Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT, H-6. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r = 4, θ = π 4. Da er z lik: + i + i + i i + i Riktig svar: c) + i Begrunnelse: z = r(cos θ + i sin θ) = 4( + i ) = + i. ( poeng) Det komplekse tallet z = i har polarkoordinater: r = 6, θ = 5π r = 6, θ = π r = 8, θ = 4π r = i 8, θ = 5π r = 6, θ = π Riktig svar: a) r = 6, θ = 5π Begrunnelse: r = a + b = + ( ) = 6 = 6. Videre er cos θ = a r = 6 =. Siden z ligger i fjerde kvadrant, gir dette θ = 5π.. ( poeng) Dersom z = 7+i +i, så er: z = 5 4 5 i z = i z = 5 + 5 i z = 5 i z = i Riktig svar: e) i Begrunnelse: z = 7+i +i = (7+i)( i) (+i)( i) = 7 i+i i 9i 4. ( poeng) Den deriverte til f() = arctan(e ) er: e + e arccos(e ) +e tan(e ) e +e Riktig svar: e) e +e = i = i.
Begrunnelse: Bruker kjerneregelen: f () = +(e ) (e ) = 5. ( poeng) Den deriverte til f() = cot( ) er: sin( ) cot( ) + tan( ) cot( ) + cot( ) tan( ) + 4 sin ( ) Riktig svar: d) cot( ) sin ( ) Begrunnelse: Kombinerer produktregelen og kjerneregelen: ( f () = cot( ) + sin ( ) 7n 6. ( poeng) Grenseverdien lim 5 n + n 4n n n 5 7 7 4 4 e. +e ) = cot( ) sin ( ) er lik: Riktig svar: a) 7 7n Begrunnelse: Trekker ut høyeste potens i teller og nevner: lim 5 n + n = 4n n n 5 n lim 5 (7 n +n 5 ) n n 5 (4n n ) = lim n 7 n +n 5 4n n = 7 = 7. ( ) 7. ( poeng) Grenseverdien lim + er lik: Riktig svar: b) Begrunnelse: Multipliserer med den konjugerte oppe og nede: ( ) ( ( lim + ) + + + ) = lim ( = + + ) ( + ) = lim ( = lim ( ) = lim + + ) + + + + =
e 8. ( poeng) Grenseverdien lim er lik: Riktig svar: d) Begrunnelse: Dette er et -uttrykk, så vi kan bruke L Hôpitals regel: lim e = lim e =. 9. ( poeng) Den omvendte funksjonen til f() = e + er: g() = e + Det finnes ingen omvendt funksjon g() = ln( ) g() = e + g() = ln( ) Riktig svar: e) g() = ln( ) Begrunnelse: Løser ligningen y = e + for : y = e + = e = y = = ln(y ) = = ln(y ) Altså er g() = ln( ).. ( poeng) Funksjonen f har en omvendt funksjon g. Dersom vi vet at f() = 4 og f () =, så vet vi også at: g ( ) = 4 g () = g () = 4 g (4) = g (4) = Riktig svar: d) g (4) = Begrunnelse: Vi vet at g (y) = f () dette g (4) = f () =.. ( poeng) Den deriverte til cos er lik: cos()cos cos sin cos ( cos ln() sin() ) ecos() ln cos + sin der y = f(). Med =, y = 4 gir
Riktig svar: c) cos ( cos ln() sin() ) Begrunnelse: Vi kan f.eks. bruke formelen for logaritmisk derivasjon f () = f()(ln f()). Siden ln f() = ln cos = cos ln, får vi ( f () = cos sin ln + cos ) = cos ( cos ln() sin() ) En alternativ metode er å skrive f() = cos = e ln cos og så derivere på vanlig måte.. ( poeng) Det reelle fjerdegradspolynomet P (z) = z 4 +az +bz +cz +d har i og i som røtter. P (z) er lik: z 4 + 5z + 4 z 4 z + 6z z + 5 z 4 z + 6z 8z + 8 z 4 5z + z + z 4 z + z z + Riktig svar: e) z 4 z + z z + Begrunnelse: Siden polynomet er reelt, må de konjugerte tallene i = i og i = + i også være røtter. Dermed er P (z) = (z i)(z + )(z ( i))(z ( + i)) = z 4 z + z z +. ( poeng) Grenseverdien lim (cos ) er lik: e e Riktig svar: b) e Begrunnelse: Vi skriver ( cos ) = e ln(cos ) og regner først ut lim ln(cos ) = lim ln(cos ) = lim = lim cos sin cos = z = Altså er lim (cos ) = lim e ln(cos ) = e. 4. ( poeng) Funksjonen f er gitt ved f() = hvilken verdi av A er f kontinuerlig? ( sin( )) ( ) { cos ( ) = hvis A hvis =. For 4
