Elektrisitetslære TELE00- H HiST-FT-EDT Øving 9; løysing Oppgåve 0 Denne oppgåva er ein smakebit på den typen fleirvalsspørsmål som skal utgjera 40 % av eksamen. Berre eitt av svaralternativa er rett; tre av dei er feil. a) Ved å bruka maskestraummetoden får me ei likning for kvar maske i nettverket. Kva for ei likning høyrer til maska til venstre (maske x)? Z Z x Z y D: (Z + Z ) I x Z I y E E E b) Kva er effektivverdien til ei vekselspenning med tidsfunksjon u 5 sin(5000 t + ⅔π) V? : U m 5 V U RMS / U m / 5 V 4,7 V c) Totalimpedansen i sløyfa vert reint ohmsk ved at ein: R 5 Ω X L 5 Ω : ukar signalfrekvensen; X L aukar og X C minkar. Serieresonans når dei to er like. E 00 V 0º X C 5 Ω d) Ei last vert påtrykt spenninga u 0 sin(77 t + 0 ) V og straumen i 60 sin(77 t 45 ). Kva er effektfaktoren cosφ? B: 0,4 induktiv; cos(φ U φ I ) cos(0 ( 45 )) cos65 0,4 og spenningsfasen framføre straumfasen.
Oppgåve Ei parallellkopling med tre greiner har ein reell spole med resistans 5,0 Ω og reaktans 60,0 Ω i grein. I grein er det ein spole med resistans 80,0 Ω og reaktans 40,0 Ω. I grein er det ein motstand med resistans 0,0 Ω i serie med ein kondensator som har reaktans 40,0 Ω. Parallellkoplinga er påtrykt vekselspenninga U. Effektivverdien er 00 V RMS, fasevinkelen er null og frekvensen er 50,0 Hz. a) Teori i kap. 5. Finn den komplekse impedansen i kvar av dei tre greinene. Rekn ut visarane for dei tre greinstraumane I, I og I ; bruk kjeldespenninga som referanse. Nummerer greinimpedansane Z, Z og Z : Z R + j X L (5,0 + j60,0)ω 65,0Ω 67,8 Z R + j X L (80,0 + j 40,0)Ω 89,44Ω 6,57 Z R j X C (0,0 j 40,0)Ω 4,Ω 75,96 Greinstraumane kan reknast ut vha. Ohms lov: I U Z 00 V 65,0Ω 67,8 dvs. I,08 og φ 67,4. I U Z 00V 89,44 Ω 6,60 dvs. I,4 og φ 6,6. I U Z dvs. I 4,85 og φ 76,0. 00V 4,Ω 75,96,077 67,8,6 6,57 4,85 75,96 I MULTISIM ser det slik ut: b) Teori i kap. 5.8 Bruk Kirkchhoffs straumlov og skisser visardiagrammet for delstraumane og totalstraumen i koplinga. Fasereferanse skal vera kjeldespenninga U. Totalstraumen I er framstilt som summen av dei tre greinstraumane.
I I U I I I I Merk at delspenningane ikkje er med i dette visardiagrammet. c) Teori i kap. 5. Rekn ut totalstraumen i koplinga. ddisjon av komplekse storleikar er det greiast å gjera på kartesisk form: d) Teori i kap. 9. 9.8 I I + I + I,077 67,8 +,6 6,57 + 4,85 75,96 (,8 j,840) + (,000 j,000) + (,76+ j 4,706) (4,60+ j 0,866) 4,445, Rekn ut aktiv effekt og reaktiv effekt i kvar av greinene. Teikn fullstendig effektdiagram for koplinga. Bruk effektdiagrammet og finn resulterande tilsynelatande, aktiv og reaktiv effekt i koplinga. Effekten i kvar grein Grein : Grein : Grein : P R I R I 5Ω (,077) 6,7 W Q X L I X L I 60Ω (,077 ) 568,0 VR P R I 80Ω (,6) 400,0 W Q X L I 40Ω (,6 ) 00,0 VR P R I 0Ω (4,85) 5, W Q X C I 40 Ω (4,85 ) 94, VR
Her indikerer det negative forteiknet at grein er kapasitiv. Effektdiagrammet: S Q P P S Q Q S P P t S t Q t Me ser at total aktiv effekt kan finnast som summen av aktiv effekt i kvar grein. På tilsvarande vis kan total reaktiv effekt finnast som summen av reaktiv effekt i kvar av greinene. Til slutt kan total tilsynelatande effekt finnast frå total aktiv og reaktiv effekt. P tot P + P + P 6,7W + 400,0 W + 5, W 87,0 W Q tot ±Q ± Q ± Q 568,0 VR + 00,0VR + ( 94, VR) 7, VR S P tot + Q tot (87,0 W) + ( 7, VR) 889,0 V e) Teori i kap. 9.5 Som kontroll av resultatet i d skal den aktive, den reaktive og den