NORGE TEKNIK-NTURVITENKELIGE UNIVERITET INTITUTT OR KONTRUKJONTEKNIKKIKK {5 oppgaver på sider} (OKÅL) aglig kontakt under eksamen: Erling Nardo Dahl, tlf. 5 98 EKEN I ENE TKT 8 EKNIKK redag 8. desember 009 Tid: kl. 0900 00 tudiepoeng:.5 Tillatte hjelpemidler: - pesifiserte trkte og håndskrevne hjelpemidler tillatt. - estemt, enkel kalkulator tillatt. Irgens: ormelsamling ekanikk Rottmann: atematisk ormelsamling. ensurdato:. januar 00 {eskriv eventuelle uklarheter i oppgavetekst eller figurer, og foreslå nødvendige presiseringer.} Oppgave O!!! Jeg fant en liten feil i den opprinelige L til oppgave og korrigerte den. italic er mine kommentarer. Hvis du finner feil eller mener at det kan være feil i L til andre oppaver si ifra. Da skal jeg se på dem også. Dmitr Vsochinski strekk - trkk 00 50 trkk - trkk 00 trkk -strekk Y iguren viser tverrsnittet av en bjelke. Den består av en IE00 (se vedlagte datablad for spesifikasjoner av bjelken), som er sveiset sammen med en HU0050 5 Det vil si lengde = 00mm, høde = 50mm og godstkkelse = 5mm. eregn strken i bjelken slik, den nå er orientert. Innfør et koordinatsstem hvor -aksen ligger horisontalt gjennom arealsentret til bjelken () og -aksen vertikalt gjennom midten av steget i IE-bjelken med positiv retning nedover. a) eregn avstanden fra underkant av bjelken til arealsentret når du får oppgitt disse verdiene for.areal-moment for HU-bjelken strekk - strekk I 6 0, 55 0 mm og I, 0 0 mm jelken skal dimensjoneres ut fra følgende størrelser: N 0kN, 6kNm og 6 50kNm, med retninger som vist på figuren. b) inn den totale normalspenningen for et vilkårlig punkt i bjelken, c) inn maksimalverdien for spenningen og merk av hvor punktet ligger d) Utfør de samme beregningene for den snudde bjelken (med HU øverst)
a) vstanden fra underkant av bjelken til -aksen HU HU IE IE 90 5 850 50 09mm c 90 850 HU IE b). arealmoment for HU-bjelken er.arealmoment for IE-bjelken finner vi i tabell. arealmoment for den sammensatte bjelken blir I 9, 0 850 0, 550 90 8 og I I 6 0, 55 0 mm ogi 6 6, 0, 0 0, 0 mm 6 6 6 I 6, 0 0 mm. 6 9, 0 mm og 6, 55 0 mm entter normalspenningsformelen også kalt Naviers formel N 0 6 50, I I,,, 55 I 6, 0 mm O!. Ligning øverst er gldig bare innom tverrsnittsgrenser: [ ;09]; [ 50;50] Det vil si at det blir trkk øverst og strekk nederst. ees ved bruk av hørehåndsregelen. 0 6 50 c) aksimalverdi for spenningen blir, 50 50 05a,,, 5 [ ;09]; [ 50; 50] dvs. at [ mm] er ikke mulig nå 0 6 50 09, 50 50 09 59a størst strekk,,, 5 0 6 50, 50 ( 50) ( ) 96a størst trkk (minus betr trkk),,, 5 unktet er markert med en rød prikk =- mm =- 50 mm 00 d) Ved å snu bjelken slik at HU-bjelken ligger øverst finner vi 00 IE IE HU HU 850 00 90 5 mm c 850 90 IE HU. arealmoment for den sammensatte bjelken blir I 9, 0 850 0, 550 90 8 og I 6 6, 0, 0 0, 0 mm 6 6 6 6, 55 0 mm Normalspenningen blir N 0 6 50, I I,,, 55 50 8 ed maksimalverdi 0 6 50, 50 50,,, 5, 96 0 05a Det vil si at det blir strekk øverst og trkk nederst. ed kritisk punkt nederst, tterst (merket med rød prikk) = 09mm = 50 mm
d) Det vil ikke påvirke strken i bjelken hvilken vei den er snudd. Dvs at ligningen som vi fikk før stemmer framdels. N 0 6 50, I I,,, 55 Den som ble endret er tverrsnittsgrenser. Nå er det [ 09;]; [ 50;50] 0 6 50, 50 50 05a størst strekk,,, 5 0 6 50, 50 ( 50) ( 09) 9a størst trkk (minus betr trkk),,, 5 =- 09mm =- 50 mm Y = mm =50 mm unktet er markert med en rød prikk Oppgave q q q D iguren viser en rammekonstruksjon. Den er påvirket av to punktlaster, begge med størrelse q, og en jevnt fordelt last med størrelse q a) orklar hva som menes med lagerkrefter, og beregn disse. b) Regn ut normalkraft, skjærkraft og bøemoment i hele konstruksjonen c) Lag diagram for normalkraft, skjærkraft og bøemoment (tegnes på strekksiden) i hele konstruksjonen og sett på virkningssmboler.
