NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglg kontakt under eksamen: Professor Asle Sudbø, tlf 93403 EKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Torsdag 11. august, 2005 09.00-13.00 Tllatte hjelpemdler : K.Rottman, Matematsk formelsamlng Godkjent kalkulator Vekttall : 2.5 Språkform : Bokmål Antall sder : 8 Sensurdato : 1.september Oppgave settet nneholder 3 oppgaver, med tl sammen 10 deloppgaver. Hver deloppgave teller lkt ved sensur. Bak oppgave settet fnner du et vedlegg på to sder med formler som det kan, men kke nødvendgvs vl, være bruk for. Kanddaten må tolke symbolene oppgtte formler. Les hver oppgave nøye! 1
Oppgave 1 Den stasjonære Drac-lgnngen for et elektron med masse m og ladnng e et generelt elektromagnetsk felt A µ = (φ/c,a), der (φ,a) er henholdsvs et skalarpotensal og et vektorpotensal, er gtt ved [E eφ]ψ = [ cα (p ea) + βmc 2] ψ a) Vs drekte fra den generelle Drac-lgnngen at ψ b = σ (p ea) ψ a 2mc kke-relatvstsk grense. Her er c lyshastgheten og ψ en 4-komponent spnor, gtt ved de store komponentene (ψ a ) og små komponentene (ψ b ) på formen ψ = ψ a ψ b = N e k r u a u b hvor u a og u b begge er to-komponent spnorer og N er en normalserngs-faktor. Drac-lgnngen kan omformes tl en Klen-Gordon lgnng (en korrekt relatvstsk bølgelgnng for spnnløse partkler) pluss to spnn-avhengge ledd (da elektronet har spnn) på formen (dette skal kke vses!), [ (E eφ) 2 (mc 2 ) 2 c 2 (p ea) 2 + c 2 e hσ B e hcα E ] ψ = 0. De tre første leddene er Klen-Gordon lgnngen, og de to sste leddene beskrver elektronspnnet sn koblng tl det elektromagnetske feltet. b) Vs at når korreksjonene tl laveste orden B og E tl kke-relatvstsk grense av Klen- Gordon lgnngen nkluderes, er Schrödnger-lgnngen gtt ved Hψ = Eψ, der H = (p ea)2 2m + eφ e h 2m Σ B + λ α E, når hvle-energen mc 2 er trukket fra den totale energen. Det første spnn-avhengge leddet er et Zeeman-ledd som overlever kke-relatvstsk grense c (da lyshastgheten c kke 2
opptrer), mens det sste leddet er ledende ordens relatvstske korreksjon. Bestem konstanten λ. c) Sett A = B = 0 og bruk resultatene fra a) og b) tl å skrve Drac-lgnngen med ledende kke-relatvstske korreksjon E som følgende Schrødnger-lgnng for den store (partkkellke) komponenten ψ a [ p 2 ] + eφ + η[( e φ) p] σ ψ a = Eψ a, 2m og bestem derved η. d) V spesfserer nå skalarpotensalet φ tl å være φ = e2 4πε 0 1 r. Skrv ned H c) eksplstt dette tlfellet og g derved en fyssk tolknng av det spnnavhengge leddet. 3
Oppgave 2 Et kvantemekansk system av spnnløse fermoner på et tre-dmensjonalt kubsk gtter, kontakt med et eksternt partkkel reservoar, er defnert ved Hamltonoperatoren H = W c c j + V n n j µ 0 <,j> <,j> Her er (c,c ) kreasjons- og destruksjonsoperatorer for spnnløse fermoner på gtterpunkt, og n = c c. Operatorene tlfredsstller fermon ant-kommutator relasjoner n c c j + c jc = δ j c c j + c j c = 0 c c j + c jc = 0 Vdere er W et tunnelerngs matrse-element som v regner som postvt, V < 0 er en nærmeste-nabo attraktv elektrostatsk vekselvrknng mellom fermoner på det tredmensjonale gtteret, og µ 0 er et kjemsk potensal som regulerer mdlere antall partkler på gtteret. Systemet har førngsbetngelsen at det kke kan befnne seg mer enn ett fermon på