Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning

Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning Gert Monstad Hana Sammendrag Teksten tar for seg hvordan å lage et perspektivisk bilde av kvadratiske rutenett. Bildet av slike rutenett kan være til stor hjelp når en skal lage perspektiviske tegninger. De forteller nemlig hvor bildet av en gjenstand vil være dersom vi kjenner gjenstandens plassering i forhold til rutenettet. Det blir gitt eksempel på hvordan rutenett og plantegninger kan brukes til å lage en perspektivtegning. 1 Konstruksjon av bildet av et vannrett kvadratisk rutenett med et forsvinningspunkt Dette er det enkleste tilfellet. Siden det er et forsvinningspunkt vil linjene i det kvadratiske rutenettet enten være parallelle med grunnlinjen eller de vil være perpendikulære til grunnlinjen. Linjene som går vekk fra betrakteren vil da ha hovedpunktet som forsvinningspunkt. Diagonalene i det kvadratiske rutenettet som går fra venstre mot høyre er alle parallelle med hverandre. Det perspektiviske bildet av disse linjene vil derfor ha et felles forsvinningspunkt. Dette forsvinningspunktet ligger på horisontlinjen siden diagonalene er vannrette. Som vi så tidligere vil dette forsvinningspunktet være et av distansepunktene. Avsnittet over forteller oss faktisk alt vi trenger for å forstå og gjennomføre konstruksjonen. Vi vil først gjennomføre konstruksjonen i tilfelle hvor fremste linje i rutenettet er grunnlinjen i bildet. Velg hovedpunkt (H) og distansepunkt (D) på horisontlinjen. Sett av ønsket antall punkter med fast avstand mellom dem på grunnlinjen. Som et eksempel vil vi lage et perspektivisk bilde av et 6 x 6 kvadratisk rutenett. Versjon av 25. november 2009. Denne teksten er et utdrag fra en tekst om perspektivtegning som jeg holder på å arbeide med. Utdraget greier mer eller mindre å stå på egne ben, selv om enkelte ord og uttrykk som benyttes kan være ukjente da de er presentert tidligere i teksten. For å forstå alle argumentene, må en kjenne til distansepunkt og distansepunktkonstruksjonen. Kort fortalt er distansepunktet forsvinningspunktet til de linjene som står 45 på billedplanet. Ikke la deg skremme av det første avsnittet som er ganske teknisk dersom du ikke er vant med terminologien - fortsett å lese og gå tilbake til det i etterkant. Teksten er fortsatt under bearbeiding og den er ikke skikkelig korrekturlest, så det vil nok være noen feil her og der. Ta kontakt (gmh@hib.no) dersom du har kommentarer. 1

Neste punkt er å tegne opp linjestykkene mellom hovedpunktet og punktene på grunnlinjen. 2

For å nne bildet av hjørnene i rutenettet trekker vi opp bildet av diagonalene. Det er faktisk nok å trekke opp en diagonal dersom vi trekker opp den diagonalen som går fra punktet på grunnlinjen som er lengst vekke fra distansepunktet. Siden de resterende linjestykkene i rutenettet er parallelle med grunnlinjen kan vi tegne de opp gjennom skjæringspunktene til bildet av diagonalen. 3

Nå har vi alt vi trenger, så det er bare å fullføre guren. Vi ser at dersom vi trekker opp de andre diagonalene, så går alle disse mot distansepunktene (sjekk dette). Konstruksjonen her er gammel og velkjent. Figur 1 viser samme konstruksjon i de Vries lærebok. Der er diagonalene til begge distansepunktene trukket opp. Vi har nå laget et perspektivisk bilde av et vannrett kvadratisk rutenett i tilfellet hvor den fremste siden i rutenettet er grunnlinjen. I dette tilfellett blir det kvadratiske rutenettet seende ut som et gulv. For å lage perspektiviske bilder av tilsvarende rutenett hvor den fremste siden i rutenettet ikke er grunnlinjen kan vi bruke akkurat samme 4

