side 1 Detaljert eksempel om Addisjon og subtraksjon av brøker finne fellesnevner Dette er et forslag til undervisningsopplegg der elevene skal finne fellesnevner ved hjelp av addisjon og subtraksjon av brøker. Undervisningsopplegget tar utgangspunkt i ekte brøker med en- og tosifrede nevnere, og er lagt til 7. årstrinn. Elevene skal ikke nødvendigvis lære å primtallsfaktorisere nevnerne, og bruke det til å finne fellesnevner. Elevene kan komme med ulike forslag og metoder til å finne et felles multiplum. De kan utfordres på å utforske om det de har funnet, er det minste felles multiplum. Kompetansemål 7. årstrinn Eleven skal kunne finne samnemnar (bm.: fellesnevner) og utføre addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av brøkar I veiledningen knyttes kompetansemålet til emnet De fire regneartene. Veiledningen knytter ulike læringsmål til kompetansemålene. Dette undervisningsopplegget tar utgangspunkt i et læringsmål som i veiledningen er lagt til 7. årstrinn. Læringsmål Eleven skal kunne bestemme fellesnevner der ingen av nevnerne er fellesnevneren ved å finne minste felles multiplum og bruke det til å addere og subtrahere brøker med ulike nevnere Nødvendige forkunnskaper: Eleven bør kunne - beskrive ekte brøk på ulike måter, for eksempel med konkreter, tegninger, symboler eller eksempler fra dagliglivet - kjenne igjen brøker i ulike situasjoner - innse at brøker ikke kan adderes eller subtraheres på samme måte som hele tall - addere og subtrahere brøker med like nevnere - utvide og forkorte brøker
side 2 Aktiviteter for å kartlegge om elevene har de nødvendige forkunnskapene: Aktivitet 1: Dette eksempelet ser på forholdet mellom verdien og ulike representasjoner av en brøk. Bruk for eksempel brøksirkler, staver e.l. Gi elevene i oppdrag å: finne like brikker som til sammen blir 1 2 (for eksempel 2 4, 3 6, 4 8, 5 10, 6 12 ) Legg merke til om elevene er bevisste på hva som er en hel, og bruker denne som referanse. Det kan være hensiktsmessig for noen elever å si 2 av 4, 3 av 6 og så videre. skrive brøkuttrykkene for 1 ut fra brikkene de har brukt 2 Dette handler om skrivemåte, og må skilles fra aktiviteten over, som handler om å bygge opp elevens evne til å kunne se likheter og forskjeller mellom likeverdige brøker. Snakk med elevene om logikken i begrepet likeverdig. Brøkene har samme verdi, og utgjør det samme tallet på ei tallinje. diskutere i smågrupper og i klassen hvordan de kan regne mellom de ulike likeverdige brøkene. Få klarhet i om elevene oppfatter brøkene som like eller forskjellige. De har lik verdi, men kan ha ulike praktiske tolkinger og konkrete uttrykk. gjøre det samme med andre brøker, for eksempel 1 4, 1 3, 3 4 som elevene finner på eller andre brøker
side 3 Aktivitet 2: Elevene kan gjøre det samme som ovenfor, men bruk fargede brikker, klosser eller liknende. Når elevene skal vise 1 denne gangen, kan de for eksempel lage en 2 mengde av 8 brikker med 4 røde, 4 8 er røde, det vil si halvparten. For noen elever vil det være til hjelp å si at 4 av 8 brikker er røde, som en tolkning av brøkuttrykket. Denne måten å verbalisere brøkuttrykket på, vil kunne komme igjen i arbeid med sannsynlighet. Aktivitet 3: Bruk brøksirkler eller liknende. Sett sammen like brøkdeler, og be elevene vise hvordan de finner summer og differanser av brøker med like nevnere. Legg igjen merke til om elevene ser at brøkdelenes størrelse og navn hele tiden referer til det som har verdi 1. Se om det blir vanskeligere for elevene når summen av brøkene blir større enn 1.
