Eksamen i fag TFY4205 Kvantemekanikk II Mandag 13. august 2012 Tid:
|
|
- Toril Eliassen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Side 1 v 6 Norges teknisk-nturvitenskpelige universitet Institutt for fysikk Fglig kontkt under eksmen: Nvn: Jn Myrheim Telefon: , mobil Eksmen i fg TFY4205 Kvntemeknikk II Mndg 13. ugust 2012 Tid: Sensurfrist: Mndg 27. ugust 2012 Tilltte hjelpemidler: Klkultor, mtemtiske og fysiske tbeller. En tbell over fysiske konstnter finnes sist i dette oppgvesettet. Alle deloppgver teller likt ved sensuren. Oppgve 1: En prtikkel med msse m beveger seg i et endimensjonlt kssepotensil som vist i figur 1. Potensilet er periodisk med periode L = + b, det vil si t V (x) = V (x + L). Vi innfører en konstnt γ > 0 slik t V 0 = h2 γ 2 2m. V (x) V 0 b + b x Figur 1: Et endimensjonlt periodisk kssepotensil med periode L = + b. ) Vi ønsker å løse den tidsuvhengige Schrödingerligningen h2 2m ψ (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x). For de verdiene v x der potensilet V (x) er diskontinuerlig, må vi forlnge t både bølgefunksjonen ψ(x) og dens deriverte ψ (x) er kontinuerlige. Hvorfor?
2 Eksmen i fg TFY4205 Side 2 v 6 b) Vi prøver å finne en løsning på formen A 1 cos(αx) + B 1 sin(αx) for x 0, ψ(x) = A 2 cos(βx) + B 2 sin(βx) for 0 x b, A 3 cos(α(x b)) + B 3 sin(α(x b)) for b x + b, der α > 0,β > 0,A 1,B 1,A 2,B 2,A 3,B 3 er konstnter. Hv blir smmenhengen mellom energien E og konstntene α og β? Hvorfor må E > V 0 for t dette skl være en løsning? Hvordn vil en tilsvrende løsning se ut for 0 < E < V 0? c) Vis følgende smmenheng mellom koeffisientene A 1,B 1 og A 3,B 3 : ( ) ( ) ( ) A3 T11 T = 12 A1 B 3 T 21 T 22 der B 1 T 11 = cos(α)cos(βb) β α sin(α)sin(βb), T 12 = sin(α)cos(βb) + α β cos(α)sin(βb), T 21 = sin(α)cos(βb) β α cos(α)sin(βb), T 22 = cos(α)cos(βb) α β sin(α)sin(βb). Merk t mtrisen ( ) T11 T T = 12 T 21 T 22 hr determinnt 1 (du behøver ikke gjennomføre utregningen her): dett = T 11 T 22 T 12 T 21 = 1. L λ 1 og λ 2 være egenverdiene til mtrisen T. Det krkteristiske polynomet er T 11 λ T 12 T 21 T 22 λ = λ2 (T 11 + T 22 )λ + 1 = (λ λ 1 )(λ λ 2 ). Dette viser t λ 1 λ 2 = 1 og t λ 1 + λ 2 = T 11 + T 22 = 2cos(α)cos(βb) ( β α + α ) sin(α) sin(βb). β Hvis enten λ 1 > 1 eller λ 2 > 1, så vil ψ(x) vokse eksponensielt i en eller begge v grensene x ±, og det gir ingen mening. Derfor må vi forlnge t λ 1 = λ 2 = 1, og det betyr t det må finnes en k > 0 slik t λ 1 = e ikl, λ 2 = e ikl.
3 Eksmen i fg TFY4205 Side 3 v 6 D blir λ 1 + λ 2 = 2cos(kL) og følgelig cos(kl) = cos(α) cos(βb) ( β 2α + α ) sin(α) sin(βb). (1) 2β Vi kn se på dette som en ligning som skl løses for k. Høyresiden i ligningen er en funksjon v energiegenverdien E. Husk t vi utledet ligning (1) under forutsetning v t E V 0. Den tilsvrende ligningen for 0 E V 0 ser slik ut: ( β cos(kl) = cos(α) cosh(βb) + 2α α ) sin(α) sinh(βb). (2) 2β Figur 2: Høyre side v ligningene (1) og (2) som funksjon v E/V 0. d) Figur 2 viser høyre side v ligning (1) som funksjon v E/V 0, for E V 0, og høyre side v ligning (2) som funksjon v E/V 0, for 0 E V 0. Figuren er tegnet med = 3 0 og b = 2,4 0 der 0 er den nturlige lengdeenheten til potensilet, 0 = h 2mV0. Figur 3 viser to utsnitt v figur 2 med sterkt forstørret vertiklkse. Figurene viser t energispektret hr en båndstruktur, med tilltte og forbudte energiintervll. Forklr hvordn vi ser dette v figurene. Les ut v figurene hvilke bånd v tilltte energiegenverdier som finnes mellom E = 0 og E 15V 0. Les ut omtrentlige numeriske verdier for nedre og øvre grense til hvert energibånd.