tilsynelatande effekten reknast ut med utgangspunkt i kjeldespenninga og totalstraumen. P tot U I cos φ 00 V 4,445 cos, 87,0 W Q tot U I sin φ 00 V 4,445 sin, 7, VR (kap.) *) S U I 00 V 4,445 889,0 V * ) Straumen ligg framføre spenninga i fase, og då er total reaktiv effekt kapasitiv. Forteiknet skal vera negativt, slik me fekk i d. (Jf. at φ U φ I har negativt forteikn.) f) Teori i kap. 9.8 Finn ut om koplinga totalt sétt er resistiv, (blanda) induktiv eller (blanda) kapasitiv. (Med «blanda» meiner ein her at koplinga har både R og X.) Då totalstraumen i koplinga ligg framføre spenninga i fase, må den totale koplinga vera kapasitiv. Det at Q tot er negativ viser det same. Men koplinga dreg òg aktiv effekt, altso er ho blanda kapasitiv. Oppgåve Figuren viser ei serie-parallellkopling som skal påtrykkjast ei sinusforma vekselspenning.
I R S X LS I I U S R U R R U U P X L U C X C Verdiane som skal brukast er: R S 8,00 Ω ; X LS,0 Ω ; R 40,0 Ω ; X L 0,0 Ω ; R 0,0 Ω ; X C 0,0 Ω ; U P 50 V Reaktansverdiane gjeld ved éin frekvens (som ikkje er oppgjeven). a) Teori i kap. 5. og 5.8 Skriv opp kvar av dei tre greinimpedansane på kartesisk form, og rekn dei om til polar form. Finn dei tre greinstraumane. Greinimpedansane: Z R + j X L (40,0 + j0,0)ω 44,7Ω 6,57 Z R + j X C (0,0 j0,0)ω 8,8Ω 45 Z S R S + j X LS (8,0 + j,0)ω 4,4Ω 56, Greinstraumane: I I U p Z U p Z 50V 44,7Ω 6,57 50V 8,8Ω 45,54 6,57 (,00 j,50) 5,0 45 (,75+j,75) I I + I (,00 j,50) + (,75+ j,75) (6,75+j,5) 7,5 8,4 b) Teori i kap. 5. Det er eit krav at spenninga over parallelldelen av koplinga skal vera U P 50 V. Då må serieparallellkoplinga påtrykkjast ei spenning U som er gjer at kravet vert oppfylt. Rekn ut spenninga U S, og bruk resultatet til å finna U. Rekn òg ut spenningane U R og U C. Bruk MULTISIM til å kontrollera svara. Spenningane: U S I Z S 7,5 8,4 4,4Ω 56, 0,6 V 74,74 (7,0+j99,0)V U U p + U S 50 V + (7,0+j 99,0) V (77,0+j99,0)V 0,8V 9,
Det er ikkje sett noko krav til kva fasevinkel U P skal ha, og då kan fasereferansen til U veljast fritt. RMS-verdien er altso U 0,8 V. U C I Z C 5,0 45 0Ω 90 06,V 45 (75,0 j75,0)v U R I R 5,0 45 0Ω 06, V 45 (75,0+ j75,0)v I MULTISIM må reaktansane setjast opp med komponentverdiar (induktans eller kapasitans). Frekvensen er ikkje oppgjeven i oppgåveteksten, og då er det berre å velja ein frekvens, t.d. f 50 Hz. Det valet gjev komponentverdiane: L S 8,0 mh, L 6,66 mh og C 59, μf. Simuleringa produserer dette resultatet: c) Teori i kap. 4.5 Rekn ut på to ulike måtar kor stor effekt (aktiv) dette nettverket dreg: sum av effektane i resistansane aktiv effekt i den totale nettverksimpedansen Det er berre resistansane i nettverket som dreg aktiv effekt. Totaleffekten kan då finnast som summen av effektane i dei tre resistansane: P R I + R I + R S I 40,0,54 + 0,0 5,0 + 8,00 7,5 47,5W I det totale nettverket, som er blanda reaktivt, er effektfaktoren cosφ < : P U I cos φ U I d) Teori i kap. 5. U I cos(φ U φ I ) 0,8 7,5 cos(9, 8,4 ) 47,5 W Teikn i målestokk (ein målestokk for straum og ein for spenning) fullstendig visardiagram for serieparallellkoplinga i det komplekse planet. Teikn diagrammet slik at det viser samanhangane i koplinga (t.d. at straumen I er summen av straumane I og I. Få med alle verdiane som er oppgjevne på figuren og rekna ut. Visardiagrammet er teikna med U P som referanse. lle vinklane har den same referansen, og då spelar det inga rolle kva rekkjefylgd visarane vert teikna i.
