Side/pge 1 v/of 1 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Fglig kontkt under eksmen: Hns M. Pedersen tlf. 93587 (mobil: 48 6 55 19 Eksmen TFY 4195/FY 31: Optikk fredg 14. mi 4 tid: 9.-15. Exm TFY 4195/FY 31: Optics Fridy My 14 4 time: 9.-15. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tilltte hjelpemidler: C - Spesifiserte trykte hjelpemidler tilltt. Bestemt enkel klkultor tilltt. Rottmnn: Mtemtisk Formelsmling (lle språkutgver Brnett & Cronin: Mthemticl Formule Se også oppgitte formeler side 11. Sensuren fller: 7. juni 4 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Allowed tools: C Specified printed ids. Specified simple clcultor. Rottmnn: Mtemtisk Formelsmling (ny lnguge edition Brnett & Cronin: Mthemticl Formule See lso the formuls given on pge 11. Grdes to be nnounced: June 7 4 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Innhold / Content: I. Norsk oppgvetekst / Norwegin text side/pge - 5 II. Engelsk oppgvetekst / English text side/pge 6-1 III. Oppgitte formeler / Given formuls side/pge 11
Side/pge v/of 1 I. Norsk oppgvetekst: Oppgve 1 D 1 D L 1 L t Figuren viser et smmenstt system som består v to tynne linser i luft (n = 1 L 1 og L med fokllengder henholdsvis f 1 = 3 cm og f = 5 cm og med innbyrdes vstnd t = f 1 + f = 35 cm. Strålegngen begrenses v linsenes innftninger med dimetere henholdsvis D 1 = 8 cm og D = cm. Finn elementene til systemmtrisen for det smmenstte systemet uttrykt ved f 1 og f. Finn elementene til overgngsmtrisen som beskriver strålegngen fr et objektpln i vstnd d forn L 1 til et pln i vstnd d bk L. Ant t de to plnene er konjugerte pln (bilder v hverndre. Hvilken betingelse må d overgngsmtrisen oppfylle? b Bruk resulttene fr til å bestemme vbildningsrelsjonen (d som funksjon v d og forstørrelsen. Hvordn defineres et systems hovedpln? Hr dette systemet hovedpln og hvor er de i så fll plssert? Hv slgs system er dette? c Forklr hvordn vi definerer pertureblenden og de tilhørende inngngs- og utgngspupillene for et vbildningssystem. Hv er en hovedstråle og hvordn definerer vi feltblenden og de tilhørende inngngsog utgngsvinduene?
Side/pge 3 v/of 1 Finn pertureblenden og feltblenden for systemet ovenfor når det brukes til å vbilde objekter i stor vstnd (d forn L 1. Hvor ligger de tilhørende pupillene og vinduene og hvor store er de? d Ant t systemet brukes til visuell betrktning v fjerne objekter og t observtørens øye er plssert i systemets utgngspupille. Hv er vstnden fr utgngspupillen til billedplnet (uttrykt ved objektvstnden d og forstørrelsen β? Hvor stor er den visuelle forstørrelsen? (Hint: Se på bildets vinkelutstrekning sett fr utgngspupillen og objektets vinkelutstrekning sett fr inngngspupillen. Oppgve Speil 1 Speil Punktkilde Stråledeler z Detektor Figuren viser skjemtisk et Michelson-interferometer med kollimert punktkildebelysning. Vi ntr t de to interfererende bølgene hr smme intensitet og t interferometeret er perfekt oppjustert. Den detekterte intensiteten vrierer d bre med gngforskjellen s = z hvor z er forskyvningen v speil fr posisjonen med null gngforskjell. Ved hjelp v koherensfunksjonen ( iωτ Γ( τ = W ( ωexp dω hvor exp(x e x og W (ω er kildens spektrle tetthet kn interferensignlet skrives som
Side/pge 4 v/of 1 [ Γ( + Re Γ( s ] I( s = c hvor c 3 1 8 m/s er lyshstigheten. Ant t kildespekteret er: hvor ω < ω. I for ω ω / ω ω + ω / W ( ω = ellers Beregn Γ (τ og det resulterende interferenssignlet for det oppgitte kildespekteret. Vis t interferensleddet kn skrives som produktet v ( c omhyllingsfunksjon. cos ω s og en b Hvordn defineres visibiliteten i et interferensmønster? Bestem visibilitetsfunksjonen V(s for interferenssignlet i. Første nullpunkt i visibilitetsfunksjonen brukes ofte som et mål på den longitudinle koherenslengde (bredden v det området hvor visibiliteten er høy. Bestem longitudinl koherenslengde l c i dette tilfellet. c Bestem hvor mnge interferensstriper som kn observeres innenfor den longitudinle koherenslengden. d Ant t frekvensen ω svrer til bølgelengden λ = 5 nm og t vi kn observere interferensstriper innenfor den longitudinle koherenslengden. Beregn ω ω og l c. Oppgve 3 En pln bølge U = A exp( ikz belyser et objekt i plnet z = med trnsmittnsfunksjon som bre vhenger v y-koordinten dvs.: t(xy = t(y. Feltet umiddelbrt bk objektet er dermed: U(xy = A t(y. Det diffrkterte feltet bk objektet (for z kn uttrykkes som en superpososjon v plne bølger som forplntes med ulike vinkler med ksen (vinkelspekteret.