4 Eksmen i fg TFY4205 Side 4 v 6 Figur 3: Høyre side v ligningene (1) og (2) som funksjon v E/V 0. e) Energispektret i et periodisk tredimensjonlt potensil viser tilsvrende båndstruktur. Forklr kort (men noenlunde fullstendig) hvordn båndstrukturen kn forklre t noen stoffer blir elektriske ledere, mens ndre blir hlvledere eller isoltorer. Oppgve 2: Vi ser på to prtikler i en endimensjonl boks med bredde, der potensilet er { 0 når V (x) = 2 x 2 ellers.
5 Eksmen i fg TFY4205 Side 5 v 6 Vi ntr t en v prtiklene er i grunntilstnden, beskrevet ved bølgefunksjonen 2 ψ 1 (x) = cos( ) πx når 2 x 2 0 ellers og egenenergien ( ) E 1 = h2 π 2. 2m Den ndre prtikkelen er i den første eksiterte tilstnden, beskrevet ved bølgefunksjonen ( ) 2 ψ 2 (x) = sin 2πx når 2 x 2 0 ellers og egenenergien E 2 = h2 2m ( ) 2π 2. I denne oppgven kn du få bruk for følgende integrl: π/2 π/2 π/2 π/2 π π du u 2 cos 2 u = π3 24 π 4, du u 2 sin 2 u = π3 3 π 2, du ucos usin(2u) = 8 9. ) Vi ser først på tilfellet der prtiklene er spinnløse. Bestem midlere vstnd mellom prtiklene, definert som (x 1 x 2 ) 2, der x 1 er posisjonen til prtikkel 1 og x 2 er posisjonen til prtikkel 2, når 1. Prtiklene er ulike. 2. Prtiklene er identiske fermioner. 3. Prtiklene er identiske bosoner. Kommenter resulttet. b) Vi ntr nå t de to prtiklene begge er elektroner. Vi ntr t spinnegenfunksjonene til det første og det ndre elektronet er gitt ved henholdsvis χ ± (1) og χ ± (2), der + betyr spinn opp og betyr spinn ned lngs z-ksen. De fire mulige spinnkombinsjonene er ltså ++, +, + og. Hvilke egenverdier for totlt spinn, S, og totlt spinn lngs z-ksen, S z, er mulige? Hv er toprtikkel spinnegenfunksjonene med disse forskjellige egenverdiene v S og S z? c) Hvordn vhenger den midlere vstnden mellom de to elektronene v spinntilstnden?
6 Eksmen i fg TFY4205 Side 6 v 6 Oppgve 3: ) Hv er en stsjonær tilstnd? Hvis A er en vilkårlig observbel, og H er Hmilton-opertoren, så er forventningsverdien v kommuttoren [A,H] lik null i en stsjonær tilstnd. Hvorfor? b) L H være Hmilton-opertoren for elektronet i et hydrogentom, H = T + V = p 2 e2 2m e 4πǫ 0 r. Her er T = p 2 /(2m e ) kinetisk energi, og V = e 2 /(4πǫ 0 r) er potensiell energi. Beregn kommuttoren [ r p + p r, H]. Bruk resulttet til å bevise virilteoremet for forventningsverdiene til T og V i en stsjonær tilstnd til hydrogentomet: 2 T + V = 0. Hvis den stsjonære tilstnden hr energi E, hv er d T og V? Noen fysiske konstnter og formler Lyshstigheten i vkuum: c = m/s Permebiliteten i vkuum: µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 Permittiviteten i vkuum: ǫ 0 = 1/(µ 0 c 2 ) = 8, F/m Den reduserte Plncks konstnt: h = h/(2π) = 1, J s Elementærldningen: e = 1, C Finstrukturkonstnten: α = e 2 /(4πǫ 0 hc) = 1/137,036 Elektronmssen: m e = 9, kg = 0,511MeV/c 2 Protonmssen: m p = 1, kg = 938,28MeV/c 2 Knoniske kommutsjonsrelsjoner: [x,p x ] = [y,p y ] = [z,p z ] = i h, [x,p y ] = [x,p z ] = = [z,p y ] = 0.
7 Pge 1 of 6 The Norwegin University of Science nd Technology Deprtment of Physics Contct person: Nme: Jn Myrheim Telephone: , mobile Exmintion, course TFY4205 Quntum Mechnics II Mondy August 13, 2012 Time: Grdes mde public: Mondy August 27, 2012 Allowed to use: Clcultor, mthemticl nd physicl tbles. A tble of physicl constnts cn be found t the end of this problem set. All subproblems re given the sme weight in the grding. Problem 1: A prticle of mss m moves in one dimensionl box potentil s shown in Figure 1. The potentil is periodic with period L = +b, tht is, V (x) = V (x+l). We introduce constnt γ > 0 such tht V 0 = h2 γ 2 2m. V (x) V 0 b + b x Figure 1: A one dimensionl periodic box potentil of period L = + b. ) We wnt to solve the time independent Schrödinger eqution h2 2m ψ (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x). For those vlues of x where the potentil V (x) is discontinuous we hve to require tht both the wve function ψ(x) nd its derivtive ψ (x) re continuous. Why?