The figure shows a frame construction. The point D are loaded with two eternal forces q, one horiontal and one vertical. nd one distributed load q between point and point. a) Eplain the meaning of the word bearing forces and calculate these. b) alculate the normal force, the shear force and the bending moment in all points of the construction c) ake diagrams for normal force, shear force and bending moment (draw on the tension side) for the hole construction and sketch the action smbols. Likevekt krever: 0 q q q 0 Y 0 0 X X q q q 0 Y q Y q Y 5 q Del D q q V q N N q V qq q q q q ed spesialverdiene: V Og V 0 og 0 q og q Del D q V N q N q V q Del q V 5 5 V q q 5 q q N() q
q q q 5 q q q q Oppgave r mg mg iguren viser en homogen bjelke med tngde mg. Den ligger horisontalt og er belastet med en punktlast mg i avstanden fra opplagerpunktet. jelken holdes oppe av et masseløst tau som er mg 5
festet til bjelken i avstanden fra. Tauet henger vertikalt og går over en fast slinder med radius r. I den andre enden er tauet festet til en kasse med tngde mg. Det statiske friksjonstallet mellom tauet og slinderen er. Konstruksjonen er i likevekt slik at bjelken ligger horisontalt. a) ellom slinderen og tauet virker det en friksjonskraft. Drøft om tauets tkkelse og slinderens radius i noen tilfelle kan få innfltelse på balanseringen av bjelken, når slinderen sentrum ligger fast. b) orklar hva som menes med snorstrekk, og regn ut hvilke verdier denne må ligge mellom. c) Regn ut største og minste verdi kan ha uten at bjelken beveger seg fra sin horisontale stilling. The figure illustrated a simpl supported beam with weight mg and its measure of length is. It is directed horiontall and is given one single force mg at a distance from the pin at. It is kept horiontall b a rope with negligible mass. The rope is directed horiontal and passes a fied clinder with radius r. In the other end the rope is fied to a bo with weight mg. The static coefficient of friction is.the construction is in equilibrium so the beam remain in horiontal direction. a) It is a friction force between the clinder and the rope. Discuss if the thickness of the rope and the radius of the clinder can influence the balance of the beam when the center point of the clinder is fied. b) Eplain the meaning of the conception tension, and calculate its eisting interval. c) ind the etreme values for for the beam to sta in horiontal position. a) riksjonskraften mellom slinderen og slinderen er avhengig av friksjonstallet og kontaktvinkelen som her er. Hvis radien på tauet øker vil kassen komme lengre til høre, men momentet om vil ikke øke fordi kraften fra tauet vil trekke i slinderen i samme punkt. Tauet mellom festet i bjelken og slinderen vil få en helning mot venstre. Det medfører at kontaktvinkelen mellom tauet og slinderen øker og følgelig øker også friksjonskraften. Hvis tauet blir tnnere inntreffer motsatte virkninger. b) norstrekk vil si den kraften som trekker i tauet. Her er snorstrekket i av tauet mellom slinderen og kassen mg. I den delen av tauet som går mellom slinder og bjelke setter vi snorstramningen lik T. riksjonskraften har retning mot bevegelsen. Vi får derfor T mg mge og ma Det vil si: mg e T mg e T mg mge min Et tau kan bare oppta strekk T mg mge 0 Tauet kan min c) T mg mg 6