Side/pge 5 v/of 1 Ant t objektet er et firkntgitter med gitterkonstnt (romlig periode og t hver trnsprente åpning hr bredde d (d < t(y = 1 i de trnsprente områdene som illustrert i figuren nedenfor. t(y y d Vis t fourierrekken for gittertrnsmittnsen kn skrives som: hvor d t( y = sinc( πmd exp( πimy m= sinc( x sin( x / x. b Vis t feltet bk objektet kn uttrykkes som en sum v plne bølger som forplntes i hver sin retning en for hvert ledd i summen i. Skriv ned uttrykk for den m-te diffrkterte plnbølgen. c En plnbølge exp[ ik( y sinθ z cosθ ] A + forplntes under vinkelen θ med ksen. Bruk dette og resulttet fr b til å vise t m-te plnbølge oppfyller gitterligningen. d Forklr hvorfor bre et endelig ntll v plnbølgene i b vil forplntes fritt. Enkelte kn også være frværende fordi mplituden blir null. Hvor mnge fritt forplntede plnbølger finnes bk gitteret? Ant t bølgelengden er 5 nm t gitterkonstnten er = 1µm og t d = 5 µm.
Side/pge 6 v/of 1 II. English text Problem 1 D 1 D L 1 L t The figure shows composite system mde up of two thin lenses in ir (n = 1 L 1 nd L with focl lengths respectively f 1 = 3 cm nd f = 5 cm tht re seprted by distnce t = f 1 + f = 35 cm. The ry trnsfer is limited by the two lens holders with dimeters respectively D 1 = 8 cm nd D = cm. Find the elements of the system mtrix for the composite system expressed s functions of f 1 nd f. Find the elements of the trnsfer mtrix between n object plne t distnce d in front of L 1 nd n output plne t distnce d behind L. Assume tht the two plnes re conjugte plnes (imges of ech other. Which condition must then be stisfied by the trnsfer mtrix? b Use the results from to determine the imge reltion (d s function of d nd the mgnifiction. How do we define the principl plnes (H nd H' of system? Does this system hve principl plnes nd in tht cse where re they locted? Wht kind of system is this? c Explin how we define the perture stop nd the corresponding entrnce- nd exit pupils for n imging system.
Side/pge 7 v/of 1 Wht is ment by chief ry nd how do we define the field stop nd the corresponding entrnce nd exit windows? Determine the perture stop nd the field stop when the system bove is used to imge objects t lrge distnce (d in front of L 1. Where re the corresponding pupils nd windows nd how lrge re they? e Assume tht the system is used for visul observtion of distnt objects nd tht the observers eye is locted in the exit pupil of the system. Wht is the distnce from the exit pupil to the imge plne (expressed in terms of the3 object distnce d nd the mgnifiction β? How lrge is the visul mgnifiction? (Hint: Consider the ngulr extent of the imge seen from the exit pupil nd the ngulr extent of the object seen from the entrnce pupil. Problem Mirror 1 Mirror Point source Bem splitter z Detector The figure illustrtes Michelson-interferometer with collimted point-source illumintion. We ssume tht the two interfering wves hve equl intensities nd tht the interferometer is perfectly ligned. The detected intensity is function of the pth-length difference s = z where z is the displcement of mirror from the position with zero pth-length difference.
