INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS

INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS Simon Foldvik 29. Oktober 2017 1. Introduksjon Vi skal i dette dokumentet bevise en global og en lokal versjon av inverst unksjonsteorem i én variabel. Kort oppsummert handler disse teoremene om inversunksjoner og hvordan de arver egenskaper ra de opprinnelige unksjonene, deriblant monotonisitet og deriverbarhet. Vi skal også studere hvordan, i disse tilellene, de deriverte til inversunksjonene kan uttrykkes ved de deriverte til de opprinnelige unksjonene. Med inverst unksjonsteorem som verktøy skal vi deinere og studere egenskaper ved elementærunksjonene. 1 Spesielt skal vi se hvordan potensog eksponentialunksjoner, logaritmiske og trigonometriske unksjoner remkommer, blant annet, som inversunksjoner av kjente unksjoner og deretter studere noen av deres egenskaper. Poenget her er ikke å vise egenskaper vi «allerede vet» om disse unksjonene på en mer komplisert måte; poenget er heller å gi en tilredsstillende teoretisk redegjørelse or hvordan disse unksjonene kan deineres, og hvoror de har de egenskapene de har. Dette gjøres tradisjonelt ved hjelp av rekkeutvikling, men vi skal av pedagogiske årsaker ikke benytte denne remgangsmåten. Innhold 1. Introduksjon 1 2. Inverst Funksjonsteorem 1 2.1. Terminologi 1 2.2. Global Formulering 4 2.3. Lokal Formulering 8 Reeranser 9 2. Inverst Funksjonsteorem 2.1. Terminologi. I denne seksjonen skal vi utvikle den nødvendige terminologien or å kunne ormulere og bevise de versjonene av inverst unksjonsteorem som er annonsert i innledningen. 1 Materialet om elementærunksjoner vil ikke bli behandlet i dette dokumentet, som kun inngår som pedagogisk supplement i emnet MAT1100 ved Universitetet i Oslo. 1

INVERST FUNKSJONSTEOREM 2 2.1.1. Komposisjon. Vi minner om at dersom X, Y og Z er mengder og g : X Y og : Y Z er unksjoner, så er g : X Z (komposisjonen av med g; uttales «ring g») unksjonen deinert ved ( g)(x) = ( g(x) ) (x X). Følgende diagram illustrerer situasjonen: X g Z g Y Oppgave 2.1.1. Vis at komposisjon er assosiativt; det vil si at ( g) h = (g h) or alle unksjoner, g og h slik at komposisjonene over gir mening. 2.1.2. Injeksjoner og Bijeksjoner. La X og Y være to mengder. En unksjon : X Y kalles en injeksjon, eller sies å være injektiv, dersom det or hver y Y innes på det meste ett punkt x X slik at (x) = y. Med andre ord, er injektiv dersom det or alle u X og v X er slik at (u) = (v) medører u = v. Eksempel 2.1.1. La : (0, ) R være unksjonen deinert ved (x) = x 2 or x > 0. Dersom 0 < u < v, er (u) = u 2 < v 2 = (v), slik at (u) < (v). Dette viser at er strengt voksende, og dermed at den er injektiv. Deinisjon 2.1.2 (Bijeksjon). La X og Y være to mengder, og anta at : X Y er en unksjon. Man sier at er en bijeksjon, eller sies å være bijektiv, dersom det or alle y Y innes nøyaktig