Integralregning KATEGORI. Antiderivert Oppgave. En bil passerer et målepunkt ved tidspunktet t =. Bilen har da arten m/s. Etter t sekunder har bilen arten v(t) =,t + Finn arten etter ) s ) s b) Vis at strekningen s(t) målt i meter som bilen har tilbakelagt etter t sekunder, er s(t) =,t + t Hvor langt er bilen kommet ra målepunktet når arten er m/s? Oppgave. Finn alle de antideriverte til () = + b) () = + () = + d) () = + Oppgave. Funksjonen F er gitt ved F() = + + Vis at F er en antiderivert til () = + b) Funksjonen G er gitt ved G() = + Vis at G er en antiderivert til g() =. Ubestemt integral Oppgave. Regn ut de ubestemte integralene. d b) ( + ) d ( ) d Oppgave. Regn ut de ubestemte integralene. ( + + + ) d b) ( ) d ( + ) d 7
8 Oppgave. Regn ut de ubestemte integralene. ( ) d b) d Oppgave. En unksjon er slik at ʹ() = + Finn unksjonsuttrkket or når graen til går gjennom punktet (, 7). Oppgave. En unksjon g er slik at gʹ() = + Bestem g når graen går gjennom punktet (, ). Oppgave. Etter t sekunder har en bil arten v(t) = +,t, t [, ] målt i meter per sekund. Finn arten til bilen målt i km/h etter s. b) ) Finn en unksjon s slik at sʹ(t) = v(t). ) Hvor langt kommer bilen på de ørste sekundene?. Integralet d Oppgave. Regn ut de ubestemte integralene. d b) d t dt d) ( ) d Oppgave. Regn ut de ubestemte integralene. ( + ) d ( s s ) ds b) ( ) d cosinus R > Integralregning. Integrasjon av eksponentialunksjoner Oppgave. Finn alle de antideriverte til () = e b) () = e () = e d) () = e, Oppgave. Finn integralene. e d b) (e + e ) d Oppgave. Finn integralene. ( + e ) d Oppgave. Finn integralene. 8,7 d b),88 d b) (e + ) d. Bestemt integral som grense or en sum Oppgave. Figuren viser graen til unksjonen () = + Finn arealet av det argelagte området ved å bruke ormelen or arealet av et trapes b) integrasjon digitalt
Oppgave. Graen til unksjonen () = + er tegnet sammen med rektangler som gir en tilnærmingsverdi or arealet av området mellom graen til, -aksen, -aksen og linja =. 8 8 Finn summen av arealene av rektanglene. b) Finn ( + ) d digitalt. Oppgave. Figuren viser graen til unksjonen () = Finn arealet av det argelagte området digitalt.. Bestemt integral og antiderivasjon Oppgave. Finn integralene ved regning. d b) d d Oppgave. Finn de bestemte integralene ved regning. ( ) d b) ( ) d ( + ) d d) ( ) d Oppgave. Finn de bestemte integralene ved regning. ( 9 ) d b) d d d) e d.7 Integrasjon og areal Oppgave.7 Tegn graen til () = +, D = R b) Finn arealet av det området som er avgrenset av graen, ørsteaksen, andreaksen og linja =, ved å utntte ormelen or arealet av et trapes. Finn arealet av området i oppgave b ved integralregning. Oppgave.7 Tegn graen til () = +, D = R b) Finn ved regning arealet av det området som er avgrenset av graen til og ørsteaksen. 9
Oppgave.7 Tegn graen til () = e, D = R b) Finn en eksakt verdi or arealet av området avgrenset av graen til, ørsteaksen og linjene = og =. Oppgave.7 Figuren viser graen til unksjonen g() = g Finn arealet av det området som er avgrenset av graen til og -aksen, ved regning. Oppgave.7 Figuren viser graene til unksjonene () = + g() = g Finn arealet av det argelagte området. cosinus R > Integralregning Oppgave.7 Figuren viser graene til unksjonene () = + og g() = 9 8 7 Finn arealet av det argelagte området. Oppgave.7 Bruk digitalt hjelpemiddel og tegn i det samme koordinatsstemet graene til () = + og g() = b) Finn arealet av det området som er avgrenset av graene til og g. Oppgave.77 Finn arealet av det området som er avgrenset av graene til og g når () = g() = + g g
