Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS
Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler...................... 4 3 Sannsynlighetsregning 4 3.1 Antall kombinasjoner............................. 4 3.2 Antall permutasjoner............................. 5 3.3 Sannsynlighetsfordelinger.......................... 5 3.3.1 Binomisk fordeling.......................... 5 3.3.2 Hypergeometrisk fordeling..................... 6 4 Vektorregning 7 4.1 Skalarprodukt................................. 7 4.2 Lengde av vektor............................... 8 4.3 Parameterframstilling............................. 8 4.4 Finne punkter på en parameterframstilling................ 9 5 Algebra 10 5.1 Faktorisering.................................. 10 5.2 Forkorting og forenkling........................... 10 5.3 Polynomdivisjon................................ 11 5.4 Løse likninger................................. 11 6 Funksjoner 11 6.1 Tabellverdier.................................. 12 6.2 Derivasjon................................... 12 6.3 Toppunkter og bunnpunkter......................... 13 6.4 Vendepunkt................................... 14 7 Geometri 15 2
Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av TI-Nspire som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk R1», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk R1, 2. utgave, Gyldendal Undervisning, 2012. I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 12 Antall permutasjoner 3.2 14 Antall kombinasjoner 3.1 29 Summere sannsynligheter 3.3.1 98 Tegne parameterframstilling 4.3 98 Finne minimumsverdier 6.3 126 Regne ut tabellverdier 6.1 126 Løse tredjegradslikninger 5.4 136 Regne med tallet e 2.1 162 Derivere 6.2 3
1 Om TI-Nspire Dette heftet omtaler TI-Nspire CAS fra Texas Instruments. TI-Nspire finnes både som håndholdt lommeregner, kalt TI-Nspire CX CAS, og som dataprogrammet TI- Nspire CAS. Dette instruksjonsheftet er ment å dekke begge varianter, og det vises til de brukermanualene for detaljerte beskrivelser av alle funksjoner. 2 Regning I applikasjonen «Kalkulator» taster du inn regnestykker som på en vanlig lommeregner. På en datamaskin kan du bruke både maskinens tastatur og klikke på programmets bilde av den håndholdtes tastatur i dokumentverktøylinja. Svaret får du når du trykker enter. TI-Nspire bruker sirkumfleks ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. Det vises for øvrig til digitalt verktøy-heftet for Sigma 1T. 2.1 Noen forhåndsde nerte variabler TI-Nspire skiller mellom variablene e og e. e: Når du bruker bokstavtastaturet får du opp e. Den brukes som alle andre bokstaver i alfabetet. e: Når du bruker knappen merket med e x får du opp e. Denne er forhåndsdefinert til Eulers konstant, altså lim n 1 + 1 n. n Du kan sjekke at du ser forskjellen: Tast inn en «e» på tastaturet og velg «Omregne til desimal» fra Tall-menyen. Ingenting skjer. Tast inn e ved å trykke på e x -knappen. Velg «Omregne til desimaltall». Skjermen viser e 2,71828. På samme måte som for e er i forhåndsdefinert som det komplekse tallet i, definert ved i = 1. Dette ligger utenfor R1-pensumet. 3 Sannsynlighetsregning 3.1 Antall kombinasjoner På Sannsynlighet-menyen finner du «Kombinasjoner». Når du velger denne, får du opp funksjonen «ncr()». Du taster inn to tall adskilt med vanlig komma. Tallet 5 3 taster vi inn som «ncr(5,3)». Vi ser at svaret er 10. 4