ett punkt x X slik at (x) = y. Bemerkning. Funksjonen ra Eksempel 2.1.1 er injektiv men ikke bijektiv. Dette har med å gjøre at det innes punkter i R som ikke oppnås som noen unksjonsverdi av. I begrepet injektiv ligger det at «orskjellige punkter sendes til orskjellige punkter», men or at : X Y skal være en injeksjon, stilles det ikke noe krav om at det or alle y Y aktisk skal eksistere et punkt x X slik at (x) = y; det er dette som skiller injeksjoner ra bijeksjoner. Til tross or at injektive unksjoner ikke nødvendigvis er bijektive, innes det en naturlig måte å danne en bijeksjon ra en injeksjon. La oss igjen betrakte en unksjon : X Y ; vi betegner dens verdimengde med (X) = { (x): x X }. Dersom er injektiv og vi deinerer unksjonen g : X (X) ved g(x) = (x) (x X),

INVERST FUNKSJONSTEOREM 3 er g en bijeksjon som «opererer» på samme måte som. Vi kan med andre ord danne en bijeksjon ra en injeksjon ved å begrense kodomenet, og vi vil gjøre dette videre i dokumentet uten ytterlige kommentarer. 2.1.3. Inversunksjoner. Anta at : X Y er en bijeksjon. Da kan man deinere en unksjon g : Y X på ølgende måte: dersom y Y, la x være det entydige punktet i X slik at (x) = y (et slikt punkt x eksisterer og er entydig ettersom er bijektiv), og sett g(y) = x. Vi har ølgende likheter or alle x X og alle y Y : (1) g ( (x) ) = x og ( g(y) ) = y. Dersom vi innører unksjonene id X : X X og id Y : Y Y ved id X (x) = x og id Y (y) = y, or alle x X og alle y Y, kan likhetene i (1) uttrykkes ved g = id X og g = id Y. Av åpenbare grunner kaller man g inversunksjonen til, og man betegner den med g = 1. Følgende diagram illustrerer samspillet mellom og dens invers: X Y id X g id Y X Y Bemerkning. Det er de bijektive unksjonene som har inversunksjoner. Til tross or dette skal vi også tillate oss å snakke om inversunksjoner av injektive unksjoner. For anta at F : X Y er en injeksjon, og la : X F (X) være bijeksjonen indusert av F ved å begrense dens kodomene, slik som i siste avsnitt av Seksjon 2.1.2. Da har en inversunksjon 1 : F (X) X, og vi skal omtale denne som inversunksjonen til F og betegne den med F 1. Oppgave 2.1.2. Anta at X og Y er to mengder og at : X Y er en unksjon. Vis at er en bijeksjon hvis og bare hvis det innes en unksjon g : Y X slik at (2) g = id X og g = id Y. Vis videre at dersom h: Y X og k : Y X er to unksjoner som tilredsstiller (2) (erstatt g), så er h = k. Med andre ord, eksistensen av en unksjon g som tilredsstiller (2) karakteriserer bijektive unksjoner ullstendig, og disse relasjonene karakteriserer også 1. Oppgave 2.1.3. Anta at X og Y er mengder og at : X Y er en bijeksjon. Vis at da er også 1 : Y X en bijeksjon, og ( 1 ) 1 =. Hint. Bruk Oppgave 2.1.2. Oppgave 2.1.4. Anta at X, Y og Z er mengder og at g : X Y og : Y Z er bijeksjoner. Vis at da er også g : X Z en bijeksjon, og Tolk dette ut ira ølgende diagram: ( g) 1 = g 1 1.