.8 Integral og samlet resultat Oppgave.8 Iølge Norsk Tipping tippet vi or 9, milliarder kroner i år. år seinere var omsetningen () i milliarder kroner () = 9,,97, Hvor stor var omsetningen i? b) Hvor mange prosent gikk omsetningen ned hvert år i perioden ra og med til og med? Regn ut digitalt () d Hva er dette svaret en tilnærmingsverdi or? Oppgave.8 Det totale oljeorbruket i verden var i på, milliarder tonn. år seinere var orbruket i milliarder tonn per år tilnærmet gitt ved () =, +,8 +,, 7 Finn en tilnærmingsverdi or oljeorbruket i verden i år 7. b) Regn ut det bestemte integralet 7 () d Hva er dette svaret en tilnærmingsverdi or? Oppgave.8 Et irma setter i gang en større reklamekampanje or en n kaemaskin. Salgssjeen regner med at tallet på solgte enheter per uke etter uker er S() = e,, [, ] Hvor stort er salget per uke etter 8 uker? b) Regn ut digitalt S() d Hva er dette svaret en tilnærmingsverdi or? Hvor mange kaemaskiner blir det etter dette solgt i gjennomsnitt per uke det ørste året?.9 Integrasjon og volum Oppgave.9 Figuren viser graen til unksjonen () =, 7 8 Vi dreier det argelagte latestkket om -aksen. Hva slags romigur år vi? b) Romiguren er en omdreiningsgjenstand. Finn volumet av denne gjenstanden ved integrasjon. Kontroller svaret i oppgave b uten bruk av integrasjon.
Oppgave.9 Nedenor ser vi graen til unksjonen 8 7 () =, 7 8 Vi dreier det argelagte latestkket om -aksen. Hva slags romigur år vi? b) Romiguren er en omdreiningsgjenstand. Finn volumet av denne gjenstanden ved integrasjon. Kontroller svaret i oppgave b uten bruk av integrasjon. Oppgave.9 Vi har tegnet graen til unksjonen 8 7 () = +, Finn arealet av det argelagte området. b) Finn volumet av den omdreiningsgjenstanden vi år når vi dreier den argelagte laten om -aksen. KATEGORI. Antiderivert Oppgave. En motorskkel passerer et målepunkt på en rett veistrekning ved tidspunktet t =. Skkelen har da arten m/s. Etter t sekunder har den akselerasjonen a(t) =,t +,, t [, 8] målt i m/s. Finn arten etter 8 s. b) Finn avstanden ra målepunktet etter 8 s. Oppgave. En bil bremser opp oran et lskrss. Graen viser hvordan arten avtar ra bilen begnner å bremse til den stopper. m/s 8 8 8 Finn akselerasjonen til bilen. b) Finn bremselengden. t s cosinus R > Integralregning
Oppgave. Finn de antideriverte til unksjonen. () = + b) () =, +,9 +, + () = ( ) Oppgave. Funksjonen er gitt ved () = + Finn en antiderivert F som er slik at F() =.. Ubestemt integral Oppgave. Finn de ubestemte integralene. ( + ) d b) ( + ) d ( + ) d d) ( )( + ) d Oppgave. Finn integralene. d b) ( ) d _ d d) d Oppgave. Figuren nedenor viser graen til den deriverte til unksjonen. Finn () når graen til går gjennom punktet (, ).. Integralet d Oppgave. Finn de ubestemte integralene. d ( + ) d b) + Oppgave. Finn de ubestemte integralene. d b) ( + + ) d Oppgave. Deriver uttrkket ln ( + ) b) Finn det ubestemte integralet + d. Integrasjon av eksponentialunksjoner Oppgave. Finn de ubestemte integralene. e d b) (e ) d e d d) e e Oppgave. Finn de ubestemte integralene. d b) e d Oppgave. Deriver uttrkket e e + b) Finn det ubestemte integralet. e (e + ) d d
