Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten P(A) er "Antall elementer i A" / "Antall elementer i S" Et par opplagte konsekvenser av denne definisjonen er : 1) P(A) er et ikke negativt tall siden det er en brøk med ikke negative tall i teller og nevner. Det kan være 0, hvis A=. 2) P(S) = 1 siden P(S)= "Antall elementer i S" / "Antall elementer i S" Det er heller ikke så vanskelig å innse at: 3) P(A U B) = P(A) + P(B) hvis A og B er disjunkte. Generaliser f.eks ut fra eksemplet med kast med to myner, med utfallsrom S={MM,MK,KM,KK}, med A="Mynt på tieren" = {MM,MK} og B = "To kron" = {KK}. Da er P(A)=2/4 og P(B)=1/4. A U B = {MM, MK, KK}, som inneholder 2+1 elementer (2 fra A og 1 fra B). Dermed er P(A U B)=(2+1)/4=3/4, men (2+1)/4 kan også skrives 2/4+1/4=P(A)+P(B). Antall elementer i A U B er jo antall elementer i A pluss antall elementer i B, siden vi forutsetter at A og B er disjunkte, slik at det ikke er noen felleselementer i A og B som telles opp to ganger Vi skal nå generalisere, og si at disse egenskapene gjelder sannsynlighet generelt (ikke bare uniform sannsynlighet), og bruke dette som matematisk definisjon av sannsynlighet. Denne måten å definere strukturer på i matematikken kalles aksiomatisk metode, og det var den russike matematikeren Kolmogoroff som satte opp denne definsjonen i 1933.
Kolmogoroffs aksiomer. Definisjon av sannsynlighet, eller grunnleggende regneregler for sannsynlighet. Definisjonen av sannsynlighet tar utgangspunkt i mengdelæren. Vi har en universalmengd kallt utfallsrommet S. Alle delmengder 1 av utfallsrommet kalles hendelser, og A og B skal her betegne to vilkårlige hendelser. Hvis det til hver hendelse A er tilordnet et tall, betegnet P(A), som oppfyller følgende betingelser (aksiomer): så kalles P et sannsynlighetsmål på S, og tallet P(A) kalles sannsynligheten for A. Fotnote 1 : Hvis S er en ikke tellbar mengde kan vi ikke tillate alle delmengder som hendelser. Det er en matematisk grunn lang utenfor rammen av dette faget for dette, og om du ikke planlegger å studere statistikk på høyt teoretisk nivå kan du uten fare glemme dette forbeholdet.
Eksempel 1: Sannsynlighet av motsatte hendelser. For eksempel er sannsynligheten for dobbel sekser i kast med to terninger 1/36 (Oppgave 1 fra ukens pensumoppgave) Dermed er sannsynligheten for ikke å få dobbel sekser 1 1/36 = 35/36.
Eksempel 2: Summeformel for to hendelser som ikke (nødvendigvis) er disjunkte. A B B' Kommentar: Merk analogien mellom denne formelen og hvordan du ville summert arealer av overlappende områder. Eksempel: Jeg skal invitere en ny kollega på middag. Siden jeg ikke kjenner ham så godt serverer jeg både pinnekjøtt og lutefisk, for å være nogenlunde sikker på at han får noe han liker. Anta sannsynligheten for at en vilkårlig valgt voksen nordmann liker pinnekjøtt er 0.8, og at sannsynligheten for at personen liker lutefisk 0.7, mens sannsynligheten for at han liker begge deler er 0.6. Hvor sannsynlig er det da at gjesten min får noe han liker? La A være "liker pinnekjøtt" og la B være "liker lutefisk". Da har vi oppgitt at P(A) =0.8, P( B)=0.7 og = 0.6. At han liker begge deler er Dermed er sannsynligheten for at han liker middagen = 0.8+0.7 0.6 = 0.9
Til slutt i denne forelesningen: Foreløbig har vi bare unnagjort innledningen til sannsynlighetsregninga. For bruk i seinere kapittel er imidlertid dette det viktigste: 1) Å få en nogenlunde grei forståelse av hva sannsynlighet er (å få en dyp forståelse av dette vanskelige begrepet krever nok adskillig flere eksempler, mer teori og en lengre modningsprosess.). 2) Å kunne bruke de enkleste regnereglene: Regelen for sannsynlighet av motsatte hendelser, og å summere sannsynligheter for disjunkte hendelser. Det siste vil blant annet bli brukt slik at vi har hendelser A med et endelig antall mulige utfall, der vi kjenner sannsynligheten for enkeltutfallene. Hvis vi kaller disse A i, der i=1,2,3...,n, er P(A) = P(A 1 )+P(A 2 )+...+P(A n ) I dette kapitlet vil vi imidlertid se på litt mer avansert bruk av grunnleggende sannsynlighetsregning. Du kan jo gjøre resten av oppgavene på pensumoppgave 3.1 før du går videre. I mange av oppgavene i dette kapitlet er det største problemet å "oversette" teksten til uttrykk med mengder og mengdeoperasjoner, og i noen av oppgavene er dette hovedproblemet. Det er temmelig begrenset hva vi kan gjøre av interessant sannsynlighetsregning før vi har innført noen flere definisjoner. Spesielt har vi ikke noen regel for hvordan vi finner sannsynligheten for snittet av A og B, selv om vi kjenner sannsynlighetene for A og B separat. Følgende enkle eksempel fra kast med to mynter viser hvorfor vi ikke har noen slik regel: La A være "mynt på tieren", A = {MM,MK}, B være "en av hver", B = {MK,KM} og C være "kron på tieren", C = {KM,KK}. Da er P(A)=P(B)=P(C)=1/2 I de to neste forelesningene vil behandlingen av snitt være en vesentlig ingrediens.