er av ritt legeme-diagrammet at 0. T mg e i momentlikningen og får entter verdiene ma min mg mg T T mg mg e mg e 0 mg mg e e og vi har at 0 Oppgave D eregn kreftene i alle stavene i det plane fagverket. alculate the forces in all sticks in the plane trusses. ritt legeme-diagram viser de globale kreftene som virker på fagverket. Vi ser at 0 0 0 er at stav D er en nullstav. Trekanten D er likebeint vinklene er 60 D
D D 0. D er likebeint D 0. er på kreftene i hjørne D: cos 0 og sin 0 D Oppgave 5 The steel bar shown in the figure is constrained to just fit between two fied supports when T. If the temperature is raised tot T T, determine the normal stress developed in the bar. 0mm 0mm 000 mm iguren viser en rett, homogen stålstav med kvadratisk tverrsnitt. Den har lengde 000mm, bredde og tkkelse b 0mm. taven er plassert mellom to faste klosser. Og den er i kontakt med klossene uten å stå i spenn når de har temperaturen T. inn normalspenningen i staven når temperaturen øker til T T T. ritt legeme-diagramet for staven viser at temperaturøkningen medfører at staven får en trk-kraft lik. elv om temperaturen istaven øker staven blir den ikke lengere / 0. Det er fordi den støter mot faste endeflater T 0 0 slik den høre figuren / T viser. entter grunnlikningene N spenningen istaven er: b 8
Disse uttrkkene settes inn i Hookes lov E, og en får T E T E E Tb. b Normalspenningen i staven blir E T b Oppgave 6 L T tøningen i staven er: L termisk forlengelse av staven: T T iguren viser en plan smmetrisk bjelke med lengde. Den er opplagret i horisontal stilling og er påført en vertical kraft på midten. Kraften virker på bjelken slik at den endrer form. a) ett opp likningen som beskriver formen til en belastet bjelke og forklar smbolene som brukes. b) I utledningen av likningen var det gjort en del forutsetninger. kriv ned disse i korte punkter. c) Løs denne likningen for bjelken på figuren. d) ett inn randbetingelser slik at du finner formen og helningen i alle punkter på bjelkeaksen. The figure show a plane, smmetric beam with length. The beam is supported horisontalle and is caused b a vertical force in the middle. The force causes the beam to chanche form. a) Right down the equation wh describes the form for a charged beam and eplain the smbols used. b) In deducing the equation some assuming have been taking. List up those shortl formulated. c) ind the solution of these equation for the beam shown on the figure. d) Use the boundar conditions to find the eact form and inclination qall over the beam aes. Determine the elastic curve for the simpl supported beam using the coordinate a lso, determine the slope at 9
a) Differensiallikningen for elastisk linje du d u EI iguren illustrerer en bjelke som er bøe. Den utbøde bjelkeaksen kalles Elastisk linje u angir utbøningen av den elastiske linjen i angir helningen av den elastiske linjen i er bøemomentet E elastisitetsmodul I andre arealmoment om -aksen jelken er en rett bjelke det er smmetri om -aksen lasten er i -retning om -aksen b)orutsetninger (hpoteser) c) u Naviers hpotese plane tverrsnitt forblir plane En-dimensjonal spenningetilstand Lineært elastisk materiale E må deformasjoner du d tan du d Det er ulik på hver halvdel. (-diagrammet er ikke en glatt kurve) 0
Differensiallikningen som beskriver formen til bjelkeaksen diff. likn.for den elastiske linje du du EI EI d EI d integrerer og får u EI d) estemmer integrasjonskonstantene og ut fra randbetingelsene u 0 0 0 0 EI u EI og EI