Figur 1: Plansje 2 i de Vries, Perspective (1604). 5

(a) Under horisontlinjen (b) Over horisontlinjen Figur 2: Forskjellige plasseringer av fremre side i rutenettet (a) Tilstrekkelige opplysninger (b) Ferdig rutenett Figur 3: Rutenett hvor fremre side i rutenettet ikke er horisontal fremgangsmåte, bare at vi nå først må nne ellers bestemme den fremste siden i rutenettet. To eksempler på dette er vist i gur 2. I gur 2 b) er den fremste siden i rutenettet høyere enn horisontlinjen. Da ser rutenettet ut som et tak. Samme fremgangsmåte kan brukes til å lage et vilkårlig perspektiviske rutenett med et forsvinningspunkt. Da vil ene siden i alle kvadratene være parallell med billedaten. For å tegne rutenettet trenger vi bare å kjenne bildet til den siden i rutenettet som er parallell med billedaten og to punkter til på billedaten. Et av disse punktene (P) er forsvinningspunktet til de sidene i kvadratene som går vekk fra betrakteren. Det andre (Q) er forsvinningspunktet til en diagonal. Et eksempel vises i gur 3. Bildet i gur 4 viser et bilde av et rutenettmønster i en hage. Dersom vi forlenger alle sidekantene, får vi gur 5. Vi ser at vi i teorien kan fortsette rutenettet så langt vi ønsker ved å tegne inn ere linjer. Siden rutenettet bare har et forsvinningspunkt, må forsvinningspunktet også være hovedpunktet. I gur 6 er også diagonalene tegnet inn og forlenget. Disse møtes som ventet i to forsvinningspunkt, et på hver side av hovedpunktet. 6

Figur 4: Bilde fra en hage med rutenettmønster. Foto: lragerich (http://www.flickr.com/photos/lrargerich/2944465915/) Figur 5: Bilde av rutenett med et forsvinningspunkt. Disse forsvinningspunktene blir distansepunktene til bildet. De ligger også i samme høyde på bildet som hovedpunktet. De ligger da på horisontlinjen. Dette er akkurat som ventet ettersom rutemønsteret er vannrett. 7

Figur 6: Bilde av rutenett med diagonaler og forsvinningspunkt. 2 Konstruksjon av bildet av et loddrett rutenett når bildet av et kvadratisk rutenett er gitt Metoden som ble brukt over kan også brukes til å tegne et loddrett rutenett. Men dersom vi allerede har tegnet et kvadratisk rutenett nnes det en raskere metode. Denne metoden bygger på at bildet av en loddrett linje også er en loddrett linje. Vi starter med 6 x 6 rutenettet som ble konstruert over. Vi vil lage et 5 x 6 loddrett rutenett på venstre side av dette. Vi starter med å tegne en loddrett linje gjennom nedre venstre hjørnet i rutenettet vårt (normalen til grunnlinjen gjennom nedre venstre hjørne). På denne setter vi av punkter med fast avstand i mellom dem. 8

Sidene i det loddrette rutenettet vil enten være loddrette eller vannrette. De vannrette sidene vil ha hovedpunktet som forsvinningspunkt. Vi trekker derfor opp linjestykkene fra punktene på den loddrette linjen til hovedpunktet. De loddrette sidene i rutenettet vil starte ved hjørnepunktene på den venstre siden av det vannrette rutenettet. Vi trekker derfor opp de loddrette linjene som går gjennom disse punktene. 9

Skjæringspunktene vi da får er hjørner i bildet av det loddrette rutenettet. Så nå er det bare å fullføre rutenettet. Dersom vi hadde trukket opp diagonalene i det loddrette rutenettet ville vi sett at disse har forsvinningspunkt på den loddrette linjen gjennom hovedpunktet. Avstanden mellom hovedpunktet og disse forsvinningspunktene er det samme som avstanden mellom hovedpunktet og distansepunktet (hvorfor?). 10

