f er kontinuerlig i et punkt a og vil komme frem til en motsigelse. Dersom f er kontinuerlig i a, vil per definisjon lim f(a) = x a 1, vis a er rasjonal; 0, vis a er irrasjonal. Ved ɛ δ-definisjonen av grense, betyr dette at for enver ɛ > 0, så finnes en δ = δ(ɛ) > 0 slik at ( ) 0 < x a < δ f(x) f(a) < ɛ. Siden dette selvsagt også older for x = a, betyr det at for alle x (a δ, a + δ), så er f(x) f(a) < ɛ. Men i intervallet (a δ, a + δ) finnes både rasjonale og irrasjonale tall (uansett vor liten δ er!), slik at det vil finnes x slik at 0 og (en annen) x slik at 1. Uansett om f(a) = 0 eller 1, vil det altså finnes x slik at f(x) f(a) = 1. Så vis ɛ 1, så finnes ingen δ som oppfyller ( ), og vi ar en motsigelse. Vi ar dermed vist at f er diskontinuerlig overalt. 5 Løsningsforslag oppgave 4 Vi viser at lim x a g(x) = 0 for alle a. Gitt ɛ > 0. Vi vil finne en δ = δ(ɛ) > 0 slik at ( ) 0 < x a < δ g(x) < ɛ. Dersom ɛ 1 er dette alltid oppfylt. Dersom ɛ < 1, bruker vi intet: La N være det største naturlige tallet slik at 1 N. Da vil kun eltallene n = 1, 2,..., N være slik at 1 n, dvs. slik at 1 ɛ. ɛ ɛ n For ver slik n, vil et rasjonalt tall på formen p være med i definisjonsmengden (0, 1) n vis og bare vis p = 1, 2,..., n 1. Det vil si at de (fullt forkortede) rasjonale tallene x = p i definisjonsmengden (0, 1) som er slik at g( p ) = 1 ɛ er de endelige mange q q q tallene som tilfredsstiller at q 1,..., N} og p 1,..., q 1}. La nå x 0 være tallet blant disse tallene som ligger nærmest a og sett δ := x 0 a. Da vil alle rasjonale tall x (a δ, a + δ) tilfredsstille at 0 < g(x) < ɛ, og alle irrasjonale tall x (a δ, a + δ) vil tilfredsstille g(x) = 0. Derfor vil g(x) < ɛ, som er det vi skulle vise. Per definisjon av kontinuitet (lim x a g(x) = g(a)) får vi at g er kontinuerlig i de irrasjonale tallene og diskontinuerlig i de rasjonale tallene. Andreas Leopold Knutsen