side 4 Aktivitet 4: Sett sammen brøker med ulike nevnere og la elevene komme med forslag til hva summen blir. Lag først summer av brøker der den ene nevneren er fellesnevner, for eksempel firedeler og åttedeler, halve og tideler, og så videre. La elevene deretter velge brøker med tilfeldige ulike nevnere. Elevene har i utgangspunktet ingen forutsetninger for å se at de må utvide brøkene slik at de får felles nevner. Det som er viktig i denne aktiviteten, er at de innser at de regnereglene som gjelder for hele tall, ikke uten videre kan generaliseres til å gjelde for brøker. Grunnleggende ferdigheter og kompetanser I aktivitetene ovenfor vil elevene bli utfordret i forhold til bruk av hjelpemidler. De bruker konkreter som er laget for å lette begrepsutviklingen. Elevenes hjelpemiddelkompetanse utvikles når de klarer å bruke konkretene fleksibelt, og se sammenhengen mellom symbolene, språket, og konkretiseringsmidlene. Elevene vil utvikle sin symbol- og formalismekompetanse gjennom å lære sammenhengen mellom konkrete og halvkonkrete bilder, og de matematiske skrivemåtene for brøk. Etter hvert som elevene ser hvordan addisjon av brøker skal gjøres, vil de arbeide med grunnleggende regneferdigheter med brøk. I hele dette undervisningsopplegget, vil elevenes evne til å lese og skrive tabeller, symboler og tekst øves opp. Muntlige ferdigheter gjennom matematiske samtaler er en nøkkel til å bygge opp forståelse og til å gi læreren informasjon om hvordan elevene klarer de ulike utfordringene.
side 5 Spill Dette spillet er ment som en innledende aktivitet til summering av brøk med ulike nevnere. Elevene skal erfare at summer av flere ulike brøker kan bli 1, og de skal begynne å undre seg over hvordan det kan regnes ut. Bruk brøksirkler og brøkterninger. Elevene tegner hvert sitt spillebrett som består av tre sirkler, like store som brøksirkelen som representerer 1 i brøksettet. Elevene kaster brøkterningene i tur og orden. For hvert terningkast skal de plukke ut en brøk som svarer til det terningen viser og plassere i en av sirklene. Vinneren er den som fyller alle sirklene først. Men spillet er ikke over før alle spillerne har skrevet summen av brøkene som ble 1 til sammen, med brøksymboler og regnestykke. Noen ganger kan det se ut som det er en hel sirkel, selv om det mangler litt, eller er litt for mye:
side 6 Utfordring til elevene: brøk med ulike nevnere Finn summen 1 2 + 1 3 La elevene utforske dette som en problemløsningsoppgave i smågrupper. a) Gi elevene brøksirkler eller brøkstaver som hjelpemiddel. Observer hvilke metoder elevene velger for å finne brøkverdien av summen. Etter eventuelt flere slike utfordringer, vil elevene nærme seg ideen om at brøkene må deles opp i mindre deler, slik at de ulike brøkene kan måles med de små brøkdelene. NB! Husk å stille krav til elevene om dokumentasjon. Framgangsmåter og resultater skal dokumenteres i elevenes egne matematikkbøker. De kan tegne og forklare med tekst, men de skal også lære å skrive regnestykket, utregninger og svar med symboler. La gjerne noen elever lage forslag til dokumentasjon på tavla. Noen elever vil være klare for denne utfordringen: b) Gi elevene 6 like brikker som hjelpemiddel. Ikke styr aktiviteten, men vent å se hva elevene finner ut. Vanskelighet: Når de har funnet fram 3 brikker som utgjør halvparten, kan de være fristet til å ta en tredel av resten, det vil si 1 brikke og legge til. Da vil svaret bli 4 6 = 2 3 istedenfor 5 6.
