EKSAMEN I FAG TTT4110 Informasjons- og signalteori

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "EKSAMEN I FAG TTT4110 Informasjons- og signalteori"

Lukas Jacobsen
7 år siden
Visninger:

1 Side/Pge 1 v/of sider vedlegg + enclosure, 3 pges NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR ELEKTRONIKK OG TELEKOMMUNIKASJON Signlehndling Fglig kontkt under eksmen: Nvn: Tor A. Rmstd EKSAMEN I FAG TTT4110 Informsjons- og signlteori Norsk tekst på oddetlls-sider. (English text on even numered pges.) to/te: 27. mi 2007 Tid/Time: Hjelpemidler: - Ingen ndre trykte eller håndskrevne hjelpemidler tilltt. Bestemt, enkel klkultor tilltt (No extr printed or hndwritten mteril llowed. Simple clcultor ccepted.) Bedømmelse: Ved edømmelse vektlegges hvert punkt likt. (Equl weighting on ech of the questions.) Sensurfrist 23. juni, 2008

3 Side 3 v 8 Oppgve 1. ) Forklr forskjellene mellom FIR- og IIR-filtre. Gitt følgende tre kretser: + + y(n) y(n) + y(n) A. B. C. ifferenseligningene til de tre er gitt ved: 1. y(n) = + x(n 2) 2. y(n) = y(n 1) + x(n 2) 3. y(n) = y(n 2) + x(n 1) ) Bevis dette og på den måten finn ut hvilken differenseligning som tilhører hver krets. Vi skl reide videre med den siste v differenseligningene. c) Finn enhetspusresponsen for systemet. d) Beregn den tilhørende frekvensresponsen og skisser dens modul (tllverdi) for = 0, 5 og = 1. e) Vi påtrykker nå et signl med konstnt effektspektrltetthet, S XX (ω) = σx 2. Hv lir effektspektrltettheten, S Y Y (ω), til utgngssignlet? f) Beregn effekten (vrinsen σ 2 Y ) til utgngssignlet. Ved å ruke Prsevls teorem oppnås resulttet lettest.

4 Pge 4 of 8 Prolem 1. ) Explin the differences etween FIR nd IIR filters. Given the following lock digrms: + + y(n) y(n) + y(n) A. B. C. The difference equtions for the three circuits re given y: 1. y(n) = + x(n 2) 2. y(n) = y(n 1) + x(n 2) 3. y(n) = y(n 2) + x(n 1) ) Prove this nd in this wy identify which eqution elongs to ech of the circuits. In the following we consider only the lst of the difference equtions. c) Find the unit smple response of this system. d) Clculte the corresponding frequency response nd sketch its mgnitude for the prmeters = 0.5 nd = 1. e) We now pply signl with the constnt power spectrl density, S XX (ω) = σx 2. Wht is the power spectrl density, S Y Y (ω), of the output signl? f) Clculte the power (vrince σ 2 Y ) of the output signl. Prsevl s teorem might come in hndy to simplify the clcultions.

5 Side 5 v 8 Oppgve 2. Gitt et signl med snnsynlighetstetthetsfunksjon f X (x) som vist i figuren. f X (x) 3/4 1/4-1 -1/2 1/2 1 x ) Beregn signlets effekt (vrins). Signlet kvntiseres ved hjelp v en uniform kvntiserer med it. ) Beregn kvntiseringsstøyen og signl-støyforholdet. c) Beregn det kvntiserte signlets entropi når vi ruker 4 like kvntiseringsintervller. I prksis kn det være vnskelig å oppnå en itrte som er lik entropien. Vi velger her følgende kode for de fire nivåene: d) Er denne koden entydig dekodr? Begrunn svret. e) Finn den minste gjennomsnittlige itrte som kn oppnås for det gitte signlet med denne koden, og kommenter forskjellene til entropien og representsjonen med likt ntll it for lle nivåer. f) Forklr hv vi mener med en pdf-optimlisert (Mx-Lloyd) kvntiserer.

6 Pge 6 of 8 Prolem 2. Given signl with proility density function (pdf) f X (x) s shown in the figure. f X (x) 3/4 1/4-1 -1/2 1/2 1 x ) Compute the power (vrince) of the signl. The signl is quntized using uniform quntizer with its. ) Clculte the quntiztion noise nd the signl-to-noise rtio. c) Clculte the entropy of the quntized signl when the quntizer uses 4 equl intervls. It cn e very difficult to otin it rte equl to the entropy of the signl in prcticl implementtions. Here we choose codes for the for four levels s d) Is this code uniquely decodle? Explin why you reched your conclusion. e) erive the lowest otinle it rte when using this code for the quntized signl, nd discuss the difference etween the otined result to the entropy nd the rte using the sme rte for ll symols. f) Explin wht is ment y pdf-optimized (Mx-Lloyd) quntiztion.