8 Exmintion, course TFY4205 Pge 2 of 6 b) We try to find solution of the form A 1 cos(αx) + B 1 sin(αx) for x 0, ψ(x) = A 2 cos(βx) + B 2 sin(βx) for 0 x b, A 3 cos(α(x b)) + B 3 sin(α(x b)) for b x + b, where α > 0,β > 0,A 1,B 1,A 2,B 2,A 3,B 3 re constnts. Wht is the reltion between the energy E nd the constnts α nd β? Why must E > V 0 for this to be solution? Wht will similr solution look like for 0 < E < V 0? c) Show the following reltion between the coefficients A 1,B 1 nd A 3,B 3 : ( ) ( ) ( ) A3 T11 T = 12 A1 B 3 T 21 T 22 where B 1 T 11 = cos(α)cos(βb) β α sin(α)sin(βb), T 12 = sin(α)cos(βb) + α β cos(α)sin(βb), T 21 = sin(α)cos(βb) β α cos(α)sin(βb), T 22 = cos(α)cos(βb) α β sin(α)sin(βb). Note tht the mtrix ( ) T11 T T = 12 T 21 T 22 hs determinnt 1 (you need not crry out the computtion here): dett = T 11 T 22 T 12 T 21 = 1. Let λ 1 nd λ 2 be the eigenvlues of the mtrix T. The chrcteristic polynomil is T 11 λ T 12 T 21 T 22 λ = λ2 (T 11 + T 22 )λ + 1 = (λ λ 1 )(λ λ 2 ). This shows tht λ 1 λ 2 = 1 nd tht λ 1 + λ 2 = T 11 + T 22 = 2cos(α)cos(βb) ( β α + α β ) sin(α) sin(βb). If either λ 1 > 1 or λ 2 > 1, then ψ(x) will grow exponentilly in one or both of the limits x ±, which gives no mening. Therefore we hve to require tht λ 1 = λ 2 = 1, nd this mens tht there must exist k > 0 such tht λ 1 = e ikl, λ 2 = e ikl.
9 Exmintion, course TFY4205 Pge 3 of 6 Then we hve λ 1 + λ 2 = 2cos(kL) nd hence ( β cos(kl) = cos(α) cos(βb) 2α + α ) sin(α) sin(βb). (1) 2β We my regrd this s n eqution to be solved for k. The right hnd side of the eqution is function of the energy eigenvlue E. Remember tht we derived eqution (1) under the ssumption tht E V 0. The corresponding eqution for 0 E V 0 looks like this: ( β cos(kl) = cos(α) cosh(βb) + 2α α ) sin(α) sinh(βb). (2) 2β Figure 2: The right hnd side of the equtions (1) nd (2) s function of E/V 0. d) Figure 2 shows the right hnd side of eqution (1) s function of E/V 0, for E V 0, nd the right hnd side of eqution (2) s function of E/V 0, for 0 E V 0. The figure is plotted with = 3 0 nd b = 2,4 0 where 0 is the nturl length unit of the potentil, 0 = h 2mV0. Figure 3 shows two prts of Figure 2 with much enlrged verticl xis. The figures show tht the energy spectrum hs bnd structure, with llowed nd forbidden energy intervls. Explin how we cn see this from the figures. Red out from the figures which bnds of llowed energy eigenvlues exist between E = 0 nd E 15V 0. Red out pproximte numericl vlues for the lower nd upper limit of ech energy bnd.
10 Exmintion, course TFY4205 Pge 4 of 6 Figure 3: The right hnd side of the equtions (1) nd (2) s function of E/V 0. e) The energy spectrum in periodic three dimensionl potentil shows similr bnd structure. Explin briefly (but in resonble completeness) how the bnd structure cn explin tht some mterils become electricl conductors, while other mterils become semiconductors or isoltors.
11 Exmintion, course TFY4205 Pge 5 of 6 Problem 2: We consider two prticles in one dimensionl box of width, where the potentil is { 0 when V (x) = 2 x 2 otherwise. We ssume tht one of the prticles is in the ground stte, described by the wve function 2 ψ 1 (x) = cos( ) πx when 2 x 2 0 otherwise nd the eigenenergy ( ) E 1 = h2 π 2. 2m The second prticle is in the first excited stte, described by the wve function ( ) 2 ψ 2 (x) = sin 2πx when 2 x 2 0 otherwise nd the eigenenergy ( ) E 2 = h2 2π 2. 2m In this problem you my need the following integrls: π/2 π/2 π/2 π/2 π π du u 2 cos 2 u = π3 24 π 4, du u 2 sin 2 u = π3 3 π 2, du ucos usin(2u) = 8 9. ) We first consider the cse when the prticles re spinless. Find the men distnce between the prticles, defined s (x 1 x 2 ) 2, where x 1 is the position of prticle 1 nd x 2 is the position of prticle 2, when 1. The prticles re different. 2. The prticles re identicl fermions. 3. The prticles re identicl bosons. Comment on the result.
