Repetisjon 1.5.13 FYS-MEK 111 1.5.13 1
Lorentz transformasjon x ( x t) y z y z t t 1 1 x transformasjon tilbake: omven fortegn for og bytte S og S x ( x t) y z y z t t x små hastighet : 1 og x t t x t Galileo transformasjon FYS-MEK 111 1.5.13
Tidsdilatasjon Et tidsintervall som er målt mellom to hendelser i et referansesystem der posisjonen er identisk for begge hendelser, kalles egentid t. Lengdekontraksjon Lengden til et legeme som er målt i et referansesystem hvor legemet er i ro kalles egenlengde x. En annen observatør som beveger seg med konstant fart relativ til den første måler et tidsintervall: En annen observatør som beveger seg med konstant fart relativ til den første måler en lengde: t t 1 t x 1 x x tidsdilatsjon: t t x x lengdenkontraksjon: FYS-MEK 111 1.5.13 3
Lorentz transformasjon for hastighet et partikkel beveger seg i system S med hastighet og i system S med hastighet v x dx dx ( dx ) v x Lorentz transformasjon: ( dx ) v x dx dx dx dx dx 1 vx 1 v x dx hvis << : v x v x Galileo transformasjon hvis: v x v x 1 (1 / ) 1 / Einsteins. postlat FYS-MEK 111 1.5.13 4
programmering på papir i eksamen... skriv et program som finner posisjonen og hastigheten... Det er tilstrekkelig kn å ta med integrasjonsløkken. eksempel: F C x F C e r r ˆ C 3 r r syntaks må ligne matlab eller python beregningen må foregå i diskrete tidsskritt må brke indeks ikke bland skalarer og vektorer FYS-MEK 111 1.5.13 5
Fri-legeme diagram 1. Del problemet inn i system og omgivelser. system: person; omgivelse: ta, lft. Tegn figr av objektet og alt som berører det. 3. Tegn en lkket krve rn systemet. 4. Finn kontaktpnkter hvor kontaktkrefter angriper. Personen er i kontakt med taet og med lften. 5. Navngi kontaktkrefter og definer symboler. Kraft fra taet på personen: T Lftmotstand: F D v 6. Identifiser langtrekkende krefter og definer symboler. Gravitasjonskraft: G 7. Tegn objektet med skalerte krefter. 8. Tegn inn koordinatsystemet. 9. Det kan hjelpe å tegne inn en hastighetsvektor (f.eks. hvis det er hastighetsavhengige krefter). Ikke tegn hastighetsvektorer i kontakt med system: ikke bland hastigheter og krefter FYS-MEK 111 1.5.13 6
translasjon rotasjon posisjon x (t) (t) vinkel hastighet v( t) dx ( t) d vinkelhastighet akselerasjon a( t) dv 1 translatorisk energi Kt mv d x d d ( t) Kr vinkelakselerasjon masse m I dm treghetsmoment 1 I rotasjonell energi kraft F r F kraftmoment O M bevegelsesmengde p mv l O r p spinn NL F d p ma z d L z I spinnsats FYS-MEK 111 1.5.13 7
Bevaring av energi, bevegelsesmengde, spinn d må begrnne brk av bevaringslover konservative krefter netto ytre krefter netto ytre kraftmomenter FYS-MEK 111 1.5.13 8
konservativ kraft kraft som bare avhenger av posisjon arbeid avhenger bare av start- og slttposisjon, ikke av veien i mellom vi kan finne et potensial slik at du dx F(x) 3-dim: F U energi er bevart K U( x) K1 U( 1) x flere konservative krefter: F F i ( x) net i du potensial til hver kraft i F i (x) dx energibevaring: Ui x) K1 K U ( x ) i ( i 1 i FYS-MEK 111 1.5.13 9
Eksempel: Vår 7, oppgave staven beveger seg ned til den treffer på klossen. krefter: tyngdekraft, normalkraft i hengselen, ingen friksjon, ingen lftmotstand tyngdekraften er konservativ normalkraften gjør ingen arbeid fordi hengselen beveger seg ikke vi kan brke energibevaring FYS-MEK 111 1.5.13 1
støtet er fllstendig elastisk energi er bevart (per definisjon) i kollisjonen oppstår krefter fra hengselen på stangen det virker ytre krefter og bevegelsesmengden er ikke bevart normalkraft i hengselen gir ingen kraftmoment om O tyngdekraft til stangen gir ingen kraftmoment siden kraftarm er nll ingen kraftmoment fra ytre krefter om O spinn om O er bevart argmentene for spinnbevaring er fortsatt gyldig energi er ikke bevart, men vi kan løse problemet allikevel siden begge legemer beveger seg som ett. FYS-MEK 111 1.5.13 11
Eksempel: Vår 11, oppgave 3 en kle som spretter på glvet rotasjon om massesenteret til klen: gravitasjon angriper i massesenteret ingen kraftmoment normalkraft er parallell med vektoren fra massesenteret til angrepspnktet ingen kraftmoment bare friksjon gir et kraftmoment spinnsats: z I Rf z det kreves ofte beregning av treghetsmoment FYS-MEK 111 1.5.13 1
Eksempel: et system av to kler roterer om sitt massesenter y R m 8m R m x r m m r i m i i 3Rm 8m m 1 3 treghetsmoment for en kle som roterer om sitt massesenter: R Im mr 5 parallellaksteoremet: I A I m ms I tot 8m(R) 5 1 8m( R) 3 5 mr 8 m( R) 3 16 mr 5 FYS-MEK 111 1.5.13 13
Friksjon og arbeid friksjon: f N iˆ kraft fra mannen på kisten: normalkraft: N N ˆj gravitasjon: G mg ˆj d F F iˆ s ingen bevegelse i vertikalretning: N mg may N mg f mgi ˆ d arbeid fra mann på kisten: W F s F dx F s dx Fs arbeid fra friksjon på kisten: W f dx mg dx mgs f s d s d nettoarbeid: W net s F net dx s ( F mg) dx Fs mgs d d WF W f arbeid-energi teorem: Wnet K1 K 1 Fs d mgs mv1 1 mv FYS-MEK 111 1.5.13 14
Rllebetingelse r P rm rp, m v P vm vp, m pnktet P beveger seg på en sirkelbane i massesentersystemet: kˆ ( R ˆj ) R( kˆ ˆj ) v P, m rp, m v P v m v P m vm Riˆ, y R iˆ rllebevegelse i laboratoriesystem: P sn vertikal bevegelsesretning når den treffer bakken: rllebetingelse: v P x r m v P, y v P, x ten å skli: r P R v P, m y' r P, m legeme (sylinder, ball) rller ten å skli: Riˆ finn hastighet til massesenteret fra v m vinkelhastighet P x' v m FYS-MEK 111 1.5.13 15