7 Side 7 v 8 Oppgve 3. I diskrete, pulsmplitude-modulerte (PAM) systemer sendes lle symoler med smme pulsform, men forskjellige energier og polritet. et optimle filteret for å detektere symolene i støy er det signltilpssete filteret. Ant t det motttte signlet uten støy er g(t), hvor er mplituden som inneholder meldingen og T 0 er pulslengden. ) Hv er impulsresponsen til det signltilpssete filteret? Ant t den motttte pulsformen er gitt ved g(t) = u(t) u(t T 0 ), hvor u(t) er enhetssprngfunksjonen. ) Hv er den nødvendige knlåndredden for å mott dette signlet? Begrunn svret. c) Utled utgngssignl y(t) fr filteret når en puls motts. Nå sendes pulser etter hverndre slik t det motttte signlet er gitt ved x(t) = N i g(t it 0 ). i=0 d) Tegn x(t) når N = 3, T 0 = 1, og = [1,2, 1,1]. e) Tegn også utgngssignl fr det signltilpssete filteret og diskuter om hvorvidt dette er en Nyquistknl. (Husk t filteret er lineært og tidsinvrint). Vi etrkter spesiltilfellet med inær trnsmisjon hvor lfetet er gitt v = ±A, og snnsynlighetstetthetsfunksjonen for utgngsstøyen etter filteret er gitt i figuren. f N (n) n f) Finn feilsnnsynligheten som funksjon v A når deteksjonen utføres optimlt.

8 Pge 8 of 8 Prolem 3. A discrete pulse mplitude modulted (PAM) system trnsmits ll symols with the sme shpe ut different energies nd polrities. The optiml filter for detecting the messge in noise is the "mtched filter". Assume tht the received signl without noise is g(t), where is the mplitude contining the messge nd the length of the pulse is T 0. ) Wht is the impulse response of the mtched filter? Assume now tht the received pulse shpe is given y g(t) = u(t) u(t T 0 ), where u(t) is the unit step function. ) Wht is the necessry chnnel ndwidth to receive this signl? Sustntite your nswer. c) erive the output signl y(t) from the filter when receiving one pulse. Now trnsmit pulses with different mplitudes one fter the other so tht the received signl is given y N x(t) = i g(t it 0 ). i=0 d) rw x(t) when N = 3, T 0 = 1, nd = [1,2, 1,1]. e) rw the output signl from the mtched filter nd discuss whether this is Nyquist chnnel. (Rememer tht the filter is liner nd time invrint). Assume now tht we hve inry trnsmission where the lphet is given y = ±A, nd the proility density function of the output noise fter the mtched filter is given s shown in the figure. f N (n) n f) Find the it error proility s function A when the detection is performed optimlly.

9 Fourier representtions Anlog signls Finite length signls (t [0,T 0 ]) or periodic signls with period T 0 Fourier series x(t) = k= c k e j 2π kt T 0 Non-periodic signls of infinite length Inverse Fourier trnsform x(t) = 1 X(Ω)ejΩt dω Coefficients c k = 1 kt T T 0 x(t)e 0 dt Fourier trnsform X(Ω) = x(t)e jωt dt Prsevl T 0 x(t) 2 dt = T k= 0 c k 2 Prsevl x(t) 2 dt = 1 2π X(Ω) 2 dω T 0 Time-discrete signls j 2π Finite length signls (n [0,N 1]) or Non-periodic signls periodic signls with period N of infinite length Inverse FT = 1 N 1 N k=0 X(k)ej 2π N kn Inverse TFT = 1 π 2π π X(ω)ejωn dω FT X(k) = N 1 n=0 e j 2π N kn TFT X(ω) = n= e jωn Prsevl N 1 n=0 2 = 1 N 1 N k=0 X(k) 2 Prsevl n= 2 dt = 1 π 2π π X(ω) 2 dω 2π Reltionship etween voltge nd current Resistor: v(t) =Ri(t) Cpcitor: i(t) =C dv(t) dt Inductor: v(t) =L di(t) dt

10 Properties of the Fourier trnsform of infinite, continuous signls Given: X i (jω) = F{x i (t)} = x i (t)e jωt dt Linerity: Time shift: x 1 (t)+x 2 (t) X 1 (jω) + X 2 (jω) x(t τ) e jωτ X(jΩ) Frequency shift: x(t)e jω 0t X(j(Ω Ω 0 )) Time domin convolution: x 3 (t) =x 1 (t) x 2 (t) = Multipliction of functions: x 3 (t) =x 1 (t)x 2 (t) X 3 (jω) = 1 2π Prsevl s theorem: x 1 (τ)x 2 (t τ)dτ X 3 (jω) = X 1 (jω)x 2 (jω) x 2 (t)dt = 1 X(jΩ) 2 dω 2π X 1 (ju)x 2 (j(ω U))dU

Like dokumenter

NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 1 av 5

NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 1 av 5 INSTITUTT FOR TELETEKNIKK + 2 sider vedlegg Signalbehandling Faglig kontakt under eksamen: Navn: Anna Kim Tlf.: 50214 KONTINUASJONSEKSAMEN I