3 Å bruke rutenettet til å plassere gjenstander i riktig høyde i en perspektivtegning For å plassere gjenstander ved hjelp av et rutenett er det tre ting vi må ha i tankene: A.1 Alle rutene i perspektivtegningen representerer ruter som er like store i virkeligheten. A.2 Bildet av loddrette linjer er loddrette. A.3 Hvis en vannrett rute i den perspektiviske tegningen har sin horisontale sidelengde lik x, så vil en loddrett rute i den perspektiviske tegningen med hjørne i samme reelle posisjon også ha vertikal sidelengde lik x. Dette kan illustreres gjennom gur 7. Her er det tegnet inn det horisontale rutenettet og deler av mulige loddrette rutenett. Fra punktet Q ønsker vi å nne punktet R som er bildet av et punkt som ligger 8 rutelengder loddrett ovenfor det punktet som har Q som bilde. I kapittelet om distansepunktkonstruksjonen så vi på en måte å nne R på ved å sette av en normal på grunnlinjen. Fra guren ser vi at Vignola har gjort det samme i høyre billedkant. Men guren til Vignola viser også en annen måte å nne R på. Vi tenker oss at bare det vannrette rutenettet er tegnet inn. Fra punktet Q vil vi nne R. Fra A.2 ser vi at R må ligge på den loddrette linjen som går gjennom Q. Ved å kombinere A.1 og A.3 ser vi at avstanden fra Q til R er den samme som avstanden fra Q og 8 rutelengder horisontalt mot venstre. Vi kan derfor sette passerspissen i Q, den andre enden i P som ligger 8 rutelengder horisontalt mot venstre fra Q og slå sirkelbuen. Der hvor sirkelbuen treer den loddrette linjen gjennom Q ligger R. Dette ble en tungvint beskrivelse for et prinsipp som er ganske enkelt å anvende. La oss ta et par eksempler fra de Vries bok Perspective (1604) for å illustrere det bedre. Først hans plansje 14 (gur 8). Vi skal se nærmere på den rektangulære inngjerdingen i midten av rommet. La oss tenke oss at inngjerdingen ikke er tegnet enda og vi ønsker å gjøre dette (for enkelhetsskyld beskriver jeg bare den ytre rammen - den indre blir tilsvarende). For å benytte oss av rutenettet må vi vite dimensjonene til inngjerdingen. Denne er tre ruter bred, re ruter dyp og en rute høy. Når vi vet dette er det greit å plassere den korrekt på tegningen. Vi merker av de fremre nedre hjørnene med tre horisontale rutelengders avstand. Så nner vi de bakre nedre hjørnene ved å teller re ruter "innover"i tegningen. Siden inngjerdingen er en rute høy kan vi nne de øvre hjørnene ved å gå en virtuell rutelengde vertikalt oppover fra alle de nedre hjørnene. 1 Det samme er gjort i den noe mer avanserte plansje 18 (gur 9). Her er bordet tre ruter høyt og benken er litt over en rute høy. Denne 1 Ser vi på den ferdige tegningen til de Vries så ser det ut som om høyden er større enn en rutelengde på baken. Dette er et synsbedrag som skyldes at vi prøver å tolke den todimensjonale tegningen som tredimensjonal. Dersom en måler på tegningen vil en se at høyden er akkurat like stor som den horisontale rutelengden på samme plass i bildet. 11

Figur 7: Figuren er fra Jacopo Barozzi Vignolas Le due regole della prosppettiva (1583) 12

