Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b. Dette betegnes ofte med gcd(a,b). OBS! gcd(a,b) er alltid et positivt tall! Største felles divisor (gcd) ved hjelp av primtallsfaktorisering. Finn primtallsfaktoriseringen til a og b. Da vil gcd(a, b) være produktet av de primtallsfaktorene som går opp i både a og b. Hvis et primtall p forekommer m ganger i a og n gangere i b, så tas det med så mange ganger som det minste tallet av m og n, dvs. vi velger laveste potens av p. Eksempel 1 Eksempel 2 1
Eksempel 3 gcd ved hjelp av Euklids algoritme: Husk definisjonen av kvotient og rest: Hvis a og b er til hele tall med b > 0, så finnes entydige hele tall slik at a = q b + r, 0 r < b Setning. La b > 0. Da er gcd(a, b) = gcd( b, r). Bevis. For å vise at gcd(a, b) = gcd(b, r) må vi vise at c også er faktor i r. La gcd(a, b) = c være det største heltallet som går opp i både a og b. Det betyr at a = c x og b = c y. Vi har a = q b + r som er lik r = a - q b. Vi setter så inn c x for a og c y for b og får da: r = c x - q c y = c(x - q y). Vi ser at c er faktor i r, dvs. c går opp i r, og dermed er det bevist. 2
Eksempel på bruk av skjema for Euklids algoritme. gcd(42, 18) = 6. Euklids algoritme er basert på at gcd(a, b) = gcd(b, r). Med primtallsfaktorisering: 42 = 2 3 7, 18 = 2 3 3 gcd(42, 18) = 2 3 = 6 Et litt større eksempel: Med primtallsfaktorisering: 740 = 2 2 5 35, 420 = 2 2 3 5 7, gcd(740, 420) = 2 2 5 = 20 3
Tilsvarende java-metode: (NB! Her går vi ut av løkka når b = 0. Da har allerede b har blitt tilordnet r og a blitt tilordnet verdien til b og derfor returnerer vi a.) Relativt primiske tall To heltall a og b (der ikke begge er 0) kalles relativt primiske hvis gcd(a, b) = 1, dvs. de har ingen felles faktorer utenom 1. NB! a og b trenger ikke være primtall for at de skal være relativt primiske tall. Eksempel. a = 40 = 2 2 2 5 b = 21 = 3 7 Vi ser at a og b har ingen felles faktorer (utenom 1). Følgelig er gcd(40, 21) = 1 og tallene 40 og 21 er relativt primiske. 4
Parvis relativt primiske. Tre eller flere heltall kalles for parvis relativt primiske hvis to og to av dem er relativt primiske. Eksempel a = 21, b = 22, c = 25 gcd(21, 22) = 1, gcd(22, 25) = 1 og gcd(21, 25 ) = 1. Tallene 21, 22 og 25 er derfor parvis relativt primiske. Minste felles multiplum (least common multiple lcm) Minste felles multiplum for to positive heltall er det minste positive heltallet som begge tallene går opp i: a lcm(a, b) og b lcm(a, b) (Både a og b må være faktor i lcm(a, b) og følgelig må alle faktorene i begge tallene inngå i lcm(a, b).) Eksempel 1 La a = 12 og b = 15. Vi primtallsfaktoriserer begge tallene: a = 2 2 3 b = 3 5 Det minste tallet som både a og b går opp i blir da lcm(a, b) = 2 2 3 5 = 60. Vi ser at både a og b er faktorer i 60 (2 2 3 5 og 2 2 3 5) 5
(Dette tilsvarer det å finne fellesnevneren i brøkregning når vi skal summere brøker med ulike nevnere.) Eksempel 2 La a = 2 3 2 5 og b = 3 5 7 Da blir minste felles multiplum lcm(a, b) = 2 3 2 5 7 Formel gcd(a,b) og lcm(a,b): Hvis gcd(a, b) er største felles divisor for a og b og lcm(a, b) er minste felles multiplum for a og b, så er a b = gcd(a, b) lcm(a, b) der a > 0, b > 0 Eksempel 3 12 15 = 180 gcd(12, 15) lcm(12, 15) = 3 60 = 180 Kongruensligninger Se notat om kongruens og modulo-regning La a, b og m være hele tall der m > 0. Da har vi følgende generelle kongruensligning: a x b(mod m) Vi skal finne en x der 0 x < m slik at kongruensen er sann. 6
Eksempel La a = 3, b = 5 og m = 7. Løs ligningen 3x 5(mod 7) Vi må finner verdier til x som går utsagnet over sant. Vi kan bruke «prøving og feiling» for å finne x: Vi ser at x = 4 er en løsningen av 3x 5(mod 7) fordi 7 (12-5) Kongruensligningen har flere løsninger. Tallene som er kongruente med 5(mod 7) må tilhøre den aritmetiske tallfølgen med 7 som differanse:, -2, 5, 7, 12, 19, 26, 33,. Hvis 3 går opp i et tall i følgen, dvs. tallet kan skrives som 3 x, vil x være en løsning på kongruensligningen: 3 x = 12, gir x = 4 12 5(mod 7) fordi 7 (12-5) 3 x = 33, gir x = 11 33 5(mod 7) fordi 7 (33-5) Kontrollsiffer anvendelse av kongruensregning Kontrollsiffer brukes for å unngå at tallkoder som brukes til å identifikasjon skrives feil. Eksempler på dette er blant annet fødselsnummer (11 siffer) 7
kontonummer (11 siffer) KID-nummer for regninger ISBN-nummer for bøker (10 eller 13 siffer). I oblig 2 tas ISBN-13 opp. Nå skal vi se på et tilsvarende eksempel med ISBN-10. Bokforlaget bestemmer de 9 første sifrene. Det tiende siffer er et kontrollsiffer som er beregnet på grunnlag av de 9 første sifrene ved hjelp av en formel. La de 9 første sifrene være s 1, s 2, s 3,.., s 9. Det tiende sifferet, s 10, bestemmes på følgende måte: 9 s 10 = ( i=1 i s i )mod 11 = (1 s 1 + 2 s 2 + 3 s 3 +. + 8 s 8 + 9 s 9 )mod 11 Når vi brukes mod 11, kan resten bli et tall i intervallet fra og med 0 til og med 10. Hvis resten blir 10 brukes vi isteden bokstaven X som er romertall 10, slik at 10 blir representert med bare et «siffer». Eksempel Forrige utgave av vår lærebok i Diskret matematikk hadde følgende ISBN-kode: 007-124474-3 Det siste sifferet er et kontrollsiffer. Vi skal nå undersøke om 3 er riktig: 9 s 10 = ( i=1 i s i ) mod 11 = (1 0 + 2 0 + 3 7 + 4 1 + 5 2 + 6 4 + 7 4 + 8 7 + 9 4) mod 11 = (21 + 4 + 10 + 24 + 28 + 56 + 36) mod 11 = 179 mod 11 = 3 Vi ser at siste siffer i ISBN-nummeret er 3 og det stemmer med utregningen vår. 8