God regneopplæring på mellomtrinnet Tine Foss Pedersen tinefp@online.no God regning Matematisk samtale Matematiske tekster Dagsinnhold Forelesning 5 % Øv deg i klasserommet mellom hver kursdag Lese 10 % Høre og se 20 % Demonstrasjon 30 % Lære bort til andre 90 % 23-Sep-14 3 Diskusjonsgruppe 50 % Lære ved å gjøre 75 % 1
Hvilken kompetanse skal eleven få? Mogens Niss God regning For å legge til rette for elevenes utvikling i regning som grunnleggende ferdighet er det hensiktsmessig å fokusere på følgende komponenter i god regning Forståelse Beregning Anvendelse Resonnering Engasjement http://www.udir.no/upload/ungdomstrinnet/rammeverk/ungdomstrinnet_bakgrunnsdokument_regning_vedlegg_3.pdf To måter å si det samme på Kilpatric Forståelse Beregning Anvendelse Resonnering Engasjement Niss og Pisa - kompetanser Tankegang Representasjon Symbol og formalisme Hjelpemiddel Problemløsing Modellering Resonnement Kommunikasjon 2
Forståelse Forstå matematiske begreper, representasjoner, operasjoner og relasjoner. Instrumentell relasjonell Elever som har utviklet forståelse kan mer enn isolerte fakta og prosedyrer Elevene er i stand til å tolke, forstå og benytte ulike representasjoner, og de kan se sammenhenger mellom forskjellige representasjoner knyttet til en gitt situasjon De kan forklare hvorfor en algoritme fungerer! 23-Sep-14 8 Beregning Utføre prosedyrer som involverer tall, størrelser og figurer, effektivt, nøyaktig og fleksibelt Beregning handler om å beherske forskjellige prosedyrer ved å bruke hoderegning, blyant og papir, digitale verktøy eller andre hjelpemidler Elever som utfører prosedyrer fleksibelt, kan veksle mellom forskjellige prosedyrer og velge prosedyren(e) som er mest nyttige i den bestemte situasjonen. De kan også tilpasse prosedyrene slik at de blir lette å bruke. 23-Sep-14 9 3
Matte er mer enn pugging! For eksempler bruker de den samme metoden for å regne ut 836-567 som 701-699. Det forteller oss at mange elever ikke av seg selv utvikler tallforståelse. Valente, Enge og Botten i Aftenposten 6.11.2012 Matte er mer enn pugging! Det er gjort mye forskning, både i Norge og internasjonalt, der man har sett på elevprestasjoner i regning. I en av disse undersøkelsene ble andre og tredjeklassinger bedt om å regne ut 503-306. Elever i klasser vant til en tradisjonell undervisning, der lærer viser regneregler og oppsett for så å la elevene øve på disse, satte i gang med det vanlige oppsettet - tallene under hverandre, «låning» og markering på tallene en «lånte fra». Kun 42 % av annenklassingene og 35 % av tredjeklassingene fikk riktig svar. I klasser der en derimot arbeidet med å utvikle uformelle regnemetoder og resonnering (som for eksempel 306 pluss 200 er 3 for mye så svaret er 3 mindre enn 200, altså 197), var det 67 % av annenklassingene som fikk rett svar og 80 % av tredjeklassingene. Valente, Enge og Botten i Aftenposten 6.11.2012 Kilde: Fosnot og Dolk: Young mathematicians at work Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction, side 121-122 Anvendelse Formulere problemer matematisk utvikle strategier for å løse problemer ved å bruke passende begreper og prosedyrer. Gjelder både i «ren» og «anvendt» matematikk Et begrep eller en prosedyre er ikke nyttig hvis ikke elevene vet når og hvor det skal brukes Elevene må være i stand til å formulere og avgrense problemer De må utvikle løsningsstrategier, velge den strategien som er mest hensiktsmessig for å løse problemene, bruke den og tolke resultatet 23-Sep-14 12 4