12 Exmintion, course TFY4205 Pge 6 of 6 b) We now ssume tht the two prticles re both electrons. We ssume tht the spin eigenfunctions of the first nd the second electron re given respectively by χ ± (1) nd χ ± (2), where + mens spin up nd mens spin down long the z xis. Thus the four possible spin combintions re ++, +, +, nd. Wht re the possible eigenvlues for the totl spin, S, nd the totl spin long the z xis, S z? Wht re the twoprticle spin eigenfunctions with these different eigenvlues of S nd S z? c) How does the men distnce between the two electrons depend on the spin stte? Problem 3: ) Wht is sttionry stte? If A is n rbitrry observble, nd H is the Hmiltonin opertor, then the expecttion vlue of the commuttor [A,H] vnishes in sttionry stte. Why? b) Let H be the Hmiltonin of the electron in hydrogen tom, H = T + V = p 2 e2 2m e 4πǫ 0 r. Here T = p 2 /(2m e ) is kinetic energy, nd V = e 2 /(4πǫ 0 r) is potentil energy. Compute the commuttor [ r p + p r, H]. Use the result to prove the viril theorem for the expecttion vlues of T nd V in sttionry stte of the hydrogen tom: 2 T + V = 0. If the sttionry stte hs energy E, wht re then T nd V? Some physicl constnts nd formuls The speed of light in vcuum: c = m/s The permebility of vcuum: µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 The permittivity of vcuum: ǫ 0 = 1/(µ 0 c 2 ) = F/m The reduced Plnck s constnt: h = h/(2π) = J s The elementry chrge: e = C The fine structure constnt: α = e 2 /(4πǫ 0 hc) = 1/ The electron mss: m e = kg = 0.511MeV/c 2 The proton mss: m p = kg = MeV/c 2 Cnonicl commuttion reltions: [x,p x ] = [y,p y ] = [z,p z ] = i h, [x,p y ] = [x,p z ] = = [z,p y ] = 0.
Eksamensoppgave i TMA4320 Introduksjon til vitenskapelige beregninger
Institutt for mtemtiske fg Eksmensoppgve i TMA42 Introduksjon til vitenskpelige beregninger Fglig kontkt under eksmen: Anton Evgrfov Tlf: 45 16 Eksmensdto: xx. ugust 216 Eksmenstid (fr til): xx:xx xx:xx
DetaljerEksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m
Side av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 5 7 Sensurfrist: Fredag 0 juni 008 Eksamen
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Fysikk 2 Torsdag 2. desember 2004
NTNU Side 1 v 7 Institutt for fysikk Fkultet for nturvitenskp og teknologi Dette løsningsforslget er på 7 sider. Løsningsforslg til eksmen i TFY417 Fysikk Fysikk Torsdg. desember 4 Oppgve 1. Kvntemeknikk
DetaljerPROBLEM 1 (30%) (a) Define with both words and equations what the differential scattering cross section is and what it gives information about.
ENGLISH 1 PROBLEM 1 (30%) () Define with both words nd equtions wht the differentil scttering cross section is nd wht it gives informtion bout. (b) Describe with both words nd equtions wht is ment by time
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 30. mai 2007 FY2045 Kvantefysikk
Eksmen FY045 30. mi 007 - løsningsforslg 1 Oppgve 1 Løsningsforslg Eksmen 30. mi 007 FY045 Kvntefysikk. I grensen 0 er potensilet V x et enkelt okspotensil, V = V 0 for < x < 0 og uendelig ellers. Den
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVESITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: FYS1120 Elektromgnetisme Eksmensdg: 5. oktober 2015 Tid for eksmen: 10.00 13.00 Oppgvesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tilltte hjelpemidler:
DetaljerMeijerG1. Notations. Primary definition. Traditional name. Traditional notation. Mathematica StandardForm notation. Generalized Meijer G-function
MeijerG Nottions Trditionl nme Generlied Meijer G-function Trditionl nottion Mthemtic StndrdForm nottion MeijerG,, n, n,,, b,, b m, b m,, b,, r Primry definition 07.5.0.000.0 m k n r r 0 m n m n n b k
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 19. august 2005 TFY4250 Atom- og molekylfysikk
Eksmen TFY450 19. ugust 005 - løsningsforslg 1 Oppgve 1 Løsningsforslg Eksmen 19. ugust 005 TFY450 Atom- og molekylfysikk. For det oppgitte, symmetriske brønnpotensilet er bundne energiegentilstnder enten
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK og FY2045 Kvantefysikk Tirsdag 13. desember 2005 kl
ENGLISH TEXT (and NORWEGIAN) Page 1 of 8 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 9701355 EKSAMEN I TFY450
DetaljerTrigonometric Substitution
Trigonometric Substitution Alvin Lin Calculus II: August 06 - December 06 Trigonometric Substitution sin 4 (x) cos (x) dx When you have a product of sin and cos of different powers, you have three different
DetaljerEksamen, TFY 4195/FY 3100: Optikk, Exam, TFY 4195/FY 3100: Optics,
Side/pge 1 v/of 1 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Fglig kontkt under eksmen: Hns M. Pedersen tlf. 93587 (mobil: 48 6 55 19 Eksmen TFY 4195/FY 31: Optikk fredg 14. mi
DetaljerUniversitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl.