Im (U P ) U S U U R (U S ) I (I ) I (I ) (U C ) U P I Re (U R ) U C Oppgåve Teori i kap. 5.4 og 5.5 Figuren viser eit filter. Komponentverdiane er: R,0 kω ; C,0 nf. R U inn C U ut a) Bruk teorien for spenningsdeling og vis at den komplekse overføringsfunksjonen er: ( jω) U ut U inn +j ωr C Den tenkte lastresistansen dreg ingen straum, slik at koplinga er ei enkel spenningsdeling: Z U ut U C j X inn U C Z R +Z inn C R + ( j X C ) U jω C inn R + jωc og brøken mellom utgangs- og inngangsspenninga er som framstilt. b) Finn uttrykket for forsterkingsfaktoren (frekvensgangen); (ω) (jω). (ω) (jω) + j ω R C + ω R C U inn + jω R C
c) Knekkfrekvens (grensefrekvens; halveffektfrekvens; db-frekvens): For eit fyrste ordens system som dette kan knekkfrekvensen definerast som den frekvensen ω ω ½ der effekten P L (ω) i ein tenkt lastresistans R L R på utgangen av filteret er redusert til 50 % av maksimumseffekten P L,DC. Finn knekkfrekvensen ω ½ som er slik at P L (ω ½ ) P L, DC Refererer til uttrykket over som *). Maks. effekt P L,DC oppnår ein ved 0 Hz, for då sperrar kondensatoren, og U ut U inn. Effekten P L i lasta R L på utgangen: P L U ut R L og då gjeld ved knekkfrekvensen: P L [U inn (ω ½ )] R L (venstre side i *) P U ut L, DC U inn (høgre side i *) R L R L slik at *) vert [U inn (ω ½ )] R L U inn og R L fell bort, slik at U inn R L [ (ω ½ )] + ω ½ R C ω ½ R C ω ½ R C Uttrykt ved periodefrekvens: f ½ f ½ ω ½ π π R C π R C π, 0 Ω, 0 9 F d) I deloppgave b fann du forsterkingsfaktoren (ω). 4,6 khz No skal du finna fasevinkelen til den komplekse overføringsfunksjonen (fasegangen) gjennom filteret: (ω) ((jω)) (U ut /U inn ). Set inn og rekn ut desse verdiane ved frekvensane f,00 khz, f 0,0 khz, f 00 khz og ved knekkfrekvensen. Bruk MULTISIM (simuleringsfunksjonen C-Frequency / C-nalysis) til å kontrollera resultatet. Den komplekse overføringsfunksjonen er ( jω) + j ωr C Fasevinkelen til nemnaren i brøken kan me kalla N :
φ N (ω) arctan ( jω R C ) arctan (j ωr C ) Teljaren er reint reell, og ein finn fasevinkelen til brøken ved å snu forteiknet. φ(ω) φ N (ω) arctan(ω R C) Uttrykt med periodefrekvens er fasegangen: φ(f ) arctan(π f R C ) Frekvensgangen vart rekna ut i b: (ω) + 4π f R C Innsetjingane er gjorde i tabellen under. Legg spesielt merke til verdiane ved knekkfrekvensen: (f ½ ) + 4π f ½ R C 0,707 φ(f ½ ) arctan(π f ½ R C) arctan 45
Frekvens: Demping: f,00 khz: f RC 0, 0, 0 0,998 f 0,0 khz: f RC 9 0 0, 0, 0 0, 85 9 Fasevinkel: arctan f RC arctan 0,9 arctan f RC arctan 0 4,4 4, 0, 0, 0, 0 9 9 f ½ 4,6 khz: f RC 0 4. 65, 0 0, 707 f 00 khz: f RC 9 00 0, 0, 0 0, 45 9 arctan f RC 45,0 arctan 4.650 arctan f RC 8,7 arctan 000 4, 0, 0, 0, 0 9
Kontroll med MULTISIM: Figuren viser oppkoplinga i MULTISIM. Når vi skal analysere frekvensgangen spiller det ingen rolle hvilken spenning eller frekvens vi velger på vekselspenningskilden. Spenninga blir automatisk satt til V uansett hva som står ved symbolet for kilden. Ved hjelp av C-frequency -funksjonen i MULTISIM er frekvensgangen plottet som vist i diagrammet nedenfor. De beregnede punktene er vist med en sirkel.