hvert gtterpunkt. Systemet over kan transformeres tl en Hesenberg modell for en magnetsk solator ved å nnføre spnn-operatorer for S = 1/2 spnn som følger c = S (+) c = S ( ) n = 1 2 + S z S (±) = S x ± S y Her er z en spnn-kvantserngs retnng perpendkulært på (x,y)-planet. S x,s y,s z er x,y,zkomponenter av S = 1/2 spnn operatorer. a) Fnn kommutator-relasjonene tl spnn-operatorene S z,s (±) ved å bruke antkommutatorrelasjonen for fermon operatorene. b) V at H kan skrves som en ansotrop Hesenberg modell ytre magnetfelt, på formen H = H 0 J <,j> [ Sz S jz + S (+) S ( ) ] h0 S z 4
og bestem ved dette parametrene H 0,J,,h 0 ved hjelp av parametrene W,V,µ 0 og Z,N, hvor Z er antallet nærmeste naboer på gtteret, og N er totalt antall gtterpunkt systemet. c) Bosonser dette systemet ved å nnføre Holsten-Prmakoff transformasjonen S z = 1 2 a a S (+) S ( ) = ( 1 a ) 1/2 a a = a ( ) 1 a 1/2 a hvor a,a er kreasjons- og destruksjons operatorer for kvantserte spnn-bølger (magnoner). Regn tl laveste orden magnon-operatorene og fnn energen ω q tl magnonene, defnert ved H = H 0 + q ω q a qa q der a = 1 N q a q e q r hvor r er possjonen tl en partkkel på gtterpunkt nummer. Ang H 0 og bestem den verden på som er slk at lm q 0 ω q = 0. 5
Oppgave 3 Hamlton-operatoren for et elektron med masse m som kan bevege seg (x, y)-planet med spnn-bane koblng nkludert, er gtt ved Schrödnger-lgnngen [ p 2 2m + λ(σ 1 p x σ 2 p y ) ] ψ = Eψ, hvor ψ er en to-komponent spnor gtt ved ψ = N e k r v 1, v 2 og N er en normalserngkonstant. Vdere er σ 1 og σ 2 Paul-matrser ( standard notasjon), og λ er en dmensjonsbeheftet konstant. a) Vs at energene tl systemet er gtt ved hvor k = k 2 x + k 2 y. Bestem derved k D. E s = h2 [ ] (k + sk D ) 2 kd 2 ; s = ±1, 2m b) Fnn egentlstandene ψ s (s = ±1) tl systemet. Normalser dsse tlstandene og bestem derved N. c) Beregn σ 3 ψ s σ 3 ψ s tlstandene ψ s. Avgjør også hvorvdt dsse tlstandene respekterer tdsnversjons-symmetr. (Hnt: Tdsnversjon er defnert ved transformasjonene t t, k k,, s s.) 6
OPPGITTE FORMLER OG KONSTANTER 1 N e k r = δ k,0 k d 3 r e q r F(r) = 4π q 0 Kommutator-relasjoner for boson operatorer dr r sn(q r) F(r) [a λ1,a λ 2 ] = δ λ1,λ 2 hvor λ representerer et sett med kvantetall. Elektronets masse og ladnng m e = 9.1 10 31 kg e = 1.6 10 19 C Plancks konstant h = 6.62 10 34 Js Permttvtetskonstanten vakuum ε 0 = 8.85 10 12 C 2 /Nm 2 Lyshastgheten c = 3.0 10 8 m/s 1eV = 1.602 10 19 J 1MeV = 10 6 ev Drac lgnngen (beskrver S = 1/2 partkler) for en partkkel med ladnng q et elektromagnetsk felt Drac matrsene α = 0 σ σ 0 [E qφ]ψ = [ cα (p qa) + βmc 2] ψ ; β = σ 0 0 0 σ 0 7 ; β 2 = 1; α 2 = 1
Paul matrsene σ = σ 1 ˆx + σ 2 ŷ + σ 3 ẑ σ 0 = 1 0 0 1 Algebra for Paul-matrser ; σ 1 = 0 1 1 0 ; σ 2 = 0 0 ; σ 3 = 1 0 0 1 σ σ j = δ j + ε jl σ l, der ε jl er den totalt ant-symmetrske tensoren. Spnn-bane denttet Dreempuls operatoren er gtt ved (α π) 2 = π 2 q h Σ B π = p qa Σ = σ 0 0 σ L = r p Spnn-bane koblng er gtt ved H SO L S Indre energ U tl et boson system med Hamlton operator gtt ved H = H 0 + q ω q a qa q er gtt ved U = q ω q a qa q = q ω q e βωq 1 der β = 1/k B T, k B er Boltzmann s konstant, og T er temperatur. Den tlhørende varmekapasteten er gtt ved C V = U T 8