3.2 Antall permutasjoner Antall permutasjoner av r objekter fra n objekter finner vi ved å velge «Permutasjoner» fra Sannsynlighet-menyen. Eksempel: Antall permutasjoner av 2 objekter fra 5 objekter regner vi ut slik: Vi velger «Permutasjoner» fra Sannsynlighet-menyen og skriver inn 5 og 2 adskilt med vanlig komma. 3.3 Sannsynlighetsfordelinger 3.3.1 Binomisk fordeling For å regne med binomisk sannsynlighet velger vi «Binomisk Pdf» fra undermenyen «Fordelinger» på Sannsynlighet-menyen. I vinduet som da kommer opp taster vi inn antall forsøk, sannsynligheten for suksess og hvilken x-verdie vi vil ha beregnet sannsynligheten for. Eksempel: Vi løser eksempel 18 på side 29 i læreboka. Kenneth tipper fotball og krysser av ett kryss på hver av 12 kamper tilfeldig. Hvor stor er sannsynligheten for åtte rette? Hvor stor er sannsynligheten for minst ti rette? Vi velger «Binomisk Pdf» fra undermenyen «Fordelinger» på Sannsynlighetmenyen. Vi setter n til 12, p til 1/3 og «Antall treff» til 8. Vi får at sannsynligheten for åtte rette er 0,01490: 5
For å finne sannsynligheten for minst ti rette velger vi «Binomisk Cdf» fra undermenyen «Fordelinger» i Sannsynlighet-menyen. Vi setter n til 12, p til 1/3, nedre grense til 10 og øvre grense til 12. Vi får at sannsynligheten for minst 10 rette er 0,00054. 3.3.2 Hypergeometrisk fordeling I TI-Nspire versjon 3.2 finnes det ikke noen innebygd funksjon for hypergeometrisk fordeling. Vi regner ut sannsynligheten manuelt. Eksempel: Vi løser eksempel 17 på s. 27 i læreboka. En eske inneholder 100 datakomponenter der er 10 defekte. Vi velger ut sju komponenter. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig én er defekt? Hva er sannsynligheten for at minst én er defekt? Vi lager en funksjon f(x) for sannsynligheten for å trekke ut x defekte komponenter. Funksjonen blir 90 f(x) = 10 x Vi legger funksjonen inn i en Kalkulator-applikasjon og regner ut verdien av f(1): 100 7 7 x Vi får at sannsynligheten for en defekt er 0,389. For å få sannsynligheten for minst én defekt ber vi TI-Nspire beregne summen av f(x hvor x går fra 1 til 10. Vi velger «Sum» fra Kalkulus-menyen og setter inn argumentene slik: 6
Da får vi at sannsynligheten for minst en defekt er 0,533. 4 Vektorregning Vi lgger inn vektorer som lister med parentesene «{» og «}» som koordinatparenteser. Eksempel: Vi skal legge inn vektoren r = [2, 5]. Vi taster inn «r := {2, 5}». Da får vi: Når vi regner med punkter kan det være praktisk å legge inn koordinatene til vektoren fra origo til punktet. OA: Eksempel: Vi har punktene A(5, 3) og B(2, 4) og skal finne AB. Vi taster «OA : [5, 3]», «OB = [2, 4]». Så finner vi AB med «OB OA»: Vi ser at AB = [ 3, 1]. 4.1 Skalarprodukt Skalarproduktet av to vektorer finner du ved funksjonen «dotp()», som vi finner med valget «Prikkprodukt» på undermenyen «Vektor» på Matrise & Vektor-menyen. Eksempel: Vi skal regne ut skalarproduktet av u = [2, 3] og v = [ 4, 1]. 7
Vi legger inn de to vektorene og skriver inn «dotp(u, v)». Vi får at svaret er u v = 5. 4.2 Lengde av vektor Lengden av en vektor finner vi ved å ta kvadratroten av skalarproduktet av vektoren med seg selv. Eksempel: Vi skal finne [ 3, 1]. Vi taster inn «p := { 3, 1}» og «sqrt(dotp(u, u))»: Vi ser at svaret er 10 3,1623. 4.3 Parameterframstilling Vi tegner parametriserte kurver ved å velge «Parametrisk» fra menyen «Grafkommando/- redigering». Eksempel: Vi skal tegne de to banene A og B fra eksempel 27 på side 98 i læreboka, altså banene gitt ved x = 3t 4t + 21 A : y = 4t 0,5t 2 B : y = 3t 0,5t 2 Vi skal tegne de to banene for t [0, 5]. Vi taster inn for «x1» og «y1» og lar t være mellom 0 og 5: 8