Side/pge 8 v/of 1 In terms of the coherence function ( iωτ Γ( τ = W ( ωexp dω where exp(x e x nd W (ω is the spectrl density of the source the interference signl cn be written s [ Γ( + Re Γ( s ] I( s = c where c 3 1 8 m/s is the velocity of light. Assume tht the source spectrum is: where ω < ω. I for ω ω / ω ω + ω / W ( ω = otherwise Compute Γ (τ nd the resulting interference signl for the given source spectrum? Show tht the interference term cn be written s the product of ( c envelope function. cos ω s nd n b How do we define the visibility of n interference pttern? Determine the visibility function V(s for the interference signl in. The first zero of the visibility function is often used s mesure ot the longitudinl coherence length (the length of the rnge in which the visibility is high. Determine the longitudinl coherence length l c in this cse. c Determine the number of interference fringes tht cn be observed within the longitudinl coherence length. d Assume tht t the frequency ω corresponds to the wvelength λ = 5 nm nd tht we cn observe interference fringes within the longitudinl coherence length. Compute ω. ω nd l c.
Side/pge 9 v/of 1 Problem 3 A plne wve U = A exp( ikz illumintes n object t z = whose trnsmittnce function depends only on the y-coordinte i.e.: t(xy = t(y. The field immeditely behind the object is then: U(xy = A t(y. The diffrcted field behind the object (for z cn be expressed s superposition of plne wves propgting t different ngles with the xis (the ngulr spectrum of plne wves. Assume tht the object is squre grting with grting constnt (sptil period nd width d of ech trnsprent slit (d < t(y = 1 in the trnsprent regions s illustrted in the figure: t(y y d Show tht the Fourier series for the grting trnsmittnce function cn be written s: where d t( y = sinc( πmd exp( πimy m= sinc( x sin( x / x. b Show tht the diffrcted field behind the object cn be expressed s sum of plnewves one for ech term in the sum in tht re propgting in different directions. Write down the expression for the m-th diffrcted plne-wve. c A plne wve exp[ ik( y sinθ z cosθ ] A + is propgting t the ngel θ with the xis. Use this nd the result from b to show tht the m-th plne wve stisfies the grting eqution. d Explin why only finite number of the plne wves in b will be freely propgted. Some of the plne wves my lso be missing becuse they hve zero mplitude.
Side/pge 1 v/of 1 How mny freely propgted plne wves re found behind the grting? Assume tht the wvelength is 5 nm the grting period is = 1µm nd d = 5 µm.
Side/pge 11 v/of 1 III. Oppgitte formeler / Given formuls: 1 d n Trnslsjonsmtrise /Trnsltion mtrix: T = 1 1 Refrksjonsmtrise /Refrction mtrix: R = P 1 β Avbildningsmtrise/ Imging mtrix: M = P 1 β (P = brytningsstyrke / refrctive power β = forstørrelse/ mgnifiction For en enkel brytende flte / for single refrcting surfce: For en tynn linse / for thin lens: P = n/f. d A + B d' ABCD-loven/The ABCD-lw: = n. n' d C + D n Hovedplnvstnder / Distnces to principl plnes: h = n h' = n n n P = '. R ( 1 D C '( 1 A C. Irrdins / Irrdince: E( r = L( r s s ndω (n = overfltenorml / surfce norml exp[ ]; Plnbølge /Plne wve: A exp( ik r = A i( ux + vy + wz w = + k u v. Vinkelspekteret /The ngulr spectrum of plne wves: U ( x y z = = 1 π 1 π A( u vexp A( u vexp [ i( ux + vy + wz ] dudv [ i( ux + vy + z k u v ] [ i( ux + vy ] A( u v = U ( x y exp dxdy. Fourier shift-theorem: F F 1 { f ( x x } = F{ f ( x } exp( iux = F( u exp( iux 1 { F( u u } = F { F( u } exp( iu x = f ( x exp( iu x dudv.
Side/pge 1 v/of 1 Fourier series: { } = = = = / / exp( ( ( ( exp ( 1 ( m dx iux x f x f u F x im m F x f F π π