INVERST FUNKSJONSTEOREM 4 g X Y Z id X id Y id Z X Y Z g 1 2.1.4. Dieomorier. Vi vil være spesielt interesserte i unksjoner som innehar en viss grad av «glatthet». Mer presist vil vi i hovedsak være interesserte i unksjoner som har kontinuerlige deriverte av ørste orden. Med mindre noe annet er påpekt, vil vi i resten av dokumentet la I betegne et åpent og ikke-tomt intervall i R. Vi tillater også at intervallet I er ubegrenset, or eksempel ved at det er lik R selv. Deinisjon 2.1.3 (Kontinuerlig Deriverbar Funksjon). Anta at I R er et åpent intervall og at : I R er en unksjon deinert på I. Vi sier at er kontinuerlig deriverbar dersom er deriverbar og er en kontinuerlig unksjon på I. Vi betegner mengden av alle kontinuerlig deriverbare unksjoner på I med C 1 (I). Dersom C 1 (I), er ikke bare deriverbar, men den deriverte varierer jevnt (kontinuerlig) på I. I Seksjon 2.2 skal vi inne betingelser på C 1 (I) som sikrer at den er injektiv, at dens verdimengde (I) er et åpent intervall, og videre at 1 C 1( (I) ). En slik unksjon kalles en dieomori. Deinisjon 2.1.4 (Dieomori). La I være et åpent intervall og anta at : I R er en unksjon. Vi sier at er en dieomori av klasse C 1 dersom den er injektiv, dersom (I) er et åpent intervall, og dersom C 1 (I) og 1 C 1( (I) ). 2 Med andre ord, en dieomori av klasse C 1 på I er en kontinuerlig deriverbar injeksjon hvis verdimengde er et åpent intervall og som har en kontinuerlig deriverbar inversunksjon. 1 Oppgave 2.1.5. La I = R og deinér unksjonen : I R ved { x 2 sin(1/x 2 ), hvis x 0 (x) = (x R). 0, hvis x = 0 Vis at er deriverbar på I, men at ikke er kontinuerlig i punktet 0. Denne oppgaven viser at det innes deriverbare unksjoner på I som ikke er kontinuerlig deriverbare. Hint. Vis at (0) = 0, og betrakt ølgen (x n) n=1 gitt ved x n = 1/ 2πn or n 1. Vis at lim (x n) =, n og bruk dette til å orklare hvoror ikke er kontinuerlig i punktet 0. 2.2. Global Formulering. Vi har nå utviklet den nødvendige terminologien or å ormulere den globale versjonen av inverst unksjonsteorem, men vi skal ørst ormulere og bevise noen hjelperesultater. Ikke bare er disse resultatene interessante i seg selv, men de vil også vise seg nyttige or å bevise hovedteoremet i denne seksjonen. 2 Strengt talt krever man bare at I og (I) skal være åpne mengder, men vi skal av pedagogiske årsaker kun benytte begrepet i denne mer restriktive orstanden.

INVERST FUNKSJONSTEOREM 5 2.2.1. Hjelperesultater. Vi skal ørst karakterisere verdimengden til visse type unksjoner, og deretter skal vi se hvordan visse bijeksjoner har kontinuerlige inversunksjoner. Inverst unksjonsteorem vil gi betingelser på en unksjon tilstrekkelige or å garantere at den har en kontinuerlig deriverbar inversunksjon. Proposisjon 2.2.1. Anta at I er et åpent intervall og at : I R er en kontinuerlig og strengt monoton unksjon. Da er verdimengden (I) det åpne intervallet gitt ved (I) = (m, M), hvor m = in (I) og M = sup (I). 3 Bevis. Vi skal bevise resultatet i det tilellet hvor er strengt voksende. Resultatet or tilellet hvor er strengt avtagende overlates til leseren. Anta at er strengt voksende. Det holder å vise at vi har ølgende to inklusjoner: (I) (m, M) og (I) (m, M). (1) Anta ørst at y (I), og velg x I slik at (x) = y. La deretter u I og v I være punkter slik at u < x < v (slike punkter eksisterer ettersom intervallet I er åpent). Ettersom er strengt voksende, ølger det at m (u) < (x) < (v) M, hvor ørste og siste ulikhet ølger ra m = in (I) og M = sup (I). Dette viser at y (m, M), da (x) = y. (2) Anta nå at y (m, M). Ettersom m er den største nedre skranken til (I) og m < y, kan ikke y være en nedre skranke or (I), og vi velger deror et punkt u I slik at (u) < y. Vi velger tilsvarende et punkt v I slik at y < (v). Da (u) < y < (v) og er strengt voksende, må u < v, slik at det lukkede og begrensede intervallet [u, v], hvorpå er kontinuerlig, er inneholdt i I. Det ølger ra skjæringssetningen at det innes et punkt x (u, v) slik at (x) = y, som viser at y (I). Bemerkning. En kritisk leser vil stille spørsmål ved vår kommentar om at in (I) = og sup (I) = dersom (I) ikke er henholdsvis nedad eller oppad begrenset: hva betyr det egentlig at noe er lik eller? Første måte å komme seg rundt dette spørsmålet på er ved å dele beviset ovenor inn i tileller avhengig av hvordan (I) er begrenset eller ikke. Man kan argumentere i tilelle or tilelle at (I) = (m, ) dersom (I) er nedad og ikke oppad begrenset, at (I) = (, M) dersom (I) er oppad og ikke nedad begrenset, at (I) = R dersom (I) hverken er nedad eller oppad begrenset, og så videre. Vi synes at en slik løsning er rotete, og den vil nødvendigvis øre til repetisjon av essensielt de samme argumentene i hvert tilelle. Den andre måten å komme seg rundt dette spørsmålet på er ved å konstruere og som objekter, or deretter å danne en utvidet tallinje [, ]. Deretter kan man utvide de vanlige operasjonene og strukturene 3 Vi setter in (I) = dersom (I) ikke er nedad begrenset, og, tilsvarende, sup (I) = dersom (I) ikke er oppad begrenset.