Dette gir følgende graf: 4.4 Finne punkter på en parameterframstilling Vi finner punkter på en parameterframstilling ved å sette inn t-verdier som i et vanlig funksjonsuttrykk. Dersom vi har lagt inn en parameterframstilling i «x1» og «y1», finner vi punktet på kurven der t = 1 ved å taste x1(1) og y1(1). Eksempel: Vi skal finne hvor t = 1 er på kurven gitt ved: x = 3t y = 4t 0,5t 2 Først legger vi inn kurven i Grafer-applikasjonen som vis i avsnitt 4.3 ovenfor. Deretter skifter vi til Kalkulator-applikasjonen og taster inn x1(1) og y1(1). Altså tilsvarer t = 1 punktet (3, 3.5) på kurven. 9
5 Algebra 5.1 Faktorisering Faktorisering gjøres med «factor()». Eksempel: Vi skal faktorisere uttrykket 2x 2 + 3x 2 på side 120 i læreboka. Vi taster først inn uttrykket slik at vi er sikre på å ha tastet riktig. Deretter skriver vi inn «factor(2x 2 +3x 2)». (Husk at du kopierer uttrykk i Kalkulator-applikasjonen ved å gå til uttrykket med piltastene og taste enter.) Så uttrykket kan faktoriseres som (x + 2)(2x 1). 5.2 Forkorting og forenkling TI-Nspire forenkler uttrykk du taster inn automatisk. Eksempel: Vi skal forenkle uttrykket Vi skriver inn uttrykket og taster enter. 2x 1 fra side 120 i læreboka. 2x 2 +3x 2 Legg merke til at vi får opp en advarsel om at grunnmengden til resultatet kan inneholde mer enn grunnmengden til det vi tastet inn. Det er fordi vi i den opprinnelige brøken ikke kan bruke verdien x = 1/2. I resultatet er imidlertid x-verdien tillatt. Eksempel: Vi skal trekke sammen og skrive så enkelt som mulig uttrykket i eksempel 2 på side 121 i læreboka, nemlig x2 +2x 8 x 2 4x+3 2x+1 2x 6. Vi taster inn uttrykket og trykker på enter. 10
5.3 Polynomdivisjon Vi utfører polynomdivisjon ved å dele to polynomer på hverandre. Eksempel: Vi skal dividere 4x 3 28x 2 + 21x + 18 med x 6. For å kontrollere egen inntasting taster vi inn polynomene først og dividerer til slutt: Svaret viser at divisjonen ga polynomet 4x 2 4x 3 til svar. Vi ser at divisjonen gikk opp, siden svaret ikke inneholder noen brøk. 5.4 Løse likninger Mange likninger kan løses med kommandoen «solve(p(x) = 0, x)». Eksempel: Vi skal løse tredjegradslikningen i eksempel 7 på side 126 i læreboka, nemlig x 3 6x 2 + 7x + 4 = 0 Vi taster inn og løser likningen slik: Vi ser at løsningen på likningen er x = 1 ± 2 eller x = 4. 6 Funksjoner Vi angir funksjoner med kolon og likhetstegn mellom funksjonsnavnet og funksjonsuttrykket. Eksempel: Vi skal definere funksjonen f(x) = 2x + 5. Vi taster slik: 11
f1(x):=2x+5 Det kan være lurt å bruke de innebygde funksjonene f1(x), f2(x),..., siden de enkelt kobler sammen applikasjonene Kalkulator og Grafer. 6.1 Tabellverdier For å finne funksjonsverdien av et uttrykk i bestemte x-verdier taster vi inn slik vi skriver til vanlig. Eksempel: Vi har funksjonen f(x) fra side 126 i læreboka, nemlig funksjonen f(x) = x 3 6x 2 + 7x + 4 Vi skal regne ut verdien av funksjonen f for x-verdiene 1, 0, 3 og 5 som bakgrunn for et fortegnsskjema. Vi skriver inn funksjonsuttrykket i f1(x). Så kan vi starte med den første x-verdien og taste inn f1( 1) og fortsette for hvert tall. Alternativt kan vi legge det rett inn i en liste ved å taste f1({ 1, 0, 3, 5}: 6.2 Derivasjon Vi deriverer ved å velge «Derivert» fra Kalkulus-menyen. Da får vi opp sjablon for derivasjon: Under brøkstreken fyller vi inn hvilken variabel vi bruker. Vanligvis er dette x, av og til t. Inni parentesen taster vi inn funksjonsuttrykket. Eksempel: Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 2 +2x +3 fra side 162 i læreboka. Vi skriver inn «f1(x) := x 2 + 2x + 3». Så velger vi «Derivert» fra Kalkulusmenyen og taster inn x og f1(x). 12