Resonnering Forklare og begrunne en løsning til et problem, eller utvide fra det kjente til det ukjente. LIMET som holder matematikken sammen Resonnering handler om å forklare sammenhengen mellom begreper og situasjoner Elevene bruker resonnering for å navigere mellom faktakunnskap, begreper, prosedyrer og løsningsmetoder Elevene blir gode i resonnering ved å forklare og begrunne løsningene sine for andre 23-Sep-14 13 Engasjement Være motivert for å lære matematikk, se på matematikk som nyttig og verdifullt, og tro at innsats bidrar til økt læring i matematikk. Å være engasjert i en matematisk aktivitet er nøkkelen til å lære matematikk. Det handler også om elevenes selvtillit og følelse av mestring i læringsprosessen. Tett bundet sammen med de fire andre trådene. 23-Sep-14 14 Som trådene i et tau De fem komponentene er avhengige av hverandre som trådene i et tau. Elever blir gode i regning når de arbeider med å utvikle alle trådene samtidig. 23-Sep-14 15 5
God regneopplæring En god regneopplæring skal: Gi elevene mulighet til å utvikle alle de fem komponentene som definerer god regning Bidra til at elevene opplever mestring og dermed motivasjon for regning Er med på å gjøre undervisningen relevant og praktisk 23-Sep-14 16 Forståelse Richard Skemp Hvordan bygge dype strukturer? Matematisk samtale - forbindelsen mellom tanker og uttalte ord er mye sterkere enn mellom tanker og skrevne ord eller symboler. Vær bevisst på rekkefølgen - en presenterer nye matematiske ideer og begreper Referenter til symbolene - ulike konkreter og representasjoner og knytte dette til symbolene. 6
Muntlige ferdigheter Vi bør vektlegge bruk av ulike uttrykksmåter, strategier og løsningsmetoder. Det skaper grunnlag for diskusjon: Elevene må beskrive metodene sine De må begrunne hvorfor de gir riktig svar De må argumentere for hvorfor metodene sine er gode God didaktikk er basert på elevdeltakelse og læringsfellesskap hvor samtalen er vesentlig. Klasseromskultur Lærer må etablere en klasseromskultur der det kan holdes matematiske diskusjoner Elevene er trygge på å ta ordet i en diskusjon Elevene lytter til hverandre Forslag og tanker behandles med respekt Viktig å starte med dette! Volleyball, ikke bordtennis Den matematiske samtalen i klasserommet fungerer best når spørsmål svar interaksjonen skifter fra: frem og tilbake - lærer elev til: fra lærer til elev til elev- til elev osv og så tilbake til lærer 7
Fem samtaleteknikker 1. Gjentakelse (revoicing) 1. Så du sier at det er et oddetall? 2. Repetering (repeating): elever omarbeider begrunnelsen 1. Kan du gjenta det han sa med dine egne ord? 3. Begrunnelse (reasoning): elever legger til egen begrunnelse 1. Er du enig eller uenig og hvorfor? 4. Legge til/utdype (adding on): 1. Ønsker noen å legge til noe mer til dette? 5. Pause (waiting): 1. Ta tida du trenger vi venter 1. Gjentakelse Så du mener det er et oddetall? Når elever snakker om matematikk kan det ofte være vanskelig å forstå hva de sier. Selv om begrunnelsen er god/gyldig, kan den framstå som uten hold når de prøver å omsette tankene til ord Gjentakelse hjelper elever i å klargjøre og dele sine tanker Eksempel gjentakelse Klassen (4. trinn) har fått noen tall, og i plenum diskuteres om de er partall eller oddetall. Klassen har kommet fram til at hvis du kan dele et tall i to like grupper, så er det et partall. Philip går løs på 24. Philip: Vel, hvis vi kan bruke 3, så kunne det gått opp, men 3 er oddetall. Så hvis det da var men 3 er partall. Jeg mener oddetall. Så hvis det er oddetall er det ikke partall. Lærer: Ok, la meg se om jeg forstår. Så du mener at 24 er et oddetall? Philip: Ja. Fordi 3 går opp i det, fordi tjuefire delt på tre er åtte. 8