1 MAT131 Bokmål Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl. 09-14 Oppgavesettet er 4 oppgaver fordelt på
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT2400 Analyse 1. Eksamensdag: Onsdag 15. juni 2011. Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerSlope-Intercept Formula
LESSON 7 Slope Intercept Formula LESSON 7 Slope-Intercept Formula Here are two new words that describe lines slope and intercept. The slope is given by m (a mountain has slope and starts with m), and intercept
DetaljerEksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid:
Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 51 72) Sensurfrist: Tirsdag 12. juni 2007
DetaljerEksamen i fag TFY4205 Kvantemekanikk II Torsdag 8. desember 2011 Tid:
Side 1 av 4 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53, mobil 9 7 51 72 Eksamen i fag TFY425 Kvantemekanikk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: STK1110 Sttistiske metoder og dtnlyse 1 Eksmensdg: Tirsdg 18. desemer 2018 Tid for eksmen: 09.00 13.00 Oppgvesettet er på 5 sider.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON360/460 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Exam: ECON360/460 - Resource allocation and economic policy Eksamensdag: Fredag 2. november
DetaljerØving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.
Lørdgsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 007. Veiledning: 9. september kl 1:15 15:00. Øving 4: oulombs lov. Elektrisk felt. Mgnetfelt. Oppgve 1 (Flervlgsoppgver) ) Et proton med hstighet
DetaljerLøsningsforslag Kollokvium 1
Løsningsforslg Kollokvium 1 30. jnur 015 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 1. Oppgve 1 Regning med enheter ) Energienheten 1 ev (elektronvolt) er definert som
DetaljerEksamen i TFY4230 STATISTISK FYSIKK Onsdag 21. desember, :00 19:00
NTNU Side 1 av 3 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Kåre Olaussen Telefon: 9 36 52 eller 45 43 71 70 Eksamen i TFY4230 STATISTISK FYSIKK Onsdag 21. desember, 2011 15:00 19:00
DetaljerMathematics 114Q Integration Practice Problems SOLUTIONS. = 1 8 (x2 +5x) 8 + C. [u = x 2 +5x] = 1 11 (3 x)11 + C. [u =3 x] = 2 (7x + 9)3/2
Mathematics 4Q Name: SOLUTIONS. (x + 5)(x +5x) 7 8 (x +5x) 8 + C [u x +5x]. (3 x) (3 x) + C [u 3 x] 3. 7x +9 (7x + 9)3/ [u 7x + 9] 4. x 3 ( + x 4 ) /3 3 8 ( + x4 ) /3 + C [u + x 4 ] 5. e 5x+ 5 e5x+ + C
DetaljerNORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME
NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE nstitutt for mtemtiske relfg og teknologi EKSAMEN FYS135 - ELEKTROMAGNETSME Eksmensdg: 12. desember 2003 Tid for eksmen: Kl. 14:00-17:00 (3 timer) Tilltte hjelpemidler: B2 - Enkel
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 10 1 ØVING 10
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, - øving ØVING Mesteprten v denne øvingen går ut på å gjøre seg kjent med spinn, men øvingen inneholder også en oppgve om koherente tilstnder. Denne er en fortsettelse v oppgve
DetaljerEKSAMEN I FAG FASTE STOFFERS FYSIKK 2 Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk 15 august 2000 Tid:
Side v 6 Nrges teknisk-nturvitenskpelige universitet Institutt fr fysikk Fglig kntkt under eksmen: Nvn: Ol Hunderi Tlf.: 94 EKSMEN I FG 7445 - FSTE STOFFERS FYSIKK Fkultet fr fysikk, infrmtikk g mtemtikk
DetaljerUnit Relational Algebra 1 1. Relational Algebra 1. Unit 3.3
Relational Algebra 1 Unit 3.3 Unit 3.3 - Relational Algebra 1 1 Relational Algebra Relational Algebra is : the formal description of how a relational database operates the mathematics which underpin SQL
DetaljerDynamic Programming Longest Common Subsequence. Class 27
Dynamic Programming Longest Common Subsequence Class 27 Protein a protein is a complex molecule composed of long single-strand chains of amino acid molecules there are 20 amino acids that make up proteins
DetaljerTFY4170 Fysikk 2 Justin Wells
TFY4170 Fysikk 2 Justin Wells Forelesning 5: Wave Physics Interference, Diffraction, Young s double slit, many slits. Mansfield & O Sullivan: 12.6, 12.7, 19.4,19.5 Waves! Wave phenomena! Wave equation
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving LØSNING ØVING Løsning oppgve Spinn. D åde χ + og χ i likhet med lle ndre spinorer er egentilstnder til enhetsmtrisen med egenverdi lik, hr vi Videre finner vi t
DetaljerFYSMEK1110 Eksamensverksted 23. Mai :15-18:00 Oppgave 1 (maks. 45 minutt)
FYSMEK1110 Eksamensverksted 23. Mai 2018 14:15-18:00 Oppgave 1 (maks. 45 minutt) Page 1 of 9 Svar, eksempler, diskusjon og gode råd fra studenter (30 min) Hva får dere poeng for? Gode råd fra forelesere
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSIEE I OSLO ØKONOMISK INSIU Eksamen i: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag:. desember 207 Sensur kunngjøres:
DetaljerEksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00
NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Arne Brataas Telefon: 73593647 Eksamen i TFY417 Fysikk Mandag 1. desember 5 15: 18: Tillatte hjelpemidler: Alternativ C Godkjent
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Onsdag 8. august 2007 kl
NORSK TEKST Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Onsdag 8. august 2007 kl. 09.00-13.00
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS
UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS Postponed exam: ECON420 Mathematics 2: Calculus and linear algebra Date of exam: Tuesday, June 8, 203 Time for exam: 09:00 a.m. 2:00 noon The problem set covers
DetaljerOppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1)
Oppgave Gjør kort rede for hva den fotoelektriske effekt er, hva slags konklusjoner man kunne trekke fra observasjoner av denne i kvantefysikkens fødsel, og beskriv et eksperiment som kan observere og
Detaljer1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis
DetaljerOppgave 1. ( xφ) φ x t, hvis t er substituerbar for x i φ.