Figur 8: Plansje 14 i de Vries, Perspective (1604). 13

plansjen får leseren studere nærmere selv. Se også GeoGebra-arbeidsarket: http://home.hib.no/ansatte/ gmh/geogebra/perspektiv/distansepunktkonstruksjon4.html. 4 Å lage perspektivtegning med bruk av plantegninger og rutenett Vi så nettopp hvordan å plassere bildet av et punkt dersom vi har tegnet inn et rutenett. I denne delen skal vi gjøre noe helt tilsvarende, bare at vi nå går ut i fra at vi har plantegninger av det vi vil tegne. En plantegning er en ortogrask projeksjon. 2 Ved en ortogrask projeksjon nner vi bildet av punkt som følger: gitt et punkt P i rommet, så vil dette bli avbildet på punktet i planet P' som ligger nærmest P. Da vil linjestykket PP' være ortogonalt (altså perpendikulært eller vinkelrett) på planet. Se gur 10 og 11. Det går faktisk an å se på plantegninger som en type perspektivtegning. Dersom vi tenker oss en perspektivtegning med øyepunktet uendelig langt vekke fra billedplanet, slik at øyepunktet ligger i den retningen som er ortogonal på billedplanet, så vil perspektivtegningen være det samme som en ortogonal projeksjon på billedplanet. Dette fordi at alle synsstrålene vil være parallelle og ortogonale på billedplanet. Se gur 12. Ortogrask projeksjon blir brukt både i arkitektur (plantegninger til hus) og i kart. Plantegninger til hus er velkjent (se gur 13). Alle kart over områder som er så små at vi kan se på jorden som at er også tilnærmet gitt ved en ortogrask projeksjon. For kart over større områder er det umulig å unngå distorsjon - det er umulig å få både vinkler og lengder til å samsvare med tilsvarende vinkler og lengder på sfæren - ettersom kartet er en plan representasjon av jordsfæren. Forskjellige typer projeksjon vil være hensiktsmessig, for slike kart, alt etter situasjonen, og av og til blir ortogrask projeksjon brukt (et eksempel er vist i gur 14). Som et eksempel skal vi tegne et rektangulært prisme som er re ruter høyt, re ruter bredt og tre ruter dypt. For å gjøre konstruksjonen lettere å følge har jeg valgt å gjøre prismet fargerikt: venstre (og høyre) sideate er blå, fremre sideate er rød og toppen er grønn. Plantegninger forfra, ovenfra og fra høyre følger i gur 15-17. Alt etter hva vi ønsker å tegne trenger vi plantegninger fra forskjellige sider. I dette tilfellet her får vi nok informasjon til å fullføre tegningen med de tre plantegningene under. I andre, mer kompliserte, tilfeller kan det 2 I ordet ortogonal er oρθoς (ortos - gresk for rett) satt sammen med γωνια (gonia - betyr nå vinkel, men opprinnelig kne (så polygon betyr bokstavelig mange knær)). Ordet ortogonal brukes nå om to geometriske gurer (f. eks. linje og plan) som står vinkelrett på hverandre. En projeksjon er en gjengivelse av et romlig gur på en plan ate. Etymologisk henspeiler ordet projeksjon på skyggene som kastes på en ate (denne betydningen nner vi igjen i ordet projektor - maskiner som projiserer et bilde på et lerett). En ortogrask projeksjon er en gjengivelse av en romlig gur på en plan ate slik at punkter blir yttet til aten gjennom linjer som står vinkelrett på aten. 14

Figur 9: Plansje 18 i de Vries, Perspective (1604). 15

Figur 10: Eksempel på ortogrask projeksjon. Vi starter med et plan i rommet som resten av rommet skal projiseres på. Punktet P projiseres (avbildes) på P', som ligger i dette planet, slik at linjestykket PP' står ortogonalt (vinkelrett) på planet. Figur 11: Et prisme avbildet ved ortogrask projeksjon. Bildet av prismet avhenger av hvilken orientering planet det avbildes på har. 16

Figur 12: Ortogrask projeksjon sett på som en perspektivtegning med øyepunktet uendelig langt borte. Da blir linjene PP', QQ' og RR' synsstråler. Figur 13: Plantegning av et hus. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ commons/9/9a/sample_floorplan.jpg 17