. Bestemt integral som grense or en sum Oppgave. Tegn graen til unksjonen gitt ved () = b) Bruk rektangler og inn en tilnærmings verdi or det bestemte integralet ( ) d Finn integralet i oppgave b digitalt. Oppgave. Tegn graen til unksjonen gitt ved () = b) Finn en tilnærmingsverdi or arealet av det området som er avgrenset av graen til og -aksen, ved å bruke rektangler. Finn arealet av området i oppgave b digitalt. Oppgave. Vi har tegnet graen til unksjonen gitt ved () = e,, Finn en tilnærmingsverdi or arealet av det argelagte området. Bruk rektangler. b) Bruk digitalt hjelpemiddel og inn arealet av det argelagte området. cosinus R > Integralregning. Bestemt integral og antiderivasjon Oppgave. Figuren viser graen til en unksjon F som er en antiderivert til unksjonen. Finn () d. Oppgave. Finn de bestemte integralene. ( ) d b) d ( ) d d) _ d Oppgave. Finn de bestemte integralene. ln d b) e d Oppgave. Finn de bestemte integralene. + d b) + d d F d) d
.7 Integrasjon og areal Oppgave.7 Finn arealet avgrenset av ørsteaksen og graen til når () = + b) () = + () = 9 d) () = Oppgave.7 En unksjon er gitt ved () = Finn arealet av området mellom -aksen og graen til. Oppgave.7 En unksjon er gitt ved () = + Finn arealet av området mellom -aksen og graen til. Oppgave.7 En unksjon er gitt ved () = e e Finn arealet av området som er avgrenset av den positive -aksen, -aksen og graen til. Oppgave.7 Tegn graene til unksjonene og g i det samme koordinatsstemet der () = ( + + ) g() = Finn arealet av det området som er avgrenset av graene til og g. Oppgave.7 Tegn graene til unksjonene og g i det samme koordinatsstemet der () = + g() = Finn arealet av det området som er avgrenset av graene til og g..8 Integral og samlet resultat Oppgave.8 Elisabeth år kr i ukepenger. De neste to årene har hun en avtale med aren sin om at ukelønna skal økes med % hver uke. Finn ved integrasjon omtrent hvor me Elisabeth i alt år i ukepenger på disse to årene. Oppgave.7 Tegn graen til () =, b) Løs likningen (t t) dt = Bruk resultatet i oppgave b og skraver to områder som har samme areal.
Oppgave.8 I det kommende året har Petter som mål å gå ned % av sin egen vekt målt ved begnnelsen av hver måned. I måned nummer vil han da gå ned V() kg, der V() = _ 9,98 Hvor me veier Petter ør han begnner på denne slankingen? b) Finn ved integrasjon hvor mange kilogram Petter vil ta av i løpet av året. Oppgave.8 En bedrit har startet salget av en n vare. Etter t måneder regner bedriten med å selge (t) enheter av varen, der (t) = e,t 7e,t +, t [, 9] Finn salget av varen i den. måneden. b) Tegn graen til digitalt. Finn ved regning en tilnærmet verdi or det ventede totalsalget de nærmeste seks årene. Oppgave.8 En pasient er avhengig av medisin hver dag. Vi regner med at prisen på medisinen øker med,7 % per måned i årene som kommer. Pasienten betaler nå 9 kr per måned or medisinen. En modell or månedsutgitene () kroner til medisinen om måneder er () = 9,7 Da orutsetter vi at medisinorbruket hele tida er det samme som i dag. Bruk integrasjon til å inne en tilnærmet verdi or pasientens medisinutgiter de nærmeste tre årene. b) Finn en tilnærmet verdi or pasientens utgiter til medisin de nærmeste tre årene dersom medisinorbruket går ned med % per måned. cosinus R > Integralregning.9 Integrasjon og volum Oppgave.9 I et koordinatsstem med enheten meter på begge aksene har vi plassert den vertikale snittlaten av en tunnel. Snittlaten er avgrenset av -aksen og graen til unksjonen gitt ved () = + Tunnelen er helt rett og m lang. m m Finn arealet av snittlaten. b) Finn volumet av tunnelen. Oppgave.9 Funksjonen er gitt ved () = e, Tegn graen til. b) Det området som er avgrenset av -aksen, graen til og linja =, skal dreies om -aksen. Finn volumet av den omdreiningsgjenstanden vi da år. Oppgave.9 Funksjonen g er gitt ved g() =, D g = [, ] Finn volumet av den omdreiningsgjenstanden vi år når vi dreier det latestkket som er avgrenset av graen til g og -aksen, om -aksen.