Oppgave 4 Når en skal måle resistansen i en varm lyspære er eneste mulighet å benytte strøm- og spennings-måling som vist i figuren. Vi bruker vanlig 50 Hz nettspenning (med nominell verdi 0 V) ved målinga. Voltmeteret kan koples på to forskjellige måter: Enten mellom a og c eller mellom b og c. Dette gir to forskjellige måleverdier i dette tilfellet, mens strømmen er den samme. I andre situasjoner (hvilke?) kunne vi opplevd å få samme spenning, men forskjellig strøm ved tilsvarende omkopling. De to instrumentene er multimeter av typen Metrahit ONE. a b V c Med voltmeteret mellom a og c viser instrumentene: U V 8, V og I 76 m Med voltmeteret mellom b og c viser instrumentene: U V 7, V og I 76 m a) Studer databladet (se bakerst i notatet om «Usikkerhet ved målinger») for multimetrene og finn hvilket måleområde som er benyttet ved spenningsmålinga og strømmålinga. Måleområder: Spenning 0 00 V, strøm 0 00 m. b) Finn indre motstand R V i voltmeteret og R I i amperemeteret for de aktuelle måleområdene. v datablad for multimeteret brukt på vekselspenning (C): R V 0 MΩ ; R V 0,,Ω c) Hva blir mest korrekt måling om voltmeteret koples til a eller b når strømmen er uendret? Med voltmeteret i punkt a leser vi av en verdi på spenninga som er 0,9 V høyere enn med voltmeteret tilkoplet punkt b. Forklar årsaken og vis ved beregning at dette stemmer også teoretisk. Siden strømmen ikke påvirkes av koplinga blir måling i punkt b best siden det nettopp er denne spenninga vi er ute etter. Spenningsforskjellen mellom punkt a og b skyldes motstanden i amperemeteret (spenninga over R ). R I, Ω 0,76 0,9 V, hvilket stemmer godt med den målte forskjellen. Dersom måleobjektet hadde hatt en mye høyere resistans, høyere enn R V R, ville tilkopling av voltmeteret til punkt a gitt best resultat, dersom en ikke ønsker å korrigere strømmålinga for strømmen i voltmeteret. d) Beregn absolutt usikkerhet ΔU og ΔI for spenningsmåling, henholdsvis strømmåling, med utgangspunkt i databladet for instrumentene. Hva blir den relative usikkerheten for de to målingene hver for seg? Bruker spenninga i punkt b. Usikkerheten for måling av vekselspenning er i databladet oppgitt til (,0 % + ), dermed blir absolutt usikkerhet:
ΔU U V % + oppl. 7, 0,0 + 0,,67 V Tilsvarende for strømmålinga: Δ I I,5 % + oppl. 0,76 0,05 + 0,000 4,4 m Relativ usikkerhet blir: δ U δ U ΔU U V ΔI I,67 V 0,06, % 7, V 4,4m 76 m 0,057,57 % e) Beregn ut fra de to måleverdiene motstanden i den varme lyspæra og angi usikkerheten både som relativ verdi (%) og som absolutt verdi (Ω). Skriv til slutt motstandsverdien på formen: <ohmverdi> ± <absolutt usikkerhet> og bruk korrekt antall gjeldende siffer. R U V I 7,V 0,76 859,4 Ω Siden U og I inngår lineært henholdsvis i teller og nevner i en brøk, blir total relativ usikkerhet summen av de to usikkerhetene: δ R δ U + δ I,70 % bsolutt usikkerhet blir da: Δ R R δ R 859, 0,070 Ω Siden mest signifikante siffer i den absolutte usikkerheten her er, kan en velge å bruke begge sifrene, men en kan også bruke bare ett. Da får vi følgende to alternativer: R (859 ± ) Ω eller R (0,86 ± 0,0) kω.