INVERST FUNKSJONSTEOREM 6 ra R til denne utvidede tallinjen. En slik remgangsmåte vil øre til en mer enhetlig og økonomisk behandling av emnet vi mener at det er i denne konteksten det er riktig å gjøre kalkulus men vi skal ikke ha anledning til å gå inn på detaljene her. Proposisjon 2.2.2. Anta at situasjonen er den samme som i Proposisjon 2.2.1, og la g : (I) I betegne inversunksjonen til. Da er g kontinuerlig og strengt monoton, og den har samme monotonisitet som. Bevis. Beviset or dette er akkurat som or [1, s. 369, Teorem 7.4.5]. Oppgave 2.2.1. La I = (a, b) være et åpent intervall, hvor a < b, og anta at unksjonen : I R er voksende. Vis at in (I) = lim (x) og sup (I) = lim (x), x a x b hvor vi tillater at disse størrelsene kan være lik eller. (Her betyr x a at x a med a < x, og x b betyr at x b med x < b.) Formuler og bevis et tilsvarende resultat or avtagende unksjoner. 2.2.2. Inverst Funksjonsteorem. Vi skal nå ormulere og bevise den globale versjonen av inverst unksjonsteorem. Teorem 2.2.3 (Global Inverst Funksjonsteorem). La I være et åpent intervall, og anta at : I R er en kontinuerlig deriverbar unksjon slik at ikke tar verdien null på I. Da gjelder ølgende: (1) Funksjonen bytter ikke ortegn på I, og er strengt monoton. (2) Verdimengden (I) er et åpent intervall. La g : (I) I være inversunksjonen til. Da er g kontinuerlig deriverbar, den har samme monotonisitet som, og or alle y (I) har man at det vil si g = 1/( g). g (y) = 1 ( g(y) ), Hovedpunktene i Teorem 2.2.3 er at dersom C 1 (I) er slik at ikke tar verdien null, så er en dieomori av klasse C 1, og dens inversunksjon g C 1( (I) ) tilredsstiller g = 1/( g). Legg merke til hvordan inversunksjonen «arver» egenskapene til. Vi skal bevise teoremet i lere steg. Lemma 2.2.4. Funksjonen bytter ikke ortegn på I. Bevis. Anta, or motsigelse, at bytter ortegn på I, og la a I og b I være punkter slik at (a) < 0 og (b) > 0. Anta uten tap av generalitet at a < b. Da er [a, b] et lukket og begrenset intervall som er inneholdt i I, og er kontinuerlig på [a, b]. Ved skjæringssetningen, anvendt på, innes det et punkt c (a, b) slik at (c) = 0, hvilket motstrider hypotesen om at ikke tar verdien null. Lemma 2.2.5. Funksjonen er strengt monoton, og verdimengden (I) er et åpent intervall.