side 7 NB! Igjen er det viktig med dokumentasjon. Se under punkt a). Hva hvis Elevene har problemer underveis i aktivitetene over? Da må du finne ut mer om hva som er problemet til elevene. Hvis det er selve begrepsforståelsen som er et problem, bør de få arbeide en stund med ulike materiell og bestemme ulike brøkdeler, navnsette dem, skrive dem med symboler, sammenlikne ulike brøker osv. For eksempel: Brøksirkler Brøkstaver Mosaikkbiter Tangram
side 8 Ulike mengder med fargede brikker Oppdeling av ulike geometriske figurer Cuisinairestaver Når dette kommer på plass, må elevene få arbeide med addisjon av brøker med like nevnere. Deretter med addisjon av brøker der fellesnevnerne er identisk med en av nevnerne. Gruppearbeid mot læringsmålene Bruk brøksettet til å finne den største brøkdelen som kan brukes til å måle både: a) 1 2 og 1 5 b) 1 4 og 1 6 c) 2 3 og 1 2 Finn summen av brøkene i a), b) og c). Repeter sammen med elevene hva det betyr å utvide og forkorte en brøk. Elevene skal kunne demonstrere med hjelpemidler, figurer og symboler at de kan: redegjøre for at det må brukes spesielle metoder når man skal addere brøker sammenlikne brøker ved hjelp av ord og symboler finne fellesnevner utvide og forkorte brøker addere enkle brøker Introduser begrepene fellesnevner og minste felles multiplum. Det kan gjøres i samtale med elevene i full klasse, for eksempel slik:
side 9 Dere skal komme fram til at å finne den største brøken som kan brukes til å måle brøkene som forekommer i nevnerne på brøkene som skal adderes, er det samme som å finne det minste tallet som alle nevnerne går opp i. Dette tallet kalles minste felles multiplum for tallene i nevnerne. Det er den enkleste fellesnevneren som kan brukes. Utfordre elevene til å finne en metode for å finne minste felles multiplum. En tabell kan hjelpe. I eksempelet 1 4 + 1, kan tabellen se slik ut: 6 Gangerekkene til 4 og 6: 1 2 3 4 4 4 8 12 16 6 6 12 18 24 Det minste tallet som finnes i begge gangerekkene, er 12. Da er 12 minste felles multiplum for 4 og 6, og velges som fellesnevner. La elevene vise hvorden de to brøkene utvides til 12-deler, og be de skrive regnestykket. Det kan se slik ut: 1 4 + 1 6 = 1 3 4 3 + 1 2 6 2 = 3 + 2 12 = 5 12 Differensier ved å gi nye utfordringer med vanskeligere nevnere for de som synes dette er uproblematisk. La noen arbeide med ensifrede nevnere en stund til. Arbeid både med addisjon og subtraksjon. For mange elever vil det være uproblematisk å regne med tosifrede nevnere. Legg merke til hvordan elevene etter hvert finner sine metoder for å finne fellesnevneren. Eksempel: 5 36 + 11 60 = Finner fellesnevner: 36-72-108-144-180-216- 60-120-180-240-
side 10 5 36 + 11 60 = 5 5 36 5 + 11 3 25 + 33 = = 58 60 3 180 180 = 29 90 Utfordring til elevene: Omtrent hvor stor er denne brøken? Her bør elevene kunne se at brøken er bare 1 90 mindre enn 1 3. Kunne de sett det før de regnet ut det eksakte svaret? Ja, i alle fall at svaret er veldig nær 1 3, siden 5 36 6 36 = 1 6 og 11 60 10 60 = 1 6 Da ser de at summen er tilnærmet lik 2 6 = 1 3. Du bør oppmuntre elevene til slike refleksjoner. Det øver opp tallforståelsen. Eksempler på litt mer utfordrende oppgaver der elevene skal bruke det de har lært i nye situasjoner, og lage matematiske modeller/uttrykk for en praktisk situasjon: Oppgave 1 Et blomsterbed er delt opp i ulike områder slik at: I en tredel av blomsterbedet er det hvite blomster. Det er blå blomster i en firedel av blomsterbedet. I en åttedel av blomsterbedet er det røde blomster. Resten av blomsterbedet er fylt med gule blomster. Lag en skisse av blomsterbedet. a) Hvor stor del av blomsterbedet er fylt med gule blomster? b) Er det større eller mindre område med gule blomster enn med røde blomster? Hvor mye større eller mindre?