Oppgave 1 Beviskalklen i læreboka inneholder sluttningsregelen QR: {ψ φ}, ψ ( xφ). En betingelse for å anvende regelen er at det ikke finnes frie forekomste av x i ψ. Videre så inneholder beviskalklen
DetaljerOppgave 1. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk EKSAMEN I: MNFFY 245 INNFØRING I KVANTEMEKANIKK
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk EKSAMEN I: MNFFY 45 INNFØRING I KVANTEMEKANIKK DATO: Fredag 4 desember TID: 9 5 Antall vekttall: 4 Antall sider: 5 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerKROPPEN LEDER STRØM. Sett en finger på hvert av kontaktpunktene på modellen. Da får du et lydsignal.
KROPPEN LEDER STRØM Sett en finger på hvert av kontaktpunktene på modellen. Da får du et lydsignal. Hva forteller dette signalet? Gå flere sammen. Ta hverandre i hendene, og la de to ytterste personene
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Onsdag 6. desember
DetaljerSolutions #12 ( M. y 3 + cos(x) ) dx + ( sin(y) + z 2) dy + xdz = 3π 4. The surface M is parametrized by σ : [0, 1] [0, 2π] R 3 with.
Solutions #1 1. a Show that the path γ : [, π] R 3 defined by γt : cost ı sint j sint k lies on the surface z xy. b valuate y 3 cosx dx siny z dy xdz where is the closed curve parametrized by γ. Solution.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT BOKMÅL Utsatt eksamen i: ECON2915 Vekst og næringsstruktur Eksamensdag: 07.12.2012 Tid for eksamen: kl. 09:00-12:00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemidler:
Detaljer5 E Lesson: Solving Monohybrid Punnett Squares with Coding
5 E Lesson: Solving Monohybrid Punnett Squares with Coding Genetics Fill in the Brown colour Blank Options Hair texture A field of biology that studies heredity, or the passing of traits from parents to
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt ksamen i: ECON3120/4120 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Postponed exam: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus and linear algebra Eksamensdag:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 4. juni 2010 Tid for eksamen: 9.00 12.00 Oppgavesettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: MAT1140 Strukturer og rgumenter Eksmensdg: Mndg 22. jnur 2018 Tid for eksmen: 09:00 13:00 Oppgvesettet er på 7 sider. Vedlegg: Ingen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 7. juni
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS4 Kvantefysikk Eksamensdag: 8. juni 5 Tid for eksamen: 9. (4 timer) Oppgavesettet er på fem (5) sider Vedlegg: Ingen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON30/40 Matematikk : Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON30/40 Mathematics : Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 0. desember
DetaljerØving 9. Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt.
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromgnetisme år 2009 Øving 9 eiledning: Mndg 09. og fredg 13. (evt 06.) mrs Innleveringsfrist: Fredg 13. mrs kl. 1200 (Svrtbell på siste side.) Opplysninger:
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E
TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON20/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON20/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Fredag 2. mai
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4250 Atom- og molekylfysikk
Eksme TFY450 7. ugust 006 - løsigsforslg Oppgve Løsigsforslg Eksme 7. ugust 006 TFY450 Atom- og molekylfysikk. Grutilstde ψ (x hr ige ullpukter. Første eksiterte tilstd ψ (x hr ett ullpukt. Når potesilet
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag 2. juni 2008 kl
NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag
DetaljerLøsningsforslag Kollokvium 6
Løsningsforslg Kollokvium 6 25. februr 25 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 6. Oppgve Diskusjonsoppgve Diskuter følgende spørsmål med hverndre og prøv å bli
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Date of exam: Friday, May
DetaljerLøsningsforslag, Midtsemesterprøve fredag 13. mars 2009 kl Oppgavene med kort løsningsforslag (Versjon A)
Institutt for fysikk, NTNU FY100 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2009 Løsningsforslg, Midtsemesterprøve fredg 1. mrs 2009 kl 1415 1615. Fsit side 10. Oppgvene med kort løsningsforslg
DetaljerKneser hypergraphs. May 21th, CERMICS, Optimisation et Systèmes
Kneser hypergraphs Frédéric Meunier May 21th, 2015 CERMICS, Optimisation et Systèmes Kneser hypergraphs m, l, r three integers s.t. m rl. Kneser hypergraph KG r (m, l): V (KG r (m, l)) = ( [m]) l { E(KG
DetaljerExam in Quantum Mechanics (phys201), 2010, Allowed: Calculator, standard formula book and up to 5 pages of own handwritten notes.