Figur 14: Ortogrask projeksjon av jorden sentrert over Nordpolen.http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/ Orthographic_Projection_Polar_North.jpg 18

Figur 15: Prisme forfra Figur 16: Prisme ovenfra hende vi trenger ere plantegninger (ekstra plantegninger i tilfellet her vil være plantegninger nedenfra eller fra venstre). 3 Vi kan nå skissere plantegningene på vegger og gulv i rutenettet vårt. Plantegningen fra høyre kommer på venstre vegg (gur 18). Plantegningen ovenfra kommer på gulvet. Plantegningen forfra kommer på bakre vegg. Og tilsvarende for andre plantegninger. Grunnen til at vi gjør det på denne måten er at vi nesten uansett gur vil trenge plantegning forfra og for å slippe en uoversiktlig gur med ere rutenett oppå hverandre er det greiest å skissere denne plantegningen på bakre vegg. For å nne det perspektiviske bildet av prismet trenger vi nå en del hjelpelinjer. Det perspektiviske bildet P' av et punkt P som er avbildet ved plantegning til punktet P på venstre (eller høyre) vegg vil ligge på den horisontale linjen i perspektivtegningen som går gjennom P. Tilsvarende vil det perspektiviske bildet P' av et punkt P som er 3 Dersom vi tenker oss gjenstandene som gjennomsiktige er det alltid nok med plantegninger forfra og ovenfra. 19

Figur 17: Prisme fra høyre side Figur 18: Plantegninger skissert i rutenettet 20

Figur 19: Omriss gitt av plantegningene avbildet ved plantegning til punktet P på gulv (eller tak) ligge på den vertikale linjen i perspektivtegningen som går gjennom P. Og det perspektiviske bildet P' av et punkt P som er avbildet ved plantegning til punktet P på bakre vegg vil ligge på strålen fra hovedpunktet gjennom P. Vi tegner så inn disse linjene for strategisk valgte punkter på plantegningene (gur 19). Vi har nå nok perspektiviske bilder av punkter på prismet til å tegne inn prismet (gur 20). Vi har faktisk "overødig"informasjon. Vi hadde fått nok informasjon til å tegne inn prismet selv om vi ikke hadde tatt med strålene fra hovedpunktet (se gur 21). Tilsvarende kunne vi i stedet for å droppe strålene ha droppet de vertikale eller horisontale hjelpelinjene. I praksis vil gurene bli svært uoversiktlige med alle disse hjelpelinjene, spesielt når en skal tegne mer kompliserte gurer enn prismet som er tegnet inn her. I tillegg vil en jo gjerne unngå alle hjelpelinjene på den ferdige tegningen. En måte å unngå dette på er ved å bruke to linjaler og nne ut hvor disse skjærer uten å faktisk tegne opp hjelpelinjene. Til slutt kan vi pusse litt på tegningen og ferdigstille den (gur 22). 5 Rutenett med to forsvinningspunkt For et rutenett med to forsvinningspunkt vil ingen av sidekantene i rutenettet være parallelle med grunnlinjen. Som et eksempel skal vi lage en perspektivtegning av et 5 x 5 rutenett. 4 Et omriss av dette er gitt i gur 23. 4 Se også GeoGebra-arbeidsarket: http://home.hib.no/ansatte/ gmh/geogebra/perspektiv/rutenetttoforsvinningspkt.html. 21

Figur 20: Prismet gitt av plantegningene Figur 21: Prismet gitt av plantegningene ovenfra og fra høyre 22

Figur 22: Ferdig prisme Figur 23: Omriss av et 5 x 5 rutenett 23

For å lage perspektivtegning er det nok å kjenne til plasseringen av horisontlinjen og det perspektiviske bildet til de to fremre, ytre sidekantene av rutenettet. 5 Vi starter med å tegne en linje m' parallell med grunnlinjen gjennom det fremre punktet i rutenett (denne linjen er også parallell med horisontlinjen). Denne linjen svarer til linjen m i gur 23. Det neste vi gjør er å nne forsvinningspunktene F og G til de to sidekantene i rutenettet som vi kjenner til (dette er forsvinningspunktene til linjene a og l i gur 23). 5 Vi skal etterpå nne ut hvor hovedpunktet og distansepunktene må være plassert. 24