Etter å ha hørt Philips første, veldig forvirrende bidrag, oppfatter læreren at Philip kanskje sier at 24 er et oddetall. Hun gjentar utsagnet som et spørsmål for å sjekke med Philip om hun har oppfattet rett. Det viser seg at han mener at 24 er et oddetall og han forklarer også hvorfor. Læreren avdekker en misoppfatning Philip har rundt partall og oddetall. Gjentakelse er også nyttig når lærere er usikker på om de andre elevene har forstått hva som ble sagt. Gjør en elevs forslag tilgjengelig for andre Gir elevene tid til å høre det igjen Skaffer mer thinking space (rom for tenking) 2. Repetering Kan du gjenta det han sa med dine egne ord? I tillegg til at lærer gjentar det en elev har sagt, kan hun be en annen elev repetere forrige utsagn for å drive samtalen videre Eksempel repetering Lærer: Kan noen gjenta det Philip sa med egne ord? Miranda? Miranda: Eh, jeg tror jeg kan. Jeg tror han sa at tjuefire er et oddetall fordi det kan deles med tre. Lærer: Det stemmer. Philip, er det det du sa? Philip: Ja. 9
Klassen får en ny framstilling av første forslag Det gir dem med tid til å behandle Philips utsagn og forstå poenget hans Særdeles viktig for minoritetsspråklige elever. Bekrefter at de andre elevene har hørt hva Philip sa 3. Begrunnelse Er du enig eller uenig og hvorfor? Etter en elev har kommet med et forslag og læreren har forsikret seg om at elevene har hørt hva som har blitt sagt og de har fått tid til å fordøye det, kan lærer prøve å få fram andres meninger rundt dette. Eksempel begrunnelse Lærer: Miranda, er du enig eller uenig med det Philip sa? Miranda: Vel, jeg liksom er uenig? Lærer: Kan du fortelle oss hvorfor du er uenig med hva han sa? Hva er din begrunnelse? Miranda: Fordi jeg trodde at vi i går sa at partall kan deles med to. Og jeg tror 24 kan deles med to. Og det er tolv. Så er ikke det et partall? Ved å spørre Miranda om hun er enig eller uenig med Philips utsagn og hvorfor retter læreren oppmerksomheten mot Mirandas resonnement. Hjelper elever til å utvikle sin evne begrunnelse noe som støtter den matematiske læringa. Viktig at læreren avstår fra å støtte den ene eller den andre begrunnelsen. På dette tidspunktet ønsker hun å få fram en diskusjon rundt ideer. Senere kan læreren forsikre seg om at elevene har en korrekt forståelse av hva partall er. 10
4: Legge til/utdype Ønsker noen å legge til noe mer? Lærer stimulerer til mer deltakelse i samtalen ved å spørre om flere kommentarer. Hjelper elevene til å engasjere seg i andres resonnement Det å stimulere til mer deltakelse vil over tid resultere i mer aktive elever som er mer villig til komme med bidrag til det klassen vurderer/diskuterer. Eksempel: legge til/utdype Lærer: Vi har nå to ulike forslag til tallet 24. Philip, du mener at 24 er et oddetall fordi du kan dele det på 3? Philip: Eh-hem Lærer: Og Miranda, du sier at det er et partall fordi du kan dele det med to? Stemmer det? Miranda: Ja. Lærer: Ok, så hva med dere andre? Hvem ønsker å legge til noe i denne diskusjonen? Er du enig eller uenig med Mirandas eller Philips forslag? Si hva du mener, eller legg til andre forslag. 5: Ventetid/pause Ta tida du trenger Vi venter Mange lærere er kjent med man skal vente noen sekunder etter at et spørsmål er stilt før man ber om svar. Pause er også aktuelt etter at en elev har fått ordet. Etter å ha fått ordet bør eleven fortsatt få noen sekunder til å organisere tankene sine 11