Altså er den deriverte 2x + 2. 6.3 Toppunkter og bunnpunkter Eksempel: Vi skal finne minste verdi av funksjonen f fra side 98 gitt ved f(t) = 50t 2 294t + 441 Vi er i Grafer-applikasjonen. Vi legger inn funksjonsuttrykket i f1(x). Vi bruker variabelen x i stedet for t. Når grafen er tegnet, velger vi «Minimum» fra Analyser graf-menyen. Vi taster inn nedre og øvre grense, for eksempel henholdsvis 1 og 4. Da ser grafen slik ut: Vi ser at minste verdi ble 2,97. Eksempel: Vi skal finne toppunktet til funksjonen f på side 202 i læreboka gitt ved f(x) = 4xe x 13
Vi legger inn funksjonen og velger «Maksimum» fra Analyser graf-menyen. Vi taster inn nedre og øvre grense og får dette bildet: Toppunktet på grafen til f er altså (1, 1,47). 6.4 Vendepunkt Vi legger inn funksjonen og tegner grafen. Deretter velger vi «Vendepunkt» fra Analyser graf-menyen. Eksempel: Vi skal finne vendepunktet til funksjonen f fra side 203 i læreboka gitt ved f(x) = e 2x 4e x + 3 Vi legger inn funksjonen med «f1(x) := e (2x) 4e x + 3». Vi tegner grafen og velger «Vendepunkt» fra Analyser graf-menyen. Da får vi: 14
Altså er vendepunktet (0, 0). 7 Geometri Mulighetene for å bruke programmet til geometri er mange. Vi viser til brukermanualen for en innføring i dette. Her tar vi kun med noe av de mest grunnleggende operasjonene. Punkter Du oppretter punkter ved å velge «Punkt» i Punkter & linjer-menyen og klikke der du vil ha et punkt. Hvis du legger til punkter i en Geometri-applikasjon kan du ikke angi koordinatene til punkter. Hvis du legger til punkter i en Grafer-applikasjon, kan du etterpå endre koordinatene til det du ønsker. Eksempel: Vi skal tegne inn punktet P(3, 4). I Grafer-applikasjonen velger vi «Punkt» fra undermenyen «Punkter og linjer» på Geometri-menyen og klikker på et tilfeldig punkt. Deretter velger vi «Koord. og lgn.» fra Handlinger-menyen. Når vi nå klikker på punktet får vi fram koordinatene. Vi skifter til vanlig markør (for eksempel ved å trykke på esc). Nå kan vi klikke på x-koordinaten, skrive inn «3», klikke på y-koordinaten og skrive inn «4». Nå er punktet tegnet i (3, 4). 15
Mangekanter Vi lager mangekanter, for eksempel trekanter og firkanter, med verktøyet «Polygon» fra Former-menyen. Dersom vi først har opprettet hjørnepunktene, klikker vi på disse når vi lager mangekanten. Skjæringspunkter For å finne skjæringspunkter mellom to objekter velger du verktøyet «Skjæringspunkt(er)» fra Punkter & linjer-menyen. og klikker på de to objektene. Normaler For å opprette en normal til en linje gjennom et punkt velger du «Vinkelrett»- verktøyet fra konstruksjon-menyen og klikker på linja og punktet. Tangenter For å tegne en tangent til en kurve i et bestemt punkt velger vi verktøyet «Tangent» fra Punkter & linjer-menyen og klikker på kurven og punktet. Vinkler For å måle en vinkel velger du verktøyet «Vinkel» fra Måling-menyen og klikker på tre punkter. Det midterste er vinkelens toppunkt. Linje gjennom punkter For å tegne en linje gjennom to punkter velger du verktøyet «Linje» fra Punkter & linjer-menyen og klikker på de to punktene. Konstruksjon Det er mulig å bruke programmet til å konstruere som med passer og linjal. Det legges imidlertid opp til at konstruksjon på eksamen i R1 kan skje på del 1 uten digitale hjelpemidler. Vi utelater derfor beskrivelsen av dette her. 16