side 11 Oppgave 2 I klasse 7a er det 20 elever. Halvparten av elevene har fylt 13 år. I klasse 7b er det også 20 elever. Der har en firedel av elevene fylt 13 år. Hvor stor brøkdel av alle elevene i begge klassene til sammen har fylt 13 år? Her blir det samme problemstilling som elevene senere møter ved prosentregning. Når den hele endrer seg, blir brøkregning annerledes. Elevene må gå veien om å se hvor mange elever det er i de to klassene til sammen, dvs 20 + 20 = 40, og hvor mange elever til sammen som er fylt 13 år, nemlig 15, og regne andelen av elever som er 13 år ut fra disse tallene. Oppgave 3 En spesiell måte å dele arv på Brødrene Abdullah og Abdallah red på kamel fra Bagdad til Damaskus. På veien møtte de tre brødre i heftig krangel. De krangler om arven av 17 kameler. Ifølge testamentet skulle den eldste arve halvparten, den nest eldste en tredel, og den yngste en nidel. Siden verken 2, 3 eller 9 går opp i 17, fikk de ikke til å dele. Abdullah tilbød dem å låne sin kamel, siden 2, 3 og 9 går opp i 18. Da fikk den eldste broren 9 kameler, den nest eldste fikk 6 og den yngste fikk 2. Til sammen fikk de 17 kameler. Da kunne de gi Abdullah hans kamel tilbake! Hvordan kunne dette gå til? Legg merke til at 1 2 + 1 3 + 1 9 = 9 + 6 + 2 18 hel mengde kameler, men bare 17 18 = 17. Det betyr at de tre brødrene ikke arvet en 18 av mengden med kameler! La elevene lage oppgaver om brøk. Vurdering: Bruk av kjennetegn på måloppnåelse i opplæringen kan bidra til å gjøre det tydelig for lærere og elever hva det er forventet at elevene skal mestre og hva som vektlegges i vurderingen av elevens kompetanse. Det kan også bidra til at elevene får økt forståelse for egen læringsprosess og hvordan de kan utvikle seg videre. Lærere vil ha behov for å beskrive ulik kvalitet på kompetanse både som del av skolens planleggingsarbeid og som del av elevenes læringsarbeid. Formålet med å beskrive kjennetegn på måloppnåelse er ikke først og fremst å plassere elevene på bestemte nivåer, men å bruke informasjonen om elevenes kompetanse i det videre læringsarbeidet. Det er ingen nasjonale føringer for hvor mange nivåer på måloppnåelse en lærer skal benytte i underveisvurdering.
side 12 I dette eksemplet er det valgt tre nivåer for måloppnåelse. Etter undervisningsopplegget bør du skaffe en oversikt over i hvilken grad de ulike elevene har nådd læringsmålet. Det kan gjøres md en prøve, ved å ha en samtale med enkeltelever, elevgrupper eller hele klassen, innlevering av selvstendig arbeid, eller andre evalueringsmåter. Tabellen nedenfor viser hvordan du kan konkretisere hva du vil vurdere som lav, middels og høy måloppnåelse i forhold til det aktuelle læringsmålet. Lav måloppnåelse Eleven kan forklare hva en brøk er, kan skrive den med symboler, sammenlikne brøker med like nevnere og adderere og subtrahere slike brøker ved hjelp av konkreter. Eleven kan sammenlikne med ulike nevnere ved bruk av konkretiseringsmateriell, som for eksempel brøksirkler. Det samme gjelder addisjon. Middels måloppnåelse Eleven kan addere og subtrahere brøker med like nevnere. Eleven kan også gjenkjenne situasjoner med brøk, og sette opp regnestykker som passer til situasjonen. Eleven kan summere spesielle brøker som halve, firedeler og åttedeler i hodet og på papiret. Eleven kan addere og subtrahere brøker der den ene nevneren er fellesnevneren. I slike tilfeller mestrer eleven bruk av symboler. Høy måloppnåelse Eleven kan addere og subtrahere brøker uansett hvordan nevnerne ser ut, og kan forklare hva det betyr å finne fellesnevner. Eleven kan lage regnefortellinger med brøk, løse problemløsningsoppgaver og gjenkjenne brøk og brøkregning i anvendelser. Noen elever faller utenfor disse beskrivelsene av måloppnåelse i den ene eller andre retningen. Disse elevene må få spesiell oppmerksomhet, både underveis i undervisningsforløpet og etterpå. Det er en spesiell utfordring å følge opp slike elever, og det kan være nødvendig å gi dem andre oppgaver. De elevene som er nedenfor lav måloppnåelse, må arbeide med konkreter hele veien i undervisningsopplegget. Elevene kan allikevel være med på aktiviteter og klassediskusjoner. Når opplegget er ferdig, må du vurdere om eleven skal forlate dette emnet sammen med de andre elevene, og få en ny sjanse neste gang klassen
side 13 skal arbeide med brøk, eller om eleven skal gis mulighet til å bruke mer tid på dette nå. Kanskje kan det være aktuelt å gi noen få elever et lite brøkkurs utenom klassens matematikktimer. Elever som forstår dette veldig raskt, kan arbeide med liknende, men mer avanserte oppgaver. De kan få oppgaver med brøker med vanskelige nevnere, eller øve på overslag med brøk. Det finnes mange gode problemløsningsoppgaver med brøk. Elevene kan lage oppgaver fra dagliglivet som handler om brøk, eller arbeide med anvendelser som for eksempel matoppskrifter som skal forminskes.