Eksempel: ventetid/pause Etter at læreren har gjentatt de to motstående forslagene og har bedt om flere bidrag, venter hun og venter og venter. Et par elever rekker opp hånda med en gang, andre ser tankefulle ut, men rekker ikke opp handa. Etter fem sekunder ser elevene at læreren venter på mer respons. Elevene i denne klassen vet at det ikke bestandig er de samme superraske to-tre elevene som få svare. De vet at læreren venter slik at de får tid til å tenke gjennom spørsmålene. Etter femten-tjue sekunder rekkes sakte flere hender opp. Etter 45 sekunder spør læreren til slutt Eduardo. Han nøler og er faktisk stille etter at han har fått ordet, selv om han hadde rukket opp handa. Igjen venter læreren. Etter 10 sekunder svarer eleven. Eduardo: Ja, jeg er enig med Mirandas forslag, fordi den eneste måten du fortalte oss at vi kan finne ut om et tall er partall, er å dele det på to. Og hvis vi deler 24 på 3, kan vi også dele det på 4. Og vi kan dele det på 6 også. Så jeg mener vi bare skal holde oss til å dele på to. Tradisjonelle samtaleformer Instruksjon og forelesning Læreren er den som har rett til å snakke Elevene får ikke snakke dersom de ikke får ordet av læreren Quizzing (stille spørsmål) Lærer stiller spørsmål som hun vet svaret på og forventer at elevene kan svaret på også Lærer gir ordet til en elev og vurderer om svaret er korrekt eller ei Jamie, hvor mye er 3 ganger åtte? 24? bra. Bordtennis 12
Tre nyttige samtaleformer 1.Klassediskusjon ( Volleyball ) 2.Gruppediskusjon 3.Parvis samtale Begrepstegneserie Oppgave Sitt i grupper på 5-6 stk En skal være lærer, resten elever Lærer leder klassediskusjon rundt en begrepstegneserie eller hvem skal ut? Husk samtaleteknikkene Bytt på å være lærer 13
Eksempler fra klasserommet på gode matematiske samtaler 3. trinn (grade 3) Elevene har funnet løsninger på likningssett hvor de ukjente er merket som firkanter og trekanter. Elevene må finne en verdi for trekanten og en verdi for firkanten som gjør at begge likningene stemmer. Elevene fikk beskjed om alle firkantene må ha samme verdi og alle trekantene må ha samme verdi. Eksempel: 10 - = + + = 13 Læreren gir først elevene 5 minutter på å prøve på oppgaven individuelt samtidig som hun går rundt i klaserommet og ser på hva de gjør: Hun ser at Juana ikke har forstått at det er en sammenheng mellom de to likningene Jaleesa har allerede løst oppgaven David ser ut til å nøle mellom å se på likningene som to separate likninger og det å se på det som et likningssett Læreren gir ingen hjelp til elevene i disse 5 minuttene. Etter de 5 minuttene har gått, starter hun en klassesamtale. 14
Læreren bruker her repetering på flere ulike måter Hun ber David repetere Jaleesas forslag (line 7) Hun spør Jaleesa om David oppsummerer hennes forslag korrekt (line 9) Hun modellerer forvirring og ber David en gang til om å gjengi Jaleesas bidrag med egne ord (line 11) Hun gir Jaleesa en ny mulighet til å forklare/oppklare (line 13) Innen Jaleesa kommer opp til tavla har hennes egen tankegang blitt tydeligere for henne og hun er ivrig på å dele 15
Læreren benytter den matematiske samtalen for å gi elevene en felles forståelse. Hun visste at ikke alle elevene hadde forstått begrensningen i problemet, selv om hun har prøvd å forklare så godt hun kan. Hun observerte at elevene hadde ulik forståelse og bruker elevenes bidrag systematisk for å oppklare misoppfatninger hun mistenker er tilstede Etterpå gir hun en liknende oppgave, lar elevene snakke sammen mens de løser denne og bruker den matematiske samtalen på enda en måte for å befeste elevenes forståelse. 16