Linjene a, b, c, d, e, og f er parallelle, så bildet av de vil ha samme forsvinningspunkt F. Vi kjenner da til to punkter som bildet f' av f går i gjennom og kan tegne inn f' på guren. I tillegg, siden linjene a, b, c, d, e og f er parallelle og ligger med jevn avstand fra hverandre, vil de skjære linjen m med jevn avstand. Siden m er parallell med billedplanet, vil bildet av disse skjæringene ligge med jevn avstand på m'. Deler vi linjestykket PQ inn i fem like store deler, nner vi da de andre skjæringene. 25

Nå kjenner vi to punkter på bildet av alle linjene b, c, d og e, så det er bare å tegne de inn. Nå kan vi gjøre akkurat det samme for bildet av linjene g, h, i, j, k og l. 26

Skjæringene mellom de forskjellige forsvinningslinjene er hjørnene i rutenettet, så nå er det bare å gjøre guren ferdig. Merk at i konstruksjonen av rutenettet brukte vi ingen plass at rutene var kvadratiske. Det ble bare brukt at sidekantene i rutenettet alle var like lange, altså at rutene var romber. Om perspektivtegningen faktisk viser det perspektiviske bildet av et kvadratisk rutenett avhenger av hvor hovedpunktet og distansepunktene ligger. Hvor må så hovedpunktet og distansepunktene ligge for at rutenettet skal være bildet av et kvadratisk rutenett? Faktisk blir disse entydig bestemt dersom rutenettet skal være bildet av et kvadratisk rutenett. Se gur 24 27

Figur 24: La P, Q og R være tre forskjellige punkter i samme vannrette plan, med perspektiviske bilder P, Q og R, slik at P Q = P R og P ligger nærmest billedaten. Videre La m være linjen gjennom P parallell med grunnlinjen, F være forsvinningspunktet til P Q og G være forsvinningspunktet til P R. Da vil QP R = 90 hvis og bare hvis hovedpunktet H er gitt sånn at F H HG = (Q 2 Q /Q Q 1 )2. Hvis QP R = 90, så ligger distansepunktet D (R 2 R /R R 1 1 på linjen R V )2 hvor T V = SP og distansepunktet D 2 på linjen Q U hvor US = P T. Dersom P, Q og R er hjørner i et kvadratisk rutenett, som på guren, gir dette plasseringen av hovedpunktet og distansepunktene. for de eksakte betingelsene. 6 Betingelsene kan også brukes til å nne hovedpunkt og distansepunkt i mange situasjoner som er tegnet med topunktsperspektiv. I gur 25 ser vi bilde av et iselagt gulv. Det er tydelig at sideakantene til isene har to forsvinningspunkt. Trekker vi opp diagonalene til isene så ser vi at de enten er vannrette på bildet eller forsvinner mot et forsvinningspunkt som ligger på linjen gjennom forsvinningspunktene til sidekantene til isene (se gur 26). I dette tilfelle blir forsvinningspunktet til de gule linjene hovedpunktet, mens forsvinnignspunktene til sidekantene til isene blir distansepunktene. Dette betyr at bildet er tatt akkurat sånn at sidekantene til isene står 45 på billed- aten. Vi ser også at de gule og svarte linjene gir et kvadratisk rutenett med et forsvinningspunkt. De røde og blå linjene blir diagonalene til dette rutenettet. 6 Jeg tar ikke med beviset for dette her. Betingelsene følger primært av å se på hvor Q og R plasserer seg ved distansepunktkonstruksjonen. 28

Figur 25: Fliselagt gulv med noen linjer tegnet inn. Figur 26: Fliselagt gulv med enda ere linjer tegnet inn. 29