Exam in Quantum Mechanics (phys01), 010, There are 3 problems, 1 3. Each problem has several sub problems. The number of points for each subproblem is marked. Allowed: Calculator, standard formula book
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230/4230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 24. mars 2006 Tid for eksamen: 13.30 16.30
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON1910 Poverty and distribution in developing countries Exam: ECON1910 Poverty and distribution in developing countries Eksamensdag: 1. juni 2011 Sensur
DetaljerEksamen i FY3466 KVANTEFELTTEORI II Tirsdag 20. mai :00 13:00
NTNU Side 1 av 3 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Kåre Olaussen Telefon: 9 36 52 eller 45 43 71 70 Eksamen i FY3466 KVANTEFELTTEORI II Tirsdag 20. mai 2008 09:00 13:00 Tillatte
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Onsdag 30. mai 2007 kl
NORSK TEKST Side av 3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 97355 EKSAMEN I FY45 KVANTEFYSIKK Onsdag 3.
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslag til ving 8. a =
TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslg til ving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, s elektronets kselersjon blir = e m E lts mot venstre. b) C Totlt elektrisk felt i
DetaljerTFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer
TFY4215 - Løsning øving 5 1 Løsning oppgave 16 LØSNING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensialer a. I et område hvor V er konstant (lik V 1 ), og E V 1 er positiv (slik at området er klassisk
DetaljerEKSAMEN I SIF4018 MATEMATISK FYSIKK mandag 28. mai 2001 kl
Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPEIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk og Institutt for matematiske fag Faglig kontakt under eksamen: Professor Per Hemmer, tel. 73 59 36 48 Professor Helge Holden,
DetaljerLøsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Mandag 13. august 2012
Løsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Mandag 13 august 2012 1a) Kravene at både ψ og ψ er kontinuerlige der potensialet er diskontinuerlig, følger av Schrödingerligningen 2 2m ψ x) + V x)ψx) = Eψx)
DetaljerFY2045 Kvantefysikk Løsningsforslag Eksamen 2. juni 2008
Eksamen FY045. juni 008 - løsningsforslag Oppgave FY045 Kvantefysikk øsningsforslag Eksamen. juni 008 a. Fra den tidsuavhengige Schrödingerligningen, [ h ] m x + V x ψx Eψx, finner vi at den relative krumningen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON1220 Velferd og økonomisk politikk Exam: ECON1220 Welfare and politics Eksamensdag: 29.11.2010 Sensur kunngjøres: 21.12.2010 Date of exam: 29.11.2010
DetaljerMidtsemesterprøve fredag 13. mars 2009 kl (Versjon B)
Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2009 Midtsemesterprøve fredg 13. mrs 2009 kl 1415 1615. (Versjon ) Oppgver på side 3 9. Svrtbell på side 11. Sett
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY415 16. august 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 (Teller 34 %) Løsningsforslag Eksamen 16. august 008 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Siden potensialet V () er symmetrisk, er grunntilstanden
DetaljerLøsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Torsdag 8. desember 2011
Løsning, eksamen TFY45 Kvantemekanikk II Torsdag 8. desember a) Et kort og fullgodt svar er at en stasjonær tilstand ψ er en løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen H ψ E ψ, () der H er Hamilton-operatoren
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fredag 19. august 2005 kl
NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON2915 Vekst og næringsstruktur Exam: ECON2915 - Growth and business structure Eksamensdag: Fredag 2. desember 2005 Sensur kunngjøres: 20. desember
DetaljerMA2501 Numerical methods
MA250 Numerical methods Solutions to problem set Problem a) The function f (x) = x 3 3x + satisfies the following relations f (0) = > 0, f () = < 0 and there must consequently be at least one zero for
DetaljerMED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO
Eksmen i : MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet INF5110 - Kompiltorteknikk Eksmensdg : Onsdg 6. juni 2012 Tid for eksmen : 14.30-18.30 Oppgvesettet er på : Vedlegg
DetaljerLøsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 24. mai = 2πrlɛE(r) = Q innenfor S =
Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for elektronikk og telekommuniksjon Side 1 v 5 Løsningsforslg TFE4120 Elektromgnetisme 24. mi 2011 Oppgve 1 ) Av symmetrigrunner må det elektriske
DetaljerPerpetuum (im)mobile
Perpetuum (im)mobile Sett hjulet i bevegelse og se hva som skjer! Hva tror du er hensikten med armene som slår ut når hjulet snurrer mot høyre? Hva tror du ordet Perpetuum mobile betyr? Modell 170, Rev.
DetaljerFaglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller
NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Bokmål Eksamen i: ECON1210 Forbruker, bedrift og marked Exam: ECON1210 Consumer Behaviour, Firm behaviour and Markets Eksamensdag: 12.12.2014 Sensur kunngjøres:
DetaljerR2 - Heldagsprøve våren 2013
Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE I FAG TKP 4105
EKSAMENSOPPGAVE I FAG TKP 4105 Faglig kontakt under eksamen: Sigurd Skogestad Tlf: 913 71669 (May-Britt Hägg Tlf: 930 80834) Eksamensdato: 08.12.11 Eksamenstid: 09:00 13:00 7,5 studiepoeng Tillatte hjelpemidler:
Detaljer0:7 0:2 0:1 0:3 0:5 0:2 0:1 0:4 0:5 P = 0:56 0:28 0:16 0:38 0:39 0:23
UTKAST ENGLISH VERSION EKSAMEN I: MOT100A STOKASTISKE PROSESSER VARIGHET: 4 TIMER DATO: 16. februar 2006 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator; Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag): Rottman: Matematisk
DetaljerMidtsemesterprøve fredag 23. mars 2007 kl
Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme I TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2007 Midtsemesterprøve fredg 23. mrs 2007 kl 1415 1615. Løsningsforslg 1) I et område er det elektriske feltet
DetaljerExamination paper for TFY4220 Solid State Physics
Pge 1 of 16 Deprtment of physics Exmintion pper for TFY4220 Solid Stte Physics Acdemic contct during exm: Rndi Holmestd Phone: 48170066 Exmintion dte: 29. My 2015 Exmintion time (from-to): 09.00 to 13.00
Detaljerdx = 1 2y dy = dx/ x 3 y3/2 = 2x 1/2 + C 1
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så y + 3y = e + 3e = e. b) En hr t y = e 3 e (3/), så y + 3y = e 3e (3/) + 3e + 3e (3/) = e. c)
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TFY4230 STATISTISK FYSIKK Tirsdag 9. aug 2011
NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 5 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY430 STATISTISK FYSIKK Tirsdag 9. aug 011 Oppgave 1.
DetaljerFigur 1: Skisse av Franck-Hertz eksperimentet. Hentet fra Wikimedia Commons.
Oppgave 1 Franck-Hertz eksperimentet Med utgangspunkt i skissen i figuren under, gi en konsis beskrivelse av Franck-Hertz eksperimentet, dets resultater og betydning for kvantefysikken. [ poeng] Figur
DetaljerEKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl
Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK
DetaljerRingvorlesung Biophysik 2016
Ringvorlesung Biophysik 2016 Born-Oppenheimer Approximation & Beyond Irene Burghardt (burghardt@chemie.uni-frankfurt.de) http://www.theochem.uni-frankfurt.de/teaching/ 1 Starting point: the molecular Hamiltonian
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Fysikk 2 Lørdag 8. august 2005
NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk Fysikk Lørdag 8. august 005 Merk: Hver del-oppgave teller like mye. Dette løsningsforslaget
Detaljer1 Mandag 8. mars 2010
1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs
DetaljerTFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1
TFY425 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving Løsning oppgave a. LØSNING ØVING Vi merker oss at sannsynlighetstettheten, Ψ(x, t) 2 = A 2 e 2λ x, er symmetrisk med hensyn på origo. For normeringsintegralet
DetaljerSVM and Complementary Slackness
SVM and Complementary Slackness David Rosenberg New York University February 21, 2017 David Rosenberg (New York University) DS-GA 1003 February 21, 2017 1 / 20 SVM Review: Primal and Dual Formulations
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS
UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS English Postponed exam: ECON2915 Economic growth Date of exam: 11.12.2014 Time for exam: 09:00 a.m. 12:00 noon The problem set covers 4 pages Resources allowed:
DetaljerGraphs similar to strongly regular graphs
Joint work with Martin Ma aj 5th June 2014 Degree/diameter problem Denition The degree/diameter problem is the problem of nding the largest possible graph with given diameter d and given maximum degree
DetaljerNORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Side 1 av 5 INSTITUTT FOR ENERGI- OG PROSESSTEKNIKK
NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPEIGE UNIVERSITET Side 1 av 5 INSTITUTT FOR ENERGI- OG PROSESSTEKNIKK Faglig kontakt under eksamen: Reidar Kristoffersen, tlf.: 73 59 35 67 EKSAMEN I TEP 4110 FUIDMEKANIKK Bokmål/Nnorsk/English
DetaljerGYRO MED SYKKELHJUL. Forsøk å tippe og vri på hjulet. Hva kjenner du? Hvorfor oppfører hjulet seg slik, og hva er egentlig en gyro?
GYRO MED SYKKELHJUL Hold i håndtaket på hjulet. Sett fart på hjulet og hold det opp. Det er lettest om du sjølv holder i håndtakene og får en venn til å snurre hjulet rundt. Forsøk å tippe og vri på hjulet.
DetaljerMidtsemesterprøve torsdag 6. mars 2008 kl
Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2008 Midtsemesterprøve torsdg 6. mrs 2008 kl 1000 1200. Oppgver på side 3 10. Svrtbell på side 11. Sett tydelige
Detaljer