INVERST FUNKSJONSTEOREM 7 Bevis. Ettersom ikke endrer ortegn, vil enten > 0 eller < 0 på hele I, og det ølger da på samme måte som i beviset or [1, s. 293, Korollar 6.2.5] at er strengt monoton. Per antagelse er deriverbar, og dermed kontinuerlig, og det ølger ra Proposisjon 2.2.1 at (I) er et åpent intervall. Vi har vist at er strengt monoton, slik at den må være en bijeksjon ra I til (I). Vi lar g : (I) I betegne dens inversunksjon. Det ølger ra Proposisjon 2.2.2 at g er en kontinuerlig unksjon på (I) med samme monotonisitet som, og det gjenstår å vise at den er kontinuerlig deriverbar. Lemma 2.2.6. Inversunksjonen g : (I) I til er kontinuerlig deriverbar og tilredsstiller (3) g 1 (y) = ( g(y) ) or alle y (I), det vil si g = 1/( g). Bevis. La y (I). Vi skal vise at g er deriverbar i y og at (3) holder. Iølge Oppgave 2.2.2 er det tilstrekkelig å vise at g(y n ) g(y) lim = n y n y 1 ( g(y) ) or alle ølger (y n ) n=0 i (I) som er slik at y n y og lim n y n = y. Anta at (y n ) n=0 er en slik ølge som beskrevet over, og la x = g(y) I og x n = g(y n ) I. Ettersom g er en bijeksjon og y n y, må x n = g(y n ) g(y) = x, slik at (x n ) n=0 er en ølge i I med x n x. Videre, ettersom g er kontinuerlig i punktet y og lim n y n = y, ølger det ra [1, s. 237, Setning 5.1.10] at lim x n = lim g(y n) = g(y) = x. n n Med andre ord, (x n ) n=0 er en ølge i I slik at x n x og lim n x n = x. Siden er deriverbar i punktet x, ølger det ra nok en anvendelse av Oppgave 2.2.2 at (x n ) (x) (4) lim = (x) 0. n x n x Ettersom x n x og er en bijeksjon, er (x n ) (x), og vi ser at g(y n ) g(y) lim = lim n y n y n x n x (x n ) (x) 1 = lim ( n (xn ) (x) ) /(x n x) = 1 (x) = 1 ( g(y) ), hvor nest siste likhet ølger ra (4) og [1, s. 207, Setning 4.3.3]. Dette viser at g er deriverbar i y og at (3) er oppylt. Vi har nå vist at g = 1/( g). Ettersom og g er kontinuerlige, ølger det ra [1, s. 235, Setning 5.1.6] at g er kontinuerlig på (I). Ettersom ikke tar verdien null, gjelder det samme or g, og det ølger ra [1, s.

INVERST FUNKSJONSTEOREM 8 234, Setning 5.1.4] at g = 1/( g) er kontinuerlig på (I), som viser at g C 1( (I) ). Oppgave 2.2.2. La I være et åpent intervall og : I R en unksjon. Anta at a I. Vis at grenseverdien lim x a (x) eksisterer og er lik α R hvis og bare hvis lim (a n) = α n or alle ølger (a n) n=0 av punkter i I som tilredsstiller a n a og lim n a n = a. Hint. Tilpass beviset or [1, s. 237, Setning 5.1.10] og se bemerkningen som ølger det. 2.3. Lokal Formulering. Hovedresultatet i orrige seksjon, Teorem 2.2.3, er av global natur. Med dette mener vi at det garanterer at den aktuelle unksjonen har en globalt deinert inversunksjon; det vil si at den er inverterbar på hele sitt deinisjonsområde. Selv om det i mange tileller ikke eksisterer globale inversunksjoner, kan man like vel, under visse betingelser, inne lokale inversunksjoner ved å innskrenke unksjonenes deinisjonsområde. 2.3.1. Restriksjon av Funksjoner. Anta at : Y Z er en unksjon mellom to mengder Y og Z, og la X Y være en delmengde av Y. Med restriksjonen av til X mener man unksjonen X : X Z deinert ved X (x) = (x) (x X). Med andre ord, restriksjonen X av til X er den unksjonen man år ved å restriktere sitt deinisjonsområde til X. La oss deinere en unksjon ι X Y : X Y ved ι X Y (x) = x (x X). Denne unksjonen kalles inklusjonsavbildningen av X inn i Y. Vi ser at ι X Y = id Y X. Følgende diagram illustrerer situasjonen: Y Z ι X Y X X Oppgave 2.3.1. Anta at Y og Z er to mengder og at : Y Z er en unksjon. La betegne den tomme mengden. Hvoror er Y, og hva er? Oppgave 2.3.2. Anta at A er en delmengde av R og at : A R er en kontinuerlig unksjon. Vis at dersom B A, så er unksjonen B også kontinuerlig. Denne oppgaven viser at restriksjon bevarer kontinuitet. Vi minner om at et omegn om et punkt a R er et åpent intervall som inneholder a. Oppgave 2.3.3. La a R, og betrakt en unksjon : R R. Vis at er kontinuerlig i punktet a hvis og bare hvis det or alle omegn I om a er slik at restriksjonen I av til I er kontinuerlig i punktet a. Denne oppgaven viser at kontinuitet er et lokalt enomen: kontinuiteten til i punktet a avhenger kun av hvordan ser ut i vilkårlig små omegn om a.