Eksempel 6. trinn (grade 6) Når vi deler et heltall på en brøk, 2 : ¼, blir svaret større enn dividenden. Dette er forvirrende for mange elever da de er vant til å svaret som regel blir mindre. I tillegg er det vanskeligere å oversette oppgaven til en hverdagssituasjon: Hvordan kan du dele 2 kaker på en firedels person? Ofte gis bare regelen: når du deler et tall på en brøk, snur du brøken og ganger i stedet, 2: ¼ = 2 x 4/1, men veldig få elever forstår hvorfor dette fungerer. dividend : divisor = kvotient For å hjelpe elevene til å forstå divisjon med brøk, planlegger Mr. Harris flere timer undervisning. Han starter med et delestykke med heltall 12 : 4 = og ber elevene komme med et eksempel på hva dette kan bety: hvis du deler 12 kaker på 4 personer, hvor mange kaker får hver?. Læreren minner elevene på en annen måte å forstå divisjon: i stedet for å dele, kan man lage like store grupper med 4 i hver, og viser dette med konkretiseringsmateriell ser på divisjon som gjentatt subtraksjon Lærer skriver på tavla og kommer med forslaget dele to kaker på en firedels person. Alle elevene er enige i at dette er tullete. Læreren kommer med et annet forslag, nemlig å dele opp kakene i grupper, med en firedel i hver gruppe, og illustrerer dette på tavla. 17
Deretter skriver han følgende på tavla, og ber forskjellige elever lese et og et stykke slik: Hvor mange ganger kan vi subtrahere (ta bort) en femdel fra 2? Elevene skal i grupper finne svarene på stykkene. De får 20 minutter til dette. Læreren sirkulerer rundt i klasserommet. Han ber elevene komme med svarene sine og fyller inn lista. Læreren gjentar svarene deres og forsterker forståelsen for gjentatt subtraksjon: så du fant ut at 2 delt på en seksdel blir 12 fordi du tok bort (subtraherte) en seksdel fra 2 tolv ganger. Stemmer det? 18
19
Utover i timen får elevene et nytt sett med eksempler, denne gangen med 3 som dividend og enhetsbrøk som divisor Samme framgangsmåte som tidligere med bl a parvis samtale og klassesamtale Neste dag utvides generaliseringa utover divisjon med enhetsbrøk (2 : 2/5 eller 3 : 2/5) Forklaring og begrunnelse Hvilke type spørsmål er avgjørende: - Hvorfor tror du det er riktig? - Er alle enige med at dette svaret er riktig? Hvorfor eller hvorfor ikke? - Hvorfor virker fremgangsmåten eller strategien? - Vil den valgte strategien alltid fungere? Hvorfor/hvorfor ikke? Elevene vil videreutvikle sin forståelse når de forklarer for medelever, diskuterer i mindre grupper og når de må skriftliggjøre sine forklaringer på løsninger. Når elever diskuterer og deler løsningsstrategier, kan lærere og medelever lettere oppdage misoppfatninger og hvor de er. 23-Sep-14 60 20
MATEMATISKE TEKSTER 23-Sep-14 61 Matematiske tekster LK 06 har 5 grunnleggende ferdigheter: Å kunne uttrykke seg muntlig Å kunne uttrykke seg skriftlig Å kunne lese Å kunne regne Å kunne bruke digitale verktøy De fire første tas i bruk når vi jobber med matematiske tekster. Tekstoppgaver er ofte en utfordring for elever. Hva kan vi gjøre for at elevene skal mestre tekstoppgaver bedre? 23-Sep-14 62 Å kunne lese i matematikk å forstå og bruke symbolspråk og uttrykksformer i matematikk til å hente ut informasjon frå, tolke og dra nytte av tekstar frå daglegliv og yrkesliv så vel som matematikkfaglege tekstar. slike tekstar kan innehalde matematiske uttrykk, grafar, diagram, tabellar, symbol, formlar og logiske resonnement. å sortere informasjon, analysere og vurdere form og innhald og samanfatte informasjon frå ulike element i tekstar. 21