Oppgave.9 Finn volumet av den omdreiningsgjenstanden vi år når det latestkket som er avgrenset av graen til unksjonen () = + og -aksen, dreies om -aksen. b) ) Deriver unksjonen g() = ln ) Finn volumet av den omdreiningsgjenstanden vi år når det latestkket som er avgrenset av linja =, -aksen og graen til unksjonen () = _ ln, D = [, e] dreies om -aksen. Oppgave.9 Vi har tegnet graen til en lineær unksjon. På iguren er lengden AB = h, lengden AD = r og lengden BC = R. BLANDEDE OPPGAVER Oppgave. Vi skal regne ut volumet av en gjenstand, og tenker oss en koordinatakse plassert sammen med gjenstanden slik at endelatene på gjenstanden ligger normalt på koordinataksen i = og =. Hvis vi lager et snitt gjennom gjenstanden normalt på koordinataksen i punktet med koordinaten, år vi ram en late med arealet A() =, [, ] Finn volumet av gjenstanden. Oppgave. Temperaturstigningen Tʹ(t) i en ovn er Tʹ(t) = t, t [, ] der temperaturen T(t) er gitt i celsiusgrader og tida t i minutter. Ved t = er temperaturen i ovnen C. Hvor lang tid tar det ør ovnen når C? b) Tegn graen til T. C D A r Vis at h B R () = R r + r h b) Når vi dreier det området som er avgrenset av koordinataksene, graen til og linja = R, om -aksen, år vi ei rettavkortet kjegle. Bruk integrasjon til å vise at denne rettavkortede kjegla har volumet V = h(r + Rr + r ) Oppgave. Finn de bestemte integralene. ( + ) d b) d e e d d) ( + ) d 7
8 Oppgave. Funksjonen er gitt ved () = e Tegn graen til digitalt. b) Finn en tilnærmet verdi or nullpunktene til. Finn en tilnærmet verdi or arealet av det området som ligger under -aksen, og som bare er avgrenset av -aksen og graen til. Oppgave. En bil har arten km/h. Etter t sekunder er arten v(t) målt i m/s v(t) =,t +,t +, t [, ] Uttrkk arten km/h i enheten m/s. b) Finn arten etter s uttrkt i km/h. Tegn graen til v i et koordinatsstem. d) Hvor langt har bilen kjørt på disse sekundene? Oppgave. I en kommune har de unnet ut at tallet på skattetere, A(), med en skattepliktig inntekt på tusen kroner er gitt ved A() = 9, [, ] Her er or eksempel A() tallet på skatte tere med inntekt mellom kr og kr. Finn ut hvor mange skattetere det er i kommunen som har inntekt mellom og kr. b) Tegn graen til A. Finn hvor mange skattetere det er som har mellom kr og kr i skattepliktig inntekt. d) Finn ut hvor mange skattetere det er som har inntekt mellom og kr. cosinus R > Integralregning Oppgave. En unksjon er gitt ved () =, Tegn graen til. b) Finn en eksakt verdi or arealet av området avgrenset av graen til, -aksen og linja = e. Oppgave.7 To gutter kjører en gammel bil der speedometeret virker, men ikke kilometertelleren. De ønsker å inne lengden av en bestemt strekning med dårlig grusvei. De bruker minutter på veistrekningen, og underveis leser de av arten på speedometeret med sekunders mellomrom. Tabellen nedenor viser de avleste verdiene. Anslå lengden av veistrekningen. Tid (s) Fart (km/h) 8 8 7 7 8 8 9 7 9