INVERST FUNKSJONSTEOREM 9 Oppgave 2.3.4. La situasjonen være den samme som i Oppgave 2.3.3, og la α R. Vis at er deriverbar i punktet a med (a) = α hvis og bare hvis det or alle omegn I om a er slik at restriksjonen I av til I er deriverbar i punktet a med ( I ) (a) = α. Denne oppgaven viser at deriverbarhet er et lokalt enomen: deriverbarheten til i punktet a avhenger kun av hvordan ser ut i vilkårlig små omegn om a. 2.3.2. Lokal Inverst Funksjonsteorem. Vi skal nå ormulere og bevise den lokale versjonen av inverst unksjonsteorem. Teorem 2.3.1 (Lokal Inverst Funksjonsteorem). Anta at A er en ikke-tom delmengde av R og at : A R er en unksjon. Anta videre at a A og at det innes et omegn om a hvorpå er kontinuerlig deriverbar og tilredsstiller (a) 0. Da innes det et åpent intervall J A som inneholder a slik at J er en dieomori av klasse C 1. Bemerkning. Dette teoremet sier at dersom er kontinuerlig deriverbar på et omegn om punktet a og (a) 0, så innes det et åpent intervall J som inneholder a slik at (J ) er et åpent intervall og : J (J ) er en kontinuerlig deriverbar bijeksjon med en kontinuerlig deriverbar inversunksjon J 1 : (J ) J. Med andre ord, under disse betingelsene har en lokalt J deinert inversunksjon i nærheten av a. Bevis. La I være et omegn om a hvorpå er kontinuerlig deriverbar. Ettersom er kontinuerlig på I og (a) 0, anvender vi Oppgave 2.3.5 til å inne et omegn J I om a slik at ikke tar verdien null på J. Resultatet ølger ved å anvende den globale versjonen av inverst unksjonsteorem, Teorem 2.2.3, på restriksjonen av til J. J Vi overlater det til leseren å undersøke hvordan Oppgave 2.3.3 og Oppgave 2.3.4 er brukt i beviset ovenor. Bemerkning. Det innes versjoner av inverst unksjonsteorem som ikke orutsetter like strenge krav om kontinuitet på de deriverte til de aktuelle unksjonene, men de versjonene vi har ormulert vil være tilstrekkelige or våre anvendelser, hvor disse kontinuitetskravene alltid vil være oppylt. Oppgave 2.3.5. Anta at I er et åpent intervall og at : I R er en unksjon. Vis at dersom a I og er kontinuerlig i punktet a med (a) 0, så innes det et omegn J om a slik at har samme ortegn som (a) på hele J. Denne oppgaven viser at dersom en kontinuerlig unksjon er orskjellig ra null i et gitt punkt, så innes det et helt omegn om dette punktet hvor unksjonen er orskjellig ra null. Hint. Anta ørst at (a) > 0, og la ɛ = (a)/2 > 0. Forklar hvoror det innes en δ > 0 slik at 0 < (a)/2 = (a) ɛ < (x) når x a < δ, og bruk dette til å bevise konklusjonen. Reeranser [1] Lindstrøm, Tom: Kalkulus, 4. utgave (2016), Universitetsorlaget.