- Ingen verdi av A Riktig svar: d) Begrunnelse: Siden cos sin lim f() = lim = lim = må vi ha f() = for å få kontinuitet. 5. ( poeng) Når, har funksjonen f() = + asymptoten: y = Den har ingen asymptote y = + y = + y = + Riktig svar: e) y = + Begrunnelse: Vi bruker standardmetoden og observerer først at f() lim = lim + + = lim Dette betyr at for en eventuell asymptote y = a + b, er a =. For å finne b, regner vi ut = lim (f() ) = lim + = (den siste grenseverdien regnet vi ut i oppgave 7). Altså er y = + asymptote når. 6. ( poeng) Funksjonen f() = 4 5 er konveks på: Hele R Ingen steder (, ) Hvert av intervallene (, ] og [, ) (, ) Riktig svar: d) Hvert av intervallene (, ] og [, ) Begrunnelse: Vi har f () = 4 5 5 og f () = 4 5 6 5. Den andrederiverte er positiv for alle unntatt = (der den ikke er definert). Dette gir at f er konveks på hvert av intervallene (, ] og [, ). Tegner du grafen, 5
vil du se at den ikke er konveks på hele R (den vokser oppover i en spiss i punktet (, )). 7. ( poeng) Løsningene til annengradsligningen z + ( i)z i = er: z = i og z = z = i og z = i z = i og z = z = i og z = z = i og z = Riktig svar: d) z = i og z = Begrunnelse: Ved annengradsformelen er løsningene gitt ved z = ( i) ± ( i) 4( i) = ( i) ± i = ( i) ± ( + i) som gir z = i og z =. 8. ( poeng) Du skal bruke definisjonen av kontinuitet til å vise at funksjonen gitt ved f() = 6 + er kontinuerlig i a =. Gitt en vilkårlig ɛ >, hvor liten må du velge δ for at f() f() < ɛ når < δ? Mindre enn min{ ɛ, } Mindre enn ɛ Mindre enn min{ ɛ, } Mindre enn ɛ 6 Mindre enn ɛ 4 Riktig svar: d) Mindre enn ɛ 6 Begrunnelse: Setter vi h =, ser vi at f() f() = f( + h) f() = 6( + h) + (6 ) + = 6 h For å være sikker på at dette er mindre enn ɛ når h < δ, må vi velge δ ɛ 6. 9. ( poeng) En sylinderformet boks skal ha et volum på 6 dm. Du skal lage boksen slik at overflatearealet (sideflate+bunn+topp) blir minst mulig. Hvilken radius må du velge? r = π dm r = π dm r = dm Vi kan få arealet så lite vi måtte ønske r = 5 π dm Riktig svar: a) r = π dm Begrunnelse: Arealet et gitt ved A = πr + πrh. Siden volumet er V = 6
πr h, må vi ha πr h = 6, som gir h = 6 πr. Setter vi dette inn i uttrykket for arealet, får vi A(r) = πr + πrh = πr + πr 6 πr = πr + r Vi deriverer og får A (r) = 4πr. Setter vi dette lik og løser for r, ser r vi at r = π dm.. ( poeng) En tung gjenstand skal heises opp fra en brønn. Et meter langt tau er festet i gjenstanden, ført gjennom en talje som henger meter over bakken og deretter ned på bakkenivå som vist på figuren. Den løse enden av tauet blir dratt vannrett bortover med en fart på m/s. Hvor fort beveger gjenstanden seg oppover i det øyeblikket den henger 5 meter under taljen? talje m m/s 4 5 m/s m/s m/s 4 m/s 6 5 m/s? m/s Riktig svar: a) 4 5 m/s Begrunnelse: På figuren nedenfor har vi ført på de to lengdene og y som endrer seg. talje m/s y Lengden av tauet er gitt ved + + y, så vi må ha + 9 + y = gjennom hele bevegelsen. Deriverer vi mhp. tiden t, får vi + 9 + y = 7
Dette gir y = + 9 I det øyeblikket vi ser på er + 9 = y = 5 = 5 Dette medfører at = 4, og dermed har vi y = 4 5 m/s Følgelig beveger gjenstanden seg oppover med en fart på 4 5 m/s. 8