Å kunne lese Grunnleggende ferdigheter i lesing omfatter: 1. Finne informasjon i teksten 2. Forstå og tolke teksten 3. Reflektere over og vurdere tekstens form og innhold 23-Sep-14 65 Finne informasjon i teksten Forstå og tolke teksten Finne informasjon i teksten 22
Sammenfatte informasjon fra ulike elementer i tekster. Finne informasjon i teksten Forstå og tolke teksten Mulige årsaker til at elever får problemer med å tolke tekstoppgaver i matematikk De kan ha vansker med selve leseavkodingen eller leseforståelsen, eller de mangler de nødvendige forkunnskapene for å skape mening i teksten. Teksten kan også være for kompleks, og på den måten stille for høye krav til elevenes tangegang og evne til resonnement Kan det være andre årsaker? Undersøkelser har vist at elever sjelden bruker hensiktsmessige strategier dersom de ikke har fått opplæringen i det. 23-Sep-14 69 23
Mange elever bruker ikke ordene i teksten når de skal velge strategi, men leter i teksten etter noen markører som kan fortelle dem hvordan de kan gjøre det. Disse elevene tenker, men ikke på bakgrunn av det som står i teksten. De starter ofte med å tenke Hvordan skal vi regne her? og mister viktig informasjon i teksten. Dermed får de ofte problemer med å løse tekstoppgavene, til tross for at de kanskje har inne de regnetekniske ferdighetene som inngår i oppgaven. 23-Sep-14 70 Å kunne lese, skrive, regne og samtale i matematikk Å lage matematiske modeller Elevene lærer å bygge opp modeller trinn for trinn Dette er den viktigste nøkkelen for at elevene skal lære å løse tekstoppgaver: Skal jeg gange eller dele, lærer? Når vi lager en modell, går vi gjennom oppgaven trinn for trinn. Dette senker den kognitive belastningen betydelig. Hvordan utvikle evnen til å tolke tekstoppgaver? Bruk så mange strategier som mulig. Bruk modeller og skisser til å forklare og tydeliggjøre tankeprosesser. Sett av tid til refleksjon og klargjøring av matematiske ideer og sammenhenger mellom ulike emner. Bruk tid på muntlige aktiviteter til å forsterke begrepsinnlæringen og til å utvikle kritisk tenkning. 23-Sep-14 72 24
Skal jeg gange eller dele? Det å lage en modell er en nøkkel til problemløsning og til begrepsforståelse Med konkreter Med illustrasjon: Tegninger, diagram Lise har 20 perler. Hun legger dem i esker, med fire perler i hver eske. Hvor mange esker trenger hun? Effektive modeller = generelle Maja har 5 dl Solo i glasset sitt. Nils har 3 dl mer. Hvor mye brus har Nils? Sissel hopper 158 cm i stille lengde. Morten hopper 29 cm lengre. Hvor langt hopper Morten? 158 cm Maja 5 3 Sissel 29 cm Nils? Morten? Modell for sammenligning Nils hadde 483 geiter på gården sin. Han hadde 251 færre geiter enn Kåre. Hvor mange geiter hadde Kåre? Kåre Nils: 483 geiter 251 geiter 25
Strategier for å løse oppgaver med tekst Mer effektive modeller Albin og Carl har 60 kr til sammen. Albin har dobbelt så mye som Carl. Hvor mye har Albin? Hvordan kan denne situasjonen illustreres? Hvordan kan den tegnes, som en matematisk modell? Albin Carl 60 kr Oppgaver i modellering Kai har halvparten så mye penger som Tim. Chris har 186 kr, og det er 126 kr mer enn Tim. Hvor mye penger har Kai? Lag en modell! 26
Lag modell og løs oppgavene 27
Oppsummering Regning som grunnleggende ferdighet er spesifisert kort i hver fagplan Forsøkes målt i nasjonale prøver Innebærer bl.a. å gjenkjenne regning i ulike kontekster, også tekstoppgaver. Elevene må få trening i å tolke ulike matematiske tekster. Elevene må få opplæring i å ta i bruk hensiktsmessige strategier. Sett av tid til dette jevnlig. Start tidlig! 23-Sep-14 82 Til neste gang Den matematiske samtalen 28