Oppgave.8 Hvor mange egg ei høne kan legge, er blant annet avhengig av hvor gammel høna er. Den øverste kurven på iguren nedenor viser sannsnligheten or at høna verper en dag (verpeprosenten), som unksjon av alderen. Fra uke 8 til uke 7 er kurven tilnærmet lineær. Legg et koordinatsstem slik at t er antall dager etter uke 8, t [, 8]. Finn unksjonsuttrkket E(t) or den rette linja som går gjennom punktene (,,9) og (8,,7). b) En bonde har høner. Forklar at 8 E(t) dt gir tallet på egg han kan regne med at disse hønene til sammen legger ra de er 8 uker til de er 7 uker gamle. Regn ut antallet egg vi kan vente at hønene legger i denne perioden. Oppgave.9 Salget av en vare i en orretning varierer med årstida. Et år var salget S() per måned etter måneder gitt ved S() = + +, [, ] Finn en tilnærmingsverdi or det totale salget dette året. Oppgave. Figuren viser graen til unksjonen () = På iguren har vi skravert to områder. Finn k slik at områdene år samme areal. 8 7 k 9
Oppgave. Finn arealet av de latestkkene som er avgrenset av graene til unksjonene () = og g() = + Oppgave. Funksjonen deinert ved () = e har ingen enkel antiderivert. For -verdier nær null kan vi bruke tilnærmingen () () + ʹ() + ʺ(). Vis at g() = er en tilnærming til nær =. b) Tegn graene til og g i samme koordinatsstem. Bentt tilnærmingen i oppgave a og inn en tilnærmet verdi or, e d, d) Finn også integralet digitalt. Oppgave. En unksjon er slik at ʺ() = a + b Graen til har et vendepunkt i (, ). Finn b uttrkt ved a. b) Graen til har et stasjonært punkt or =. Vis at også har et stasjonært punkt or =. Stigningstallet til vendetangenten er. Finn a og vis at ʹ() = + d) Finn unksjonsuttrkket til. Oppgave. Figuren viser graen til den deriverte av unksjonen () = a + b + c + d Bruk graen og inn vendepunktet til. b) Finn () når graen til går gjennom origo. Oppgave. Kratleverandøren Energispar hadde et år en varierende pris på elektrisk energi. måneder etter nttår var prisen P() i øre per kilowattime gitt ved P() = e,,8 +, [, ] Vis at prisen midt i ebruar var 9 øre per kilowattime. b) Hva var prisen per kilowattime i slutten av oktober? Tegn graen til P. d) Finn Pʹ(). e) Finn ved regning når prisen var lavest. Hva var prisen per kilowattime da? ) Harald har en rseboks som står på hele tida og bruker kwh per måned. Finn ved regning hvor me Harald må betale or å ha denne rseboksen stående på hele året. cosinus R > Integralregning
Oppgave. Petter eier et jordstkke. I et koordinatsstem med meter som enhet på aksene, vil dette jordstkket være det området som er avgrenset av graene til unksjonene og g der () = ( + ), [, ] g() = ( 9 + 8), [, ] Tegn graene til og g i det samme koordinatsstemet. b) Petter vil dele området i to. Han bestemmer seg or å dele området med ei linje vinkelrett på -aksen. Forklar at lengden d() av delelinja da er gitt ved d() = g() (), [, ] Finn den -verdien som gjør delelinja lengst. Hvor lang er delelinja da? d) Finn arealet av hele området ved regning. e) Petter drker jordbær på den ene halvdelen av området. Han selger jordbærene ved selvplukk i en periode på dager om sommeren. Inntekten I() i kroner per dag er etter dager I() =, + + Finn ved regning den totale inntekten av jordbærsalget i perioden. Oppgave.7 Vis at er en antiderivert til g når () = e e og g() = e b) () = ln og g() = ( ) Oppgave.8 Vis ved å bruke derivasjonsreglene ra R at ln d = ln + C b) e d = e e + C Oppgave.9 Et seil har en orm som er avgrenset av graene til tre unksjoner i. kvadrant: () = ln ( + ) g() = e h() = + Bruk digitalt hjelpemiddel og regn ut arealet av et slikt seil når enhetene langs aksene er meter.
FASIT 8. ) 8 m/s ) m/s m. F() = + + C b) F() = + + C F() = + + C d) F() = + + C. + C b) + + C + C. + + + + C b) + C + + C. + C b) + C. () = + +. g() = + +. 79, km/h b) ) s(t) =,t + t + C ) m. ln + C b) ln + C ln t + C d) ln + C. + ln + C b) ln + C ln s + s + C. F() = e + C b) F() = e + C F() = e + C d) F() = e, + C. e + C b) e e + C. ln + e + C b) e + + C. 8,7 + C b),88 + C. b). 8 b) 7.. b) 9 8. b) d). b) ln 8 d) e.7 b).7 b).7 b) e e.7 8.7 9.7.7 b).77 9.8 7,7 milliarder b) %, milliarder Den totale tippe omsetningen i perioden.8,9 milliarder tonn b), milliarder tonn Det totale oljeorbruket i perioden 7.8 89 solgte enheter per uke b) 8 97 Tallet på solgte kae maskiner det ørste året 7.9 Slinder b).9 Kjegle b) _ _.9 b) _ 7.,9 m/s b) 9 m. m/s b) m. F() = + + C b) F() =, +, +, + + C F() = ( ) + C. F() = + 8
. + + C b) + + + C + + + C d) 9 + C. + C b) + C + C d) + C. () =. + ln + C b) + ln + C. ln + C b) ln + C. + b) ln ( + ) + C. e + C b) e e + + C e + C d) + e + C. ln + C b) e ln e + C. e _ (e + ) b) e e + + C. b),77., b),8.,88 b),77.. b) 8 8 d) ( ). _ ln b). + ln b) _ ln d) _ 7 ln 8.7 _ b) 9 d) 8.7.7 7.7 9.7 b) = eller =.7 9.7 9.8 9 kr.8 kg b),7 kg.8 enheter b) 97 enheter.8 8 kr b) 78 kr.9 8 m b) m.9 b) ( e e + 7 ),.9 7.9 b) (e ). _. min. + b) e + (ee + ) d) 8. b),8 og,,9. m/s b) 9, km/h d) 97 m. 78 b). b) ln + e.8 E(t) =,7t +,9 b) ca. 7 egg.9 77. k =,.,8.,99 d),99. b = a a = d) () = +. = b) () = + 9
. P(,) = 9 øre (8,87) Prisen var 9 øre. b) P() = øre Prisen var øre. d) Pʹ() =,e,,8 e) I slutten av juni, øre ) kr. = m, m d) 7 m e) 7 kr (ved integrasjon).9 ca., m. Positiv.. Mot øst. sin ( ),87 cos ( ) =, sin,7 cos,7 sin =, cos,87. sin = cos =, sin = cos =,87. tan = b) tan 9 eksisterer ikke. tan = d) tan 8 =. 8, eller, b) 7,7 eller 89,, eller, d) 9, eller,. 8, eller 8, b) eller,7 eller, d) eller. v = eller v = 8 b) v = 9 eller v = 7.. AB = a, AC = a b). AB = a, BC = a. BC = a, AC = a. b) d) _ e). b) 9 d) ).,7 b),,., b),87, d),7. 7, b), 7,9 d) 9,. cos =, sin =, tan = b) cos =, sin =, tan eksisterer ikke. sin =, cos =, tan = d) sin =, cos =, tan =. = eller = b) =, eller =, =, eller =,8 d) =, eller =,87. =, eller =,89 b) =, eller =, =,9 eller =, d) =, eller =,. =, eller =,9 b) =,9 eller =, =, eller =,9 d) = eller = _.7 = b) =.7 = b) = eller = eller = eller = eller =.7 =, =, = og = _.8 b) cos v = _ 7 9.8 b) sin v = tan v =.8 cos = b) tan =. u =, v = og w = b) u =, v = og w = 9. b). b), og 8, og. d) u =, eller 9, v =,9 eller,. b) ) ),7 ),